常見的隨機過程或隨機模型

最常見的隨機過程或隨機模型

1可編輯ppt

Brown運動或Wiener過程

二項過程Poission過程白噪聲過程自回歸過程移動平均過程混合自回歸移動平均過程利率期限結(jié)構(gòu)或均值回復(fù)模型ARCH類模型與GARCH類模型

主要內(nèi)容2可編輯ppt引言Brown運動是1827年英國生物學(xué)家Brown在研究花粉運動時被發(fā)現(xiàn)的。1918年，Wiener給出Brown運動的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述，所以Brown運動也被稱為Wiener過程。目前，在經(jīng)濟金融研究中，Brown運動被廣泛用以描述股票價格的變化過程，并成為描述隨機現(xiàn)象的基石。

Brown運動或Wiener過程3可編輯ppt標(biāo)準(zhǔn)布朗運動兩大特征：特征1

(正態(tài)分布)特征2：對于任何兩個不同時間間隔，的值相互獨立。(獨立增量）

4Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,20084可編輯ppt考慮Brown運動{wt}在一個很短的時間間隔t之間的變化w＝wt+t—wt。顯然，w服從均值為0、方差為t的正態(tài)分布，即wN(0,t)，也可以寫作。當(dāng)t0時，就得到極限形式5可編輯ppt若隨機過程{St}t0遵循dS=a(S,t)dt+b(S,t)dw

(3.1)稱為一般It?過程。其中，設(shè)a(S,t)、b(S,t)是變量S,t的函數(shù)，{wt}t0為標(biāo)準(zhǔn)Brown運動。(3.1)右邊有二項組成，第一項a(S,t)dt稱為漂移項，a(S,t)稱為漂移率，第二項b(S,t)dw稱為擴散項，b(S,t)稱為擴散率或波動率，所以It?過程也稱為擴散過程。當(dāng)用It?過程描述股票價格的變化時，第一項a(S,t)dt表示股票價格瞬時變化的期望值，b(S,t)dw表示股票價格的瞬時波動值，反映股票價格變化中由不確定性造成的隨機沖擊，隨機沖擊通過波動率的放大或縮小傳導(dǎo)給股票價格。6可編輯ppt特別地，當(dāng)a(S,t)=Su，b(S,t)=S

時，(3.1)式變?yōu)?3.2)其中，u，為常數(shù)，此時的隨機過程稱為幾何Brown運動，經(jīng)常用以描述股票收益率的變化情況。7可編輯ppt應(yīng)用舉例——股票期權(quán)定價的基本思路8可編輯ppt我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價，必須先了解股票本身的走勢。因為股票期權(quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價格、期權(quán)有效期、無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價格變化的唯一來源就是股票價格的變化，股票價格是影響期權(quán)價格的最根本因素。因此，要研究期權(quán)的價格，首先必須研究股票價格的變化規(guī)律。在了解了股票價格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價。在下面幾節(jié)中我們會用數(shù)學(xué)的語言來描述這種定價的思想。99可編輯ppt維納過程的性質(zhì)[z(T)–

z(0)]也是正態(tài)分布均值等于0方差等于T標(biāo)準(zhǔn)差等于

方差可加性10可編輯ppt為何使用布朗運動？正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗事實證明，股票價格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征1和特征2的維納過程是一個馬爾可夫隨機過程維納過程在數(shù)學(xué)上對時間處處不可導(dǎo)和二次變分（QuadraticVariation）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時間上存在轉(zhuǎn)折尖點等性質(zhì)也是相符的11可編輯ppt市場有效理論與隨機過程

1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價格能完全反應(yīng)全部信息。1、弱式效率市場假說2、半強式效率市場假說3、強式效率市場假說

根據(jù)眾多學(xué)者的實證研究，發(fā)達國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。一般認為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機過程（MarkovStochasticProcess）是內(nèi)在一致的。因此我們可以用數(shù)學(xué)來刻畫股票的這種特征。有效市場三個層次12可編輯ppt

一般來說，金融研究者認為證券價格的變化過程可以用漂移率為μS、方差率為S2的伊藤過程（即幾何布朗運動）來表示：

之所以采用幾何布朗運動其主要原因有兩個：一是可以避免股票價格為負從而與有限責(zé)任相矛盾的問題，二是幾何布朗運動意味著股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)分布，這與實際較為吻合。

1313可編輯ppt:1、幾何布朗運動中的期望收益率。2、根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理，取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險、無風(fēng)險利率水平、以及市場的風(fēng)險收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此其決定本身就較復(fù)雜。然而幸運的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率是無關(guān)的。3、較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于<，這是因為較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。

14可編輯ppt1、證券價格的年波動率，又是股票價格對數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差