優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型課件

第三章優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型§3-1設(shè)計(jì)變量§3-2約束條件§3-3目標(biāo)函數(shù)§3-4優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型§3-5數(shù)學(xué)模型的幾何描述§3-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代過(guò)程及終止準(zhǔn)則第三章優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型§3-1設(shè)計(jì)變量1

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計(jì)條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)內(nèi)容2§3-1設(shè)計(jì)變量一、設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量：在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中是變化的，需要優(yōu)選的量。設(shè)計(jì)參數(shù)：在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中保持不變或預(yù)先確定數(shù)值。

可以是幾何參數(shù)：例，尺寸、形狀、位置

運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)：例，位移、速度、加速度

動(dòng)力學(xué)參數(shù)：例，力、力矩、應(yīng)力

其它物理量：例，質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、頻率、撓度

非物理量：

例，效率、壽命、成本設(shè)計(jì)向量：用

X=[x1,x2,…,xn]T

表示，

是定義在

n維歐氏空間中的一個(gè)向量?！?-1設(shè)計(jì)變量一、設(shè)計(jì)變量3二、設(shè)計(jì)點(diǎn)與設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)點(diǎn):

X(k)（x1(k),x2(k),…,xn(k)）：

是設(shè)計(jì)向量X(k)的端點(diǎn)，代表設(shè)計(jì)空間中的一個(gè)點(diǎn)，也代表第

k個(gè)設(shè)計(jì)方案?？赡苁强尚蟹桨浮⒁部赡懿皇强尚蟹桨?。設(shè)計(jì)空間

Rn

：

以x1,x2,…,xn

為坐標(biāo)軸，構(gòu)成

n維歐氏實(shí)空間Rn。它包含了所有可能的設(shè)計(jì)點(diǎn)，即所有設(shè)計(jì)方案。歐氏空間:

由于工程設(shè)計(jì)中的設(shè)計(jì)變量都是實(shí)數(shù)，所以稱這種設(shè)計(jì)空間為歐式空間二、設(shè)計(jì)點(diǎn)與設(shè)計(jì)空間歐氏空間:4三、連續(xù)量與離散量一般來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)變量大多是一些連續(xù)變化的量。

但在機(jī)械設(shè)計(jì)中，有些變量也可能是跳躍式的量。例如齒輪的齒數(shù)必須為整數(shù)，模數(shù)必須符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的值，軸承的尺寸必須符合產(chǎn)品樣本中所規(guī)定的值等。凡屬這類跳躍式的量稱為離散量。

對(duì)于離散設(shè)計(jì)變量，在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中常常把它們視作連續(xù)量，在求得連續(xù)量的優(yōu)化結(jié)果后再進(jìn)行圓整或標(biāo)準(zhǔn)化，以求得一個(gè)實(shí)用的最優(yōu)方案。三、連續(xù)量與離散量5§3-2約束條件設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的集合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上所不能接受的。如一個(gè)設(shè)計(jì)滿足所有對(duì)它提出的要求，就稱為可行設(shè)計(jì)。

一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡(jiǎn)稱約束?！?-2約束條件設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的集合6一、設(shè)計(jì)約束的類型(1)約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和不等式約束兩種類型。(2)根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束——針對(duì)性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強(qiáng)度、剛度或穩(wěn)定性等要求；邊界約束——只是對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍，對(duì)軸段長(zhǎng)度的限定范圍就屬于邊界約束。一、設(shè)計(jì)約束的類型7(3)顯式約束

