初二第一章直角三角形講義

完好版初二第一章直角三角形講義完好版初二第一章直角三角形講義完好版初二第一章直角三角形講義直角三角形授課內(nèi)容一、直角三角形的性質(zhì)：除勾股定理外，直角三角形還有以下性質(zhì)：⑴直角三角形兩銳角⑵直角三角形斜邊的中線等于⑶在直角三角形中若是有一個(gè)銳角是300，那么它所對(duì)邊是邊的一半二、直角三角形的判斷：除勾股定理的逆定理外，直角三角形還有以下判斷方法：⑴定義法有一個(gè)角是的三角形是直角三角形⑵有兩個(gè)角的三角形是直角三角形⑶若是一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的這個(gè)三角形是直角三角形三、勾股定理和它的逆定理：1、勾股定理：假設(shè)一個(gè)直角三角形的兩直角邊為a、b斜邊為c那么a、b、c滿足逆定理：假設(shè)一個(gè)三角形的三邊a、b、c滿足那么這個(gè)三角形是直角三角形注意：1、勾股定理在幾何證明和計(jì)算中應(yīng)用特別廣泛，要注意和二次根式的結(jié)合2、勾股定理的逆定理是判斷一個(gè)三角形是直角三角形或證明線段垂直的主要依據(jù)，3、勾股數(shù)，列舉常有的勾股數(shù)三組、、、2、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半〔請(qǐng)畫(huà)圖〕13、在Rt三角形中，30°的邊所對(duì)的角是斜邊的一半?！舱?qǐng)畫(huà)圖〕4、直角三角形的邊角關(guān)系與幾種特其他三角形邊角線判斷直角三角形a2b2c2CD=AD=BD(斜邊上的中線等于斜邊的一半)①假設(shè)∠A+∠B=90°，那么△ABC為Rt△;黃金直角a:b:c三角形1:3:2兩銳角互應(yīng)用：①斜邊上的中線把Rt△分紅兩等腰三角222bc②假設(shè)a，那么△ABC為Rt△;余形；③假設(shè)CD=AD=B，D等腰直角a:b:c三角形1:1:2②等腰Rt△斜邊上的中線把它分為兩個(gè)全等的等腰Rt△。那么△ABC為Rt△;1、掌握直角三角形中兩銳角互余、斜邊上的中線等于斜邊的一半及30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等性質(zhì)2、掌握勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的論證和計(jì)算；21、如圖，△ABC為直角三角形，∠C=90°，假設(shè)沿圖中虛線剪去∠C，那么∠1+∠2等于( )A.90°B.135°C.270°D.315°A2、:如圖,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D點(diǎn),BD=12AC.那么∠A=_____.DB

C3、等腰三角形一腰上的高等于該三角形一條邊長(zhǎng)度的一半,那么其頂角為.4、將一個(gè)有45°角的三角板的直角極點(diǎn)放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上．另一個(gè)極點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，那么三角板的最大邊的長(zhǎng)為〔〕A．3cmB．6cmC．32cmD．62cm變式：1、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=15°,AB=8cm，CD為AB的中線，求△ABC的面積。CAB

D32、如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊上的中線，CE⊥AB，AB=10cm，，求CD和∠DCE。CABE

D3、以以下圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的均分線，CD=5cm，求AB的長(zhǎng)．4．如圖是一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，那么DE的長(zhǎng)為cm．5、:如圖,AD為△ABC的高,E為AC上的一點(diǎn),BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,求證:BE⊥AC.AE

F2

1BDC41、如圖∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,那么AB的長(zhǎng)是多少?2、2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的?勾股圓方圖?，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形〔如圖〕，若是大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a，較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b，那么2(ab)的值為〔〕A．13B．19C．25D．1693．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分別以AC、BC為直徑作半圓，面積分別記為S1、S2，那么S1+S2等于2π．變式：1、如圖網(wǎng)格中一個(gè)四邊形ABCD，?假設(shè)小方格正方形的邊長(zhǎng)為1，?那么四邊形ABCD的周長(zhǎng)是_________。2、如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，假設(shè)正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．那么最大的正方形E的面積是．53．在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形(以以下圖)。斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，那么S1＋S2＋S3＋S4等于〔〕A4B5C6D14S1321SS4S23l4、如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東60°的BF方向搬動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的地域.北(1)A城可否碰到此次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？E(2)假設(shè)A城碰到此次臺(tái)風(fēng)影響，那么A城受到此次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？F東B

A例：如圖，在Rt△DBC中，∠C=900，∠A=300，BD是∠ABC的均分線，AD=20，求BC的長(zhǎng)。BADC以以下圖，在ABC中，AD是它的角均分線，且BD=CD，DE，DF分別垂直于AB、AC，垂足為AE、F．求證：EB=FC．EFBC

D6如圖，在等腰直角三角形ABC中，C90o，D是斜邊AB上任一點(diǎn)，AE⊥CD于E，BF⊥CD并交CD的延長(zhǎng)線于F，CH⊥AB于H，交AE于G．求證：BDCG．CEGAHDBF直角三角形與等腰三角形的綜合1、如圖，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，獲取△AFB，連接EF，以下結(jié)論：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2．其中正確的選項(xiàng)是〔〕A．②④B．①④C．②③D．①③變式：1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E為斜邊BC上兩點(diǎn)〔不與B、C重合〕，且∠DAE=45°，把△ABD沿著AD折疊，獲取△ADF．那么正確結(jié)論有〔〕①△DEF是直角三角形；②△AFE≌△ACE；③BD+EC＞DE；④AF是∠BAC的均分線．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)72、以以下圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的極點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=S△ABC；④EF=AP．當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞極點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)〔點(diǎn)E不與A，B重合〕，上述結(jié)論中向來(lái)正確的有〔〕A．①④B．①②C．①②③D．①②③④1．如右圖：在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求AD的長(zhǎng)，與四邊形ABCD的面積。[本源:學(xué)|科|網(wǎng)Z|X|X|K]D

