年春石工0-第2章流體靜力學(xué)

2第2章流體靜力學(xué)流體靜力學(xué)：研究流體在 狀態(tài)下的平衡規(guī)律及其應(yīng)用。：流體質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于參考系沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)之間也沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。狀態(tài)包括兩種情況：1、絕對(duì)2、相對(duì)：流體整體對(duì)地球沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。：流體整體對(duì)地球有運(yùn)動(dòng)，但流體各質(zhì)點(diǎn)之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。絕對(duì)相對(duì)等加速水平直線運(yùn)動(dòng)等角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)舉例：3第2章流體靜力學(xué)說(shuō)明：流體

時(shí)，質(zhì)點(diǎn)之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以流體內(nèi)不存在切向應(yīng)力，作用在流體上表面力只有壓力。因此，研究流體在平衡狀態(tài)下的力學(xué)規(guī)律，就是研究流體內(nèi)的壓力分布規(guī)律及流體對(duì)固體壁面的作用力。由于粘性力在

流體中不顯示出來(lái)，因而本章所論及的力學(xué)規(guī)律對(duì)理想流體和實(shí)際流體都同樣適用。4第2章流體靜力學(xué)§2.1流體靜壓力及其特性1、靜壓力的概念（1）靜壓力：

流體作用在單位面積上的壓力，稱(chēng)為靜壓力，或靜壓強(qiáng)。記作“p”設(shè) 流體中某一點(diǎn)m，圍繞該點(diǎn)取一微小作用面積A，其上壓力為P，則：平均靜壓力：Ap

P：m點(diǎn)的靜壓力A0

Ap

lim

P單位：一點(diǎn)的靜壓力表示方法：國(guó)際單位：Pa物理單位：dyn/cm2工程單位：kgf/m2混合單位：1大氣壓（工程大氣壓）

=1kgf/cm2（2）總壓力：作用在某一面積上的總靜壓力，稱(chēng)為總壓力。記作“P”單位：Nm第2章流體靜力學(xué)2、靜壓力的兩個(gè)重要特性特性一、靜壓力方向

沿著作用面內(nèi)法線方向。反證法：假設(shè)靜壓力不沿內(nèi)法線方向，則只能有以下兩種情況：都將破壞流體平衡。①

沿任意方向 有切向分力②

沿外法線方向 流體受拉力這與 前提不符，故假設(shè)不成立，則原命題成立。①②5第2章流體靜力學(xué)特性二、 流體中任何一點(diǎn)上各個(gè)方向的靜壓力大小相等，與作用面方位無(wú)關(guān)。證明：采用微元體分析法①取微單元體在 流體中，在O點(diǎn)附近取出各邊長(zhǎng)分別為dx、dy、dz的微小四面體OABC。相應(yīng)坐標(biāo)軸為x、y、z。②受力分析表面力：只有法向應(yīng)力，即靜壓強(qiáng)。微元面積上的靜壓強(qiáng)可近似認(rèn)為是均勻分布的。以px、py、pz

和pn分別代表流體作用在OBC、OAC、OAB和ABC（n的方向是任意的）上的平均壓強(qiáng)，則各面上的總壓力為：6第2章流體靜力學(xué)x

x2OBC面：P

p

1

dydzy

y2OAC面：

P

p

1

dxdzz

z2OAB面：P

p

1

dxdyABC面：Pn

pn

SABC質(zhì)量力：設(shè)單位質(zhì)量力為X、Y、Z，則微元體總質(zhì)量力的分力為：x6F

X

1

dxdydz1Fy

Y

6

dxdydzz6F

Z

1

dxdydz671四面體的體積為

dxdydz流體中同一點(diǎn)處各個(gè)方向的8第2章流體靜力學(xué)62p

1

dydz

p

Sn

ABCxcosn,

x

X

1

dxdydz

0③列力的平衡方程x方向：2S

cosn,

x

1

dydzABC∵∴上式變?yōu)椋?

2

6x

np

1

dydz

p

1

dydz

X

1

dxdydz

0當(dāng)dx、dy、dz→0時(shí)，四面體縮小為O點(diǎn)，上式中的質(zhì)量力和前二項(xiàng)表面力相比為高階微量，可以忽略不計(jì)，則：px

pn同理可證：，

pz

pnpy

pn∴px

py

pz

pn由于pn的方向是任意取的，所以上式表明：靜壓力均相等，與作用面方位無(wú)關(guān)。證畢！第2章流體靜力學(xué)因此，可以把同一點(diǎn)各個(gè)方向的靜壓力都直接寫(xiě)成p，只是流體中不同點(diǎn)處的靜壓力是不同的，與該點(diǎn)所處的位置有關(guān)。在連續(xù)介質(zhì)中，一點(diǎn)的靜壓力p將是點(diǎn)坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即：p

px,

y,

z其全微分形式為：p

p

pdp

x

dx

y

dy

z

dz3、靜壓力特性的適用范圍適用于流體在進(jìn)行靜壓力測(cè)定時(shí)，根據(jù)特性二，只需確定探頭的位置即可，不用考慮方向。適用于流體與固體的交界面在進(jìn)行容器器壁的受力分析時(shí)，根據(jù)特性一，流體靜壓力垂直于器壁，并指向壁面。9第2章流體靜力學(xué)§2.2流體平衡微分方程式為了得到靜壓力

