江蘇省興化市2022-2022學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)

江蘇省興化市2022～2022學(xué)年第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)（理）講評(píng)建議1．不等式的解集是_______▲_______.答案：說明：講評(píng)時(shí)要注意提醒學(xué)生對(duì)數(shù)函數(shù)要注意定義域。變式1：不等式的解集是_______▲_______.變式1：不等式的解集是_______▲_______.2．已知集合,集合，則集合中所有元素之和為______▲______.答案：說明：講評(píng)時(shí)要注意提醒學(xué)生關(guān)注集合代表元素，可結(jié)合如下常見問題幫助學(xué)生理解：。3.函數(shù)的最小正周期為_______▲_______.答案：說明：求“函數(shù)的最小正周期”等價(jià)于求“函數(shù)的最小正周期”，再結(jié)合圖象得到結(jié)論。變式1：函數(shù)的最小正周期為_______▲_______.變式2：函數(shù)的最小正周期為_______▲_______.思考：函數(shù)是周期函數(shù)嗎？4.函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，則_▲_.答案：變式1：函數(shù)在時(shí)取最大值，則_▲_.變式2：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值為_▲_.變式3：函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的值為_▲_.5．中，角所對(duì)的邊分別為,,,,則______▲______.答案：說明：本題既可使用正弦定理解決，也可使用余弦定理解決，使用正弦定理時(shí)要讓學(xué)生考慮如何對(duì)所解得的答案進(jìn)行取舍，使用余弦定理解決后要讓學(xué)生細(xì)心體會(huì)方程思想的靈活應(yīng)用。6.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值是______▲______.答案：變式1：設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值是______▲______.變式2：設(shè)變量滿足約束條件，且目標(biāo)函數(shù)的最小值是，則實(shí)數(shù)______▲______.7.為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度,則的最小值是▲.答案：說明：函數(shù)圖象的平移，實(shí)質(zhì)上是點(diǎn)的平移，點(diǎn)的位置改變引起所在圖形的位置改變，而形狀大小沒有改變，但函數(shù)的解析式發(fā)生變化。本題要先將兩個(gè)函數(shù)化為同名函數(shù)，要提醒學(xué)生注意平移方向。，即變式：為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像向最少平移個(gè)單位長度.8．已知兩點(diǎn)，分布在直線的兩側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______▲_______.答案：說明：根據(jù)直線劃分平面區(qū)域的規(guī)律，因?yàn)閮牲c(diǎn)，分布在直線的兩側(cè)，所以，解得。本題方法可推廣至一般。9．的值為_______▲_______.答案：說明：解決本題要注意兩點(diǎn)，一是函數(shù)名的變化（切化弦），二是如何將已知角用特殊角表示變式1：的值為______▲_______.變式2：是否存在實(shí)數(shù)，使等式成立？變式3：是否存在銳角，使等式成立？10.已知，且則__▲_.答案：說明：要注意讓學(xué)生思考如何用已知角表示未知角。11．已知，若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是▲.答案：說明：由已知條件可得，下面有如下幾種常見思路：思路1（消元）：由得，則，下面既可以用函數(shù)方法（求導(dǎo)），也可以用不等式方法求解。思路2:令，則，代入后用判別式法，求出最值后要注意檢驗(yàn)。思路3：注意與待求式之間的關(guān)系，我們有：，實(shí)際上，令，則問題轉(zhuǎn)化為：已知，求的最小值。這樣我們就看到了問題的本質(zhì)。12．已知函數(shù)，，，若圖像在處的切線方程為，則函數(shù)的最小值是_______▲_______.答案：說明：∵圖像在處的切線方程為，，∴，求出PBAC第13題圖13．如圖，是直線PBAC第13題圖若，,，則＝▲.（用表示）答案：說明：本題有如下幾種常見思路：思路1：以所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則根據(jù)可以求出兩點(diǎn)坐標(biāo)（用表示）思路2：如圖，設(shè)點(diǎn)C在直線AP上的射影為D，則為等腰直角三角形，PB為的中位線，則，再在三角形中用余弦定理即可求出；或根據(jù)，再在用勾股定理求出，進(jìn)而求出。本題也可作如下圖的輔助線解決（關(guān)鍵是要充分利用好中點(diǎn)條件和特殊角構(gòu)造直角三角形）： 思路3：∵，∴，則，在三角形中用余弦定理即可求出思路4： ，下同上。本題的思路4來源于課本必修5正弦定理一節(jié)證明角平分線定理的方法，一般的，有如下結(jié)論：如原題圖，（分角定理）；（張角定理）14.已知實(shí)數(shù)分別滿足，，則的值為▲.答案：說明：由于已知的兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相似，因此可考慮構(gòu)造函數(shù)。將已知等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，這是一個(gè)單調(diào)遞增的奇函數(shù)，因?yàn)樗?，從而有，。