2020屆高三文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件104直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(全國卷5年5考)

第四節(jié)2020屆高三文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件104直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【知識(shí)梳理】1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圓:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d為圓心(a,b)到直線l的距離,聯(lián)立直線和圓的方程,消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.【知識(shí)梳理】方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交_________相切_________相離_________d<rΔ>0d=rΔ=0d>rΔ<0方法幾何法代數(shù)法相交_________相切______2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).2.圓與圓的位置關(guān)系

方法位置關(guān)系幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離____________外切_______一組實(shí)數(shù)解相交______________兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d=|r1-r2|(r1≠r2)___________內(nèi)含0≤d<_______(r1≠r2)_____d>r1+r2無解d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2一組實(shí)數(shù)解|r1-r2|無解

方法位置關(guān)系幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離____________外切_______一組實(shí)數(shù)解相交______________兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d=|r1-r2|(r1≠r2)___________內(nèi)含0≤d<_______(r1≠r2)_____方法幾何法:圓心距d代數(shù)法:兩圓方程外離______【常用結(jié)論】1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.【常用結(jié)論】(3)過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x+y0y=r2.(3)過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切2.直線與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)當(dāng)直線與圓相交時(shí),由弦心距(圓心到直線的距離),弦長的一半及半徑長所表示的線段構(gòu)成一個(gè)直角三角形.(2)弦長公式|AB|=|xA-xB|=2.直線與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論3.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù):①內(nèi)含:0條;②內(nèi)切:1條;③相交:2條;④外切:3條;⑤外離:4條.3.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(2)兩圓相交時(shí)公共弦的方程設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②若兩圓相交,則有一條公共弦,其公共弦所在直線方程由①-②所得,即:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.(2)兩圓相交時(shí)公共弦的方程(3)兩個(gè)圓系方程①過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);(3)兩個(gè)圓系方程②過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的圓系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圓C2,所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意,以防丟解).②過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2:x【基礎(chǔ)自測】題組一:走出誤區(qū)1.思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”).(1)如果直線與圓組成的方程組有解,則直線與圓相交或相切. (

)【基礎(chǔ)自測】(2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解,則兩圓外切. (

)(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交. (

)(4)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后所得的方程為公共弦所在直線方程. (

)(2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解,則兩圓外切(5)過圓O:x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,則O,P,A,B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x+y0y=r2. (

)(5)過圓O:x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩【解析】(1)√.直線與圓組成的方程組有一組解時(shí),直線與圓相切,有兩組解時(shí),直線與圓相交.(2)×.因?yàn)槌馇型?還可能內(nèi)切.(3)×.因?yàn)槌∮趦砂霃胶瓦€需大于兩半徑差的絕對(duì)值,否則可能內(nèi)切或內(nèi)含.(4)×.只有當(dāng)兩圓相交時(shí),方程才是公共弦所在的直線方程.【解析】(1)√.直線與圓組成的方程組有一組解時(shí),直線與圓相(5)√.由已知,O,P,A,B四點(diǎn)共圓,其方程為即x2+y2-x0x-y0y=0,①又圓O方程為x2+y2=r2,②(5)√.由已知,O,P,A,B四點(diǎn)共圓,②-①得x0x+y0y=r2,而兩圓相交于A,B兩點(diǎn),所以直線AB的方程是x0x+y0y=r2.②-①得x0x+y0y=r2,而兩圓相交于A,B兩點(diǎn),2.已知點(diǎn)P(2,2),點(diǎn)Q是曲線C:(x2+y2-1)(x2+y2-2)=0上一動(dòng)點(diǎn),則|PQ|的最小值是________.

2.已知點(diǎn)P(2,2),點(diǎn)Q是曲線C:(x2+y2-1)(x【解析】曲線C由兩部分組成,圓M:x2+y2=1與圓N:x2+y2=2,如圖,【解析】曲線C由兩部分組成,圓M:x2+y2=1與圓要使|PQ|最小,需點(diǎn)Q在圓N上且在直線OP上,此時(shí),|PQ|=|OP|-=,所以|PQ|的最小值是.答案:

要使|PQ|最小,需點(diǎn)Q在圓N上且在直線OP上,此題組二:走進(jìn)教材1.(必修2P127例1改編)直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為 (

)

