小升初奧數(shù)講義打印版答案

工程問題1、甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.丙水管單獨開，排一池水耍10小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小時后，再打開排水管丙，問水池注滿還是要多少小時？【解析：】1/20+優(yōu)6=9/80表示甲乙的工作效率9/80x5=45/80表示5小時后進水量1-45/80=35/80表示還要的進水量35/80+(9/80-1/10)=35表示還要35小時注滿答：5小時后還要35小時就能將水池注滿。2、修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成.如果兩隊合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分之四，乙隊工作效率只有原來的十分之九?，F(xiàn)在計劃16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數(shù)盡可能少,那么兩隊要合作幾天？【解析：】由題意得，甲的工效為1/20,乙的工效為1/30,甲乙的合作工效為1720*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合作工效〉甲的工效〉乙的工效。又因為，要求“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”，所以應(yīng)該讓做的快的甲多做，16天內(nèi)實在來不及的才應(yīng)該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”。設(shè)合作時間為x天，則甲獨做時間為(16-x)天1/20*(16-x)+7/100*x=1x=10答：甲乙最短合作10天3、一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成?，F(xiàn)在先請甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少小時？【解析：】由題意知，1/4表示甲乙合作1小時的工作量，1/5表示乙丙合作1小時的工作量(1/4+1/5)x2=9/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作量。根據(jù)“甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成”可知甲做2小時、乙做6小時、丙做2小時一共的工作量為1。所以1-9/10=1/10表示乙做61=2小時的工作量。1/10-2=1/20表示乙的工作效率。1-1/20=20小時表示乙單獨完成需要20小時。答：乙單獨完成需要20小時。4、一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需17天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成？【解析：】由題意可知1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲=11/乙+1/甲+1/乙+1/甲+ +1/乙+1/甲x0.5=1(1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結(jié)束必須如上所示，否則第二種做法就不比第一種多0.5天)1/甲=1/乙+1/甲x0.5(因為前面的工作量都相等)得到1/甲=1/乙x2又因為1/乙=1/17所以1/甲=2/17,甲等于17+2=8.5天5、師徒倆人加工同樣多的零件。當師傅完成了1/2時，徒弟完成了120個。當師傅完成了任務(wù)時，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個？【解析：】答案為300個120-(4/5+2)=300個可以這樣想：師傅第一次完成了1/2,第二次也是1/2,兩次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5,可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5,剛好是120個。6、一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？【解析：】答案是15棵算式:1+(1/6-1/10)=15棵7.一個池上裝有3根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完。現(xiàn)在先打開甲管，當水池水剛溢出時，打開乙，丙兩管用了18分鐘放完，當打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？【解析：】答案45分鐘。1+(1/20+1/30)=12表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數(shù)。1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進的水。1/2+18=1/36表示甲每分鐘進水最后就是1+(1/20-1/36)=45分鐘。8、某工程隊需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，問規(guī)定日期為幾天？【解析：】答案為6天解：由“若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工作量=甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3時間比的差是1份實際時間的差是3天所以3+(3-2)x2=6天，就是甲的時間，也就是規(guī)定日期方程方法：[1/x+1/(x+2)]x2+1Z(x+2)x(x-2)=1解得x=69、兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭耍2小時，而點完一根細蠟燭要1小時，一天晚上停電，小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點了，小芳將兩支蠟燭同時熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長是細蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？【解析：】答案為40分鐘。解：設(shè)停電了x分鐘根據(jù)題意列方程1-1/120*x=(1-1/60*x)*2解得x=40雞兔同籠問題沒有答案數(shù)字數(shù)位問題1、把1至2005這2005個自然數(shù)依次寫下來得到一個多位數(shù)123456789..…2005,這個多位數(shù)除以9余數(shù)是多少？【解析：】首先研究能被9整除的數(shù)的特點：如果各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個數(shù)也能被9整除：如果各個位數(shù)字之和不能被9整除，那么得的余數(shù)就是這個數(shù)除以9得的余數(shù)。解題：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除依次類推：1~1999這些數(shù)的個位上的數(shù)字之和可以被9整除10-19,20~29……90~99這些數(shù)中十位上的數(shù)字都出現(xiàn)了10次，那么十位上的數(shù)字之和就是10+20+30+……+90=450它有能被9整除同樣的道理，100~900百位上的數(shù)字之和為4500同樣被9整除也就是說1~999這些連續(xù)的自然數(shù)的各個位上的數(shù)字之和可以被9整除；同樣的道理：10007999這些連續(xù)的自然數(shù)中百位、十位、個位上的數(shù)字之和可以被9整除(這里千位上的“1”還沒考慮，同時這里我們少200020012002200320042005從10007999千位上一共999個“1”的和是999,也能整除；200020012002200320042005的各位數(shù)字之和是27,也剛好整除。最后答案為余數(shù)為0o2、A和B是小于100的兩個非零的不同自然數(shù)。求A+B分之A-B的最小值…【解析：】(A-B)/(A+B)=(A+B-2B)/(A+B)=1-2*B/(A+B)前面的1不會變了，只需求后面的最小值，此時(A-B)/(A+B)最大。對于B/(A+B)取最小時，(A+B)/B取最大,問題轉(zhuǎn)化為求(A+B)/B的最大值。(A+B)/B=1+A/B,最大的可能性是A/B=99/1(A+B)/B=100(A-B)/(A+B)的最大值是：98/1003、已知A.B.C都是非0自然數(shù),A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,那么它的準確值是多少？【解析：】答案為6.375或6.4375因為A/2+B/4+C/16=8A+4B+C/16?6.4,所以8A+4B+O102.4,由于A、B、C為非0自然數(shù)，因此8A+4B+C為一個整數(shù)，可能是102,也有可能是103。當是102時，102/16=6.375當是103時，103/16=6.43754、一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17.其中十位數(shù)字比個位數(shù)字大1.如果把這個三位數(shù)的百位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，得到一個新的三位數(shù),則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198,求原數(shù).【解析：】答案為476解：設(shè)原數(shù)個位為a,則十位為a+1,百位為16-2a根據(jù)題意列方程100a+10a+16-2a—100(16-2a)-10a-a=198解得a=6,貝i]a+1=716-2a=4答：原數(shù)為476。5,一個兩位數(shù)，在它的前面寫上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來的兩位數(shù).【解析：】答案為24解：設(shè)該兩位數(shù)為a,則該三位數(shù)為300+a7a+24=300+aa=24答：該兩位數(shù)為24。6、把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù),它與原數(shù)相加，和恰好是某自然數(shù)的平方，這個和是多少？【解析：】答案為121解：設(shè)原兩位數(shù)為10a+b,則新兩位數(shù)為10b+a它們的和就是10a+b+10b+a=11(a+b)因為這個和是,個平方數(shù)，可以確定a+b=11因此這個和就是11x11=121答:它們的和為121。