隱式約束

約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式

,如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過(guò)有限元等方法計(jì)算求得。(3)顯式約束隱式約束8可行域：在可行域內(nèi)任意一點(diǎn)稱為可行設(shè)計(jì)點(diǎn)（內(nèi)點(diǎn)），代表一個(gè)可行方案,可行設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合D稱為可行設(shè)計(jì)區(qū)域。非可行域：在可行域外的點(diǎn)稱為非可行設(shè)計(jì)點(diǎn)（外點(diǎn)），代表不可采用的設(shè)計(jì)方案，這種設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合為非可行域。二、可行域和非可行域可行域：二、可行域和非可行域9§3-3目標(biāo)函數(shù)為了對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，必須構(gòu)造包含設(shè)計(jì)變量的評(píng)價(jià)函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)，以F(X)表示。在優(yōu)化過(guò)程中，通過(guò)設(shè)計(jì)變量的不斷向F(X)值改善的方向自動(dòng)調(diào)整，最后求得F(X)值最好或最滿意的X值。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計(jì)變量，所有的設(shè)計(jì)變量必須包含在約束函數(shù)中?！?-3目標(biāo)函數(shù)為了對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，必須10在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有：

體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動(dòng)負(fù)荷最小等等。

在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，這種問(wèn)題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題。在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有：在最11§3-4優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型綜上所述，最優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型一般表示如下：對(duì)于無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題：式中，

表示n維實(shí)歐氏空間?！?-4優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型綜上所述，最優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型一般12對(duì)于約束最優(yōu)化問(wèn)題：式中D表示由p個(gè)不等約束條件和q個(gè)等約束條件所規(guī)定的可行域。對(duì)于約束最優(yōu)化問(wèn)題：式中D表示由p個(gè)不等約束13通過(guò)最優(yōu)化方法求得的一組最優(yōu)設(shè)計(jì)變量：表示了一個(gè)最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方案，稱為最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)。對(duì)應(yīng)于該設(shè)計(jì)方案的目標(biāo)函數(shù)為：稱為最優(yōu)化值。最優(yōu)點(diǎn)和最優(yōu)值兩者構(gòu)成了一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。通過(guò)最優(yōu)化方法求得的一組最優(yōu)設(shè)計(jì)變量：表示了一14在數(shù)學(xué)模型中，若目標(biāo)函數(shù)F（X）和約束函數(shù)

和

都是設(shè)計(jì)變量

的線性函數(shù)，這樣的優(yōu)化問(wèn)題常稱為線性規(guī)劃問(wèn)題，否則稱為非線性規(guī)劃問(wèn)題。在數(shù)學(xué)模型中，若目標(biāo)函數(shù)F（X）和約束函數(shù)15§3-5數(shù)學(xué)模型的幾何描述為了進(jìn)一步說(shuō)明最優(yōu)化問(wèn)題的一些基本概念，下面再對(duì)它作必要的幾何描述，以便比較直觀地、形象化地理解它。先以一個(gè)二維優(yōu)化問(wèn)題為例。設(shè)有一個(gè)約束最優(yōu)化問(wèn)題，數(shù)學(xué)模型如下：§3-5數(shù)學(xué)模型的幾何描述為了進(jìn)一步說(shuō)明最優(yōu)化16對(duì)于這樣一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，可用下圖的幾何圖形來(lái)說(shuō)明幾個(gè)基本概念。對(duì)于這樣一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，可用下圖的幾何圖形來(lái)說(shuō)明17§3-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代過(guò)程

及終止準(zhǔn)則§3-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代過(guò)程18一、迭代過(guò)程與迭代格式為了適應(yīng)電子計(jì)算機(jī)的工作特點(diǎn)，要求最優(yōu)化方法具有下列性質(zhì)：數(shù)值計(jì)算，而不是解析方法；

具有簡(jiǎn)單的邏輯結(jié)構(gòu)，并能進(jìn)行反復(fù)的運(yùn)算過(guò)程：

不要求獲得精確解，而只要求有足夠精度的近似解。滿足上述要求的計(jì)算過(guò)程或計(jì)算方法就是所謂的數(shù)值迭代過(guò)程或數(shù)值迭代方法。一、迭代過(guò)程與迭代格式為了適應(yīng)電子計(jì)算機(jī)的工作19數(shù)值迭代的基本思想是：從某一個(gè)選定的初始點(diǎn)

