高中數(shù)學必修四任意角與弧度制知識點匯總

隨意角與弧度制知識梳理:一、隨意角和弧度制1、角的觀點的推行定義：一條射線OA由本來的地點，繞著它的端點O按必定的方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角，記作：角或能夠簡記成。注意：1）“旋轉(zhuǎn)”形成角，突出“旋轉(zhuǎn)”2）“極點”“始邊”“終邊”“始邊”常常合于x軸正半軸3）“正角”與“負角”——這是由旋轉(zhuǎn)的方向所決定的。例1、若90135，求和的范圍。（0,45）（180,270）2、角的分類：因為用“旋轉(zhuǎn)”定義角以后，角的范圍大大地擴大了。能夠?qū)⒔欠譃檎恰⒘憬呛拓摻?。正角：依?jù)逆時針方向轉(zhuǎn)定的角。零角：沒有發(fā)生任何旋轉(zhuǎn)的角。負角：依據(jù)順時針方向旋轉(zhuǎn)的角。例2、（1）時針走過2小時40分，則分針轉(zhuǎn)過的角度是-960（2）將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是3．3、“象限角”為了研究方便，我們常常在平面直角坐標系中來議論角，角的極點合于坐標原點，角的始邊合于x軸的正半軸。角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角角的終邊落在座標軸上，則此角不屬于任何一個象限，稱為軸線角。例1、30?；390?；?330?是第象限角300?；?60?是第象限角585?；1180?是第象限角?2000?是第象限角。例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，則A∩B=④（填序號）.①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③{第一象限的角}④以上都不對2）已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C關系是（B）A．B=A∩CB．B∪C=CC．ACD．A=B=C例3、寫出各個象限角的會合：例4、假如第二象限的角，試分別確立2,的終邊所在地點.2解∵是第二象限的角，∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z），∴2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上.（2）∵k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），2當k=2n（n∈Z）時，n·360°+45°＜＜n·360°+90°；2當k=2n+1（n∈Z）時，n·360°+225°＜＜n·360°+270°.2∴是第一或第三象限的角.2拓展：已知是第三象限角，問是哪個象限的角3∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈Z），60°+k·120°＜＜90°+k·120°.3①當k=3m(m∈Z)時，可得60°+m·360°＜＜90°+m·360°（m∈Z）.3故的終邊在第一象限.3②當k=3m+1(m∈Z)時，可得180°+m·360°＜＜210°+m·360°（m∈Z).3故的終邊在第三象限.3③當k=3m+2（m∈Z）時，可得300°+m·360°＜＜330°+m·360°（m∈Z）.3故的終邊在第四象限.3綜上可知，是第一、第三或第四象限的角.34、常用的角的會合表示方法1、終邊相同的角：1）終邊相同的角都能夠表示成一個0?到360?的角與k(kZ)個周角的和。2）全部與?終邊相同的角連同?在內(nèi)能夠組成一個會合S

|

k360,k

Z即：任何一個與角

?終邊相同的角，都能夠表示成角

?與整數(shù)個周角的和注意：1、k

Z2、是隨意角3、終邊相同的角不必定相等，但相等的角的終邊必定相同。終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍。4、一般的，終邊相同的角的表達形式不獨一。例1、（1）若角的終邊與8角的終邊相同，則在0,2上終邊與的角終邊相5

4同的角為

。若θ角的終邊與8π/5的終邊相同則有：θ=2kπ+8π/5(k為整數(shù))因此有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5當：0≤kπ/2+2π/5≤2π有：k=0時，有2π/5與θ/4角的終邊相同的角k=1時，有9π/10與θ/4角的終邊相同的角（2）若和是終邊相同的角。那么在X軸正半軸上例2、求全部與所給角終邊相同的角的會合，并求出此中的最小正角，最大負角：（1）210；（）148437．2例3、求，使與900角的終邊相同，且180，1260．2、終邊在座標軸上的點：終邊在x軸上的角的會合：|k180,kZ終邊在y軸上的角的會合：|k18090,kZ終邊在座標軸上的角的會合：|k90,kZ3、終邊共線且反向的角：終邊在y=x軸上的角的會合：|k18045,kZ終邊在yx軸上的角的會合：|k18045,kZ4、終邊相互對稱的角：若角與角的終邊對于x軸對稱，則角與角的關系：若角與角的終邊對于y軸對稱，則角與角的關系：若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關系：