7、一個六位數(shù)的末位數(shù)字是2,如果把2移到首位，原數(shù)就是新數(shù)的3倍，求原數(shù).【解析：】答案為85714解：設(shè)原六位數(shù)為abcde2,則新六位數(shù)為2abcde(字母上無法加橫線，請將整個看成一個六位數(shù))再設(shè)abcde(五位數(shù))為x,則原六位數(shù)就是10x+2,新六位數(shù)就是200000+x根據(jù)題意得，(200000+x)*3=10x+2解得x=85714所以原數(shù)就是857142答：原數(shù)為8571428,有一個四位數(shù)，個位數(shù)字與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,如果個位數(shù)字與百位數(shù)字互換，千位數(shù)字與十位數(shù)字互換，新數(shù)就比原數(shù)增加2376,求原數(shù).【解析：】答案為3963解：設(shè)原四位數(shù)為abed,則新數(shù)為edab,且d+b=12,a+c=9根據(jù)“新數(shù)就比原數(shù)增加2376”可知abcd+2376=cdab,歹U豎式便于觀察abed2376edab根據(jù)d+b=12,可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。再觀察豎式中的個位，便可以知道只有當d=3,b=9：或d=8,b=4時成立。先取d=3,b=9代入豎式的百位，可以確定十位上有進位。根據(jù)a+c=9,可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。再觀察豎式中的十位，便可知只有當c=6,a=3時成立。再代入豎式的千位，成立。得到:abed=3963再取d=8,b=4代入豎式的十位，無法找到豎式的十位合適的數(shù)，所以不成立。9、有一個兩位數(shù)，如果用它去除以個位數(shù)字，商為9余數(shù)為6,如果用這個兩位數(shù)除以個位數(shù)字與十位數(shù)字之和,則商為5余數(shù)為3,求這個兩位數(shù).【解析：】解：設(shè)這個兩位數(shù)為ab10a+b=9b+610a+b=5（a+b）+3化簡得到一樣：5a+4b=3由于a、b均為一位整數(shù)得到a=3或7,b=3或8原數(shù)為33或78均可以10、如果現(xiàn)在是上午的10點21分，那么在經(jīng)過28799...99（一共有20個9）分鐘之后的時間將是幾點幾分？【解析：】答案是10：20解：（28799……9（20個9）+1）/60/24整除，表示正好過了整數(shù)天，時間仍然還是10：21,因為事先計算時加了1分鐘，所以現(xiàn)在時間是10：20排列組合問題1、有五對夫婦圍成一圈，使每一對夫婦的夫妻二人動相鄰的排法有（）A768種B32種C24種D2的10次方中【解析：】根據(jù)乘法原理，分兩步：第一步是把5對夫妻看作5個整體,進行排列有5X4X3X2X1=120種不同的排法，但是因為是圍成一個首尾相接的圈，就會產(chǎn)生5個5個重復，因此實際排法只有1204-5=24種。第二步每一對夫妻之間又可以相互換位置，也就是說每一對夫妻均有2種排法，總共又2X2X2X2X2=32種綜合兩步，就有24x32=768種。2、若把英語單詞hell。的字母寫錯了，則可能出現(xiàn)的錯誤共有（）A119種B36種C59種D48種【解析：】5全排列5*4*3*2*1=120有兩個I所以120/2=60原來有一種正確的所以60-1=593、小新、阿呆等七個同學照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個人排成一排；（2）七個人排成一排，小新必須站在中間.（3）七個人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（4）七個人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（5）七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.（6）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.（7）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排?！窘馕觯骸浚?）q=5040（種）。（2）只需排其余6個人站剩F的6個位置.母=720（種）.（3）先確定中間的位置站誰，冉排剩下的6個位置.2X收=i440（種）.（4）先排兩邊，再排剩下的5個位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置.2x/?5=240（種）.（5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個人中選2人，再排剩F的5個人，P^xP^=2400（種）.（6）七個人排成一排時，7個位置就是各不相同的.現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個人，7個位置還是各不相同的，所以本題實質(zhì)就是7個元素的全排列.哥=5040（種）.（7）可以分為兩類情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，兩種情況是對等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可.4X3義匕x2=2880（種）.排隊問題，一般先考慮特殊情況再去全排列。4、用1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復數(shù)字的個位是5的三位數(shù)？【解析：】個位數(shù)字已知，問題變成從從5個元素中取2個元素的排列問題，已知”=5,m=2,根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成抬=5x4=20（個）符合題意的三位數(shù)。5、用1、2、3、4、5這五個數(shù)字可組成多少個比20000大且百位數(shù)字不是3的無重復數(shù)字的五位數(shù)？【解析】可以分兩類來看：⑴把3排在最高位上，其余4個數(shù)可以任意放到其余4個數(shù)位上，是4個元素全排列的問題，有8=4x3x2x1=24（種）放法，對應(yīng)24個不同的五位數(shù)；⑵把2,4,5放在最高位上，有3種選擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和3之外的3個數(shù)字可以選擇，有3種選擇，其余的3個數(shù)字可以任意放到其余3個數(shù)位上，有片=6種選擇.由乘法原理，可以組成3x3x6=54（個）不同的五位數(shù)。由加法原理，可以組成24+54=78（個）不同的五位數(shù)。6、用0到9十個數(shù)字組成沒有看復數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個數(shù)？【解析】從高位到低位逐層分類：（1）千位上排1,2,3或4時，千位有4種選擇，而百、十、個位可以從0?9中除千位已確定的數(shù)字之外的9個數(shù)字中選擇，因為數(shù)字不重復，也就是從9個元素中取3個的排列問題，所以百、十、個位可有代=9x8x7=504（種）排列方式.由乘法原理，有4x504=2016（個）.⑵千位上排5,百位上排0~4時，千位有1種選擇，百位有5種選擇，十、個位可以從剩下的八個數(shù)字中選擇.也就是從8個元素中取2個的排列問題，即《2=8x7=56,由乘法原理，有1x5x56=280（個）.⑶千位上排5,百位上排6,十位上排0,1,2,3,4,7時，個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇，有1x1x6x7=42（個）.（4）千位上排5,百位上排6,十位上排8時，比5687小的數(shù)的個位可以選擇0,1,2,3,4共5個.綜上所述，比5687小的四位數(shù)有2016+280+42+5=2343（個），故比5687小是第2344個四位數(shù).7、用1、2、3、4,5這五個數(shù)字，不許重復，位數(shù)不限，能寫出多少個3的倍數(shù)？【解析：】按位數(shù)來分類考慮：（1）一位數(shù)只有1個3；⑵兩位數(shù)：由1與2,1與5,2與4,4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成8=2x1=2（個）不同的兩位數(shù)，共可組成2x4=8（個）不同的兩位數(shù)；⑶三位數(shù)：由1,2與3；1,3與5：2,3與4；3,4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成片=3x2x1=6（個）不同的三位數(shù)，共可組成6x4=24（個）不同的三位數(shù)：（4）四位數(shù)：可由1,2,4,5這四個數(shù)字組成，有療=4x3x2x1=24（個）不同的四位數(shù)；（5）五位數(shù)：可由1,2,3,4,5組成，共有耳=5x4x3x2x1=120（個）不同的五位數(shù).由加法原理，-共有1+8+24+24+120=177（個）能被3整除的數(shù)，即3的倍數(shù).8、用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的偶數(shù)？【解析：】由于組成偶數(shù)，個位上的數(shù)應(yīng)從2,4,6中選一張，有一3種選法：十位和百位上的數(shù)可以從剩下的5張中選二張，有用=5x4=20（種）選法.由乘法原理，一共可以組成3x20=60（個）不同的偶數(shù).9、某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非。數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是9,那么確保打開保險柜至少要試幾次？【解析：】四個非0數(shù)碼之和等于9的組合有1,1,1,6；1,1,2,5；1,1,3,4；1,2,2,4；1,2,3,3；2,2,2,3六種。第一種中，可以組成多少個密碼呢？只要考慮6的位置就可以了，6可以任意選擇4個位置中的一個，其余位置放1,共有4種選擇；第二種中，先考慮放2,有4種選擇，再考慮5的位置，可以有3種選擇，剩下的位置放1,共有4x3=12（種）選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有12種選擇.最后一種，與第一種的情形相似，3的位置有4種選擇，其余位置放2,共有4種選擇.綜上所述，由加法原理，一共可以組成4+12+12+12+12+4=56（個）不同的四位數(shù)，即確保能打開保險柜至少要試56次.10、兩對三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個人都不與自己的同胞兄妹相鄰，（同一位置上坐不同的人算不同的坐法），那么共有多少種不同的坐法？