A.相切 B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心 D.相離題組二:走進(jìn)教材【解析】選B.圓心為(0,0),到直線y=x+1即x-y+1=0的距離d==,而0<<1,但是圓心不在直線y=x+1上,所以直線與圓相交,但直線不過圓心.【解析】選B.圓心為(0,0),到直線y=x+1即x-y+12.(必修2P129例3改編)兩圓x2+y2-2y=0與x2+y2-4=0的位置關(guān)系是 (

)A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.內(nèi)含2.(必修2P129例3改編)兩圓x2+y2-2y=0與x2【解析】選B.兩圓方程可化為x2+(y-1)2=1,x2+y2=4.兩圓圓心分別為O1(0,1),O2(0,0),半徑分別為r1=1,r2=2.因?yàn)閨O1O2|=1=r2-r1,所以兩圓內(nèi)切.【解析】選B.兩圓方程可化為x2+(y-1)2=1,x2+y3.(必修2P133A組T9改編)圓x2+y2=4與圓x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在的直線方程為________.

3.(必修2P133A組T9改編)圓x2+y2=4與圓【解析】由得4x-4y+8=0,即x-y+2=0.答案:x-y+2=0【解析】由考點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系【題組練透】1.(2018·重慶模擬)圓O1:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2-4y=0的位置關(guān)系是 (

)A.相離B.相交C.外切D.內(nèi)切考點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系【解析】選B.圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑長r1=1,圓O2的圓心坐標(biāo)為(0,2),半徑長r2=2,所以兩圓的圓心距d=,而r2-r1=1,r1+r2=3,則有r2-r1<d<r1+r2,所以兩圓相交.【解析】選B.圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑長r1=1,2.已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0與圓C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圓C1與圓C2相外切,則實(shí)數(shù)m= (

)A.-5 B.-5或2 C.-6 D.82.已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0與圓C【解析】選B.對(duì)于圓C1與圓C2的方程,配方得圓C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圓C2:(x+1)2+(y-m)2=4,則圓C1的圓心C1(m,-2),半徑r1=3,圓C2的圓心C2(-1,m),半徑r2=2.因?yàn)閳AC1與圓C2相外切,所以|C1C2|=r1+r2,即

=5,m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.【解析】選B.對(duì)于圓C1與圓C2的方程,配方得圓C1:3.(2019·合肥模擬)已知圓C1:(x-a)2+(y+2)2=4與圓C2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,則ab的最大值為 (

)3.(2019·合肥模擬)已知圓C1:(x-a)2+(y+2【解析】選C.由已知得圓C1圓心C1(a,-2),圓C2圓心C2(-b,-2),由兩圓外切可知|a+b|=3,故a2+2ab+b2=9,所以4ab≤9,所以ab≤【解析】選C.由已知得圓C1圓心C1(a,-2),圓C2圓心4.(2018·南充模擬)若圓O1:x2+y2=5與圓O2:(x+m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是________.

4.(2018·南充模擬)若圓O1:x2+y2=5與圓O2:【解析】由已知,O1(0,0),O2(-m,0),由圓心距大于半徑之差而小于半徑之和,得<|m|<3,由已知O1A⊥AO2,所以m2=5+20=25,m=±5,所以·5=2·,解得|AB|=4.答案:4【解析】由已知,O1(0,0),O2(-m,0),由圓心距大【規(guī)律方法】幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系的步驟(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長.(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d,求r1+r2,|r1-r2|.(3)比較d,r1+r2,|r1-r2|的大小,寫出結(jié)論.

【規(guī)律方法】考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系【典例】(1)直線l:mx-y+1-m=0與圓C:x2+(y-1)2=5的位置關(guān)系是 (

)

A.相交 B.相切C.相離 D.不確定考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系(2)(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2,則圓C的面積為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

(2)(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)直線y=x+2a與圓C:【解析】(1)選A.直線l:mx-y+1-m=0過定點(diǎn)(1,1),因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓x2+(y-1)2=5的內(nèi)部,所以直線l與圓相交.【解析】(1)選A.直線l:mx-y+1-m=0過定點(diǎn)(1,【一題多解微課】本例題(1)還可以采用以下方法求解:(幾何法)選A.由題意知,圓心(0,1)到直線l的距離d=故直線l與圓相交.【一題多解微課】(代數(shù)法)選A.由消去y,整理得:(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0.Δ=(-2m2)2-4(1+m2)(m2-5)=4(4m2+5)>0,故直線l與圓相交.(代數(shù)法)選A.由(2)由圓C:x2+y2-2ay-2=0可得x2+(y-a)2=a2+2,所以圓心C(0,a),由題意可知解得a2=2,所以圓C的面積為π(a2+2)=4π.答案:4π(2)由圓C:x2+y2-2ay-2=0可得x2+(y-a)【規(guī)律方法】

