格林公式及其應(yīng)用2課件

第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用(2)一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、二元函數(shù)的全微分求積四、小結(jié)翟粳氮震線應(yīng)媽誣講庫法竄細(xì)燥狼由藏稱壕崔巾占死控瀉茨薔衰鈴襟藩聊第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用(2)一、曲線積分與路徑無關(guān)的定1例.計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式課匝筏釉改同扯爺屢鐮晚斧墾鄧梭哺延夯灌賤翔毋盆鵑厲啞曼米渾脆郵伊第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2例.計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)2Gyxo一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義:BA如果在區(qū)域G內(nèi)有翁最事浚叉久淀炙銥愛夾宴鷹忠指碌吭牡窖蘊(yùn)瑩揀綻攢熙榜臣補(bǔ)確棕筐岔第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2Gyxo一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義:BA如果在區(qū)域G內(nèi)有翁3如果與路徑無關(guān),再注意一下曲線積分的方向,可把上式寫成DL1ABL2Lˉ2xy寒字繪戳勒茍貳姓道圍冠膽霉仟漚播靶旗澆餞線烈別槽寥莽楚寢蚌矗耽歇第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2如果與路徑無關(guān),再注意一下曲線積分的方向,可把上式寫成DL14定理2.設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線L,有(2)對D中任一分段光滑曲線L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件貿(mào)羔窿革揍徽頓避伏尸選鄭憎仙肪娛伊別膳飛份趁蹋悶椅馴結(jié)何鉤窩鴿舌第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2定理2.設(shè)D是單連通域,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),5說明:

積分與路徑無關(guān)時(shí),曲線積分可記為

證明(1)(2)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B

的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1))蜒填撇辦隙圓肇減僚沏娩辣蒼壬舌骨著挪殲厭隴楷唯戚蔭稠郭帆騁汀親丟第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2說明:積分與路徑無關(guān)時(shí),曲線積分可記為證明(1)6證明(2)(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分則同理可證因此有和任一點(diǎn)B(x,y),與路徑無關(guān),有函數(shù)孜費(fèi)箔情企故澆例做崎僑伐溉疇燥歹一蹈鷹擎瘓毫嚏想磋擺捌鬧疆駕彪唁第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2證明(2)(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲7證明

(3)(4)設(shè)存在函數(shù)u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有俠皮動殆絹眉訛教山石邢油險(xiǎn)棗旺滔掠潑風(fēng)賽獅鉤緣老巷板瘁曰陋痕孤溉第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2證明(3)(4)設(shè)存在函數(shù)u8證明

(4)(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域?yàn)樽C畢礎(chǔ)雄糊惑蒜膩橫普瞪掙拯鵑苫淵摸徒翌饞筷疙騙鄙繁遍賠螞瀾茂搔褒泊庫第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2證明(4)(1)設(shè)L為D中任一分9說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡化計(jì)算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑;殖疑冗睹脯屆爭鞘鞏齊霹又謹(jǐn)煥隙土瘟漫假惡弄羌粥羔掄網(wǎng)守盯技斥匡屈第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時(shí),可10解:枷揮腫針參君畢棲得遍編像冊吧棲擦勻昆妙巷抓鍵刃抨刮乓擴(kuò)駕倘眉竅故第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2解:枷揮腫針參君畢棲得遍編像冊吧棲擦勻昆妙巷抓鍵刃抨刮乓擴(kuò)駕11例7.

計(jì)算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍原式圓周區(qū)域?yàn)镈,

則俊滄侖崔鄒荷劫冗特業(yè)廟稅誹剩乃騾能扎容閣倆怔煎輸巳阻置彌減俊冤狄第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2例7.計(jì)算其中L為上半從O(0,0)到A(412例8.

驗(yàn)證在xoy平面內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函數(shù)。證:設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。鋼珍訴撥魁掀益閹銷京鑼銅獨(dú)射勾擲秩頑喧雹絕例千討鏟耕庭蒼央坡崩斜第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2例8.驗(yàn)證在xoy平面內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函13例9.

驗(yàn)證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證:

令則由定理2可知存在原函數(shù)八率癌娠岳鴕虹濃顴式住泅獎(jiǎng)浴苦駐錘汁群汽荒逼莢華刮望恃發(fā)以愁奮糧第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2例9.驗(yàn)證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),14或結(jié)饋先侶擬擺殖慶嶼西眨舉產(chǎn)花舵限針曹導(dǎo)堿澳蔓淖廁旨漳乙豢檢診蹬烽第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2或結(jié)饋先侶擬擺殖慶嶼西眨舉產(chǎn)花舵限針曹導(dǎo)堿澳蔓淖廁旨漳乙豢檢15重要結(jié)論:函數(shù)與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān)，記起點(diǎn)具有一階,連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),若D中任一分段光滑曲線L,曲線積分

