橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)資料僅供參考文件編號：2022年4月橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)1．橢圓的兩種定義：(1)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于定長的點(diǎn)的軌跡，即點(diǎn)集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（時(shí)為線段，無軌跡）.其中兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫焦點(diǎn)，定點(diǎn)間的距離叫焦距.(2)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)和一定直線的距離的比是小于1的正常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，即點(diǎn)集M={P|，0＜e＜1的常數(shù).2．標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)：（a＞b＞0）；焦點(diǎn)F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）.其中（2）焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)：（a＞b＞0）；焦點(diǎn)F1（0，－c），F(xiàn)2（0，c）.其中3.橢圓一般方程兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用統(tǒng)一形式表示：Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B當(dāng)A＜B時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，A＞B時(shí)焦點(diǎn)在y軸上），已知橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)這種形式用起來更方便.4．共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，此類問題常用待定系數(shù)法求解。5.共離心率橢圓方程的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程共離心率，則e相同。與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，6：橢圓與的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)，，軸長長軸長=，短軸長=離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，，7．性質(zhì)：對于橢圓（a＞b＞0）如下性質(zhì)必須熟練掌握：1.范圍；②對稱軸、對稱中心；③頂點(diǎn)；④焦點(diǎn)、焦距；⑤準(zhǔn)線方程；⑥離心率.焦半徑.2.焦準(zhǔn)距；兩準(zhǔn)線間的距離；通徑長.半通徑.3.最大角4.8.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系:當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓外;當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓內(nèi);當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓上;9.直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓相交;直線與橢圓相切;直線與橢圓相離10.弦長公式11．對橢圓方程作三角換元可得橢圓的參數(shù)方程：，為參數(shù)．12．有關(guān)圓錐曲線弦的中點(diǎn)和斜率問題可利用“點(diǎn)差法”及結(jié)論：13對橢圓：，則kAB=．第三章：直線與方程的知識點(diǎn)傾斜角與斜率1.當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們把x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0°.則直線l的傾斜角的范圍是.2.傾斜角不是90°的直線的斜率，等于直線的傾斜角的正切值，即.如果知道直線上兩點(diǎn)，則有斜率公式.特別地是，當(dāng)，時(shí)，直線與x軸垂直，斜率k不存在；當(dāng)，時(shí)，直線與y軸垂直，斜率k=0.注意：直線的傾斜角α=90°時(shí)，斜率不存在，即直線與y軸平行或者重合.當(dāng)α=90°時(shí)，斜率k=0；當(dāng)時(shí)，斜率，隨著α的增大，斜率k也增大；當(dāng)時(shí)，斜率，隨著α的增大，斜率k也增大.這樣，可以求解傾斜角α的范圍與斜率k取值范圍的一些對應(yīng)問題.兩條直線平行與垂直的判定1.對于兩條不重合的直線、，其斜率分別為、，有：（1）；（2）.2.特例：兩條直線中一條斜率不存在時(shí)，另一條斜率也不存在時(shí)，則它們平行，都垂直于x軸；….直線的點(diǎn)斜式方程1.點(diǎn)斜式：直線過點(diǎn),且斜率為k，其方程為.2.斜截式：直線的斜率為k，在y軸上截距為b，其方程為.3.點(diǎn)斜式和斜截式不能表示垂直x軸直線.若直線過點(diǎn)且與x軸垂直,此時(shí)它的傾斜角為90°，斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示，這時(shí)的直線方程為，或.4.注意：與是不同的方程，前者表示的直線上缺少一點(diǎn)，后者才是整條直線.直線的兩點(diǎn)式方程1.兩點(diǎn)式：直線經(jīng)過兩點(diǎn)，其方程為，2.截距式：直線在x、y軸上的截距分別為a、b，其方程為.3.兩點(diǎn)式不能表示垂直x、y軸直線；截距式不能表示垂直x、y軸及過原點(diǎn)的直線.4.線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式.直線的一般式方程1.一般式：，注意A、B不同時(shí)為0.直線一般式方程化為斜截式方程，表示斜率為，y軸上截距為的直線.2.與直線平行的直線，可設(shè)所求方程為；與直線垂直的直線，可設(shè)所求方程為.3.已知直線的方程分別是：（不同時(shí)為0），（不同時(shí)為0），則兩條直線的位置關(guān)系可以如下判別：（1）；（2）；（3）與重合；（4）與相交.如果時(shí)，則；與重合；與相交.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1.一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得到二元一次方程組.若方程組有惟一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無數(shù)解，則兩條直線有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線重合.2.方程為直線系，所有的直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，其定點(diǎn)就是與的交點(diǎn).兩點(diǎn)間的距離1.平面內(nèi)兩點(diǎn)，，則兩點(diǎn)間的距離為：.特別地，當(dāng)所在直線與x軸平