p

px,y,z

的具體分布表達(dá)式，必須首先研究平衡狀態(tài)體的受力（壓力與質(zhì)量力）應(yīng)滿足的關(guān)系，建立流體平衡微分方程式。然后根據(jù)平衡狀態(tài)下質(zhì)量力分布，將方程進(jìn)行積分，便可得到靜壓力分布規(guī)律。1、方程的建立采用微元體分析法①取微單元體在流體中取一微小正交六面體，各邊長(zhǎng)分別為

dx、dy、dz，分別與對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸平行，六面體中心為A。10第2章流體靜力學(xué)②受力分析現(xiàn)以

x

方向?yàn)槔罕砻媪Γ簩?duì)平衡流體，表面力只有壓力。設(shè)中心A點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y,z），其壓力為

p，根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，則p

p(x,

y,

z)前、后兩個(gè)邊界面形心處的壓力可表示為：

2p

p

x

1

dx,

y,

z

1p

p

x

dx,

y,

z

212根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：

px,

y,

znn!

x2

xxn11

dx

dx

p

p

x

dx,

y,

z

221

np

122p

121

2

p

1

dx

12112第2章流體靜力學(xué)略去二階以上各項(xiàng)，得：2

xp

p

1

p

dx1同理：1

pp2

p

2

x

dx∴

前后兩個(gè)面上的總壓力分別為：

2

xP

p

1

p

dx

dydz12

xP

p

1

p

dx

dydz2質(zhì)量力：六面體在x

方向質(zhì)量力為：X

dxdydz③列力的平衡方程

x方向合力為零：2

x2

x

p

1

p

dx

dydz

p

1

p

dx

dydz

X

dxdydz

0適用范圍：適用于絕對(duì)

流體及相對(duì)

流體；也適用于不可壓縮流體及可壓縮流體?？梢钥闯觯耗膫€(gè)方向有質(zhì)量力，流體靜壓力在該方向變化；哪個(gè)方向沒(méi)有質(zhì)量力，流體靜壓力在該方向不變化；假如可忽略質(zhì)量力，此流體中靜壓13力處處相等。第2章流體靜力學(xué)合并，得：x

p

dxdydz

X

dxdydz

0同除以質(zhì)量dxdydz，整理得：X

1

p

0

x同理可得：Y

1

p

0

yZ

1

p

0

z上述三式稱(chēng)為流體平衡微分方程式（或

平衡方程式）1

p

1

p

X

1

p

0Z

z

0Y

y

0

x物理意義：當(dāng)流體平衡時(shí)，作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力與壓力的合力相平衡。14第2章流體靜力學(xué)2、方程的積分1

p

1

p

X

1

p

0Z

z

0Y

y

0

x

dx

dy

dz三式相加p

dx

p

dy

p

dz

Xdx

Ydy

Zdzx

y

z∵∴dp

p

dx

p

dy

p

dzx

y

zdp

XdxYdy

Zdz此為流體平衡微分方程式的全微分形式。第2章流體靜力學(xué)對(duì)于上式：dp

XdxYdy

Zdz，如果流體不可壓縮，

=const，XdxYdy

Zdz也應(yīng)該是某一函數(shù)的全微分上式才有意義。設(shè)此函數(shù)為

Ux,y,z

，則dU

Xdx

Ydy

Zdz又dU

U

dx

U

dy

U

dzx

y

z上兩式相比較，則得：y

U

Y

x

X

U

Z

U

z

具有這樣的力函數(shù)的質(zhì)量力稱(chēng)為有勢(shì)的力，例如：重力、慣性力。15Ux,y,z——力函數(shù)（勢(shì)函數(shù)）16第2章流體靜力學(xué)結(jié)論：只有在有勢(shì)的質(zhì)量力作用體才能保持平衡。全微分表達(dá)式可寫(xiě)為：dp

dU：積分，得p

U

CC為積分常數(shù)。任一點(diǎn)處的U0、p0，則：C

p0

U0如果已知液體表面或從而，p

p0

U

U0

此為在具有力函數(shù)U的某一質(zhì)量力作用下， 流體內(nèi)任一點(diǎn)壓力p的表達(dá)式。其中，(U－U0)項(xiàng)僅由流體的密度和質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)所決定，與p0無(wú)關(guān)。p0變化，則p相應(yīng)大小也變化。因而可得到結(jié)論：在平衡狀態(tài)下的不可壓縮流體中，作用在其邊界面上的壓力，將等值、均勻地傳遞到流體的所有各點(diǎn)。這就是著名的帕斯卡定律（巴斯加定律）。第2章流體靜力學(xué)帕斯卡（Pascal，Blaise）（1623-1662)，是法國(guó)

