拉格朗日中值定理的幾種特殊證法

屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文關(guān)于拉格朗日中值定理的幾種特殊證法學(xué)號：姓名：班級：指導(dǎo)教師：專業(yè)：系別：完成時間：年月學(xué)生誠信承諾書本人鄭重聲明：所呈交的論文《關(guān)于拉格朗日中值定理的幾種特殊證法》是我個人在導(dǎo)師王建珍指導(dǎo)下進行的研究工作及取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得長治學(xué)院或其他教育機構(gòu)的學(xué)位或證書所使用過的材料。所有合作者對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。簽名：日期：論文使用授權(quán)說明本人完全了解長治學(xué)院有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文。簽名：日期：指導(dǎo)教師聲明書本人聲明：該學(xué)位論文是本人指導(dǎo)學(xué)生完成的研究成果，已經(jīng)審閱過論文的全部內(nèi)容，并能夠保證題目、關(guān)鍵詞、摘要部分中英文內(nèi)容的一致性和準(zhǔn)確性。指導(dǎo)教師簽名：時間：拉格朗日中值定理在高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析的一些理論推導(dǎo)中起著重要作用，本論文為了更準(zhǔn)確的理解拉格朗日中值定理，介紹了其幾種特殊的證明方法.首先本文從分析和幾何的角度構(gòu)造輔助函數(shù)對拉格朗日中值定理進行了證明，其中在分析法構(gòu)造輔助函數(shù)中應(yīng)用了推理法、原函數(shù)法、行列式法及弦傾角法，在幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)中應(yīng)用了作差構(gòu)造法、面積構(gòu)造法和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸法;其次，應(yīng)用了區(qū)間套定理證明法和巴拿赫不動點定理證明法對拉格朗日中值定理進行了證明;最后，本文為能將拉格朗日中值定理表述更為深刻，還將其應(yīng)用到求極限,證明函數(shù)性態(tài)等具體問題中.關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理;區(qū)間套定理;巴拿赫不動點定理SeveralSpecialProofsontheLagrange’sMeanValueTheorem08404141ZHAOXia-yanMathematicsandAppliedMathematicsTutorWANGJian-zhenAbstractLagrange’smeanvaluetheoremplaysanimportantroleinsometheoryeducationsinHigheralgebraandMathematicalanalysis,thisthesisintroducesseveralparticularmethodsprovingmethodsinordertocomprehendLagrange’smeanvaluetheoremprecisely.Firstofall,applyinganalysisandgeometrywithconstructingauxiliaryfunctiontoproveLagrange’smeanvaluetheorem,intheaspectofanalysis,themethodsofconstructingauxiliaryfunctionincludethereasoningmethod,originalfunctionmethod,thedeterminantmethodandchordanglemethod,Intheaspectofgeometric,themethodsofconstructingauxiliaryfunctionsincludethepoorconstructionmethod,areastructuremethodandtherotatingcoordinatetransformationmethod;secondly,alsousethetheoremofnestedintervalprovingmethodandtheBanachfixedpointtheoremtoproveit;finally,thisarticleappliesLagrange’smeanvaluetheoremtothespecificquestioninthelimit,provingthefunctionofstateandotherissues.KeyWords:Lagrange’smeanvaluetheorem;Thetheoremofnestedinterval;TheBanachfixedpointtheoremTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言1\o"CurrentDocument"利用分析法構(gòu)造輔助函數(shù)1\o"CurrentDocument"利用幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)4\o"CurrentDocument"利用區(qū)間套定理證明6\o"CurrentDocument"利用巴拿赫不動點定理證明7\o"CurrentDocument"拉格朗日中值定理的應(yīng)用8\o"CurrentDocument"結(jié)語11\o"CurrentDocument"參考文獻12致謝12關(guān)于拉格朗日中值定理的幾種特殊證法08404141趙夏燕數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師王建珍引言微分中值定理作為微分學(xué)中的重要定理，是微分學(xué)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，是微分學(xué)的核心理論.