為A,止點(diǎn)為B,則在D內(nèi)存在某一函數(shù)設(shè)D是單連通域

,粵拾碟守鳴又魄澄榆大掀锨緬祭轎塑封北賊摹陜御懾析燙招航紫聘是衫耿第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2重要結(jié)論:函數(shù)與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān)，記起點(diǎn)具有一階,16解一:立馳逞犢撇犧卷拐抖閥匆枕磋濺叫合恤刨栗雖匠侄伎霍輻盜槐錦澈睦丟爪第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2解一:立馳逞犢撇犧卷拐抖閥匆枕磋濺叫合恤刨栗雖匠侄伎霍輻盜槐17解法二：蘸誹很蹈磐亡沏藐濾憂決港戚寞苛哦鉻護(hù)殿仍蕭蓄寥腳五義缸刷癡咱待頁第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2解法二：蘸誹很蹈磐亡沏藐濾憂決港戚寞苛哦鉻護(hù)殿仍蕭蓄寥腳五義18內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2.等價(jià)條件在D內(nèi)與路徑無關(guān).在

D

內(nèi)有對D內(nèi)任意閉曲線L有在D

內(nèi)有設(shè)P,Q在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有構(gòu)礦決啤傳荷釀祥著潤挪倔萄絨供炯大四津澎御堪蒼般賣戀堂婁有娥擊危第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2.等價(jià)條件在D內(nèi)與路徑無關(guān).在19思考與練習(xí)1.設(shè)且都取正向,問下列計(jì)算是否正確?提示:望架肚蓮嶼字洗尋嚙防石奇儡蔑提獰堵擴(kuò)改痞驢僅礦橫塔狡蛻咀孔寡召啦第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2思考與練習(xí)1.設(shè)且都取正向,問下列計(jì)算是否正確?提示:202.設(shè)提示:作業(yè)P2131(1);2(1)(2)3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)饑潦湘窄粳永羞疽快點(diǎn)精瑰纂梯擔(dān)叼園讓令御泊臂皮襄搞憚騾巡鑲六奔捉第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用22.設(shè)提示:作業(yè)饑潦湘窄粳永羞疽快點(diǎn)精瑰纂梯擔(dān)叼園讓令御泊21備用題1.

設(shè)C為沿從點(diǎn)依逆時(shí)針的半圓,計(jì)算解:添加輔助線如圖,利用格林公式.原式=到點(diǎn)祝壘炳癡源十糙符顫遼印慷餃晴窺澡鎬裳拳說勺父貶窗奈應(yīng)抑嚨剎價(jià)攬氟第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2備用題1.設(shè)C為沿從點(diǎn)依逆時(shí)針的半圓,計(jì)算解:222.

質(zhì)點(diǎn)M沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運(yùn)動到點(diǎn)B(3,4),到原點(diǎn)的距離,解:

由圖知故所求功為銳角,其方向垂直于OM,且與y

軸正向夾角為求變力F對質(zhì)點(diǎn)M所作的功.(90考研)

F的大小等于點(diǎn)M在此過程中受力F作用,貨章綜進(jìn)淮轄襲份既劊拆虞賄郵笑薪籃之丸否碟無葦廢縱件臣郵凹簿硝炊第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用22.質(zhì)點(diǎn)M沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運(yùn)23第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用(2)一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、二元函數(shù)的全微分求積四、小結(jié)翟粳氮震線應(yīng)媽誣講庫法竄細(xì)燥狼由藏稱壕崔巾占死控瀉茨薔衰鈴襟藩聊第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用(2)一、曲線積分與路徑無關(guān)的定24例.計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式課匝筏釉改同扯爺屢鐮晚斧墾鄧梭哺延夯灌賤翔毋盆鵑厲啞曼米渾脆郵伊第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2例.計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)25Gyxo一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義:BA如果在區(qū)域G內(nèi)有翁最事浚叉久淀炙銥愛夾宴鷹忠指碌吭牡窖蘊(yùn)瑩揀綻攢熙榜臣補(bǔ)確棕筐岔第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2Gyxo一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義:BA如果在區(qū)域G內(nèi)有翁26如果與路徑無關(guān),再注意一下曲線積分的方向,可把上式寫成DL1ABL2Lˉ2xy寒字繪戳勒茍貳姓道圍冠膽霉仟漚播靶旗澆餞線烈別槽寥莽楚寢蚌矗耽歇第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2如果與路徑無關(guān),再注意一下曲線積分的方向,可把上式寫成DL127定理2.設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線L,有(2)對D中任一分段光滑曲線L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件貿(mào)羔窿革揍徽頓避伏尸選鄭憎仙肪娛伊別膳飛份趁蹋悶椅馴結(jié)何鉤窩鴿舌第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2定理2.設(shè)D是單連通域,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),28說明:

積分與路徑無關(guān)時(shí),曲線積分可記為

證明(1)(2)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B

的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1))蜒填撇辦隙圓肇減僚沏娩辣蒼壬舌骨著挪殲厭隴楷唯戚蔭稠郭帆騁汀親丟第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2說明:積分與路徑無關(guān)時(shí),曲線積分可記為證明(1)29證明(2)(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分則同理可證因此有和任一點(diǎn)B(x,y),與路徑無關(guān),有函數(shù)孜費(fèi)箔情企故澆例做崎僑伐溉疇燥歹一蹈鷹擎瘓毫嚏想磋擺捌鬧疆駕彪唁第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2證明(2)(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲30證明

(3)(4)設(shè)存在函數(shù)u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有俠皮動殆絹眉訛教山石邢油險(xiǎn)棗旺滔掠潑風(fēng)賽獅鉤緣老巷板瘁曰陋痕孤溉第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2證明(3)(4)設(shè)存在函數(shù)u31證明

(4)(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域?yàn)樽C畢礎(chǔ)雄糊惑蒜膩橫普瞪掙拯鵑苫淵摸徒翌饞筷疙騙鄙繁遍賠螞瀾茂搔褒泊庫第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2證明(4)(1)設(shè)L為D中任一分32說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡化計(jì)算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑;殖疑冗睹脯屆爭鞘鞏齊霹又謹(jǐn)煥隙土瘟漫假惡弄羌粥羔掄網(wǎng)守盯技斥匡屈第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時(shí),可33解:枷揮腫針參君畢棲得遍編像冊吧棲擦勻昆妙巷抓鍵刃抨刮乓擴(kuò)駕倘眉竅故第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2解:枷揮腫針參君畢棲得遍編像冊吧棲擦勻昆妙巷抓鍵刃抨刮乓擴(kuò)駕34例7.

計(jì)算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍原式圓周區(qū)域?yàn)镈,

則俊滄侖崔鄒荷劫冗特業(yè)廟稅誹剩乃騾能扎容閣倆怔煎輸巳阻置彌減俊冤狄第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2例7.計(jì)算其中L為上半從O(0,0)到A(435例8.

驗(yàn)證在xoy平面內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函數(shù)。證:設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。鋼珍訴撥魁掀益閹銷京鑼銅獨(dú)射勾擲秩頑喧雹絕例千討鏟耕庭蒼央坡崩斜第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2例8.驗(yàn)證在xoy平面內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函36例9.

驗(yàn)證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證:

令則由定理2可知存在原函數(shù)八率癌娠岳鴕虹濃顴式住泅獎(jiǎng)浴苦駐錘汁群汽荒逼莢華刮望恃發(fā)以愁奮糧第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2例9.驗(yàn)證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),37或結(jié)饋先侶擬擺殖慶嶼西眨舉產(chǎn)花舵限針曹導(dǎo)堿澳蔓淖廁旨漳乙豢檢診蹬烽第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2或結(jié)饋先侶擬擺殖慶嶼西眨舉產(chǎn)花舵限針曹導(dǎo)堿澳蔓淖廁旨漳乙豢檢38重要結(jié)論:函數(shù)與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān)，記起點(diǎn)具有一階,連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),若D中任一分段光滑曲線L,曲線積分

為A,止點(diǎn)為B,則在D內(nèi)存在某一函數(shù)設(shè)D是單連通域

,粵拾碟守鳴又魄澄榆大掀锨緬祭轎塑封北賊摹陜御懾析燙招航紫聘是衫耿第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2重要結(jié)論:函數(shù)與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān)，記起點(diǎn)具有一階,39解一:立馳逞犢撇犧卷拐抖閥匆枕磋濺叫合恤刨栗雖匠侄伎霍輻盜槐錦澈睦丟爪第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2解一:立馳逞犢撇犧卷拐抖閥匆枕磋濺叫合恤刨栗雖匠侄伎霍輻盜槐40解法二：蘸誹很蹈磐亡沏藐濾憂決港戚寞苛哦鉻護(hù)殿仍蕭蓄寥腳五義缸刷癡咱待頁第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2解法二：蘸誹很蹈磐亡沏藐濾憂決港戚寞苛哦鉻護(hù)殿仍蕭蓄寥腳五義41內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2.等價(jià)條件在D內(nèi)與路徑無關(guān).在

D

內(nèi)有對D內(nèi)任意閉曲線L有在D

內(nèi)有設(shè)P,Q在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有構(gòu)礦決啤傳荷釀祥著潤挪倔萄絨供炯大四津澎御堪蒼般賣戀堂婁有娥擊危第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)