出發(fā)，按照某種最優(yōu)化方法所規(guī)定的原則，確定適當(dāng)?shù)姆较蚝筒介L(zhǎng)，獲得第一個(gè)新的修改設(shè)計(jì)點(diǎn)

，計(jì)算此點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值

使?jié)M足：最終達(dá)到與理論最優(yōu)點(diǎn)X*非常逼近的近似最優(yōu)點(diǎn)X**。。。數(shù)值迭代的基本思想是：從某一個(gè)選定的初始點(diǎn)最20式中的

就是以

為新起始點(diǎn)，沿著一定的方向

以一定的步長(zhǎng)

確定下一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)的改進(jìn)迭代矢量。由此可知，每一步迭代格式可寫(xiě)作：——第n步迭代計(jì)算的步長(zhǎng)。式中的就是以為新起始21二、優(yōu)化方法的分類目前已有的最優(yōu)化方法很多，各種方法的區(qū)別就在于確定方向S和步長(zhǎng)a的方法不同。這些方法可大致歸納為兩大類：1．直接搜索法這種方法只需要進(jìn)行函數(shù)的計(jì)算與比較來(lái)確定優(yōu)化的方向和步長(zhǎng)。2．間接法這種方法需要利用函數(shù)的一階或二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣來(lái)確定優(yōu)化方向和優(yōu)化步長(zhǎng)。二、優(yōu)化方法的分類目前已有的最優(yōu)化方法很多，各22由于大多數(shù)工程設(shè)計(jì)問(wèn)題的設(shè)計(jì)變量比較多，函數(shù)形式也比較復(fù)雜，不易求得一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，因此在實(shí)際應(yīng)用中，直接搜索法更受工程界的歡迎。但不論何種具體的優(yōu)化算法，它們?cè)诖_定方向和步長(zhǎng)時(shí)都應(yīng)具有以下共同之點(diǎn)：（1）所選擇的優(yōu)化方向S是比較容易計(jì)算的；（2）所選擇的優(yōu)化方向應(yīng)盡可能指向目標(biāo)函數(shù)F（X）的極小點(diǎn)，

至少在每一個(gè)迭代點(diǎn)

附近是指向F（X）的極小點(diǎn)；（3）所選的步長(zhǎng)a應(yīng)在已定方向上使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小，或者至

少使目標(biāo)函數(shù)值有所下降。由于大多數(shù)工程設(shè)計(jì)問(wèn)題的設(shè)計(jì)變量比較多，函數(shù)形23三、迭代點(diǎn)列的收斂條件和終止準(zhǔn)則1．點(diǎn)列收斂的柯西準(zhǔn)則若某種迭代過(guò)程所選擇的設(shè)計(jì)點(diǎn)序列為：

若點(diǎn)列是收斂的，即存在極限：點(diǎn)列

收斂的必要與充分條件是，對(duì)于任意指定的足夠小的正數(shù)ε，存在著自然數(shù)N，使得當(dāng)兩個(gè)自然數(shù)m和p大于N時(shí)滿足：

滿足上述條件的點(diǎn)列稱為基本序列，這個(gè)條件叫做點(diǎn)列收斂的柯西準(zhǔn)則。收斂條件式也可寫(xiě)作：三、迭代點(diǎn)列的收斂條件和終止準(zhǔn)則1．點(diǎn)列收斂的柯西準(zhǔn)則242、優(yōu)化計(jì)算的終止準(zhǔn)則通常采用的計(jì)算終止準(zhǔn)則有以下幾種形式：（1）當(dāng)兩相鄰的迭代點(diǎn)

之間的距離足夠小時(shí)用矢量的長(zhǎng)度來(lái)表示，即為：

也可以用矢量長(zhǎng)度在各坐標(biāo)軸上的分量來(lái)表示，即：

2、優(yōu)化計(jì)算的終止準(zhǔn)則通常采用的計(jì)算終止準(zhǔn)則有以下幾種形式：25

（2）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的下降量已達(dá)到充分小時(shí)，即：

也可以用目標(biāo)函數(shù)值的相對(duì)下降量達(dá)到充分小時(shí)來(lái)表示，即：

（3）當(dāng)?shù)c(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)梯度達(dá)到充分小時(shí)，即：