360k360k180180k角與角的終邊相互垂直，則角與角的關系：360k90例1、若k360，m360(k,mZ)則角與角的中變得地點關系是（）。A.重合B.對于原點對稱C.對于x軸對稱D.有對于y軸對稱例2、將以下各角化成0到2的角加上2k(kZ)的形式（1）19（2）3153例3、設會合Ax|k36060xk360300,kZ,Bx|k360210xk360,kZ,求AB,AB.二、弧度與弧度制1、弧度與弧度制：弧度制—另一種胸懷角的單位制，它的單位是rad讀作弧度定義：長度等于的弧所對的圓心角稱為1弧度的角。BCl=2rr2rad1radArAoo如圖：?AOB=1rad，?AOC=2rad，周角=2?rad注意：1、正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)是02、角?的弧度數(shù)的絕對值l（l為弧長，r為半徑）r3、用角度制和弧度制來胸懷零角，單位不一樣，但數(shù)目相同（都是0）用角度制和弧度制來胸懷任一非零角，單位不一樣，量數(shù)也不一樣。4、在同一個式子中角度、弧度不能夠混用。2、角度制與弧度制的換算弧度定義：對應弧長等于半徑所對應的圓心角大小叫一弧度角度與弧度的交換關系：∵360?=rad180?=rad1?=rad0.01745rad1801rad18057.305718'注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.例1、把6730'化成弧度解：6730'671∴6730'rad6713rad218028例2、把3rad化成度5解：3rad318010855例2、將以下各角從弧度化成角度（1）rad（2）rad?（3）3rad365例3、1?終邊在x軸上的角的會合2?終邊在y軸上的角的會合3?用弧度制表示：終邊在座標軸上的角的會合解：1?終邊在x軸上的角的會合S1|k,kZ2?終邊在y軸上的角的會合S2|k,kZ23?終邊在座標軸上的角的會合S3|k,kZ2三、弧長公式和扇形面積公式lr；S1lR1r222例1、已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的中心角的弧度數(shù)是1或4.例2、若兩個角的差為1弧度，它們的和為1，求這連個角的大小分別為。例3、直徑為20cm的圓中，求以下各圓心所對的弧長⑴4⑵1654403解：r10cm⑴：()lr103cm3⑵：165165(rad11rad∴1155( )18012126例4、（1）一個半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度是多少度扇形的面積是多少（2）一扇形的周長為

20cm，當扇形的圓心角

等于多少弧度時，這個扇形的面積最大解（1）設扇形的圓心角是因此扇形的周長是2r+r.依題意，得2r+r=r,

rad，因為扇形的弧長是

r

,∴

=

-2=(

-2)

×

180≈×°≈°≈

65°26′,∴扇形的面積為

S=1r2

=1（

-2）r2.22）設扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=20,即l=20-2r(0＜r＜10)①1扇形的面積S=lr，將①代入，得S=1(20-2r)r=-r

2+10r=-(r-5)

2+25,2因此當且僅當

r=5

時，S有最大值

25.此時l=20-2

×5=10,

=lr

=2.因此當

=2rad

時，扇形的面積取最大值

.例5、（1）已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；（2）已知扇形的周長為40，當它的半徑和中心角取何值時，才能使扇形的面積最大最大面積是多少解設扇形半徑為R，中心角為，所對的弧長為l.1R24,（1）依題意，得2R2R10,∴22-17+8=0,∴=8或1.28＞2π,舍去,∴=1.2(2)扇形的周長為40,∴R+2R=40，S=1lR=1R=1R·2R≤1R2R2222442當且僅當R=2R,即R=10,=2時面積獲得最大值，最大值為100.（七）隨意角的三角函數(shù)（定義）1．設?是一個隨意角，在?的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y），則P與原點的距離2y2y20rxx22．比值y叫做?的正弦記作：siny；比值x叫做?的余弦記作：cosxrrrr比值y叫做?的正切記作：tany；比值x叫做?的余切記作：xxyxcoty比值r叫做?的正割記作：secr；比值r叫做?的余割記作：xxyrcscy注意突出幾個問題：①角是“隨意角”，當?=2k?+?(k?Z)時，?與?的同名三角函數(shù)值應當是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。②實質(zhì)上，假如終邊在座標軸上，上述定義相同合用。③三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)r0，而x,y的正負是隨象限的變化而不一樣，故三角函數(shù)的符號應由象限確立三角函數(shù)在各象限的符號：⑤定義域：ysinycotycosysecytanycsc4.是第二象限角，P（x，5）為其終邊上一點，且cos=2x,則sin=10.44.已知角的終邊落在直線sincos2.y=-3x(x＜0)上，則cossin例8、已知?的終邊經(jīng)過點P(2,?3)，求?的六個三角函數(shù)值y解：x2,y3,r22(3)213ox∴sin?=?31313tan?=?3P(2,-3)2

213cos?=132cot?=?313sec?=2例9、求以下各角的六個三角函數(shù)值0⑵?⑶3⑷

csc?=?

13322解：⑴⑵⑶的解答見P16-17⑷當?=時x0,yr2∴sin=1cos=0