判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法(1)代數(shù)法:

【規(guī)律方法】(2)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系:d<r?相交,d=r?相切,d>r?相離.(2)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系:d【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2018·深圳模擬)已知點(diǎn)M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是 (

)A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】【解析】選B.因?yàn)镸(a,b)在圓O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,又圓心O到直線ax+by=1的距離d=所以直線與圓相交.【解析】選B.因?yàn)镸(a,b)在圓O:x2+y2=1外,所以2.若直線y=x+b與曲線x=恰有一個(gè)公共點(diǎn),則b的取值范圍是 (

)A.(-1,1] B.{-}C.{-,2} D.(-1,1]∪{-}2.若直線y=x+b與曲線x=恰有一個(gè)公共點(diǎn),【解析】選D.由x=知,曲線表示半圓,如圖所示,【解析】選D.由x=知,曲線表示半圓,如圖所示,當(dāng)-1<b≤1時(shí),直線y=x+b與半圓有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)直線與半圓相切時(shí),也與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)

=1(b<-1),解得b=-.當(dāng)-1<b≤1時(shí),直線y=x+b與半圓有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)直考點(diǎn)三直線與圓的綜合問題【明考點(diǎn)·知考法】

題型主要以選擇題、填空題為主,要求相對(duì)較低,但內(nèi)容很重要,有時(shí)也會(huì)在解答題中出現(xiàn).考查涉及直線與圓位置關(guān)系的最值、范圍、弦長問題,以及由直線與圓的位置關(guān)系確定直線、圓的方程問題.考點(diǎn)三直線與圓的綜合問題命題角度1利用直線與圓位置關(guān)系求最值、范圍、弦長問題命題角度1利用直線與圓位置關(guān)系求最值、范圍、弦長問題【典例】若直線y=x+b與曲線y=3-有公共點(diǎn),則b的取值范圍是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(

)A.[1-2,1+2] B.[1-,3]C.[-1,1+2] D.[1-2,3]【典例】若直線y=x+b與曲線y=3-有公共點(diǎn)【解析】選D.因?yàn)閥=3-,所以1≤y≤3,所以(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3),即曲線y=3-表示以(2,3)為圓心,2為半徑的下半圓.直線y=x+b與曲線y=3-有公共點(diǎn),表示兩曲線至少有一個(gè)公共點(diǎn).符合條件的直線應(yīng)是夾在過點(diǎn)(0,3)和與下半圓相切的兩直線之間.【解析】選D.因?yàn)閥=3-,所以1≤y≤3,2020屆高三文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件104直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系當(dāng)直線y=x+b過點(diǎn)(0,3)時(shí),b=3;當(dāng)直線y=x+b與y=3-相切時(shí),由點(diǎn)到直線的距離公式,得2=所以|b-1|=2.結(jié)合圖形知b=1-2.所以1-2≤b≤3.當(dāng)直線y=x+b過點(diǎn)(0,3)時(shí),b=3;【狀元筆記】求直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何法:用圓的幾何性質(zhì)求解,運(yùn)用弦心距、半徑及弦的一半表示的線段構(gòu)成的直角三角形,計(jì)算弦長|AB|=2【狀元筆記】(2)代數(shù)法:聯(lián)立直線與圓的方程得方程組,消去一個(gè)未知數(shù)得一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長公式求解,其公式為|AB|=提醒:由于幾何法抓住了圓的特性,故涉及圓的弦長問題時(shí),一般采用幾何法.(2)代數(shù)法:聯(lián)立直線與圓的方程得方程組,消去一個(gè)未命題角度2利用直線與圓位置關(guān)系確定直線、圓的方程【典例】(2019·太原模擬)過點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線x-y-1=0相切于B(2,1),則圓C的方程為________.