第一個位置在6個人中任選一個，有煤=6（種）選法，第二個位置在另一胞胎的3人中任選一個，有C；=3（種）選法.同理，第3,4,5,6個位置依次有2,2,1,1種選法.由乘法原理，不同的坐法有穴xgxgxgxp =6x3x2x2x1x1=72（種）。11、已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍對乙說:“你當然不會是最差的.”從這個回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？【解析】這道題乍一看不太像是排列問題，這就需要靈活地對問題進行轉(zhuǎn)化.仔細審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的”，也就等價于5人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因為乙的限制最多，所以先排乙，有3種排法，再排甲，也有3種排法，剩下的人隨意排，有片=3x2xl=6（種）排法.由乘法原理，一共有3x3x6=54（種）不同的排法。12、4名男生，5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法：⑴甲不在中間也不在兩端；⑵甲、乙兩人必須排在兩端；⑶男、女生分別排在一起；（4）男女相間.【解析】⑴先排甲，9個位置除了中間和兩端之外的6個位置都可以，有6種選擇，剩下的8個人隨意排，也就是8個元素全排列的問題，有與=8x7x6x5x4x3x2x1=40320（種）選擇.由乘法原理，共有6x40320=241920（種）排法.（2）甲、乙先排，有g(shù)=2x1=2（種）排法：剩下的7個人隨意排，有%=7x6x5x4x3x2x1=5040（種）排法.由乘法原理，共有2x5040=10080（種）排法.⑶分別把男生、女生看成一個整體進行排列，有用=2x1=2（種）不同排列方法，再分別對男生、女生內(nèi)部進行排列，分別是4個元素與5個元素的全排列問題，分別有P*=4x3x2x1=24（種）和.=5x4x3x2x1=120（種）排法.由乘法原理，共有2x24x120=5760（種）排法.（4）先排4名男生，有片=4x3x2x1=24（種）排法，再把5名女生排到5個空檔中，有片=5x4x3x2x1=120（種）排法.由乘法原理，一共有24x120=2880（種）排法。13、⑴從1,2,…，8中任取3個數(shù)組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個？（只要求列式）⑵從8位候選人中任選三位分別任團支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？（3）3位同學坐8個座位，每個座位坐1人，共有幾種坐法？⑷8個人坐3個座位，每個座位坐1人，共有多少種坐法？⑸一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法？⑹8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？【解析】⑴按順序，有百位、十位、個位三個位置，8個數(shù)字（8個元素）取出3個往上排，有片種.（2）3種職務(wù)3個位置，從8位候選人（8個元素）任取3位往上排，有片種.（3）3位同學看成是三個位置，任取8個座位號（8個元素）中的3個往上排（座號找人），每確定--種號碼即對應(yīng)一種坐法，有片種.（4）3個坐位排號1,2,3三個位置，從8人中任取3個往上排（人找座位），有P；種.（5）3列火車編為1,2,3號，從8股車道中任取3股往上排，共有片種.⑹土地編1,2,3號，從8種菜籽中任選3種往上排，有因種。14、某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環(huán)賽；第二階段：將8個小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成4個小組，每組4人，分別進行單循環(huán)賽；第三階段：由4個小組產(chǎn)生的4個第1名進行2場半決賽和2場決賽，確定1至4名的名次.問：整個賽程-共需要進行多少場比賽？【解析】第一階段中，每個小組內(nèi)部的6個人每2人要賽一場，組內(nèi)賽C；=^=15場，共8個小組，有15x8=120場；第二階段中，每個小組內(nèi)部4人中每2人賽一場，組內(nèi)賽C：=山=6場，共4個小組，有6x4=24場；第三階段賽2+2=4場,根2x1據(jù)加法原理，整個賽程共有120+24+4=148場比賽。15、由數(shù)字1,2,3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1,2,3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有個。（2007年“迎春杯”高年級組決賽）【解析】這是一道組合計數(shù)問題.由于題目中僅要求1,2,3至少各出現(xiàn)一次，沒有確定1,2,3出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進行統(tǒng)計，也可以從反面想,從由1,2,3組成的五位數(shù)中，去掉僅有1個或2個數(shù)字組成的五位數(shù)即可.（法1）分兩類:⑴1,2,3中恰有一個數(shù)字出現(xiàn)3次，這樣的數(shù)有C；x5x4=60（個）；⑵1,2,3中有兩個數(shù)字各出現(xiàn)2次，這樣的數(shù)有C；x5xC：=90（個）.符合題意的五位數(shù)共有60+90=150（個）.（法2）從反面想，由1,2,3組成的五位數(shù)共有3,個，由1,2,3中的某2個數(shù)字組成的五位數(shù)共有3x（2'-2）個，由1,2,3中的某1個數(shù)字組成的五位數(shù)共有3個，所以符合題意的五位數(shù)共有3,-3x（2$-2）-3=150（個）。16、10個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？【解析】（法1）乘法原理.按題意，分別站在每個人的立場匕當自己被選中后，另一個被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個人都有7種選擇,總共就有7x10=70種選擇，但是需要注意的是，選擇的過程中，會出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結(jié)果應(yīng)該是（10-1-1-1）x10+2=35（種）.（法2）排除法.可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為C3而被選的兩個人相鄰的情況有10種，所以共有。-10=45-10=35（種）。17、8個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【解析】冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個人選定了三個位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇.小慧和大智不能相鄰的互補事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個條件的站法總數(shù)為：C；xP；xC：xP；xP；=3360（種）同時滿足第一、三個條件，滿足小慧和大智必須相鄰后站法總數(shù)為：C；xP；xP；xP；xP；=960（種）因此同時滿足三個條件的站法總數(shù)為：3360-960=2400（種）。18、小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法？【解析】我們將10塊大白兔奶糖從左至右排成一列,如果在其中9個間隙中的某個位置插入"木棍”，則將4塊糖分成了兩部分。我們記從左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的，…，如：OOOIOOOOOOO表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：OOOO|OOOlOOO表示第一天吃了4粒，第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒.不難知曉,每一種插入方法對應(yīng)一種吃法,而9個間隙,每個間隙可以插人也可以不插入，且相互獨立，故共有29=512種不同的插入方法,即512種不同的吃法。19、某池塘中有4、B、C三只游船，A船可乘坐3人，8船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3個成人和2個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們5人乘坐這三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】由于有兒童乘坐的游船上必須至少有1個成人陪同，所以兒童不能乘坐C船.⑴若這5人都不乘坐C船，則恰好坐滿A、8兩船，①若兩個兒童在同一條船上，只能在4船匕此時A船上還必須有1個成人，有C；=3種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，即分別在4、8兩船上，則8船上有1個兒童和1個成人，1個兒童有C；=2種選擇，1個成人有C；=3種選擇，所以有2x3=6種方法.故5人都不乘坐C船有3+6=9種安全方法；⑵若這5人中有1人乘坐C船，這個人必定是個成人，有C；=3種選擇.其余的2個成人與2個兒童，①若兩個兒童在同一條船上，只能在4船上，此時A船上還必須有1個成人，有C；=2種方法，所以此時有3x2=6種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，那么8船上有1個兒童和1個成人，此時1個兒童和1個成人均有C；=2種選擇，所以此種情況下有3x2x2=12種方法；故5人中有1人乘坐C船有6+12=18種安全方法.所以，共有9+18=27種安全乘法.20、從10名男生，8名女生中選出8人參加游泳比賽.在下列條件下，分別有多少種選法？⑴恰有3名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時入選：⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。【解析】⑴恰有3名女生入選，說明男生有5人入選，應(yīng)為C；xC】=14112種；⑵要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求.運用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：G-G-ClxC：=43758；(3)4人必須入選，則從剩下的14人中再選出另外4人，有=1001種；⑷從所有的選法種中減去這4個人同時入選的C：種：=43758-1001=42757.