但是這種判別準(zhǔn)則很可能把駐點(diǎn)作為最優(yōu)值點(diǎn)輸出，這是它的缺點(diǎn)。（2）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的下降量已達(dá)到充分小時(shí)，即：（3）當(dāng)?shù)?6

在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，只要滿足以上諸式中之一，就可算作目標(biāo)函數(shù)值

已收斂于函數(shù)F（X）的極小值，近似最優(yōu)化解已求得：

迭代即可以結(jié)束。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，只要滿足以上諸式中之一，就可算作27上述三個(gè)收斂準(zhǔn)則都在一定程度上反映了達(dá)到極值點(diǎn)的特點(diǎn)，但都不能保證所取得的設(shè)計(jì)點(diǎn)

是全局最優(yōu)點(diǎn)，它很可能是一個(gè)局部最優(yōu)點(diǎn)，因此有必要進(jìn)一步考查它是否為全局最優(yōu)點(diǎn)。判斷全局最優(yōu)點(diǎn)常采用的方法是：同時(shí)取若干個(gè)相距甚遠(yuǎn)的兩點(diǎn)作為初始點(diǎn)，考查它們最后迭代的最優(yōu)解是否趨于同一解。上述三個(gè)收斂準(zhǔn)則都在一定程度上反映了達(dá)到極值點(diǎn)的28第三章優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型§3-1設(shè)計(jì)變量§3-2約束條件§3-3目標(biāo)函數(shù)§3-4優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型§3-5數(shù)學(xué)模型的幾何描述§3-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代過(guò)程及終止準(zhǔn)則第三章優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型§3-1設(shè)計(jì)變量29

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計(jì)條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)內(nèi)容30§3-1設(shè)計(jì)變量一、設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量：在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中是變化的，需要優(yōu)選的量。設(shè)計(jì)參數(shù)：在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中保持不變或預(yù)先確定數(shù)值。

可以是幾何參數(shù)：例，尺寸、形狀、位置

運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)：例，位移、速度、加速度

動(dòng)力學(xué)參數(shù)：例，力、力矩、應(yīng)力

其它物理量：例，質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、頻率、撓度

非物理量：

例，效率、壽命、成本設(shè)計(jì)向量：用

X=[x1,x2,…,xn]T

表示，

是定義在

n維歐氏空間中的一個(gè)向量?！?-1設(shè)計(jì)變量一、設(shè)計(jì)變量31二、設(shè)計(jì)點(diǎn)與設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)點(diǎn):

X(k)（x1(k),x2(k),…,xn(k)）：

是設(shè)計(jì)向量X(k)的端點(diǎn)，代表設(shè)計(jì)空間中的一個(gè)點(diǎn)，也代表第

k個(gè)設(shè)計(jì)方案?？赡苁强尚蟹桨?、也可能不是可行方案。設(shè)計(jì)空間

Rn

：

以x1,x2,…,xn

為坐標(biāo)軸，構(gòu)成

n維歐氏實(shí)空間Rn。它包含了所有可能的設(shè)計(jì)點(diǎn)，即所有設(shè)計(jì)方案。歐氏空間:

由于工程設(shè)計(jì)中的設(shè)計(jì)變量都是實(shí)數(shù)，所以稱這種設(shè)計(jì)空間為歐式空間二、設(shè)計(jì)點(diǎn)與設(shè)計(jì)空間歐氏空間:32三、連續(xù)量與離散量一般來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)變量大多是一些連續(xù)變化的量。

