排列與組合知識點

排列與組合一、兩個基本計數(shù)原理：(排列與組合的基礎)1、分類加法計數(shù)原理：做一件事，完成它可以有〃類辦法，在第一類辦法中有〃種不同的方法，在第二類辦法中有加2種不同的方法，……，在第〃類辦法中有加”種不同的方法，那么完成這件事共有N="+叫+???+叫種不同方法.2、分步乘法計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成〃個步驟，做第一步有“種不同的方法，做第二步有川2種不同的方法，……，做第〃步有加”種不同的方法，那么完成這件事共有N=mxXtn2x-xm?種不同的方法.二、排列與組合(1)排列定義：一般地，從〃個不同元素中取出vn)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從〃個不同元素中取出加個元素的一個排列：排列數(shù)用符號表示對排列定義的理解：1、定義中包括兩個基本內(nèi)容：①取出元素②按照一怎順序。因此，排列要完成的“一件事情”是〃取出加個元素，再按順序排列”2、相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列順序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列順序不相同，都是不同的排列。比如abc與acb是兩個不同的排列描述排列的基本方法：樹狀圖排列數(shù)公式：A；=-1)(/2-2)???(n-m+l)(n,eTV*)我們把正整數(shù)由1到〃的連乘積，叫做〃的階乘，用川表示，即n\=nx(H-1)x(n-2)x???x2x1,并規(guī)定0!=1□全排列數(shù)公式可寫成A：；=此由此，排列數(shù)公式可以寫成階乘式：4："=嗆?一1）（“一2）（“一〃？+1）=一一（主要用（n-my.于化簡、證明等）排列應用題的主要解題方法有：直接法、間接法（排除法）、優(yōu)先法、捆綁法、插空法、定序問題除法處理1、直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計算2、間接法（排除法）：先不考慮題目中的限制條件，求出所有的排列數(shù)，然后從中減去不符合條件的排列數(shù)，從而得到所求的排列數(shù)。因此間接法又稱排除法。3、優(yōu)先法：優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置。例題：由0,1,2,3,4,5共六個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，英中小于50萬又不是5個倍數(shù)的數(shù)有多少個？（分別用直接法、優(yōu)先法、間接法）4、捆綁法：在實際排列問題中，某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看成一個整體，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排序，這種方法稱為捆綁法，即“相鄰元素捆綁法”例2：3名男生，4需女生，全體站成一排，男生必須在一起，有幾種排列方案？5、插空法：某些元素要求不相鄰時，可以先安排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空當，也叫“不相鄰元素插空法”例3：甲、乙等6人站成一排，要求甲和乙不相鄰，有幾種站法？6、定序問題除法處理：對于左序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以左序元素的全排列例4:7人站成一排，其中甲在乙前，乙在丙前（不一左相鄰），則共有多少種不同的站法?（二）組合定義：一般地，從打個不同元素中取出m{m<n）個元素合成一組，叫做從川個不同元素中取出加個元素的一個組合；組合數(shù)用符號C：表示對組合定義的理解：（1）取出的加個元素不考慮順序，也就是說元素沒有位置要求，無序性是組合的特點.（2）只要兩個組合中的元素完全相同，則不論元素的順序如何，都是相同的組合.只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合排列與組合的區(qū)別：主要看交換元素的順序?qū)Y果是否有影響，有影響就是“有序”，是排列問題；沒周勿向就是〃無序”，是組合問題。組合數(shù)公式：C：；A：_n（n—1）（1）（Lm+1）-（njne且加<n）變式：c：：=二川”-曲-2）.…⑷+1）=c：；Sme且“7<n）加?。?）—〃2）!⑺—〃?）!組合數(shù)的兩個性質(zhì)1Cm—C①計算C；時，若m>-,通常不直接計算C：，而改為計算C：「,這樣可以減少計算量2②為了使這個公式在m=口時也成立，我們規(guī)定U=1,這只是一個規(guī)左，并沒有實際的組合意義2.例：若C；"著+C：十則〃的值為（）8B.7C.6D.不存在組合應用題主要解題方法：直接法.間接法（排除法）.隔板法1、宜接法、間接法（見上）例：在100個零件中有80個正品、20個次品，從中任意選2個進行檢測，其中至少有一個次品的選法有多少種？隔板法：解決類似不定方程整數(shù)解的個數(shù)問題例：求方程召+兀2+忑+“二10的正整數(shù)解的組數(shù)變式：將組成籃球隊的10個名額分配給7所學校?每校至少1個名額.問需額的分配方式有多少種？排列組合高考題-”、選擇題：1、（2011年高考全國卷理科7）某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本，則不同的贈送方法共有（）A.4種B.10種C.18種D20種2、（2010年高考山東卷理科8）某臺小型晚會由6個肖目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在第四位、右目乙不能排在第一位，節(jié)目丙不能排在最后一位，該臺晚會肖目演出順序的編排方案共有（）A.36種B.42種C.48種D.78種3、（2010年高考全國卷I理科6）某校開設A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有（）A.30種B.35種C.42種D.48種4、（2010年高考天津卷理科10）如圖，用四種不同顏色給圖中的A、B、C、D、E、F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色。則不同的涂色方法共有（）（）264種2-W種D.168種5、（2010年高考數(shù)學湖北卷理科8）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是（）A.152B.126C.90D.546、（2010年高考湖南卷理科7）在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字也許重復）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1,則與信息0110至多有兩個對應位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為（）A.10B.11C.12D.157、（2010年高考四川卷理科10）由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是（）A.72B.96C.108D.1448、（2010年高考北京卷理科4）8名學生和2位第師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（）A.A*B.C.正揖D.9、（2010年高考全國2卷理數(shù)6）將標號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個不同的信封中.若每個信封放2張，其中標號為1,2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（）A.12種B.18種C.36種D.54種10、（2010年高考重慶市理科9）某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有（）A.504種B.960種C.1008種D.1108種11、（2009廣東卷理）2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，英余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有（）A.36種B.12種C.18種D.48種12、（2009北京卷理）用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）A.324B.328C.360D.64813、（2009全國卷I理）甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6需男同學、2女且女同學。若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有（）A.150種B.180種C.300種D.345種14、（2009湖北卷理）將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩劃學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為（）A18B.24C.3Od.3615、（2009全國卷II理）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門。則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有（）A.6種B.12種C.30種D.36種16、（2009遼寧卷理）從5名男醫(yī)生、4女且女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有（）A.70種B.80種C.100種D.140種17、（2009湖南卷理）從10名大學生畢業(yè)生中選3個人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位（）

A85B56C49D2818、（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A85B56C49D28A.360B.188C.216D.96二、填空題：1、（2011年高「考北京卷理科12）用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有個。2、（2010年高考浙江卷17）有4位同學在同一天的上、下午參加'’身高與體重〃立泄跳’‘肺活疑”、’‘握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復。若上午不測“握力”項目，下午不測'’臺階”項目，其余項目上下午都各測試一人，則不同的安排方式共有種。3、（2010年高考江四卷理科14）將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館服務，不同的分配方案有種。4、（2009寧夏海南卷理）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動。若每天安排3人