著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家和散文家千斤頂17水壓機(jī)F1

F2A1

A218第2章流體靜力學(xué)3、等壓面等壓面：指在同一種、連續(xù)的流體中，靜壓力相等的各點(diǎn)所組成的面。等壓面上，p

=const，則：dp

0由dp

XdxYdy

Zdz，得等壓面微分方程式：Xdx

Ydy

Zdz

0應(yīng)用：當(dāng)已知X、Y、Z時(shí)，可求出等壓面方程，確定等壓面形狀。例：當(dāng)質(zhì)量力只有重力作用時(shí)，。X

Y

0,

Z

g代入等壓面微分方程，得：

gdz

0∴z

C常數(shù)

為一簇水平面。絕對(duì)流體即質(zhì)量力只有重力作用下的流體的等壓面是水平面。第2章流體靜力學(xué)是不是下面所取的水平面哪個(gè)是等壓面？19第2章流體靜力學(xué)20等壓面的三個(gè)特性：（1）等壓面就是等勢(shì)面。（2）等壓面上任一點(diǎn)的質(zhì)量力必與該等壓面相垂直。等壓面上，p=const，dp

=0由dp

=dU，得

dU

=0，則U

=const在等壓面上任取一點(diǎn)，所受單位質(zhì)量力為：f

Xi

Yj

Zk在等壓面上移動(dòng)任意微小位移：dl

dxi

dyj

dzk都不為零f

，

dl∴

質(zhì)量力做功：f

dl

Xdx

Ydy

Zdz

0∵∴f

dl，由此可知：質(zhì)量力與等壓面互相垂直。應(yīng)用：①已知質(zhì)量力方向，求等壓面的形狀；②已知等壓面形狀，確定質(zhì)量力方向。第2章流體靜力學(xué)（3）兩種互不相混的平衡流體的交界面是等壓面。1p1

p22設(shè)dp為分界面上極近兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差，dU為分界面上極近兩點(diǎn)的力勢(shì)差。對(duì)密度1流體：dp

1dU對(duì)密度2流體：dp

2dU1

221∴

這組等式只有在

dp

dU

0

情況下，才能同時(shí)成立則p

const

，U

const∵1和2都不為零22第2章流體靜力學(xué)§2.3重力作用下的流體平衡平衡方程方程式是一普遍規(guī)律，在任何質(zhì)量力作用下都是適用的。工程上最常見(jiàn)的情況是質(zhì)量力只有重力作用下的情況，例如：絕對(duì)就屬于這種情況。下面對(duì)這種平衡情況的壓力分布規(guī)律進(jìn)行

。1、靜力學(xué)基本方程式設(shè)有一容器裝有流體，在地面上此時(shí)質(zhì)量力只有重力。不動(dòng)，12hhoxyzp0取坐標(biāo)系如圖，液面壓強(qiáng)為p0，于是：?jiǎn)挝毁|(zhì)量力分量：X

Y

0Z

gdp

XdxYdy

Zdzdz

dp

0∵∴

dp

gdz

dz∴g23第2章流體靜力學(xué)對(duì)不可壓縮流體，

const，積分上式，可得z

p

C此為靜力學(xué)基本方程。式中，C為積分常數(shù)，可由邊界條件確定。對(duì)于在

流體中任取1，2兩點(diǎn)，則有：p

const

z

z

p2211上述公式表明：在質(zhì)量力只有重力作用下的流體中任一點(diǎn)的z

p

均相等。z

p

C

也可寫(xiě)成：p

z

C

C

C表面上，z

0p

p0

，代入上式，得：C

p0故p

p0

z24第2章流體靜力學(xué)取液面以下深度為h，則

h

z

，于是p

p0

h此為靜力學(xué)基本方程的另一種形式。式中，p0

——液面上的壓強(qiáng)；

——液體的重度；h——計(jì)算點(diǎn)的淹沒(méi)深度。說(shuō)明：流體中任一點(diǎn)靜壓力等于表面壓力p0加上該點(diǎn)到垂向單位面積上的小液柱重量。將公式推廣，流體中深度不同的兩點(diǎn)1和2，則有表面之間p2

p1

hh

——兩點(diǎn)深度差。靜壓力隨深度h呈線性增加。深度相同各點(diǎn)壓力相等，等壓面為水平面。靜力學(xué)基本方程的應(yīng)用條件：質(zhì)量力僅有重力、均質(zhì)、連續(xù)、不可壓縮流體。第2章流體靜力學(xué)2、壓力的表示方法壓力的大小可以從不同的基準(zhǔn)算起，因而有不同的表示方法。①

絕對(duì)壓力p絕

：是以物理真空為零點(diǎn)而計(jì)量的壓力。故壓力永為正值。③真空壓力（真空度）：絕對(duì)壓力小于當(dāng)?shù)卮髿鈮憾a(chǎn)生真空的程度。②相對(duì)壓力（表壓力）：以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽榱泓c(diǎn)而計(jì)量的壓力。p絕