但在機(jī)械設(shè)計(jì)中，有些變量也可能是跳躍式的量。例如齒輪的齒數(shù)必須為整數(shù)，模數(shù)必須符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的值，軸承的尺寸必須符合產(chǎn)品樣本中所規(guī)定的值等。凡屬這類跳躍式的量稱為離散量。

對(duì)于離散設(shè)計(jì)變量，在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中常常把它們視作連續(xù)量，在求得連續(xù)量的優(yōu)化結(jié)果后再進(jìn)行圓整或標(biāo)準(zhǔn)化，以求得一個(gè)實(shí)用的最優(yōu)方案。三、連續(xù)量與離散量33§3-2約束條件設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的集合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上所不能接受的。如一個(gè)設(shè)計(jì)滿足所有對(duì)它提出的要求，就稱為可行設(shè)計(jì)。

一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡(jiǎn)稱約束?！?-2約束條件設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的集合34一、設(shè)計(jì)約束的類型(1)約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和不等式約束兩種類型。(2)根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束——針對(duì)性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強(qiáng)度、剛度或穩(wěn)定性等要求；邊界約束——只是對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍，對(duì)軸段長(zhǎng)度的限定范圍就屬于邊界約束。一、設(shè)計(jì)約束的類型35(3)顯式約束

隱式約束

約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式

,如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過(guò)有限元等方法計(jì)算求得。(3)顯式約束隱式約束36可行域：在可行域內(nèi)任意一點(diǎn)稱為可行設(shè)計(jì)點(diǎn)（內(nèi)點(diǎn)），代表一個(gè)可行方案,可行設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合D稱為可行設(shè)計(jì)區(qū)域。非可行域：在可行域外的點(diǎn)稱為非可行設(shè)計(jì)點(diǎn)（外點(diǎn)），代表不可采用的設(shè)計(jì)方案，這種設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合為非可行域。二、可行域和非可行域可行域：二、可行域和非可行域37§3-3目標(biāo)函數(shù)為了對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，必須構(gòu)造包含設(shè)計(jì)變量的評(píng)價(jià)函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)，以F(X)表示。在優(yōu)化過(guò)程中，通過(guò)設(shè)計(jì)變量的不斷向F(X)值改善的方向自動(dòng)調(diào)整，最后求得F(X)值最好或最滿意的X值。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計(jì)變量，所有的設(shè)計(jì)變量必須包含在約束函數(shù)中?！?-3目標(biāo)函數(shù)為了對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，必須38在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有：

體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動(dòng)負(fù)荷最小等等。

在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，這種問(wèn)題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題。在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有：在最39§3-4優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型綜上所述，最優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型一般表示如下：對(duì)于無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題：式中，

表示n維實(shí)歐氏空間?！?-4優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型綜上所述，最優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型一般40對(duì)于約束最優(yōu)化問(wèn)題：式中D表示由p個(gè)不等約束條件和q個(gè)等約束條件所規(guī)定的可行域。對(duì)于約束最優(yōu)化問(wèn)題：式中D表示由p個(gè)不等約束41通過(guò)最優(yōu)化方法求得的一組最優(yōu)設(shè)計(jì)變量：表示了一個(gè)最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方案，稱為最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)。對(duì)應(yīng)于該設(shè)計(jì)方案的目標(biāo)函數(shù)為：稱為最優(yōu)化值。最優(yōu)點(diǎn)和最優(yōu)值兩者構(gòu)成了一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。通過(guò)最優(yōu)化方法求得的一組最優(yōu)設(shè)計(jì)變量：表示了一42在數(shù)學(xué)模型中，若目標(biāo)函數(shù)F（X）和約束函數(shù)