世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

命題角度2利用直線與圓位置關(guān)系確定直線、圓的方程【解析】設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由已知,點(diǎn)(a,b)既在直線y-1=-(x-2)上,又在AB的垂直平分線上,由得圓心C的坐標(biāo)為(3,0),r=|AC|=所以圓C的方程為(x-3)2+y2=2.答案:(x-3)2+y2=2【解析】設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由已【狀元筆記】直線與圓相切問題的常用方法(1)幾何法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,然后令d=r.【狀元筆記】(2)代數(shù)法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),與圓的方程組成方程組,消元后得到一個(gè)一元二次方程,然后令判別式Δ=0.提醒:若點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2=r2上,則過M點(diǎn)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)代數(shù)法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),與圓的方【對(duì)點(diǎn)練·找規(guī)律】1.已知圓C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直線l:x-y+3=0,當(dāng)直線l被圓C截得的弦長為2時(shí),則a= (

)A. B.2- C.-1 D.+1【對(duì)點(diǎn)練·找規(guī)律】【解析】選C.由已知,+()2=4,解得a=±-1,又因?yàn)閍>0,所以a=-1.【解析】選C.由已知,+()2=4,2.平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是________.

2.平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線【解析】因?yàn)樗笾本€與直線2x+y+1=0平行,所以設(shè)所求的直線方程為2x+y+m=0.因?yàn)樗笾本€與圓x2+y2=5相切,所以=,所以m=±5.即所求的直線方程為2x+y+5=0或2x+y-5=0.答案:2x+y+5=0或2x+y-5=0【解析】因?yàn)樗笾本€與直線2x+y+1=0平行,數(shù)學(xué)能力系列24——與圓有關(guān)最值問題中數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)【能力詮釋】

根據(jù)圓的方程、直線的方程,結(jié)合題目的特點(diǎn),設(shè)元,列式,建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)、基本不等式模型解決相關(guān)的最值問題.數(shù)學(xué)能力系列24——與圓有關(guān)最值問題中數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)【典例】已知AC,BD為圓O:x2+y2=4的兩條相互垂直的弦,垂足為M(1,),則四邊形ABCD的面積的最大值為

(

)A.5

B.10

C.15

D.20【典例】已知AC,BD為圓O:x2+y2=4的兩條相互垂直的2020屆高三文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件104直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【解析】選A.由已知,圓心為O(0,0),半徑為2.【解析】選A.由已知,圓心為O(0,0),半徑為2.設(shè)圓心O到AC,BD的距離分別為d1,d2,作OE⊥AC,OF⊥BD,垂足分別為E,F,則四邊形OEMF為矩形,連接OM,則

=OM2=3.又|AC|=2,|BD|=2設(shè)圓心O到AC,BD的距離分別為d1,d2,作OE⊥AC,O所以S四邊形ABCD=|AC|·|BD|=2·≤(4-)+(4-)=8-(+)=5,當(dāng)且僅當(dāng)d1=d2時(shí)取等號(hào),即四邊形ABCD的面積的最大值為5.所以S四邊形ABCD=|AC|·|BD|=2【技法點(diǎn)撥】

直線與圓綜合問題的求法(1)圓與直線l相切的情形圓心到l的距離等于半徑,圓心與切點(diǎn)的連線垂直于l.(2)圓與直線l相交的情形【技法點(diǎn)撥】①圓心到l的距離小于半徑,過圓心且垂直于l的直線平分l被圓截得的弦.②連接圓心與弦的中點(diǎn)的直線垂直于弦.③過圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中,最短的是垂直于過這點(diǎn)的直徑的那條弦,最長的是過這點(diǎn)的直徑.①圓心到l的距離小于半徑,過圓心且垂直于l的直線平分l被圓截【即時(shí)訓(xùn)練】(2018·銀川模擬)過圓x2+y2=1上一點(diǎn)作圓的切線,與x軸、y軸的正半軸相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最小值為

(

)

A. B.C.2 D.3【即時(shí)訓(xùn)練】【解析】選C.設(shè)圓上的點(diǎn)為(x0,y0),其中x0>0,y0>0,則有,且切線方程為x0x+y0y=1.分別令y=0,x=0得A,B,則|AB|=當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0時(shí),等號(hào)成立.【解析】選C.設(shè)圓上的點(diǎn)為(x0,y0),其中x0>0,y02020屆高三文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件104直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(全國卷5年5考)