p0

h若

液面壓力，則p0

pap絕

pa

hp表

p絕

pa若

液面壓力，則p0

pap表

hp真

pa

p絕

p表真若以液柱高度表示就稱(chēng)為真空高度，即h

p真

pa

p絕注意：真空度是正值。用氣壓表測(cè)量。ap

——當(dāng)?shù)卮髿鈮海?2hhoxyzp026第2章流體靜力學(xué)三種壓力表示方法之間的相互關(guān)系：例題：已知

p絕

0.5at

，pa

1at∴p表

p絕

pa

0.5

1

0.5atp真

pa

p絕

1

0.5

0.5at即：

流體中各點(diǎn)測(cè)壓管水頭27是一常數(shù)。第2章流體靜力學(xué)3、靜力學(xué)基本方程式的意義z

p

C（1）幾何意義開(kāi)敞容器的水頭——當(dāng)?shù)卮髿鈮簻y(cè)壓管液面到基準(zhǔn)面高度由

z

和p

兩部分組成。paz表示該點(diǎn)位置到基準(zhǔn)面的高度；p

表示該點(diǎn)表壓力相當(dāng)?shù)囊褐叨?。在流體力學(xué)中稱(chēng)液柱高度為“水頭”z

——位置水頭；pz

p

——壓力水頭；

——測(cè)壓管水頭。

p22z

p1

z圖中：1封閉容器的水頭28第2章流體靜力學(xué)（2）物理意義z

——比位能，表示單位重量流體所具有的位置勢(shì)能。p

——比壓能，表示單位重量流體所具有的壓力勢(shì)能。z

p

——比勢(shì)能，表示單位重量流體所具有的總勢(shì)能。即在 流體中，單位重量流體的總勢(shì)能處處相等。說(shuō)明：位能與壓能可以相互轉(zhuǎn)換，但其總和保持不變，因此說(shuō)靜力學(xué)基本方程是能量守恒定律在流體靜力學(xué)中的具體表現(xiàn)。

p22

p1

z1圖中：z29第2章流體靜力學(xué)4、壓力的度量單位①應(yīng)力單位：Pa，即N/m2②工程大氣壓?jiǎn)挝虎垡褐邌挝?at

（工程大氣壓）

=

1

kgf/cm2

= 9.8×104

Pa常以水柱高、水銀柱高表示壓強(qiáng)的大小。1atm

（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）＝

760

mmHg

＝13.6×9800×0.76

N/m2＝

101292.8

Pa＝

1.0336

kgf/cm2例：一個(gè)工程大氣壓相當(dāng)于

柱高：h

0.735mHg

735mmHg13.6

98009.8104p

hh

p一個(gè)工程大氣壓相當(dāng)于水柱高：

10mH2O98009.8104h

第2章流體靜力學(xué)30§2.4測(cè)壓計(jì)測(cè)量壓力的儀器一般有兩大類(lèi)：液式測(cè)壓計(jì)和金屬測(cè)壓計(jì)。一、液式測(cè)壓計(jì)原理：它是利用液柱重量與被測(cè)液體壓力相平衡原理制成的測(cè)壓儀表。涉及到的知識(shí)：①靜力學(xué)基本方程

p

p0

h

；②等壓面。第2章流體靜力學(xué)（1）測(cè)壓管由被測(cè)液體直接引出來(lái)的液體高度來(lái)測(cè)壓，是一種最簡(jiǎn)單的測(cè)壓儀器。：A點(diǎn)的壓力pA絕

pa

hpA表

h

0.2

kgf

cm2表例如：p對(duì)水，則

2mH2O98000.2

9.8104h

測(cè)壓管只能測(cè)較小的壓力，所測(cè)壓力較大時(shí)，測(cè)壓管高度需要很高，很不方便。31第2章流體靜力學(xué)（2）U型管測(cè)壓計(jì)當(dāng)所測(cè)壓力較大時(shí)，改用U型管測(cè)壓計(jì)，利用其一端接在容器的測(cè)點(diǎn)上。較大的水銀作工作液，（a）測(cè)點(diǎn)壓力大于大氣壓的情況A-A為等壓面：則絕

1

a

hp∴

測(cè)點(diǎn)表壓力為：p表

p絕

pa

h2

h1（b）測(cè)點(diǎn)壓力小于大氣壓的情況A-A為等壓面：則p絕

h1

h2

pa∴

測(cè)點(diǎn)真空度為：p真

pa

p絕

h1

h2p＞pap＜pa第2章流體靜力學(xué)由于一個(gè)工程大氣壓相當(dāng)于735mm水銀柱高度，所以水銀測(cè)壓計(jì)的量測(cè)范圍可以達(dá)到1～2個(gè)大氣壓。（3）組合U型管測(cè)壓計(jì)由于氣體的重度很小，可以忽略氣柱的重量。A-A、B-B為等壓面。則測(cè)點(diǎn)表壓力為：hh

表33第2章流體靜力學(xué)（4）比壓計(jì)（壓差計(jì)）測(cè)量?jī)牲c(diǎn)壓強(qiáng)差的儀器叫比壓計(jì)。在流體力學(xué)最簡(jiǎn)單的兩種比壓計(jì)如下圖所示：應(yīng)用較廣泛。：管道上部為倒U型管式氣

差計(jì)管道下部為U型管式

差計(jì)：p1

p2

Hp

p

h1

2從計(jì)算公式可見(jiàn)，

差計(jì)量程大，而氣

差計(jì)的準(zhǔn)確度高。液式測(cè)壓計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單，使用方便，準(zhǔn)確度高。缺點(diǎn)：量程小，常在