⑸分三類情況：4人無人入選；4人僅有1人入選；4人中有2人入選，共：3+C：xC：+C：x =34749。21、在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照下列條件各有多少種選派方法？⑴有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；⑵既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；⑶至少有一名主任參加；(4)既有主任，又有外科醫(yī)生?！窘馕觥竣畔葟?名內(nèi)科醫(yī)生中選3名，有C；=""=20種選法；再從4名外科醫(yī)生中3x2x1選2名，共有C：=9=6種選法.根據(jù)乘法原理，一共有選派方法20x6=120種.2x1⑵用“去雜法”較方便，先考慮從10名醫(yī)生中任意選派5人，有黨=10x9x8x7x6=2525x4x3x2xl種選派方法；再考慮只有外科醫(yī)生或只有內(nèi)科醫(yī)生的情況.由于外科醫(yī)生只有4人，所以不可能只派外科醫(yī)生.如果只派內(nèi)科醫(yī)生，有C；=C：=6種選派方法.所以，一共有252-6=246種既有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生的選派方法。⑶如果選1名主任，則不是主任的8名醫(yī)生要選4人，有2xC；=2x8x7x6x5=140種選派4x3x2xl方法；如果選2名主任，則不是主任的8名醫(yī)生要選3人，有l(wèi)*C；=lx竺”=56種選派3x2x1方法.根據(jù)加法原理，一共有140+56=196種選派方法.⑷分兩類討論：①若選夕卜科主任，則其余4人可任意選取，有篝蓄56種選取方法；②若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余4人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，用“去雜法”有。"；=宏詈篝詈65種選取法.根據(jù)加法原理，一共有126+65=191種選派方法。22、在10名學生中，有5人會裝電腦，有3人會安裝音響設(shè)備，其余2人既會安裝電腦，又會安裝音響設(shè)備，今選派由6人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要3人，安裝音響設(shè)備要3人，共有多少種不同的選人方案？【解析】按具有雙項技術(shù)的學生分類：⑴兩人都不選派，有C；="@=l（）（種）選派方法；3x2x1⑵兩人中選派1人，有2種選法.而針對此人的任務(wù)又分兩類：若此人要安裝電腦，則還需2人安裝電腦，有或=絲=10（種）選法，而另外會安裝音響2x1設(shè)備的3人全選派上，只有1種選法.由乘法原理，有10x1=10（種）選法；若此人安裝音響設(shè)備，則還需從3人中選2人安裝音響設(shè)備，有C；=^g=3（種）選法，需2x1從5人中選3人安裝電腦，有=（種）選法.由乘法原理，有3x10=30（種）選3x2x1法.根據(jù)加法原理，有10+30=40（種）選法；綜上所述，一共有2x40=80（種）選派方法.⑶兩人全派，針對兩人的任務(wù)可分類討論如下：①兩人全安裝電腦，則還需要從5人中選1人安裝電腦，另外會安裝音響設(shè)備的3人全選上安裝音響設(shè)備，有5x1=5（種）選派方案；②兩人一個安裝電腦，一個安裝音響設(shè)備，有C；xC；=吆xm0=60（種）選派方案；2x1 2x1③兩人全安裝音響設(shè)備，有3xC；=3x29=30（種）選派方案.3x2x1根據(jù)加法原理，共有5+60+30=95（種）選派方案.綜合以上所述，符合條件的方案一共有10+80+95=185（種）.23、有11名外語翻譯人員，其中5名是英語翻譯員，4名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通.從中找出8人，使他們組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個小組能同時工作.問這樣的分配名單共可以開出多少張？【解析】針對兩名英語、日語都精通人員（以下稱多面手）的參考情況分成三類:⑴多面手不參加，則需從5名英語翻譯員中選出4人，有C；=C；=5種選擇，需從4名日語翻譯員中選出4人，有1種選擇.由乘法原理，有5x1=5種選擇.⑵多面手中有一人入選，有2種選擇，而選出的這個人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英文翻譯，則需從5名英語翻譯員中再選出3人，有C；=?也@=io3x2x1種選擇，需從4名日語翻譯員中選出4人，有1種選擇.由乘法原理，有2x10x1=20種選擇;如果參加H文翻譯，則需從5名英語翻譯員中選出4人，有C；=C；=5種選擇,需從4名日語翻譯員中再選出3名，有C：=C：=4種選擇.由乘法原理，有2x5x4=40種選擇.根據(jù)加法原理，多面手中有一人入選，有20+40=60種選擇.⑶多面手中兩人均入選，對應(yīng)一種選擇，但此時又分三種情況：①兩人都譯英文；②兩人都譯日文；③兩人各譯一個語種.情況①中，還需從5名英語翻譯員中選出2人，有仁=絲=10種選擇.需從2x14名日語翻譯員中選4人，1種選擇.由乘法原理，有1x10x1=10種選擇.情況②中，需從5名英語翻譯員中選出4人，有C；=C；=5種選擇.還需從4名日語翻譯員中選出2人，有C：=M2=6種選擇.根據(jù)乘法原理，共有2x11x5x6=30種選擇.情況③中，兩人各譯一個語種，有兩種安排即兩種選擇.剩下的需從5名英語翻譯員中選出3人，有C；="@=10種選擇，需從4名日語翻譯員中選出3人，有C：=C；=4種選擇.由乘法原理，有1x2x10x4=80種選擇.容斥原理1、有100種赤貧.其中含鈣的有68種,含鐵的有43種,那么，同時含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值分別是（）A43,25B32,25 C32,15D43,11【解析：】根據(jù)容斥原理最小值68+43-100=11最大值就是含鐵的有43種2、在多元智能大賽的決賽中只有三道題.已知：（1）某校25名學生參加競賽,每個學生至少解出一道題；（2）在所有沒有解出第?題的學生中，解出第二題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的2倍：（3）只解出第一題的學生比余下的學生中解出第一題的人數(shù)多1人；（4）只解出一道題的學生中,有一半沒有解出第一題,那么只解出第二題的學生人數(shù)是（）A,5B,6c,7D,8【解析：】根據(jù)“每個人至少答出三題中的一道題”可知答題情況分為7類：只答第1題，只答第2題，只答第3題，只答第1、2題，只答第1、3題，只答2、3題，答1、2、3題。分別設(shè)各類的人數(shù)為al、a2、a3、al2、al3、a23、al23由(1)知：al+a2+a3+al2+al3+a23+al23=25…①TOC\o"1-5"\h\z由(2)知：a2+a23=(a3+a23)X2 ②由(3)知：al2+al3+al23=al-l ③由(4)知：al=a2+a3 ④再由②得a23=a2-a3X2 ⑤再由③④得a12+al3+a123=a2+a3-1@然后將④⑤⑥代入①中，整理得到a2X4+a3=26由于a2、a3均表示人數(shù)，可以求出它們的整數(shù)解：當a2=6、5,4、3、2、1時，a3=2、6、10、14、18、22又根據(jù)a23=a2-a3X2 ⑤可知：a2>a3因此，符合條件的只有a2=6,a3=2,然后可以推出al=8,al2+al3+al23=7,a23=2,總?cè)藬?shù)=8+6+2+7+2=25,檢驗所有條件均符。故只解出第二題的學生人數(shù)a2=6人。3、一次考試共有5道試題。做對第1、2、3、、4、5題的分別占參加考試人數(shù)的95%、80%、79%,74%、85%。如果做對三道或三道以上為合格，那么這次考試的合格率至少是多少？【解析：】答案：及格率至少為71%。假設(shè)一共有100人考試100-95=5 100-80=20 100-79=21 100-74=26 100-85=155+20+21+26+15=87(表示5題中有1題做錯的最多人數(shù))87+3=29(表示5題中有3題做錯的最多人數(shù)，即不及格的人數(shù)最多為29人)100-29=71(及格的最少人數(shù)，其實都是全對的)及格率至少為71%4、某大樓里有125盞燈，按1,2,3, 125編號，每盞燈有一個拉線開關(guān)，拉一次燈亮,再拉一次燈熄。工程師做實驗，他先把所有號碼是4的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉1次，再把所有號碼是6的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉1次，同時再拉1次號碼是4的倍數(shù)、但不是6的倍數(shù)的燈開關(guān),問：現(xiàn)在有多少盞燈是亮的？【解析：】號碼是4的倍數(shù)的燈有4,8,12,…，124,共31盞；號碼是6的倍數(shù)的燈有6,12,18,…，120,共20盞；號碼是4的倍數(shù)也是6的倍數(shù)的燈有12,24,36, 120,共10盞。

號碼是4的倍數(shù)，但不是6的倍數(shù)的燈有31-10=21盞。則亮的燈數(shù)是20-10=10（盞）。5、A、B、C三位質(zhì)檢員對流水線上的書包進行檢查，A每3個書包抽查1個，B每5個書包抽查1個，C每7個書包抽查1個，一共有250個書包通過流水線，假定A、B、C首個抽查到的書包分別是第三個、第五個和第七個，試求：（1）沒被抽查到的書包數(shù)。（2）在A或B抽查到的書包中，沒被C抽直到的書包數(shù)?！窘馕觯骸浚?）250內(nèi)，3的倍數(shù)有83個，5的倍數(shù)有50個，7的倍數(shù)有35個，15的倍數(shù)有16個，21的倍數(shù)有11個，35的倍數(shù)有7個，105的倍數(shù)有2個，沒被抽查到的書包有250-83-50-35+16+11+7-2=114（個）。（2）是3或5的倍數(shù)，但不是7的倍數(shù)的有83+50-16-11-7+2=101（個）。6、學校舉行趣味運動會，班里的同學有20人報名。參加障礙過河比賽的有10人，參加自行車慢騎的有13人，參加“袋鼠跳”比賽的有15人，障礙過河、“袋鼠跳”都參加的有9人，障礙過河、自行車慢騎都參加的有6人，自行車慢騎、“袋鼠跳”都參加的有8人，你能畫出參加比賽的人數(shù)文氏圖嗎？【解析：】三項比賽都參加的人數(shù)為：20-10-13-15+9+8+6=5（人）。文氏圖如下：i+y+?=l3x+5<12y+5<9s+5<9i+y+?=l3x+5<12y+5<9s+5<9只獻箴足7、某體育學校的運動員中，會游泳的有15人，會跳高的有12人，會跳遠的有9人，以上三個項目只會其中兩種的有13人，會三種的有5人，則只會其中兩種的人分別有多少可能?【解析：】設(shè)只會游泳、跳高的有X人，只會游泳、跳遠的有y人，只會跳高、跳遠的有Z人，則4rH=13的一即可.