變?:若定義在R上的單調(diào)奇函數(shù)滿足，則變式2:若定義在R上的單調(diào)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，則變式1,2實(shí)際上揭示了本題命題的背景。二、解答題：（本大題共6小題,共90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟）15．(本小題滿分14分）已知，，（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．解：(1)由，兩邊平方，得：，解得，，又，所以，此時(shí)，．…………6分(2)，…………10分由，,解得，而，所以，故所求的單調(diào)遞增區(qū)間為．…………14分變式1：已知求的值.變式2：已知求的值.16．(本小題滿分15分）解關(guān)于的不等式,．解：當(dāng)時(shí)，不等式的解集是，…………3分當(dāng)時(shí)，不等式的解集是,…………6分當(dāng)時(shí)，不等式的解集是，…………9分當(dāng)時(shí)，不等式的解集是，…………12分當(dāng)時(shí)，不等式的解集是，…………15分說明：如果把的情形寫在或中也給分．變式1：解關(guān)于的不等式,．變式2：解關(guān)于的不等式,．變式3：解關(guān)于的不等式,．變式4：:解關(guān)于的不等式,．變式5：求函數(shù)的定義域，其中．17．(本小題滿分15分)中，角所對(duì)的邊分別為,已知向量,．（1）若，試判定的形狀；（2）若，且，，求的面積．解：（1）由，知,即,由正弦定理,代入上式，整理得：,即…3分而,,所以,或者，即或者，所以為等腰三角形或者為直角三角形．…7分又解：由已知得：=,結(jié)合正余弦定理得：，，整理得：，…3分所以．所以為等腰三角形或者為直角三角形．…7分（2）由，知,即，所以，,即,而，，，所以,,………………10分在中，由正弦定理得：,所以，,由，知,…………13分所以，,此時(shí)．…………15分18.(本小題滿分15分)B如圖，點(diǎn)是單位圓在第一象限上的任意一點(diǎn)，點(diǎn),點(diǎn),與軸于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),設(shè),,．B（1）求點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)，（用表示）；（2）求的取值范圍．解：（1）因?yàn)榕c軸交與于點(diǎn)，可設(shè)由、、三點(diǎn)共線，設(shè),①又，，所以，，代入①，有，因?yàn)辄c(diǎn)是單位圓在第一象限上的任意一點(diǎn)，所以且，所以，此時(shí),…………4分同理．…………7分說明:可以用直線方程或比例等其他方法求解（2）由（1）知，，，………………9分代入，得：，整理得②，整理得③②+③，解得：，……12分由，知，所以，即，故的取值范圍為．………………15分說明：可以解得此題對(duì)學(xué)生的基本功要求較高，講評(píng)時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生緊扣解題目標(biāo)，靈活機(jī)動(dòng)的簡化計(jì)算.19．(本小題滿分15分)因意外交通事故，一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中，為了治污，根據(jù)環(huán)保部門的建議：決定立即在漁塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑，已知每投放,且個(gè)單位的藥劑，它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時(shí)間(天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中，若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時(shí)，它才能起到有效治污的作用．（1）若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天?（2）因第一次投放2個(gè)單位的藥劑，治污效果不太明顯，6天后再次投放個(gè)單位的藥劑，為確保接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求的最小值．(精確到，參考數(shù)據(jù)：?。猓海?）因?yàn)?所以，…………2分當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；…………4分當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；………………6分綜上，得，若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)8天．…7分（2）當(dāng)時(shí)，==，…………10分因?yàn)?，而，所以，故?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為，…………12分令，解得，…………14分所以的最小值為．…………15分說明：解決應(yīng)用題要讀懂題意，正確地建立數(shù)學(xué)模型。特別是解決第二問時(shí)要求能充分理解題目中的這句話：“若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和，”20．(本小題滿分16分)已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：．解：（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，………3分當(dāng)時(shí)，,………5分若，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，若，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為．…7分（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，至多只有一