和

都是設(shè)計(jì)變量

的線性函數(shù)，這樣的優(yōu)化問(wèn)題常稱為線性規(guī)劃問(wèn)題，否則稱為非線性規(guī)劃問(wèn)題。在數(shù)學(xué)模型中，若目標(biāo)函數(shù)F（X）和約束函數(shù)43§3-5數(shù)學(xué)模型的幾何描述為了進(jìn)一步說(shuō)明最優(yōu)化問(wèn)題的一些基本概念，下面再對(duì)它作必要的幾何描述，以便比較直觀地、形象化地理解它。先以一個(gè)二維優(yōu)化問(wèn)題為例。設(shè)有一個(gè)約束最優(yōu)化問(wèn)題，數(shù)學(xué)模型如下：§3-5數(shù)學(xué)模型的幾何描述為了進(jìn)一步說(shuō)明最優(yōu)化44對(duì)于這樣一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，可用下圖的幾何圖形來(lái)說(shuō)明幾個(gè)基本概念。對(duì)于這樣一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，可用下圖的幾何圖形來(lái)說(shuō)明45§3-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代過(guò)程

及終止準(zhǔn)則§3-6優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代過(guò)程46一、迭代過(guò)程與迭代格式為了適應(yīng)電子計(jì)算機(jī)的工作特點(diǎn)，要求最優(yōu)化方法具有下列性質(zhì)：數(shù)值計(jì)算，而不是解析方法；

具有簡(jiǎn)單的邏輯結(jié)構(gòu)，并能進(jìn)行反復(fù)的運(yùn)算過(guò)程：

不要求獲得精確解，而只要求有足夠精度的近似解。滿足上述要求的計(jì)算過(guò)程或計(jì)算方法就是所謂的數(shù)值迭代過(guò)程或數(shù)值迭代方法。一、迭代過(guò)程與迭代格式為了適應(yīng)電子計(jì)算機(jī)的工作47數(shù)值迭代的基本思想是：從某一個(gè)選定的初始點(diǎn)

出發(fā)，按照某種最優(yōu)化方法所規(guī)定的原則，確定適當(dāng)?shù)姆较蚝筒介L(zhǎng)，獲得第一個(gè)新的修改設(shè)計(jì)點(diǎn)

，計(jì)算此點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值

使?jié)M足：最終達(dá)到與理論最優(yōu)點(diǎn)X*非常逼近的近似最優(yōu)點(diǎn)X**。。。數(shù)值迭代的基本思想是：從某一個(gè)選定的初始點(diǎn)最48式中的

就是以

為新起始點(diǎn)，沿著一定的方向

以一定的步長(zhǎng)

確定下一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)的改進(jìn)迭代矢量。由此可知，每一步迭代格式可寫(xiě)作：——第n步迭代計(jì)算的步長(zhǎng)。式中的就是以為新起始49二、優(yōu)化方法的分類目前已有的最優(yōu)化方法很多，各種方法的區(qū)別就在于確定方向S和步長(zhǎng)a的方法不同。這些方法可大致歸納為兩大類：1．直接搜索法這種方法只需要進(jìn)行函數(shù)的計(jì)算與比較來(lái)確定優(yōu)化的方向和步長(zhǎng)。2．間接法這種方法需要利用函數(shù)的一階或二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣來(lái)確定優(yōu)化方向和優(yōu)化步長(zhǎng)。二、優(yōu)化方法的分類目前已有的最優(yōu)化方法很多，各50由于大多數(shù)工程設(shè)計(jì)問(wèn)題的設(shè)計(jì)變量比較多，函數(shù)形式也比較復(fù)雜，不易求得一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，因此在實(shí)際應(yīng)用中，直接搜索法更受工程界的歡迎。但不論何種具體的優(yōu)化算法，它們?cè)诖_定方向和步長(zhǎng)時(shí)都應(yīng)具有以下共同之點(diǎn)：（1）所選擇的優(yōu)化方向S是比較容易計(jì)算的；（2）所選擇的優(yōu)化方向應(yīng)盡可能指向目標(biāo)函數(shù)F（X）的極小點(diǎn)，

至少在每一個(gè)迭代點(diǎn)

附近是指向F（X）的極小點(diǎn)；（3）所選的步長(zhǎng)a應(yīng)在已定方向上使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小，或者至