0<y<40<k<4共有6組解：(l)x=7,y=4,z=2；(2)x=7,y=3,z=3；(3)x=7,y=2,z=4；(4)x=6,y=4,z=3；(5)x=6,y=3,z=4；(6)x=5,y=4,z=4。8、在一所中學的實驗班里，60個學生參加過競賽。其中參加過數(shù)學競賽的有30人，參加過英語競賽的有25人，參加過作文比賽的有17人，參加過數(shù)學競賽和英語競賽的有12人，參加過英語競賽和作文比賽的有10人，參加過數(shù)學競賽和作文比賽的有7人，則三種競賽都參加過的學生有()人。請寫出過程：抽屜原理、奇偶性問題練11、把40名小朋友看做40個抽屜，將125件玩具放入這些抽屜，因為125=3X40+5,根據(jù)抽屜原理，可知至少有一個抽屜有4件或4件以上的玩具，所以肯定有人會得到4件或4件以上的玩具。2、把三個筆盒看做3個抽屜，因為16=5X3+1,根據(jù)抽屜原理可以至少有一個筆盒里的筆有6枝或6枝以上。3、把盒子數(shù)看成抽屜，要使其中一個抽屜里至少有7個球，那么球的個數(shù)至少應(yīng)比抽屜個數(shù)的(7-1)倍多1,而25=4X(7-1)+1,所以最多方子4個盒子里，才能保證至少有一個盒子里有7個球。練21、最少應(yīng)取出(3-1)X5+l=ll個球2、至少取出(4-1)X3+l=10塊木塊。3、如果沒有兩張王牌，至少要取(4-1)X13+1=40張，再加上兩張王牌，至少要摸出40+2=42張，才能保證其中必有4張牌點數(shù)相同。練31,小學六年中最多有2個閏年，共366X2+365X4=2191天，因為13170=6X2192+18,所以其中一定有7人是同年同月同日生的。2、參加課外興趣小組的學生共分四種情況，只參加一個組的有4種類型，只參加兩個組的有6種類型，只參加三個字的有4種類型，參加四個組的有1種類型。把4+6+4+1=15種類型看作15個抽屜，把46個學生放入這些抽屜，因為46=15X3+1,所以班級中至少有4名學生參加的項目完全相同。3、全班訂閱報刊的類型共有3+3+1=7種，因為37=5X7+2,所以其中至少有6位學生訂的報刊相同。練41、在1?50中，5的倍數(shù)有50+5=10個，不是5的倍數(shù)的就有50—10=40個，至少要取出40+1=41個不同的數(shù)才能保證其中有個數(shù)能貝5整除。2、在1?120中，4的倍數(shù)有120+4=30個，不是4的倍數(shù)有120—30=90個，正是要取出90+1=91個不同的數(shù)才能保證其中一定有一個數(shù)是4的倍數(shù)。3、差是5的兩數(shù)有下列5組：1、6,11、16,21、26,31、36；2、7,12、17,22、27；3、8,13、18,23、28、33；4、9,14、19,24、29,34；5、10,15、20,25、30、35o要使取出的數(shù)中沒有兩個數(shù)的差是5的倍數(shù)，最多只能從每組中各取1個數(shù)，即最多可以取5個數(shù)。練51、把11秒鐘看做11個抽屜，把100米看作100個元素，因為100=9*11+1,所以必有1個抽屜里超過9米，即必有某一秒鐘，他跑的距離超過9米。2、如圖答30—1,把邊長為2的等邊三角形分成四個邊長為1的小等邊三角形。把它看作4個抽屜，5個點看作5個元素，則一定有一個小三角形內(nèi)有2個點，這2個點之間的距離不超過lo3、先把長方形的每邊剪去寬1厘米的長條，余下一個50X40的長方形，它的面積為2000平方厘米，再把每個圓的半徑放大1厘米成為3厘米的圓，若剪去后的長方形至少有一個點未被70個鑲邊后的圓蓋住的話，那么原來的長方形中就能放進一個以這點為圓心的圓。因為F1X32X70的值就小于630X3.15=1984.5<2000,所以在原來的長方形中一定可以放進一個半徑為1厘米的圓。例題6、1+2+3+…+1993的和是奇數(shù)?還是偶數(shù)？【解析：】此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判別和是奇數(shù)，還是偶數(shù).但是如果從加數(shù)的奇、偶個數(shù)考慮，利用奇偶數(shù)的性質(zhì)，同樣可以判斷和的奇偶性.此題可以有兩種解法。解法1：V1+2+3+―+1993(1+1993)X1993— =997X1993,又和1993是奇數(shù)，奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)，.?.原式的和是奇數(shù)。解法2：；1993+2=996…1,二1?1993的自然數(shù)中，有996個偶數(shù)，有997個奇數(shù)。V996個偶數(shù)之和一定是偶數(shù)，又?.?奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)，A997個奇數(shù)之和是奇數(shù)。因為，偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)，所以原式之和?定是奇數(shù)。例題7、一個數(shù)分別與另外兩個相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個積相差150,這個數(shù)是多少？【解析：】解法1：???相鄰兩個奇數(shù)相差2,A150是這個要求數(shù)的2倍。.?.這個數(shù)是150+2=75。解法2：設(shè)這個數(shù)為X,設(shè)相鄰的兩個奇數(shù)為2a+l,2a-l(a2l).則有(2a+l)x-(2a-l)x=150,2ax+x-2ax+x=l50,2x=150,x=75o.?.這個要求的數(shù)是75。例題8、元旦前夕，同學們相互送賀年卡.每人只要接到對方賀年卡就一定回贈賀年卡，那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)？為什么？【解析：】此題初看似乎缺總?cè)藬?shù).但解決問題的實質(zhì)在送賀年卡的張數(shù)的奇偶性上,因此與總?cè)藬?shù)無關(guān)。解：由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標記送出賀年卡一次.那么賀年卡的總張數(shù)應(yīng)能被2整除，所以賀年卡的總張數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。送賀年卡的人可以分為兩種：一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們送出賀年卡總和為偶數(shù)。另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù)=所有人送出的賀年卡總數(shù)-所有送出了偶數(shù)張賀年卡的人送出的賀年卡總數(shù)=偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)。他們的總?cè)藬?shù)必須是偶數(shù)，才使他們送出的賀年卡總數(shù)為偶數(shù)。所以，送出奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)一定是偶數(shù)。例題9、已知a、b、c中有一個是5,一個是6,—個是7.求證aT,b-2,c-3的乘積一定是偶數(shù)?！窘馕觯骸孔C明：；a、b、c中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)，...a、c中至少有一個是奇數(shù)，.?.aT,c-3中至少有一個是偶數(shù)。又?.?偶數(shù)X整數(shù)=偶數(shù)，/.(a-1)X(b-2)X(c-3)是偶數(shù)。例題10、如下圖，從起點始，隔一米種一棵樹，如果把三塊“愛護樹木”的小牌分別掛在三棵樹匕那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹，它們之間的距離是偶數(shù)（以米為單位），這是為什么？起點【解析：】任意挑選三棵樹掛上小牌，假設(shè)第一棵掛牌的樹與第二棵掛牌的樹之間相距a米，第二棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間相距b米，那么第一棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間的距離c=a+b（米）（如下圖），如果a、b中有一個是偶數(shù),題目已得證；如果a、b都是奇數(shù)，因為奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，所以c必為偶數(shù)，那么題目也得證。