微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，它們是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具，其中拉格朗日中值定理是核心，從這些定理的條件和結(jié)論可以看出羅爾定理是其特殊情況，柯西定理和泰勒定理是其推廣.首先回顧下拉格朗日中值定理以及它的預(yù)備定理一羅爾中值定理.定理1.1(羅爾中值定理)［1］若函數(shù)f滿足如下條件：(i)f在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；f(a)=f(b);則在(a,b)內(nèi)至少存在一點&，使得f'G)=0.定理1.2(拉格朗日中值定理)⑵若函數(shù)f滿足如下條件：(i)f在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；(i)f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);則在(a,b)內(nèi)至少存在一點&，使得f句=竺嚴(yán).b-a課本上給出了拉格朗日中值定理的基本證法，在此基礎(chǔ)上，下面給出了拉格朗日中值定理的幾種特殊證明方法.利用分析法構(gòu)造輔助函數(shù)拉格朗日中值定理中的兩個條件與羅爾中值定理中的前兩個條件相同，二者的區(qū)別僅僅在于區(qū)間端點處的函數(shù)值是否相等，基于這種關(guān)系，自然想到構(gòu)造一個輔助函數(shù)，使它滿足羅爾中值定理的條件，從而是否由羅爾中值定理的結(jié)論導(dǎo)出拉格朗日中值定理的結(jié)論呢？事實上解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造的這個輔助函數(shù)F3)要在[a,b]的端點有相同的函數(shù)值，即F(a)=F(b),以下將對如何利用分析法構(gòu)造輔助函數(shù)進行深入的分析.證明方法2.1(推理法)由拉格朗日中值定理結(jié)論f'(提=f(b)—f,可知其右端是一個常數(shù)，故b-a可設(shè)f(b)-f(a)=們則有f(b)-f(a)=k(b-a)，即f(b)-kb=f(a)-ka仔細(xì)觀b-a察其特點，不難發(fā)現(xiàn)一個能使F(a)=F(b)的新函數(shù)：F(x)=f(x)-kx,故F(x)就是證明中所要利用的輔助函數(shù).證明過程如下：令F(x)=f(x)-kx，其中k=f(b)-f(a),由題設(shè)可知，F(xiàn)(x)在[a,b]上連續(xù),b-a在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b),即F(x)滿足羅爾中值定理，故在(a,b)內(nèi)至少存在一點&，使得F任)=f'(&)-k=0,即f'(&)=f(b)-f(a)證畢.b-a證明方法2.2(原函數(shù)法)這種方法是將結(jié)論變形并向羅爾定理的結(jié)論靠攏，湊出適當(dāng)?shù)脑瘮?shù)作為輔助函數(shù).由拉格朗日中值定理的變形f(b)-f(a)=f(&)(b-a)得f'(&)(b-a)-[f(b)-f(a)]=0,令&=x得ff(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]=0,兩邊積分可得f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x+c=0,取c=0得f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x=0,若令F(x)=f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x,容易驗證F(a)=F(b)=bf(a)-af(b),知F(x)滿足羅爾中值定理的條件，所以F(x)就是所求的輔助函數(shù)，證明過程如下：令F(x)=f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x,xe[a,b],因為函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b),所以至少存在一點&e(a,b)，使得F任)=0,又F'(提=f'(&)(b-a)-[f(b)-f(a)],所以即f'(&)，證-a畢.證明方法2.3(行列式法)af(a)1由于想得到F(a)=F(b)，故可根據(jù)行列式的性質(zhì)⑶，設(shè)F(x)=bf(b)1,xf(x)1所以可以得到輔助函數(shù)并且滿足F(a)=F(b)=0.證明如下：af(a)1設(shè)F(x)=bf(b)1xG[a,b],則由行列式的性質(zhì)可得F(a)=F(b)=0，所xf(x)1以FG)滿足羅爾中值定理，因而至少存在一點&G(a,b)，使得F(提=0,又af(a)1a-bf(a)-f(b)0F'(x)=bf(b)1=bf(b)1=f(a)-f(b)+f(x)(b-a),1f'(x)01f(x)0所以F'(&)=f(a)-f(b)+f'(&)(b-a)=0，即f(&)=f(?-f(a).b-a證明方法2.4(弦傾角法)目的是為了得到F(a)=F(b),設(shè)連接連續(xù)曲線L:{(x,f(x))Ia<x<b},兩端點A和B的弦為AB(圖1)，其傾傾斜角為0，則——<0<tan0sin0=f(b)-f(a)cos0b-a也即有f(b)cos0一bsin0=f(a)cos0一acos0tan0也即有所以令F(x)=f(x)cos0-xsin0,如此所得到的輔助函數(shù)F(x)就能滿足要求，證明如下:

…o,,一~一設(shè)F(x)=f(…o,,一~一設(shè)F(x)=f(x)cos0-xsin0,其中曲線L:{(x,f(x))Ia<x<b},如上圖所示,22&e(a,b)，使得F'(提=0，又F'(提=f'(&)cos0-sin0，所以f'(&)=f(b)-f(a)b-a證畢.利用幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決數(shù)學(xué)問題有著非常直觀的效果，對于微分中值定理的證明，利用幾何圖形的特性觀察分析，同樣可以作出合適的輔助函數(shù),下面用不同的方法來加以說明.證明方法3.1(作差法)因為曲線L與其弦房分別在x=a和x=b兩點的高度對應(yīng)相同(如圖1)，所以不妨考慮過曲線方程和弦方程的差來構(gòu)造輔助函數(shù)，于是令F(x)=f(x)-[f(?f(a)(x-a)+f(a)],b-a或F(x)=f(x)-[f(b)-f(a)(x-b)+f(b)],b-a則可得F(a)=F(b),因此所構(gòu)函數(shù)F(x)滿足羅爾中值定理.證明方法如下：設(shè)F(x)=f(x)-[f(b)-f(a)(x-a)+f(a)],F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，b-aF(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b),所以F(x)滿足羅爾中值定理，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點&，使F任)=0,即F'(&)=f(&)-=0,b-a整理可得b-a廣(&)=f(b)-f(a整理可得b-a證明方法3.2(面積法)如圖1所示，曲線L上任意一點P3,f(x))與弦A8組成AABP的面積S(x)恰好在區(qū)間[a,b]上滿足羅爾中值定理的三個條件，AABP的面積af(a)1S(x)=2bf(b)1,

xf(x)1而當(dāng)點P與點A或B重合時，即x=a或x=b時，S(x)=0,因此加以化解可引入af(a)1輔助函數(shù)F(x)=bf(b)1,xe[a,b],此時F(a)=F(b)=0.證明方法如下：xf(x)1af(a)1令F(x)=bf(b)1,xe[a,b],則由行列式性質(zhì)容易驗證F(a)=F(b)=0，xf(x)1所以F(x)滿足羅爾中值定理的三個條件,所以在(a,b)內(nèi)至少存在一點&，使得F0)=0，又af(a)1a一bf(a)-f(b)0F'(x)=bf(b)1=bf(b)1=f(a)-f(b)+f(x)(b-a),1f(x)01f'(x)0所以F'(&)=f(a)-f(b)+f'(&)(b-a)=0,即f0)=f(?—f(a)b一a證明方法3.3(旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸法)如下圖2所示，按弦AB的傾斜角旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，可使新坐標(biāo)系的X軸與原坐標(biāo)系中的弦AB平行,則原曲線的方程在旋轉(zhuǎn)變換下一定滿足羅爾中值定理的條件,通過羅爾中值定理則可得出結(jié)論.證明如下：

X亍xcos0+jsin0hY=—xsin0+jcos0'X亍xcos0+jsin0hY=—xsin0+jcos0'一o根據(jù)新舊坐標(biāo)之間的關(guān)系令Y(x)=—xsin0+f(x)cos0，因為函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，所以函數(shù)Y(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，又由tan0=f(b)一f0),即如=f(b)-f(。)，可得b—acos0b—a—asin0+f(a)cos0=—bsin0+f(b)cos0,即Y(a)=Y(b),從而由羅爾中值定理可得，在(a,b)內(nèi)至少存在一點&，使得Y0)=0,即Y'(&)=—sin0+f低)cos0=0,故=^f.b—a利用閉區(qū)間套定理證明引理1(區(qū)間套定理)⑷如果閉區(qū)間系列｛［',bn］｝滿足下列條件lim(bnnT8則存在唯一實數(shù)&g[a,b](n=1,2,)，且有l(wèi)ima=&=limb.nnnnnT8nT8引理2［5］如果f(x)在［a,b］上連續(xù)，那么必定存在c,dg(a,b)，使得b—ad—c=f(d)—f(c)_f(b)—fb—ad—c=使用引理1和引理2,即可證明拉格朗日中值定理，反復(fù)使用引理2則可得區(qū)間序列｛[a疽bn]｝，滿足[a,b]d[a,b]d[a,b]d...