內(nèi)使用。3435第2章流體靜力學(xué)二、金屬測(cè)壓計(jì)金屬測(cè)壓計(jì)是利用各種不同形狀的彈性元件在被測(cè)壓力的作用下產(chǎn)生彈性變形的原理而制成的測(cè)壓儀表。用來(lái)測(cè)量較高的壓力。常用的有彈簧管式（圖a）和薄膜式（圖b）兩種。要認(rèn)識(shí)“兩塊表”：壓力表：只測(cè)正壓，測(cè)得壓力是表壓力。真空表：只測(cè)負(fù)壓，測(cè)得壓力是真空度。思考1：水泵的排水管和吸水管上分別應(yīng)安裝哪種表？思考2：一個(gè)壓力表放在大氣中，指針讀數(shù)為零，那么用此壓力表所測(cè)的壓強(qiáng)是A．絕對(duì)；Ｂ．真空．Ｃ．相對(duì)（

Ｃ）壓強(qiáng)。試求A液體中M點(diǎn)處的壓強(qiáng)：A液體是水，B液體是水銀，y＝60cm，z＝30cm。例題1：pM表

B

z

A

y

13.6

9800

0.3

9800

0.6

45864Pa解：36例題2：今有U形管，內(nèi)裝水和四氯化碳（CCl4），。試求四氯化碳的相對(duì)密度。

CCl

h34

水h1

水h28.03

1

2

30.6

17.8

1.64h

h

h水

CCl∴

CCl4解：h1h2h337papa分別說(shuō)明下面兩種情況下，測(cè)壓管內(nèi)液體上升的高度是多少？真空思考題pa38第2章流體靜力學(xué)§2.5幾種質(zhì)量力作用下的流體平衡（相對(duì)平衡）流體隨容器一起相對(duì)于地球在運(yùn)動(dòng)，只要把坐標(biāo)系選在容器上，則流體對(duì)選定的坐標(biāo)系也是處于

狀態(tài)的，稱(chēng)為相對(duì)

或相對(duì)平衡。相對(duì)等加速水平直線運(yùn)動(dòng)等角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)39第2章流體靜力學(xué)1、等加速水平運(yùn)動(dòng)容器中流體的相對(duì)平衡設(shè)盛有液體的容器沿水平面以等加速度a

作直線運(yùn)動(dòng)，如圖示。建立坐標(biāo)系：將坐標(biāo)系固定在運(yùn)動(dòng)著的容器問(wèn)題處理方法：根據(jù)達(dá)朗伯原理，可把慣性力加在運(yùn)動(dòng)流體上，則將這種問(wèn)題作為

狀態(tài)來(lái)處理。主要目的：求出①容器中流體的壓力分布規(guī)律；②等壓面方程。具體分析方法：受力分析找出X、Y、Z，代入dp

XdxYdy

Zdz

和Xdx

Ydy

Zdz

0，然后進(jìn)行積分。下面分別 兩種典型情況：上，原點(diǎn)取在容器未運(yùn)動(dòng)時(shí)的

液面中心

O處。x軸與加速度

a方向相同，z

軸垂直向上為正。40第2章流體靜力學(xué)質(zhì)量力重力：mg直線慣性力：ma單位質(zhì)量力分量為：X

=-a,Y

=0,Z

=-g（1）流體靜壓力分布∵∴dp

XdxYdy

Zdzdp

adx

gdz：積分上式，得p

ax

gz

C原點(diǎn)O處的邊界條件：當(dāng)x

=z

=0時(shí)，p=p0∴

C

=

p0，于是p

p0

ax

gz此時(shí)，p與x、z有關(guān)。4142第2章流體靜力學(xué)（2）等壓面方程∵

Xdx

Ydy

Zdz

0∴

adx

gdz

0∴

adx

gdz

0：積分上式，得ax

gz

C此為等壓面方程，為一簇平行的斜平面。傾角：g

arctan

a（利用質(zhì)量力的合力與等壓面相垂直）（3）

液面方程液面上，壓力都為

p0，是一等壓面。取原點(diǎn)坐標(biāo)x

=0，z

=0，代入ax

gz

C

中，得：C

=0。此時(shí)，以zs

代替z∴

液面方程：ax

gzs

0或gsz

a

x第2章流體靜力學(xué)圖中任一點(diǎn)m的壓力還可表示為：p

p0

ax

gz

p0

gzs

gz

p0

gzs

z

p0

h∴p

p0

hh

——

傾斜

液面下某點(diǎn)的淹沒(méi)深度。流體的靜壓力分布規(guī)律相同。這與絕對(duì)表明：等加速水平運(yùn)動(dòng)容器中，流體內(nèi)任一點(diǎn)的靜壓力等于液面上的壓力p0

加上液體的重度與該點(diǎn)淹沒(méi)深度的乘積。43例:汽車(chē)上裝有內(nèi)充液體的U形管，

0.5m，L

汽車(chē)在水平路面上沿直線等加速行駛，加速度為試求U形管兩支管中液面的高度差。

0.5

sm2

hLtan

a

h1

h2g

Lh

aL

0.5

0.5

0.0255m

25.5mmg

9.8解：當(dāng)汽車(chē)在水平路面上作等加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，U形管兩支管的液面在同一斜面上,設(shè)該斜面和水平方向的夾角為