小試牛刀1.為保證取出的球中有兩個球的顏色相同，則最少要取出4個球。.最少要抽取29張牌，方能保證其中至少有3張牌有相同的點數(shù)。.證明：A、B、C、D四類書，根據(jù)題目條件，這些學生借書的組合可能有十種，分別是：12345678910ABCDABACADBCBDCD因為有11名學生到老師家借書，而只有10種借書情況，因此必有兩個學生所借的書的類型相同。.證明，所謂單循環(huán)賽即每個運動員都與其它運動員進行一場比賽。即每個人要參加49場比賽，這樣如果假設(shè)沒有運動員積分相同，因為沒有全勝，則運動員的積分就有48勝、47勝……2勝、1勝、。勝共49個枳分情況，而50名運動員需要有50個不同的積分結(jié)果，這里“49個積分情況”與“需要50個積分結(jié)果”出現(xiàn)了矛盾，所以假設(shè)“沒有運動員積分相同”是錯誤的，因此一定有兩個運動員積分相同。.至少有9名同學所拿的球種類是一致的。.則參賽男生46人。.至少要拿出10只才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。.至少把這些水果分成了5堆。分四種情況：第一種第二種第三種第四種??m平果奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)梨奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)9.至少選出51個數(shù)，其中必有兩個數(shù)的和是100。.46乘客帶蘋果。.提示：分值從0?100,共101種可能的分值，101014-(0+1+2+……+100)=2……1,則至少有3人得分相同。.至少有335個人游覽的地方完全相同。.則至少有5人植樹的株數(shù)相同。14、偶數(shù)至多有48個。15、提示：先按規(guī)律寫出一些數(shù)來，再找其奇、偶性的排列規(guī)律，便可得到答案：不會依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個數(shù)。16、設(shè)四個連續(xù)奇數(shù)是2n+l,2n+3,2n+5,2n+7,n為整數(shù)，則它們的和是(2n+l)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)=2nX4+16=8n+16=8(n+2)。所以，四個連續(xù)奇數(shù)的和是8的倍數(shù)。17、證明：設(shè)填入數(shù)分別為a1、a2>a3>a］、a5>a6.有

■為A,假設(shè)要證明的結(jié)論不成立，則有：?.?偶數(shù)W奇數(shù)，...假設(shè)不成立，命題得證。18、應(yīng)選擇（B）.參考例3。19、是偶數(shù).參考例考20、不能.因為5個奇數(shù)的和為奇數(shù)，不可能等于20。21、能.例如第一次78910第二次3456第三次2345第四次134522、這種交換方法是不可行的.參考例12。23、利用黑白相間染色方法可以證明：不可能剪成由7個相鄰兩個方格組成的長方形，因為圖形中一種顏色有8格，另一種顏色有6格，而每個相鄰兩個方格組成的長方形是一黑格一白格，7個這樣的長方形共7黑格7白格.與圖形相矛盾.行程問題］這個題可以簡單的找規(guī)律求解1、某停車場有10輛出租汽車，第一輛出租汽車出發(fā)后，每隔4分鐘，有一輛出租汽車開出.在第一輛出租汽車開出2分鐘后，有一輛出租汽車進場.以后每隔6分鐘有一輛出租汽車回場.回場的出租汽車，在原有的10輛出租汽車之后又依次每隔4分鐘開出一輛，問：從第一輛出租汽車開出后，經(jīng)過多少時間，停車場就沒有出租汽］這個題可以簡單的找規(guī)律求解時間車輛4分鐘9輛6分鐘10輛8分鐘9輛12分鐘9輛16分鐘8輛18分鐘9輛20分鐘8輛【解析:24分鐘 8輛由此可以看出：每12分鐘就減少一輛車，但該題需要注意的是：到了剩下一輛的時候是不符合這種規(guī)律的到了12*9=108分鐘的時候，剩下一-輛車，這時再經(jīng)過4分鐘車廠恰好沒有車了，所以第112分鐘時就沒有車輛了，但題目中間從第一輛出租汽車開出后，所以應(yīng)該為108分鐘。2、小峰騎自行車去小寶家聚會，一路上小峰注意到，每隔9分鐘就有一輛公交車從后方超越小峰，小峰騎車到半路，車壞了，小峰只好打的去小寶家，這時小峰又發(fā)現(xiàn)出租車也是每隔9分鐘超越一輛公交車，已知出租車的速度是小峰騎車速度的5倍，那么如果公交車的發(fā)車時間間隔和行駛速度固定的話，公交車的發(fā)車時間間隔為多少分鐘？【解析：】間隔距離=（公交速度-騎車速度）X9分鐘；間隔距離=（出租車速度-公交速度）X9分鐘所以，公交速度-騎車速度=出租車速度-公交速度；公交速度=（騎車速度+出租車速度）/2=3X騎車速度.由此可知，間隔距離=（公交速度-騎車速度）X9分鐘=2X騎車速度X9分鐘=3X騎車速度X6分鐘=公交速度X6分鐘.所以公交車站每隔6分鐘發(fā)一輛公交車.3、小英和小敏為了測量K駛而過的火車速度和車身長，他們拿了兩塊跑表.小英用一塊表記下了火車從她面前通過所花的時間是15秒;小敏用另一塊表記下了從車頭過第一根電線桿到車尾過第二根電線桿所花的時間是20秒.已知兩電線桿之間的距離是100米.你能幫助小英和小敏算出火車的全長和時速嗎？【解析：】火車的時速是：100+（20-15）X60X60=72000（米/小時），車身長是:20X15=300（米）4、一條單線鐵路上有A,B,C,D,E5個車站,它們之間的路程如圖所示（單位:千米）.兩列火車同時從4后兩站相對開出，從｛站開出的每小時行60千米,從￡站開出的每小時行50千米.由于單線鐵路上只有車站才鋪有停車的軌道,要使對面開來的列車通過,必須在車站停車,才能讓開行車軌道.因此,應(yīng)安排哪個站相遇,才能使停車等候的時間最短.先到這一站的那一列火車至少需要停車多少分鐘？【解析：】225千米25千米15千米230千米， 人 ~~ A A BCD E兩列火車同時從4/兩站相對開出，假設(shè)途中都不停.可求出兩車相遇的地點，從而知道應(yīng)在哪一個車站停車等待時間最短.從圖中可知,46的距離是:225+25+15+230=495（千米）兩車相遇所用的時間是:495+（60+50）=4.5（小時）相遇處距4站的距離是:60X4.5=270（千米）而A,〃兩站的距離為：225+25+15=265（千米）由于270千米＞265千米,從4站開出的火車應(yīng)安排在〃站相遇,才能使停車等待的時間最短.因為相遇處離〃站距離為270-265=5（千米），那么，先到達〃站的火車至少需要等待：2:1（小時），x小時=11分鐘5、乙船順水航行2小時，行了120千米，返回原地用了4小時.甲船順水航行同一段水路，用了3小時.甲船返回原地比去時多用了幾小時？【解析：】乙船順水速度：120+2=60（千米/小時）.乙船逆水速度：1204-4=30（千米/小時）。水流速度：（60-30）+2=15（千米/小時）.甲船順水速度：12"3=4。（千米/小時）。甲船逆水速度：40-2X15=10（千米/小時）.甲船逆水航行時間：120+10=12（小時）。甲船返回原地比去時多用時間：12-3=9（小時）.6、一條小河流過力，B,C三鎮(zhèn).46兩鎮(zhèn)之間有汽船來往，汽船在靜水中的速度為每小時11千米.B,C兩鎮(zhèn)之間有木船擺渡,木船在靜水中的速度為每小時3.5千米.已知A,C兩鎮(zhèn)水路相距50千米,水流速度為每小時1.5千米.某人從A鎮(zhèn)上船順流而下到B鎮(zhèn),吃午飯用去1小時,接著乘木船又順流而下到。鎮(zhèn),共用8小時.那么A,8兩鎮(zhèn)間的距離是多少千米？【解析：】如下畫出示意圖水速：1.5千米/小時50千米. 3--1An* 8木船 c■水:11千米/小時 ■水35千米/小時有1—8段順水的速度為11+1.5=12.5千米/小時，有6fC段順水的速度為3.5+1.5=5千米/小時.而從4—C全程的行駛時間為8-1=7小時.設(shè)48長工千米,有_匚+竺==7,解得x=25.所以A,5兩鎮(zhèn)間的距離是25千米.12.5 57、現(xiàn)在是10點，再過多長時間，時針與分針將第一次在一條直線上？