1122b-a=2-(b-a),f(氣-a,,)=f(b)-f(a)bn-an由區(qū)間套定理得必有He[a,b]u(a,b)(n=1,2,…),使得lima=limb=H,nsnnsn因為f(x)在H處可導(dǎo)，所以由導(dǎo)數(shù)的定義得「f(b)-f(H)「f(a)-f(H)〃建、lim———=lim————=f(H),n—3b—Hn—3a—H從而當(dāng)nT8時，有f(bn)-f(H)=f(H)-(bn-H)+。(bn-H),f(an)-f(H)=f'(H)?(an-H)+。(an-H),f(b-a)=ff(H)+。(bY)_。(a-H)

b-ab-ab-annnnnn又因為lim°(b「H)=limlMY)_b-a八b-HnT3nsrnnslim。(an-g)=lim(。(an_&)n—3b—an—3a—Hnnsa-H)=0,b-a所以從而有l(wèi)imf(叩-f(叩=f(H)，n—3b—afb^=g.b-a5.利用巴拿赫不動點定理證明引理3(巴拿赫不動點定理)［6］在完備的度量空間中的壓縮映射必存在唯一的不動點.顯然,任意閉區(qū)間在通常的歐幾里得度量下是完備的，由此可證在［a,b］上凸或凹的函數(shù)f(x)的拉格朗日中值定理.對任意小的￡>0,在閉區(qū)間［a+8,b-8］上構(gòu)造自映射Ax=x-f'(x)+f(b)一f⑷.

b一a可以證明A是一個壓縮映射［7］,事實上，對于x,xe［a+￡,b-8］,不妨設(shè)xvx,1212則有|Ax2-Ax^\=|(x2-xi)-［f'(x2)-f叫)］|,假設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上是凹的，那么ff(x)在區(qū)間［a+8,b-8］內(nèi)單調(diào)增加，所以ff(x)-ff(x)>0,從而一定存在21一個數(shù)人e(0,1)，使得0C(x2-x1)Vff(x2)一f'(x1)，因此|Ax2-AxJ<|%-氣|(11)，所以A是閉區(qū)間［a+8,b-8］上的壓縮映射，由引理3得，存在唯一的一點&e(a,b)，使得Ag=&，于是f(b)-f(a)=f(&)，b-a故定理得證.6.拉格朗日中值定理的應(yīng)用拉格朗日中值定理作為中值定理的核心，有著廣泛的應(yīng)用，在很多題型中都起到了化繁為簡的作用.6.1求極限由拉格朗日中值定理指出，如果f在［a,b］連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，則有f(b)-f(a)=f(&)(b-a)av&vb，因此對Vxe(a,b)，有f(x)-f(a)=f(&)(x-a)av&vx，公式(1)表明，求某些差式的極限，可轉(zhuǎn)化為求積式型的極限，以化簡極限的計算或解決某些運算,用別的方法求不出極限式子.當(dāng)然也要具體情況具體分析，并不是所有差式型的極限都能適合于運用中值定理，應(yīng)以簡便為原則選用.問題6.1.1求limn2(<x—fx)(x>0).ns解令f(t)=xt，則對任何自然數(shù)n,f(t)在［_L,1］上滿足拉格朗日中n+1n值定理的條件，而且f(t)=xtlnx是t上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，因而在［-L,1］上由拉n+1n格朗日中值定理，得n2(nx—n+1x)=n2[f(1)—f(」)]=n2f'(&)(1—-^-)="2x&Inx，nn+1nn+1n(n+1)—<^<—，當(dāng)n—+8時,&—0,n+1n故原極限二lim—n—x&Inx=Inx.n—8n(n+1)6.2證明不等式證明不等式的方法有很多，但對于某些不等式，用初等解法不一定能解得出來，例如描述函數(shù)的增量與自變量增量關(guān)系的不等式或者中間一項可以表示成函數(shù)增量形式等的題型.這時如果考慮用拉格朗日中值定理,會比變較容易簡單.問題6.2.1證明|sinx—siny|<|x-y|.證明設(shè)f(x)=sinx,顯然f(x)在［x,y］上滿足拉格朗日中值定理條件，所以存在&e(x,y)，使得f(x)—f(y)=f'(&)(x—y),即sinx—siny=(x—y)cos&,又因為|cos&|<1,因此有|sinx—siny|<|x—y|.6.3證明等式用拉格朗日中值定理證明等式也是其應(yīng)用中很重要的一項.