,由題意知由上式可解出兩支管液面差的高度a

g44液體的相對(duì)平衡第2章流體靜力學(xué)2、等角速旋轉(zhuǎn)容器中流體的相對(duì)平衡設(shè)盛有液體的容器繞本身的垂直中心軸以等角速度

旋轉(zhuǎn)，如圖示。建立坐標(biāo)系：將坐標(biāo)系固定在運(yùn)動(dòng)著的容器上，原點(diǎn)O取在旋轉(zhuǎn)軸與液面交點(diǎn)處，z軸垂直向上為正。重力：mg離心慣性力：m2r質(zhì)量力單位質(zhì)量力分量為：Z

g2

2Y

r

sin

yX

2r

cos

2

xg45第2章流體靜力學(xué)（1）流體靜壓力分布∵∴dp

XdxYdy

Zdzdp

2

xdx2

ydy

gdz積分，得

gz

C2

2

2

x2

2

y2p

或

gz

C2

2r

2p

x2

y2

r2

邊界條件：原點(diǎn)

r

=0，z

=0

處，p

=p0C

p0：∴于是

gz2

2r

2p

p0

或

z

2g0

2r

2p

p

表明：在同一高度上，液體靜壓力沿徑

2

r

22g向按半徑二次方增長(zhǎng)。例如：z

=0平面上，p

p0

4647第2章流體靜力學(xué)（2）等壓面方程∵∴Xdx

Ydy

Zdz

02

xdx

2

ydy

gdz

0積分，得gz

C2

22

x2

2

y2

或gz

C2r

2

2此為等壓面方程，是一簇旋轉(zhuǎn)拋物面。（3）

液面方程液面上壓力都為

p0

，是一等壓面。取原點(diǎn)r

=0，z

=0

，代入gz

C2r

2

2得C

0在

液面上，以

zs

代替

z∴gzs

0

2r

2

2或

2

r

2zs

2g48第2章流體靜力學(xué)圖中任一點(diǎn)m的壓力還可表示為：

2r

2p

p0

2g

z

p0

zs

z

p0

h∴p

p0

hh

——

液面下某點(diǎn)的淹沒(méi)深度。流體的靜壓力分布規(guī)律相同。這也與絕對(duì)表明：等角速旋轉(zhuǎn)容器中，流體內(nèi)任一點(diǎn)的靜壓力等于液面上的壓力p0

加上液體的重度與該點(diǎn)淹沒(méi)深度的乘積。第2章流體靜力學(xué)相對(duì)平衡小結(jié)：等加速水平直線運(yùn)動(dòng)等角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量力重力、慣性力，X

=

-a，Y

=

0，Z

=

-g重力、慣性力，X

=

2x，Y

=

2y，Z=-g壓強(qiáng)分布p

p0

ax

gz

2r

2

p

p0

2g

z

等壓面方程ax

gz

C2r

2

gz

C2液面方程z

a

xs

gz

r2

2s

429g第2章流體靜力學(xué)Z

gY

0思考題：容器與流體一起作勻速水平直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)壓力分布規(guī)律和等壓面？提示：?jiǎn)挝毁|(zhì)量力分量：X

0同絕對(duì)流體規(guī)律一樣。o50例

題已知

時(shí)，桶內(nèi)水深h，桶半徑R。求，多大時(shí)，可露出筒底。解：∴將坐標(biāo)系固定在容器上，原點(diǎn)O取在旋轉(zhuǎn)軸與液面的交點(diǎn)（即筒底），

。設(shè)拋物型的

液面所圍體積為V1，取微元體積

dV1，則，2g

2

r

2液面方程：zs

21dV

r

dz

2r

2

2gzs∴ssdz

22gz1dV

積分，得

21

20011

2

21z

2ghg1

2gz

hsshs

dz

V

dV

hrORz51522g

2

R2又

∵

h1

zs

r

R4g

2

R42g21V

g

2

R2

21

122R

h

VR

h

∴由∴2g

4g

4g

2

R2

2

R2

2

R2

2

R4

h

h1

4gR2

∴R

2

gh（水的體積不變）R

h212R

h

12另解：拋物面所圍成的旋轉(zhuǎn)體的體積等于其外切圓柱體積的一半。由此，可知這道題中水的體積也占了外切圓柱體積的一半，則：這樣求更簡(jiǎn)單。53補(bǔ)充內(nèi)容：靜壓力分布圖的畫(huà)法依據(jù)：①靜壓力的特性；②靜力學(xué)基本方程：p

p0

h1、對(duì)鉛垂平面paABhpapaABh用絕對(duì)壓力表示用表壓力表示注：工程設(shè)計(jì)中常繪制表壓力分布圖542、對(duì)于傾斜平面及復(fù)雜平面或曲面①在給定的壁面附近畫(huà)出一個(gè)假想的鉛垂平面，在此平面上作出輔助的壓力分布圖。②根據(jù)同一深度壓力大小相等的原則（即箭頭線長(zhǎng)短相等），在給定壁面上的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫(huà)出來(lái)表示靜壓力大小的簡(jiǎn)明箭頭，方向垂直指向壁面，從而畫(huà)出復(fù)雜壁面上的壓力分布圖。pahh輔助圖斜平面情況pahh輔助圖曲面情況55例（P60）：試?yán)L制AB面上的壓強(qiáng)分布圖。56第2章流體靜力學(xué)§2.6