第四節(jié)2020屆高三文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件104直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【知識(shí)梳理】1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圓:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d為圓心(a,b)到直線l的距離,聯(lián)立直線和圓的方程,消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.【知識(shí)梳理】方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交_________相切_________相離_________d<rΔ>0d=rΔ=0d>rΔ<0方法幾何法代數(shù)法相交_________相切______2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).2.圓與圓的位置關(guān)系

方法位置關(guān)系幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離____________外切_______一組實(shí)數(shù)解相交______________兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d=|r1-r2|(r1≠r2)___________內(nèi)含0≤d<_______(r1≠r2)_____d>r1+r2無解d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2一組實(shí)數(shù)解|r1-r2|無解

方法位置關(guān)系幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離____________外切_______一組實(shí)數(shù)解相交______________兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d=|r1-r2|(r1≠r2)___________內(nèi)含0≤d<_______(r1≠r2)_____方法幾何法:圓心距d代數(shù)法:兩圓方程外離______【常用結(jié)論】1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.【常用結(jié)論】(3)過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x+y0y=r2.(3)過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切2.直線與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)當(dāng)直線與圓相交時(shí),由弦心距(圓心到直線的距離),弦長的一半及半徑長所表示的線段構(gòu)成一個(gè)直角三角形.(2)弦長公式|AB|=|xA-xB|=2.直線與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論3.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù):①內(nèi)含:0條;②內(nèi)切:1條;③相交:2條;④外切:3條;⑤外離:4條.3.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(2)兩圓相交時(shí)公共弦的方程設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②若兩圓相交,則有一條公共弦,其公共弦所在直線方程由①-②所得,即:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.(2)兩圓相交時(shí)公共弦的方程(3)兩個(gè)圓系方程①過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);(3)兩個(gè)圓系方程②過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的圓系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圓C2,所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意,以防丟解).②過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2:x【基礎(chǔ)自測】題組一:走出誤區(qū)1.思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”).(1)如果直線與圓組成的方程組有解,則直線與圓相交或相切. (

)【基礎(chǔ)自測】(2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解,則兩圓外切. (

)(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交. (

)(4)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后所得的方程為公共弦所在直線方程. (

)(2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解,則兩圓外切(5)過圓O:x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,則O,P,A,B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x+y0y=r2. (

)(5)過圓O:x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩【解析】(1)√.直線與圓組成的方程組有一組解時(shí),直線與圓相切,有兩組解時(shí),直線與圓相交.(2)×.因?yàn)槌馇型?還可能內(nèi)切.(3)×.因?yàn)槌∮趦砂霃胶瓦€需大于兩半徑差的絕對(duì)值,否則可能內(nèi)切或內(nèi)含.(4)×.只有當(dāng)兩圓相交時(shí),方程才是公共弦所在的直線方程.【解析】(1)√.直線與圓組成的方程組有一組解時(shí),直線與圓相(5)√.由已知,O,P,A,B四點(diǎn)共圓,其方程為即x2+y2-x0x-y0y=0,①又圓O方程為x2+y2=r2,②(5)√.由已知,O,P,A,B四點(diǎn)共圓,②-①得x0x+y0y=r2,而兩圓相交于A,B兩點(diǎn),所以直線AB的方程是x0x+y0y=r2.②-①得x0x+y0y=r2,而兩圓相交于A,B兩點(diǎn),2.已知點(diǎn)P(2,2),點(diǎn)Q是曲線C:(x2+y2-1)(x2+y2-2)=0上一動(dòng)點(diǎn),則|PQ|的最小值是________.

2.已知點(diǎn)P(2,2),點(diǎn)Q是曲線C:(x2+y2-1)(x【解析】曲線C由兩部分組成,圓M:x2+y2=1與圓N:x2+y2=2,如圖,【解析】曲線C由兩部分組成,圓M:x2+y2=1與圓要使|PQ|最小,需點(diǎn)Q在圓N上且在直線OP上,此時(shí),|PQ|=|OP|-=,所以|PQ|的最小值是.答案:

要使|PQ|最小,需點(diǎn)Q在圓N上且在直線OP上,此題組二:走進(jìn)教材1.(必修2P127例1改編)直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為 (

)

A.相切 B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心 D.相離題組二:走進(jìn)教材【解析】選B.圓心為(0,0),到直線y=x+1即x-y+1=0的距離d==,而0<<1,但是圓心不在直線y=x+1上,所以直線與圓相交,但直線不過圓心.【解析】選B.圓心為(0,0),到直線y=x+1即x-y+12.(必修2P129例3改編)兩圓x2+y2-2y=0與x2+y2-4=0的位置關(guān)系是 (