證明的目標(biāo)在于湊出形式類似于拉格朗日中值定理的式子.問題6.3.1證明當(dāng)|x|<1時，有arcsinx+arccosx=兀2.證明設(shè)f(x)=arcsinx+arccosx,xgL1,1],顯然f(x)gC[—1,1],并且f(x)11在(—1,1)上可微，f(x)=(arcsinx+arccosx證明設(shè)f(x)=arcsinx+arccosx,xgL1,1],顯然f(x)gC[—1,1],并且f(x)=arcsin0+arccos0=兀..'2,故arcsinx+arccosx=兀..2xg[-1,1].6.4證明函數(shù)性態(tài)因為拉格朗日中值定理溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，很多時候我們可以借助它的導(dǎo)數(shù),研究導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)從而了解函數(shù)在整個定義域區(qū)間上的整體認(rèn)識.例如研究函數(shù)在區(qū)間上的符號、單調(diào)性、一致連續(xù)性、凸性等，都可能用到拉格朗日中值定理的結(jié)論.通過對函數(shù)局部性質(zhì)的研究把握整體性質(zhì)，是數(shù)學(xué)研究中的一種重要方法.問題6.4.1設(shè)f(x)gC(a,+8),f'(x)在(a,+8)存在，并且f(a)=0，當(dāng)x>a時，f(x)>0，求證當(dāng)x>a時，f(x)>0.證明Vx1>a，由已知得f(x)在［a,氣］上滿足拉格朗日中值定理，賣g［a,七］,使f(氣)一f(a)=f'(&)0：］-a),因為f任)>0,x1—a>0，所以f(x1)=f'(提牌一a)>0，所以Vx1>a，有f(氣)>0,即Vxg(a,+8),有f(x)>0.6.5估值問題證明估值問題，一般情況下選用泰勒公式證明比較簡便.特別是二階及二階以上的導(dǎo)函數(shù)估值時.但對于某些積分的估值,可以采用拉格朗日中值定理來證明.問題6.5.1設(shè)f〃(x)在［a,b］上連續(xù)，且f(a)=f(b)=0,試證明』a|f"(x)|dx>—-—max|f(x)|.bb一aa<x<b證明若f(x)三0,不等式顯然成立.若f(x)不恒等于0,存在cg(a,b)，使max|f(x)|=f(c),在［a,c］及［c,b］上分別用拉格朗中值定理，得a<x<b精品文檔作)=也f)=知,1c-a2c-b從而f(c)(b—a)(b—c)(c—a)jT廣⑴版』&i|f〃⑴dx|盤&1f〃(x)dx=1尸&)-尸(&)1=bf(c)(b—a)(b—c)(c—a)6.6證明級數(shù)收斂問題6.6.1若一正項級數(shù)芝a(a>0)發(fā)散，s=a+a++a，證明級nnn12nn=1數(shù)Y史(5>0)收斂.S1+8n=1n證明作輔助函數(shù)f(x)=—，則f'(x)=-XL-，當(dāng)n>2時，在［sn1，七］上用拉格朗日中值定理，可得f(U2(SQ=f仕)(S<&<S),

S—Snn-1nn于是aa111n—Vn—=—(一—)，S1+5^1+55S5S5nnn-1n由YL(上-—)收斂［8］,可得所證.5S5S5n=2n-1n7.結(jié)語本文初步探討了拉格朗日中值定理定理的幾種特殊證法，其中給出了分析法構(gòu)造輔助函數(shù)、幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)、區(qū)間套定理法和巴拿赫不動點定理法.幾何法是利用圖形的特征進行分析,從而構(gòu)造出需要的輔助函數(shù),與分析法有異曲同工之妙；區(qū)間套定理法和巴拿赫不動點定理法,它們不需要構(gòu)造輔助函數(shù)，也可以證明，雖說是一種很好的證法，但是比較抽象難懂.最后對拉格朗日中值定理在求極限、證明不等式、證明等式、證明函數(shù)性態(tài)、估值問題、證明級數(shù)斂散性六方面的應(yīng)用做了簡單的介紹，從而使我們加深對拉格朗日中值定理的認(rèn)識.參考文獻華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）[M].第三版.北京:高等教育出版社,2001.同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].第