流體作用在平面上的總壓力第2章流體靜力學(xué)§2.6

流體作用在平面上的總壓力說(shuō)明：壓強(qiáng)一般采用表壓力計(jì)算原因：當(dāng)液面上作用為大氣壓強(qiáng)pa時(shí)，在壁的內(nèi)外側(cè)均有大氣壓作用，且方向相反，互相抵消，故在計(jì)算器壁所受的總壓力時(shí)，只考慮液體對(duì)壁面產(chǎn)生的作用力，即：用表壓計(jì)算就可以直接求得壁面所受的總壓力，而不用再減去壁外面大氣壓作用的力了。58第2章流體靜力學(xué)1、總壓力的大小、方向設(shè)流體作用在任意形狀的平面上，它與水平面的傾角為，面積為A。建立坐標(biāo)系如圖：x、y軸取在平面上，取平面或平面的延伸面與液面的交線為Ox

軸，z

軸垂直于平面。為看清平面形狀，將平面繞Oy軸旋轉(zhuǎn)90°，轉(zhuǎn)到黑板面上。設(shè)液體的重度為，液面壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)

pa。平面上各點(diǎn)深度不同，水靜壓力也不同，但都垂直于平面，組成一平行力系。5960第2章流體靜力學(xué)分析方法：在平面上取一微元面積dA，所處深度為h，其上壓強(qiáng)為p，則dA上的總壓力為：dP

p

h

y

sin

dP

y

sin

dA又∵∴AAA

dP積分，得平面上的總壓力：Pysin式中，——平面A

對(duì)x軸的面積矩。A

ydA由理論力學(xué)知：A

ydA

yc

Ayc

——面積

A

的形心

C

到Ox軸的距離?！郟

sin

yc

A

hc

A

pc

Ahc

——面積

A

的形心

C

的垂深；pc

——形心

C

處的靜壓力。P

hc

A

pc

A61第2章流體靜力學(xué)上式說(shuō)明：作用在任意形狀平面上的總壓力大小等于該平面的面積與其形心處?kù)o壓力的乘積?？倝毫Φ姆较颍捍怪敝赶蜃饔妹妗?、總壓力的作用點(diǎn)——壓力中心對(duì)稱(chēng)平面的壓力中心D

點(diǎn)的位置，只需確定一個(gè)y坐標(biāo)即可。由平行力系的力矩原理：各分力對(duì)某軸的力矩之和等于合力對(duì)該軸的力矩。即：ADP

y

ydP將代入上式，得：dP

y

sin

dAP

sin

yc

Ay

y

sin

dA

sin

yc

AyD

A化簡(jiǎn)，得：Jyc

A yc

AyD

A

x

y2dA，式中為面積A

對(duì)Ox軸的慣性矩。AxJ

y

dA2第2章流體靜力學(xué)根據(jù)慣性矩的平行移軸定理：2Jx

Jc

yc

AJc

——面積

A

對(duì)通過(guò)形心

C

軸的慣性矩；yc

——形心

C

到

液面的Ox軸的距離。特別注意這一點(diǎn)∴y

AJy

Ayccc

cD

y

Jc

yc

A2因0

，故

yD

yc

，即D

點(diǎn)在C

點(diǎn)的下方。y

AJcc壓力中心D與形心C的距離（偏心距）：y

AcJcyD

yc

注意：Jc

可通過(guò)查手冊(cè)得到。說(shuō)明：對(duì)于垂直平面，則有h

AJccyD

hD

hc

第2章流體靜力學(xué)表2—1

常見(jiàn)平面形心位置及通過(guò)形心軸的慣性矩第2章流體靜力學(xué)當(dāng)液面壓力

p0

pa度

，再利用時(shí)導(dǎo)出的公式進(jìn)行計(jì)算。時(shí)，可推導(dǎo)出：P

p0

hc

AyD

yc

sin

Jcp0

sin

yc

A但是，一般不直接代入以上公式進(jìn)行計(jì)算，而是采用折算法。0表折算法：先將液面壓力p0

折算為pa，使液面升高或降低一個(gè)液柱高pap

p0當(dāng)液面壓力

p0

pa

時(shí)，一定要考慮液面壓力

p0

的作用。（見(jiàn)歸柯庭，《工程流體力學(xué)》，科學(xué)