【解析：】時針的速度是360+12+60=0.5（度/分），分針的速度是360+60=6（度/分）即分針與時針的速度差是6-0.5=5.5（度/分），10點時，分針與時針的夾角是60度，第一次在一條直線時，分針與時針的夾角是180度，即分針與時針從60度到180度經(jīng)過的時間為所求。所以答案為12（分）8、有一座時鐘現(xiàn)在顯示10時整.那么，經(jīng)過多少分鐘，分針與時針第一次重合；再經(jīng)過多少分鐘，分針與時針第二次重合？【解析：】在加點時，時針所在位置為刻度10,分針所在位置為刻度12；當兩針重合時，分針必須追上5。個小刻度，設(shè)分針速度為有時針速度為酷”，于是需要時間：504-（1--）=54—.12 11所以，再過54A分鐘，時針與分針將第一次重合.第二次重合時顯然為12點整,所以再經(jīng)過（12-10）x60-54R=65、分鐘，時針與分針第二次重合.標準的時鐘，每隔65、分鐘，時針與分針重合一次.我們來熟悉一下常見鐘表（機械）的構(gòu)成：一般時鐘的表盤大刻度有12個，即為小時數(shù)；小刻度有60個，即為分鐘數(shù).所以時針一圈需要12小時，分針一圈需要60分鐘（1小時），時針的速度為分針速度的如果設(shè)分針的速度為單位“/"，那么時針的速度為“54”.129、某科學家設(shè)計了只怪鐘，這只怪鐘每晝夜10時，每時100分（如右圖所示）。當這只鐘顯示5點時，實際上是中午12點；當這只鐘顯示6點75分時，實際上是什么時間？【解析：】標準鐘一晝夜是24X60=1440（分），怪鐘一晝夜是100X10=1000（分）怪鐘從5點到6點75分，經(jīng)過175分，根據(jù)十字交叉法，1440X1754-1000=252（分）即4點12分。10、手表比鬧鐘每時快60秒，鬧鐘比標準時間每時慢60秒。8點整將手表對準，12點整手表顯示的時間是幾點幾分幾秒？【解析：】按題意，鬧鐘走3600秒手表走3660秒，而在標準時間的一小時中，鬧鐘走了3540秒。所以在標準時間的一小時中手表走3660+3600X3599=3599（秒），即手表每小時慢1秒，所以12點時手表顯示的時間是11點59分56秒。11、甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，甲、乙的速度之比是4:3,-人相遇后繼續(xù)行進，甲到達B地和乙到達A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地點距第一次相遇的地點30千米，則A、B兩地相距多少千米？【解析：】兩個人同時出發(fā)相向而行，相遇時時間相等，路程比等于速度之比，即兩個人相遇時所走過的路程比為4:3.第一次相遇時甲走了全程的4/7；第二次相遇時甲、乙兩個人共走了3個全程，三個全程中甲走了？x3=l上個全程，與第一次相遇地點的距離為7 72一（1-3）=2個全程.所以A、B兩地相距30+2=105（千米）.7 7 7 712、B地在A,C兩地之間.甲從B地到A地去送信，甲出發(fā)10分后，乙從B地出發(fā)到C地去送另一封信，乙出發(fā)后10分，丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了，于是他從B地出發(fā)騎車去追趕甲和乙，以便把信調(diào)過來.已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙從出發(fā)到把信調(diào)過來后返回B地至少要用多少時間?！窘馕觥扛鶕?jù)題意當丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了此時甲、乙位置如下：A?1°分鐘"B c10分釗，?因為丙的速度是甲、乙的3倍，分步討論如下：（1）若丙先去追及乙，因時間相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走兩倍乙走需要10分鐘，所以丙用時間為：10+（3-1）=5（分鐘）此時拿上乙拿錯的信

10分鐘10分鐘B' , _5分好10分鐘” ”5分鐘當丙再回到B點用5分鐘，此時甲已經(jīng)距B地有10+10+5+5=30（分鐘），同理丙追及時間為30+（3-1）=15（分鐘），此時給甲應(yīng)該送的信,換回乙應(yīng)該送的信在給乙送信，此時乙已經(jīng)距B地：10+5+5+15+15=50（分鐘），此時追及乙需要：504-（3-1）=25（分鐘），返回B地需要25分鐘所以共需要時間為5+5+15+15+25+25=90（分鐘）（2）同理先追及甲需要時間為120分鐘。13、甲、乙兩車分別從A,B兩地同時出發(fā)，相向而行.出發(fā)時，甲、乙的速度之比是5:4,相遇后甲的速度減少20%,乙的速度增加20%.這樣當甲到達B地時，乙離A地還有10千米.那么A、B兩地相距多少千米？TOC\o"1-5"\h\z5 4【解析：】兩車相遇時甲走了全程的乙走了全程的二，之后甲的速度減少20%,乙的速

9 9度增加20%,此時甲、乙的速度比為5x（l-20%）:4x（l+20%）=5:6,所以甲到達B地時，乙又走了 = 距離A地2-芻=」-,所以A、B兩地的距離為10+」-=4509515 91545 45（千米13、在一圓形跑道上，甲從A點、乙從B點同時出發(fā)反向而行，6分后兩人相遇，再過4分甲到達B點，又過8分兩人再次相遇.甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？【解析：】由題意知，甲行4【解析：】由題意知，甲行4分相當于乙行系）從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，所以甲環(huán)行一周需12+8=20（分），乙需6分.（抓住走同一段路程時間或速度的比例關(guān)各行12分，而乙行12分相當于甲行8分,20+4X6=30（分）.14、一輛汽車從甲地開往乙地，每分鐘行750米，預(yù)計50分鐘到達.但汽車行駛到路程的士時，出了故障，用5分鐘修理完畢，如果仍需在預(yù)定時間內(nèi)到達乙地，汽車行駛余下的路程時，每分鐘必須比原來快多少米？【解析：】當以原速行駛到全程的3時，總時間也用了3,所以還剩下50x(1-3)=20分鐘5 5 5的路程；修理完畢時還剩下20-5=15分鐘，在剩下的這段路程上，預(yù)計時間與實際時間之比為20:15=4:3,根據(jù)路程一定，速度比等于時間的反比，實際的速度與預(yù)定的速度之比也為4:3,因此每分鐘應(yīng)比原來快750x2-750=250米.3小結(jié)：本題也可先求出相應(yīng)的路程和時間，再采用公式求出相應(yīng)的速度，最后計算比原來快多少，但不如采用比例法簡便.15、狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開始追它。問：狗再跑多遠，馬可以追上它？【解析：】根據(jù)“馬跑4步的距離狗跑7步”，可以設(shè)馬每步長為7x米，則狗每步長為4x米。根據(jù)“狗跑5步的時間馬跑3步”，可知同一時間馬跑3*7x米=21x米，則狗跑5*4x=20米?？梢缘贸鲴R與狗的速度比是21x：20x=21：20根據(jù)“現(xiàn)在狗已跑出30米”，可以知道狗與馬相差的路程是30米，他們相差的份數(shù)是21-20=1,現(xiàn)在求馬的21份是多少路程，就是30+(21-20)x21=630米16、甲乙輛車同時從ab兩地相對開出，幾小時后再距中點40千米處相遇？已知，甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時，求ab兩地相距多少千米？【解析：】答案720千米。由“甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時”可知，相遇時甲行了10份，乙行了8份(總路程為18份)，兩車相差2份。又因為兩車在中點40千米處相遇，說明兩車的路程差是(40+40)千米。所以算式是(40+40)+(10-8)x(10+8)=720千米。17、在一個600米的環(huán)形跑道上，兄兩人同時從同一個起點按順時針方向跑步，兩人每隔12分鐘相遇一次，若兩個人速度不變，還是在原來出發(fā)點同時出發(fā)，哥哥改為按逆時針方向跑，則兩人每隔4分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？