AC2、如右圖，將等腰直角三角形ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后獲取△AB′C′，B假設(shè)AC=3，那么圖中陰影局部的面積為〔〕.A．33B．36C．3D．323．直角三角形周長(zhǎng)是26，斜邊上的中線為1，那么這個(gè)直角三角形的面積為〔〕。A．15B．14C．13D．1284：如圖，BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．請(qǐng)你判斷AD是△ABC的中線還是角均分線？請(qǐng)說(shuō)明你判斷的原由．AFBC

DE5、如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過(guò)點(diǎn)A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．〔1〕假設(shè)BC在DE的同側(cè)〔如圖①〕且AD=CE，說(shuō)明：BA⊥AC．〔2〕假設(shè)BC在DE的兩側(cè)〔如圖②〕其他條件不變，問(wèn)AB與AC仍垂直嗎？假設(shè)是請(qǐng)予證明，假設(shè)不是請(qǐng)說(shuō)明原由．6、假設(shè)直角三角形的兩直角邊為7和24，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)P到三邊的距離相等，這個(gè)距離為。7：在直角三角形中，假設(shè)兩直角邊a,b滿足ab17,ab60,那么斜邊長(zhǎng)為。8．如圖，滑桿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，∠ACB為直角，滑桿AB長(zhǎng)米，頂端A在AC上運(yùn)動(dòng)，量得滑桿下端B距C點(diǎn)的距離為米，當(dāng)端點(diǎn)B向右搬動(dòng)米時(shí)，求滑桿頂端A下滑多少米？9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角邊OA在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限，將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△OA′B′，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在y軸的正半軸上，OB=2，∠BOA=300?！?〕求點(diǎn)B與點(diǎn)A′的坐標(biāo)；〔2〕求經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)B′的直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)剖析式,并判斷斷點(diǎn)A′可否在直線BB′上.9yB′A′BxO

A課后練習(xí)A組〔基礎(chǔ)堅(jiān)固〕1、以下說(shuō)法：2+b22①假設(shè)在△ABC中a≠c，那么△ABC不是直角三角形；0222②假設(shè)△ABC是直角三角形，∠C=90，那么a+b=c；2+b2=c20；③假設(shè)在△ABC中，a，那么∠C=90④假設(shè)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，可以判斷這個(gè)三角形是直角三角形。正確的有〔把你認(rèn)為正確的序號(hào)填在橫線上〕。2、在以以下各組數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形，不是直角三角形的是( )A、3，4，5B、2，2，3C、7，24，25D、2，7，33．在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖)。斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，那么S1＋2S2＋2S3＋S4等于( )10A、4B、5C、6D、10S1321SS4S23l4.四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于點(diǎn)E，且四邊形ABCD的面積為8，那么BE=〔〕A．2B．3C．22D．235、假設(shè)△ABC三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，那么△ABC的形狀為〔〕〔A〕等腰三角形〔B〕直角三角形〔C〕等腰直角三角形〔D〕等邊三角形6．如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯〔即BC=EF〕，左邊滑梯的高度AC?與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，那么∠ABC+∠DFE的度數(shù)為〔〕A600B900C1200D不確定7．如圖，要為一段高為5米，水平長(zhǎng)為13米的樓梯鋪上紅地毯，那么紅地毯最少要米。8、用刻度尺和圓規(guī)在數(shù)軸上找出5的點(diǎn).9．如圖2，∠BAC=30°，AD=BD，AB⊥BC，AD⊥DB，BC=4，求〔1〕AD、AC、AB的長(zhǎng)度?！?〕求四邊形ADBC的面積。B組〔能力提升〕1、直角三角形的周長(zhǎng)為12cm，斜邊的長(zhǎng)為5cm，那么其面積為；2．如圖，一個(gè)四邊形的四條邊AB，BC，CD和DA的長(zhǎng)分別是3，4，13和12，其中∠B=90°，求這個(gè)四邊形的面積。113.如圖，AC=5cm，BC=12cm，AC⊥BC，CD⊥AB于D，求線段CD和AD的長(zhǎng)？CADB4、一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5，12，那么它斜邊上的中線長(zhǎng)是多少？它斜邊上的高線長(zhǎng)是多少？5、.如圖，直角三角形兩條直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合。求CD的長(zhǎng)。CDBA

E6、.以以下圖，以△ABC的每一條邊為邊作三個(gè)正方形。你能獲取什么結(jié)論？并說(shuō)明原由?！?〕S2CS1②B④AB③CS3①⑤A

BA127、以以下圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，它的長(zhǎng)是70cm，寬是50cm，高是40cm，在A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到B點(diǎn)處的食品，那么它沿長(zhǎng)方體的表面爬行的最短行程是多少？8、以以下圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為DC上一點(diǎn)，且1DFDC，求4AED證：BEEF.FBC9．如圖:正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上，且AF均分∠DAE，那么AE＝BE＋DF，請(qǐng)說(shuō)明原由.A

DFCB

E10、在三角形紙片ABC中，0C90，0A30,AC3，折疊該紙片，使點(diǎn)A和B重合，折痕與AB、AC分別相交于點(diǎn)D和點(diǎn)E〔如圖〕，求折痕