，P50）64方向：垂直指向作用面壓力中心：斜平面時(shí)：平面上總壓力的計(jì)算：分p0＝pa和p0≠pa兩種情況1、對(duì)于p0＝pa的情況：（1）大?。篜

hc

A垂直平面時(shí)：2、對(duì)于p0

≠pa的情況：將液面折算：增加或減去一個(gè)液柱高度情況。，化為p0＝pa的y

ACCD

Jc

y

yh

p0表h

AJcchD

hc

小結(jié)65第2章流體靜力學(xué)靜水奇象66思考?容器底面上受總壓力均相等例題：直徑求斜壁上圓形

上的總壓力及壓力中心。已知d

=0.5

m，a=1

m，

=60°。解：

形心的淹深：

2

h

a

d

sin

c上的總壓力：24dcsin

d

2

P

h

A

a

sin

60

0.5240.52

2082N

9800

1壓力中心：d

464d

22

4d

y

A

JccDcy

y

a

2

a

d

1.263m672

0.5

0.522

2

d

216

11

0.5

2

d

16

a

a

d

第2章流體靜力學(xué)§2.7

流體作用在曲面上的總壓力例

塔、鍋爐、油罐、弧形

等。68第2章流體靜力學(xué)曲面上各點(diǎn)的流體靜壓力都垂直指向受壓面，不同點(diǎn)所受壓力的大小和方向是變化的，這樣就形成了復(fù)雜的空間力系。下面以工程上常見(jiàn)的二向曲面（柱面的一部分）為例，說(shuō)明確定總壓力的分析方法及其計(jì)算公式，然后再將結(jié)論推廣到一般曲面設(shè)有一承受液體壓力的二向柱形曲面，面積為A，如圖。建立坐標(biāo)系：y軸與二向曲面的母線平行，則曲面在xoz面上的投影為曲線ab。69第2章流體靜力學(xué)1、總壓力的大小、方向在曲面ab上任取一微元面積dA，其淹沒(méi)深度為h，則流體作用在微元上總壓力為：dP

hdAdPx

dPcos

hdAcos

hdAxdPz

dPsin

hdAsin

hdAz（1）水平分力：Px

A

dPx

A

hdAxA

hdAx

為面積A在yoz坐標(biāo)面上投影面積Ax對(duì)y軸的面積矩，有A

hdAx

hc

Ax即流體作用在曲面上總壓力的水平分力等于流體作用在該曲面Px

hc

Axx對(duì)垂直坐標(biāo)面yoz的投影面A

上的總壓力。水平分力Px作用線通過(guò)Ax的壓力中心：c

xh

AJchD

hc

第2章流體靜力學(xué)（2）垂直分力：Pz

AdPz

AhdAzA

hdAz它相當(dāng)于從曲面起向上引到液面的若干微小柱體的體積總和abcd，稱(chēng)為壓力體，用“V”表示。Pz

V即流體作用在曲面上總壓力的垂直分力等于壓力體中液體的重量，其作用線通過(guò)壓力體的重心。（3）總壓力的大小和方向：將上述總壓力的兩個(gè)分力，即得到液體作用在曲面上的總壓力P

P

2

P

2x

zPz總壓力方向垂直于作用面且與垂線之間的夾角：

arctan

Px第2章流體靜力學(xué)2、總壓力的作用點(diǎn)水平分力Px作用線通過(guò)投影面積Ax的壓力中心而指向受壓面。垂直分力Pz作用線通過(guò)壓力體的重心而指向受壓面。故，總壓力作用線必然通過(guò)這兩條作用線的交點(diǎn)D，且與垂直線成角。這條總壓力作用線延長(zhǎng)與曲面的交點(diǎn)D就是總壓力在曲面上的作用點(diǎn)。72第2章流體靜力學(xué)3、壓力體AzhdA是一體積，叫壓力體，這是一個(gè)純數(shù)學(xué)概念，與其滿著液體無(wú)關(guān)。是否充另外，從壓力體的組成（幾何圖形），也可以將壓力體的概念定義為：壓力體：是指由液體的表面（或其延伸面）、受壓曲面和由該曲面的邊線引向

液面（或其延伸面）的鉛垂面所圍成的體積。根據(jù)垂直分力的方向又分實(shí)壓力體和虛壓力體兩種：（1）實(shí)壓力體

（2）虛壓力體Pz

↓，充滿流體，用“＋”表示Pz

↑，沒(méi)有流體，用“－”表示73第2章流體靜力學(xué)復(fù)雜曲面的壓力體，可以采用分段疊加的方法畫(huà)出74曲面上總壓力的計(jì)算：分p0＝pa和p0≠pa兩種情況：對(duì)于p0＝pa的情況：，（2）方向：，為P與垂直方向的夾角。（3）作用點(diǎn)：由Px

與Pz

作用線共同確定。對(duì)于p0

≠pa的情況：將液面折算：增加或減去一個(gè)高度，化為p0＝pa的情況。zxP

2

P

2（1）大?。篜

，而Px

hc

AxPz

Vtan

PxPzh

p0表小結(jié)75例題：密閉容器

，內(nèi)盛水，其側(cè)壁上有一半徑R=1m的半球形蓋子。已知p0

=

2

at（絕對(duì)壓強(qiáng)），H

=

4

m。試求半球形蓋子上總壓力的大小

和方向。（設(shè)當(dāng)?shù)卮髿鈮簆a

=

1

at）解：p0表

p0

pa

2

1

1at折算成水柱高度：10mH2O9800

p0表

1

9.810

4H0此時(shí)，hc

H0

H

10

4

14m∴

0

RHhHPA24.1

10350N8N149830.0142cxxPzV∴P

P

2

P

2

4.3081052

2.051104

2

4.313105

Nx

z總76例題：77

87.34.308