高等數學講義微分方程課件

第十一章微分方程§1。微分方程的基本概念第十一章微分方程§1。微分方程的基本概念1定義1：含有自變量、函數及函數的各階導數的方程稱為微分方程其中導數的最高階n稱為微分方程的階。滿足微分方程的函數稱為微分方程的解。含有任意常數且任意常數的個數等于微分方程的階數的解稱為微分方程的通解。確定了任意常數的解稱為微分方程的特解。確定任意常數的條件稱為微分方程的初始條件。定義2：如果微分方程中函數及函數的各階導數都是一次的，則稱微分方程為線性微分方程。定義1：含有自變量、函數及函數的各階導數的方程2§2。一階微分方程一階微分方程的一般形式我們主要討論的一階微分方程為的幾種特殊類型。1?？煞蛛x變量的微分方程可分離變量的微分方程具有如下形式§2。一階微分方程一階微分方程的一般形式我們主要討論的一階微3兩邊積分可得通解兩邊積分可得通解4oxylM(x,y)oxylM(x,y)52。齊次微分方程2。齊次微分方程6NoP(x,y)Q(x,y)yxaaαNoP(x,y)Q(x,y)yxaaα7高等數學講義第十一章微分方程-課件83。一階線性微分方程3。一階線性微分方程9高等數學講義第十一章微分方程-課件10高等數學講義第十一章微分方程-課件114。全微分方程4。全微分方程12高等數學講義第十一章微分方程-課件13§3。某些可降階的高階微分方程我們主要討論的二階微分方程為的幾種特殊類型?！?。某些可降階的高階微分方程我們主要討論的二階微分方程為的14高等數學講義第十一章微分方程-課件15高等數學講義第十一章微分方程-課件16高等數學講義第十一章微分方程-課件17§4。線性微分方程的解的結構1。二階齊次線性微分方程解的結構齊次線性微分方程具有解的疊加性§4。線性微分方程的解的結構1。二階齊次線性微分方程解的結構18高等數學講義第十一章微分方程-課件19這又稱為劉維爾公式這又稱為劉維爾公式202。二階非齊次線性微分方程解的結構2。二階非齊次線性微分方程解的結構21這種方法稱為常數變易法這種方法稱為常數變易法22高等數學講義第十一章微分方程-課件23二階線性微分方程解的結構的理論可以推廣到n階線性微分方程。二階線性微分方程解的結構的理論可以推廣到n階線性微分方程24高等數學講義第十一章微分方程-課件25§5。常系數線性微分方程1。二階常系數齊次線性微分方程§5。常系數線性微分方程1。二階常系數齊次線性微分方程26特征方程的根微分方程的通解相異實根相同實根共軛復根特征方程的根微分方程的通解相異實根相同實根27二階常系數線性微分方程解的結論可以推廣到n階常系數線性微分方程。二階常系數線性微分方程解的結論可以推廣到n階常系數線性微28特征根的情況通解中包含函數k重實根r

k重復根特征根的情況通解中包含函數292。二階常系數非齊次線性微分方程2。二階常系數非齊次線性微分方程30高等數學講義第十一章微分方程-課件31高等數學講義第十一章微分方程-課件32高等數學講義第十一章微分方程-課件33高等數學講義第十一章微分方程-課件343。歐拉方程3。歐拉方程35此即為二階常系數線性微分方程此即為二階常系數線性微分方程36第十一章微分方程§1。微分方程的基本概念第十一章微分方程§1。微分方程的基本概念37定義1：含有自變量、函數及函數的各階導數的方程稱為微分方程其中導數的最高階n稱為微分方程的階。滿足微分方程的函數稱為微分方程的解。含有任意常數且任意常數的個數等于微分方程的階數的解稱為微分方程的通解。確定了任意常數的解稱為微分方程的特解。確定任意常數的條件稱為微分方程的初始條件。定義2：如果微分方程中函數及函數的各階導數都是一次的，則稱微分方程為線性微分方程。定義1：含有自變量、函數及函數的各階導數的方程38§2。一階微分方程一階微分方程的一般形式我們主要討論的一階微分方程為的幾種特殊類型。1?？煞蛛x變量的微分方程可分離變量的微分方程具有如下形式§2。一階微分方程一階微分方程的一般形式我們主要討論的一階微39兩邊積分可得通解兩邊積分可得通解40oxylM(x,y)oxylM(x,y)412。齊次微分方程2。齊次微分方程42NoP(x,y)Q(x,y)yxaaαNoP(x,y)Q(x,y)yxaaα43高等數學講義第十一章微分方程-課件443。一階線性微分方程3。一階線性微分方程45高等數學講義第十一章微分方程-課件46高等數學講義第十一章微分方程-課件474。全微分方程4。全微分方程48高等數學講義第十一章微分方程-課件49§3。某些可降階的高階微分方程我們主要討論的二階微分方程為的幾種特殊類型?！?。某些可降階的高階微分方程我們主要討論的二階微分方程為的50高等數學講義第十一章微分方程-課件51高等數學講義第十一章微分方程-課件52高等數學講義第十一章微分方程-課件53§4。線性微分方程的解的結構1。二階齊次線性微分方程解的結構齊次線性微分方程具有解的疊加性§4。線性微分方程的解的結構1。二階齊次線性微分方程解的結構54高等數學講義第十一章微分方程-課件55這又稱為劉維爾公式這又稱為劉維爾公式562。二階非齊次線性微分方程解的結構2。二階非齊次線性微分方程解的結構57這種方法稱為常數變易法這種方法稱為常數變易法58高等數學講義第十一章微分方程-課件59二階線性微分方程解的結構的理論可以推廣到n階線性微分方程。二階線性微分方程解的結構的理論可以推廣到n階線性微分方程60高等數學講義第十一章微分方程-課件61§5。常系數線性微分方程1。二階常系數齊次線性微分方程§5。常系數線性微分方程1。二階常系數齊次線性微分方程62特征方程的根微分方程的通解相異實根相同實根共軛復根特征方程的根微分方程的通解相異實根相同實根63二階常系數線性微分方程解的結論可以推廣到n階常系數線性微分方程。二階常系數線性微分方程解的結論可以推廣到n階常系數線性微64特征根的情況通解中包含函數k重實根r

k重復根特征根的情況通解中包含函數652。二階常系數非齊次線性