)A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.內(nèi)含2.(必修2P129例3改編)兩圓x2+y2-2y=0與x2【解析】選B.兩圓方程可化為x2+(y-1)2=1,x2+y2=4.兩圓圓心分別為O1(0,1),O2(0,0),半徑分別為r1=1,r2=2.因?yàn)閨O1O2|=1=r2-r1,所以兩圓內(nèi)切.【解析】選B.兩圓方程可化為x2+(y-1)2=1,x2+y3.(必修2P133A組T9改編)圓x2+y2=4與圓x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在的直線方程為________.

3.(必修2P133A組T9改編)圓x2+y2=4與圓【解析】由得4x-4y+8=0,即x-y+2=0.答案:x-y+2=0【解析】由考點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系【題組練透】1.(2018·重慶模擬)圓O1:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2-4y=0的位置關(guān)系是 (

)A.相離B.相交C.外切D.內(nèi)切考點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系【解析】選B.圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑長r1=1,圓O2的圓心坐標(biāo)為(0,2),半徑長r2=2,所以兩圓的圓心距d=,而r2-r1=1,r1+r2=3,則有r2-r1<d<r1+r2,所以兩圓相交.【解析】選B.圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑長r1=1,2.已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0與圓C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圓C1與圓C2相外切,則實(shí)數(shù)m= (

)A.-5 B.-5或2 C.-6 D.82.已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0與圓C【解析】選B.對(duì)于圓C1與圓C2的方程,配方得圓C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圓C2:(x+1)2+(y-m)2=4,則圓C1的圓心C1(m,-2),半徑r1=3,圓C2的圓心C2(-1,m),半徑r2=2.因?yàn)閳AC1與圓C2相外切,所以|C1C2|=r1+r2,即

=5,m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.【解析】選B.對(duì)于圓C1與圓C2的方程,配方得圓C1:3.(2019·合肥模擬)已知圓C1:(x-a)2+(y+2)2=4與圓C2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,則ab的最大值為 (

)3.(2019·合肥模擬)已知圓C1:(x-a)2+(y+2【解析】選C.由已知得圓C1圓心C1(a,-2),圓C2圓心C2(-b,-2),由兩圓外切可知|a+b|=3,故a2+2ab+b2=9,所以4ab≤9,所以ab≤【解析】選C.由已知得圓C1圓心C1(a,-2),圓C2圓心4.(2018·南充模擬)若圓O1:x2+y2=5與圓O2:(x+m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是________.

4.(2018·南充模擬)若圓O1:x2+y2=5與圓O2:【解析】由已知,O1(0,0),O2(-m,0),由圓心距大于半徑之差而小于半徑之和,得<|m|<3,由已知O1A⊥AO2,所以m2=5+20=25,m=±5,所以·5=2·,解得|AB|=4.答案:4【解析】由已知,O1(0,0),O2(-m,0),由圓心距大【規(guī)律方法】幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系的步驟(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長.(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d,求r1+r2,|r1-r2|.(3)比較d,r1+r2,|r1-r2|的大小,寫出結(jié)論.

【規(guī)律方法】考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系【典例】(1)直線l:mx-y+1-m=0與圓C:x2+(y-1)2=5的位置關(guān)系是 (

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A.相交 B.相切C.相離 D.不確定考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系(2)(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2,則圓C的面積為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

(2)(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)直線y=x+2a與圓C:【解析】(1)選A.直線l:mx-y+1-m=0過定點(diǎn)(1,1),因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓x2+(y-1)2=5的內(nèi)部,所以直線l與圓相交.【解析】(1)選A.直線l:mx-y+1-m=0過定點(diǎn)(1,【一題多解微課】本例題(1)還可以采用以下方法求解:(幾何法)選A.由題意知,圓心(0,1)到直線l的距離d=故直線l與圓相交.【一題多解微課】(代數(shù)法)選A.由消去y,整理得:(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0.Δ=(-2m2)2-4(1+m2)(m2-5)=4(4m2+5)>0,故直線l與圓相交.(代數(shù)法)選A.由(2)由圓C:x2+y2-2ay-2=0可得x2+(y-a)2=a2+2,所以圓心C(0,a),由題意可知解得a2=2,所以圓C的面積為π(a2+2)=4π.答案:4π(2)由圓C:x2+y2-2ay-2=0可得x2+(y-a)【規(guī)律方法】