【解析：】答案為兩人跑一圈各要6分鐘和12分鐘。解：600+12=50,表小哥哥、弟弟的速度差600-4=150,表示哥哥、弟弟的速度和(50+150)+2=100,表示較快的速度，方法是求和差問題中的較大數(shù)(150-50)/2=50,表示較慢的速度，方法是求和差問題中的較小數(shù)600+100=6分鐘，表示跑的快者用的時間600/50=12分鐘，表示跑得慢者用的時間18、慢車車長125米，車速每秒行17米，快車車長140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從后面追上來，那么，快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車需要多少時間？【解析：】答案為53秒算式是(140+125)+(22-17)=53秒可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車”就是快車車尾上的點追及慢車車頭的點，因此追及的路程應(yīng)該為兩個車長的和。19、在300米長的環(huán)形跑道上，甲乙兩個人同時同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？【解析：】答案為100米300+(5-4.4)=500秒,表示追及時間5x500=2500米，表示甲追到乙時所行的路程2500+300=8圈……100米，表示甲追及總路程為8圈還多100米，就是在原來起跑線的前方100米處相遇。20、一個人在鐵道邊，聽見遠處傳來的火車汽笛聲后，在經(jīng)過57秒火車經(jīng)過她前面，已知火車鳴笛時離他1360米，(軌道是直的)，聲音每秒傳340米，求火車的速度(得出保留整數(shù))【解析：】答案為22米/秒算式：1360+(1360+340+57)=22米/秒關(guān)鍵理解：人在聽到聲音后57秒才車到，說明人聽到聲音時車已經(jīng)從發(fā)聲音的地方行出1360-340=4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57=61秒。21、獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米遠的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動作快，獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步，問獵犬至少跑多少米才能追上兔子。【解析：】正確的答案是獵犬至少跑60米才能追上。解：由“獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知當獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。由“獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步”可知同一時間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3=5/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a=6：5,也就是說當獵犬跑60米時候，兔子跑50米，本來相差的10米剛好追完22、AB兩地，甲乙兩人騎自行車行完全程所用時間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時從AB兩地相對行使,40分鐘后兩人相遇，相遇后各自繼續(xù)前行,這樣，乙到達A地比甲到達B地要晚多少分鐘？【解析：】答案：18分鐘解：設(shè)全程為1,甲的速度為X乙的速度為y列式40x+40y=1x:y=5:4得x=1/72y=1/90走完全程甲需72分鐘，乙需90分鐘故得解23、甲乙兩車同時從AB兩地相對開出。第一次相遇后兩車繼續(xù)行駛，各自到達對方出發(fā)點后立即返回。第二次相遇時離B地的距離是AB全程的1/5。已知甲車在第一次相遇時行了120千米。AB兩地相距多少千米？【解析：】答案是300千米。解：通過畫線段圖可知，兩個人第一次相遇時一共行了1個AB的路程，從開始到第二次相遇，一共又行了3個AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分別是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3=360千米，從線段圖可以看出，甲一共走了全程的(1+1/5)(.因此360+(1+1/5)=300千米24、一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時;逆流8小時。如果水流速度是每小時2千米，求兩地間的距離？【解析：】(1/6-1/8)+2=1/48表示水速的分率2+1/48=96千米表示總路程25、快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢車行完全程需要8小時，求甲乙兩地的路程?！窘馕觯骸肯嘤鍪且恍辛巳痰钠叻种谋硎炯滓业乃俣缺仁?：3時間比為3：4所以快車行全程的時間為8/4*3=6小時6*33=198千米26、小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分之2乘車，結(jié)果慢了半小時.已知，騎車每小時12千米，乘車每小時30千米，問:甲乙兩地相距多少千米？【解析：】把路程看成1,得到時間系數(shù)去時時間系數(shù)：1/3X2+2/3+30返回時間系數(shù)：3/5+12+2/5+30兩者之差：(3/5+12+2/5+30)-(1/3X2+2/3+30)=1/75相當于1/2小時去時時間：1/2*(1/3+12)+1/75和1/2、(2/3+30)1/75路程：12x(1/2x(1/3-12)+1/75)+30x(1/2x(2/3+30)1/75)=37.5(千米)比例問題1、已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的工，乙等于甲、丙兩數(shù)和的工，丙等于3 2甲、乙兩數(shù)和的3,求甲:乙:丙.7【解析：】由甲等于乙、丙兩數(shù)和的1,得到甲等于三個數(shù)和的」一=1,同樣的乙等于甲、3 3+14丙兩數(shù)和的」-=1，同樣的丙等于甲、乙兩個數(shù)和的工=』，所以2+13 7+512甲：乙：丙=!」：2=3:4:543127 72、已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的屋那么甲的支乙的2倍、丙的一半這三個數(shù)的比為多少？

【解析：】甲的一半、乙的2倍、丙的2這三個數(shù)的比為1:1:1,所以甲、乙、丙這三個數(shù)的3比為+ + 即2:；:|,化簡為4:1:3,那么甲的g、乙的2倍、丙的一半這三個數(shù)的比為（4*1卜1*2）:（3、；卜仁：2:|,化簡為16:12:93、如下圖所示，圓8與圓C的面積之和等于圓A面積的自，且圓A中的陰影部分面積占圓5A面積的1,圓B的陰影部分面積占圓B面積的,，圓C的陰影部分面積占圓C面積的6 5求圓4、圓8、圓C的面積之比。3【解析：】設(shè)4與8的共同部分的面積為x,A與C的共同部分的面枳為y,則根據(jù)題意有A=|（B+C）=6（x+y）,x=1,y=y,于是得至U京B+C）=66+號），這條式子可化簡為8=15C,所以4=:（8+C）=20C.最后得到4:8:C=20:15:l4、某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是3:2,分為甲、乙、丙三組.已4、某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是3:2,分為甲、乙、丙三組.已知甲、乙、丙三組的人數(shù)比是10:8:7,甲組中男、女會員的人數(shù)之比是3:1,乙組中男、女會員的人數(shù)之比是5:3.求丙組中男、女會員人數(shù)之比?！窘馕觯骸恳钥?cè)藬?shù)為1,則甲組男會員人數(shù)為——X—=A,女會員為W_xJ_=_L,10+8+73+110 103101lo，乙組男會員為二10+8+75+355I |3 3」=!，女會員為!、2=二；丙組男會員為552531 十一105女會員為二—f—+-->1=—;所以，丙組中男、女會員人數(shù)之比為