常微分方程定解問(wèn)題數(shù)值解得概念82初值問(wèn)題的Euler方法局部截?cái)嗾`差

第八章常微分方程數(shù)值解數(shù)值分析華長(zhǎng)生制作1可編輯ppt8.1引言(基本求解公式)在工程和科學(xué)技術(shù)的實(shí)際問(wèn)題中，常需要求解微分方程只有簡(jiǎn)單的和典型的微分方程可以求出解析解而在實(shí)際問(wèn)題中的微分方程往往無(wú)法求出解析解在高等數(shù)學(xué)中我們見(jiàn)過(guò)以下常微分方程：-----------(1)-----------(2)華長(zhǎng)生制作2可編輯ppt-----------(3)(1),(2)式稱為初值問(wèn)題,(3)式稱為邊值問(wèn)題-----------(4)另外,在實(shí)際應(yīng)用中還經(jīng)常需要求解常微分方程組:本課程主要研究問(wèn)題(1)的數(shù)值解法,對(duì)(2)~(4)只作簡(jiǎn)單介紹我們首先介紹初值問(wèn)題(1)的解存在的條件華長(zhǎng)生制作3可編輯ppt定理1.

對(duì)于問(wèn)題(1),要求它的數(shù)值解華長(zhǎng)生制作4可編輯ppt-----------(1)從(1)的表達(dá)式可以看出,求它的數(shù)值解的關(guān)鍵在于求解微分方程的數(shù)值方法數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分華長(zhǎng)生制作5可編輯ppt而數(shù)值積分問(wèn)題我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò),下考慮數(shù)值微分方法微積分中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義如下：自然而又簡(jiǎn)單的方法就是，取極限的近似值，即差商!華長(zhǎng)生制作6可編輯ppt向前差商由Taylor展開(kāi)因此，有誤差華長(zhǎng)生制作7可編輯ppt向后差商誤差:中心差商華長(zhǎng)生制作8可編輯ppt常微分方程數(shù)值解的基本思想華長(zhǎng)生制作9可編輯ppt華長(zhǎng)生制作10可編輯ppt華長(zhǎng)生制作11可編輯ppt華長(zhǎng)生制作12可編輯ppt華長(zhǎng)生制作13可編輯ppt以上三種方法推導(dǎo)出同一個(gè)數(shù)值求解公式:這個(gè)數(shù)值公式稱為歐拉(Euler)公式華長(zhǎng)生制作14可編輯ppt8.2歐拉(Euler)方法華長(zhǎng)生制作15可編輯ppt華長(zhǎng)生制作16可編輯ppt誤差分析這種誤差稱為局部截?cái)嗾`差.華長(zhǎng)生制作17可編輯ppt顯示Euler公式隱式梯形公式比較下面兩個(gè)公式：華長(zhǎng)生制作18可編輯ppt改進(jìn)歐拉(Euler)方法華長(zhǎng)生制作19可編輯ppt常微分方程數(shù)值解的截?cái)嗾`差評(píng)價(jià)一個(gè)微分方程求解公式的標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)然是其精度而在求解公式中誤差項(xiàng)華長(zhǎng)生制作20可編輯ppt定義1(a).

定義1(b).

---------(*)上兩定義本質(zhì)是一樣的,前者意義直觀,后者用于計(jì)算推導(dǎo)較方便!華長(zhǎng)生制作21可編輯ppt在一般情況下,求解公式的每一步都存在誤差,因此有定義2.

定義3.

華長(zhǎng)生制作22可編輯pptEuler公式的局部截?cái)嗾`差為具有1階精度后退Euler公式的局部截?cái)嗾`差為也具有1階精度顯然一個(gè)求解公式的精度越高,計(jì)算解的精確性也就越好從