判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法(1)代數(shù)法:

【規(guī)律方法】(2)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系:d<r?相交,d=r?相切,d>r?相離.(2)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系:d【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2018·深圳模擬)已知點(diǎn)M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是 (

)A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】【解析】選B.因?yàn)镸(a,b)在圓O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,又圓心O到直線ax+by=1的距離d=所以直線與圓相交.【解析】選B.因?yàn)镸(a,b)在圓O:x2+y2=1外,所以2.若直線y=x+b與曲線x=恰有一個(gè)公共點(diǎn),則b的取值范圍是 (

)A.(-1,1] B.{-}C.{-,2} D.(-1,1]∪{-}2.若直線y=x+b與曲線x=恰有一個(gè)公共點(diǎn),【解析】選D.由x=知,曲線表示半圓,如圖所示,【解析】選D.由x=知,曲線表示半圓,如圖所示,當(dāng)-1<b≤1時(shí),直線y=x+b與半圓有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)直線與半圓相切時(shí),也與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)

=1(b<-1),解得b=-.當(dāng)-1<b≤1時(shí),直線y=x+b與半圓有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)直考點(diǎn)三直線與圓的綜合問題【明考點(diǎn)·知考法】

題型主要以選擇題、填空題為主,要求相對(duì)較低,但內(nèi)容很重要,有時(shí)也會(huì)在解答題中出現(xiàn).考查涉及直線與圓位置關(guān)系的最值、范圍、弦長問題,以及由直線與圓的位置關(guān)系確定直線、圓的方程問題.考點(diǎn)三直線與圓的綜合問題命題角度1利用直線與圓位置關(guān)系求最值、范圍、弦長問題命題角度1利用直線與圓位置關(guān)系求最值、范圍、弦長問題【典例】若直線y=x+b與曲線y=3-有公共點(diǎn),則b的取值范圍是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(

)A.[1-2,1+2] B.[1-,3]C.[-1,1+2] D.[1-2,3]【典例】若直線y=x+b與曲線y=3-有公共點(diǎn)【解析】選D.因?yàn)閥=3-,所以1≤y≤3,所以(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3),即曲線y=3-表示以(2,3)為圓心,2為半徑的下半圓.直線y=x+b與曲線y=3-有公共點(diǎn),表示兩曲線至少有一個(gè)公共點(diǎn).符合條件的直線應(yīng)是夾在過點(diǎn)(0,3)和與下半圓相切的兩直線之間.【解析】選D.因?yàn)閥=3-,所以1≤y≤3,2020屆高三文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件104直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系當(dāng)直線y=x+b過點(diǎn)(0,3)時(shí),b=3;當(dāng)直線y=x+b與y=3-相切時(shí),由點(diǎn)到直線的距離公式,得2=所以|b-1|=2.結(jié)合圖形知b=1-2.所以1-2≤b≤3.當(dāng)直線y=x+b過點(diǎn)(0,3)時(shí),b=3;【狀元筆記】求直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何法:用圓的幾何性質(zhì)求解,運(yùn)用弦心距、半徑及弦的一半表示的線段構(gòu)成的直角三角形,計(jì)算弦長|AB|=2【狀元筆記】(2)代數(shù)法:聯(lián)立直線與圓的方程得方程組,消去一個(gè)未知數(shù)得一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長公式求解,其公式為|AB|=提醒:由于幾何法抓住了圓的特性,故涉及圓的弦長問題時(shí),一般采用幾何法.(2)代數(shù)法:聯(lián)立直線與圓的方程得方程組,消去一個(gè)未命題角度2利用直線與圓位置關(guān)系確定直線、圓的方程【典例】(2019·太原模擬)過點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線x-y-1=0相切于B(2,1),則圓C的方程為________.

世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

命題角度2利用直線與圓位置關(guān)系確定直線、圓的方程【解析】設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由已知,點(diǎn)(a,b)既在直線y-1=-(x-2)上,又在AB的垂直平分線上,由得圓心C的坐標(biāo)為(3,0),r=|AC|=所以圓C的方程為(x-3)2+y2=2.答案:(x-3)2+y2=2【解析】設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由已【狀元筆記】直線與圓相切問題的常用方法(1)幾何法:設(shè)切線方程