生物數(shù)學(xué)課件

2-1第二章第二章

參數(shù)估計(jì)2-1第二章第二章參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)2-1通過子樣對(duì)總體未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)內(nèi)容參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)估計(jì)2-1通過子樣對(duì)總體未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)內(nèi)容參數(shù)的點(diǎn)估什么是參數(shù)估計(jì)？參數(shù)是刻畫總體某方面概率特性的數(shù)量.當(dāng)此數(shù)量未知時(shí),從總體抽出一個(gè)子樣，用某種方法對(duì)這個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)就是參數(shù)估計(jì).例如，X~N(,2),

點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)若,2未知,通過構(gòu)造樣本的函數(shù),給出它們的估計(jì)值或取值范圍就是參數(shù)估計(jì)的內(nèi)容.什么是參數(shù)估計(jì)？參數(shù)是刻畫總體某方面概率特性的數(shù)量.當(dāng)此數(shù)量參數(shù)估計(jì)的類型點(diǎn)估計(jì)——估計(jì)未知參數(shù)的值區(qū)間估計(jì)——估計(jì)未知參數(shù)的取值范圍，并使此范圍包含未知參數(shù)真值的概率為給定的值.參數(shù)估計(jì)的類型點(diǎn)估計(jì)——估計(jì)未知參數(shù)的值區(qū)間估計(jì)——§2.1點(diǎn)估計(jì)方法2-5§2.1點(diǎn)估計(jì)常用的點(diǎn)估計(jì)方法介紹

頻率替換法利用事件A

在n

次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率作為事件A

發(fā)生的概率p

的估計(jì)量§2.1點(diǎn)估計(jì)方法2-5§2.1點(diǎn)估計(jì)常用的點(diǎn)估計(jì)方法介例1

設(shè)總體X~N(,2

),在對(duì)其作28次

獨(dú)立觀察中,事件“X<4”出現(xiàn)了21次,試用頻率替換法求參數(shù)的估計(jì)值.解

由查表得于是的估計(jì)值為2-8例1例1設(shè)總體X~N(,2),在對(duì)其作方法用子樣

k

階原點(diǎn)矩作為總體

k

階原點(diǎn)矩的估計(jì)量,建立含有待估參數(shù)的方程,從而解出待估參數(shù)2-9一般,不論總體服從什么分布,總體期望

與方差2存在,則它們的矩估計(jì)量分別為

矩法矩法方用子樣k階原點(diǎn)矩作為總體k階原點(diǎn)矩的估計(jì)量,2-10事實(shí)上，按矩法原理，令2-10事實(shí)上，按矩法原理，令例2設(shè)從某燈泡廠某天生產(chǎn)的燈泡中隨機(jī)抽取10只燈泡，測(cè)得其壽命為(單位:小時(shí))1050,1100,1080,1120,12001250,1040,1130,1300,1200試用矩法估計(jì)該天生產(chǎn)的燈泡的平均壽命及壽命分布的方差.解7-14例2例2設(shè)從某燈泡廠某天生產(chǎn)的燈泡中隨機(jī)解7-14例2例3設(shè)總體X~E(),X1,X2,…,Xn為總體的樣本,求的矩法估計(jì)量.解令7-13故例3~4例4設(shè)總體X~U(a,b),a,b未知,求參數(shù)

a,b

的矩法估計(jì)量.解由于例3設(shè)總體X~E(),X1,X2,…,Xn為令解得令解得例5設(shè)總體X~解7-15例5,其密度函數(shù)為求和的矩估計(jì)量.令例5設(shè)總體X~解7-15例5,其密度函數(shù)為求令7-16解得令7-16解得2-11一般,設(shè)待估計(jì)的參數(shù)為總體的

r

階矩記為子樣X1,X2,…,Xn的r階矩為令解上述方程組,得k

個(gè)統(tǒng)計(jì)量：未知參數(shù)

1,,k

的矩估計(jì)量矩法小結(jié)2-11一般,設(shè)待估計(jì)的參數(shù)為總體的r階矩記為子樣X最大似然估計(jì)法思想方法：一次試驗(yàn)就出現(xiàn)的事件有較大的概率例如:有兩外形相同的箱子,各裝100個(gè)球一箱99個(gè)白球1個(gè)紅球一箱1個(gè)白球99個(gè)紅球現(xiàn)從兩箱中任取一箱,并從箱中任取一球,結(jié)果所取得的球是白球.答:第一箱.7-17問:所取的球來(lái)自哪一箱？最大似然法最大似然估計(jì)法思想方法：一次試驗(yàn)就出現(xiàn)的例如:有兩外例6設(shè)總體X服從0-1分布,且P(X=1)=p,

用最大似然法求

p

的估計(jì)值.解總體X的概率分布為設(shè)x1,x2,…,xn為總體樣本X1,X2,…,Xn的樣本值,則7-18例6例6設(shè)總體X服從0-1分布,且P(X=1)=對(duì)于不同的p,L(p)不同,見右下圖現(xiàn)經(jīng)過一次試驗(yàn)，發(fā)生了，事件則

p

的取值應(yīng)使這個(gè)事件發(fā)生的概率最大.7-19對(duì)于不同的p,L(p)不同,見右下圖現(xiàn)經(jīng)過一次試驗(yàn)在容許范圍內(nèi)選擇

p，使L(p)最大注意到，lnL(p)是L的單調(diào)增函數(shù),故若某個(gè)p

使lnL(p)最大,則這個(gè)p必使L(p)最大。7-20所以為所求p的估計(jì)值.在容許范圍內(nèi)選擇p，使L(p)最大注意到，一般,設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,其分布律為則樣本X1,X2,…,Xn的概率分布為7-21或稱L()為樣本的似然函數(shù)一般,設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,其分布律為則樣本X1,稱這樣得到的為參數(shù)的極大似然估計(jì)值稱統(tǒng)計(jì)量為參數(shù)的極大似然估計(jì)量7-22MLE簡(jiǎn)記mle簡(jiǎn)記L()選擇適當(dāng)?shù)?,使取最大值,即最大似然法的思想稱這樣得到的為參數(shù)的極大似然估計(jì)值稱統(tǒng)計(jì)量為若X

連續(xù),取f(xi,)為Xi

的密度函數(shù)似然函數(shù)為7-23注1注2未知參數(shù)可以不止一個(gè),如1,…,k

設(shè)X

的密度(或分布)為則定義似然函數(shù)為若X連續(xù),取f(xi,)為Xi的密度函數(shù)似然若關(guān)于1,…,k可微,則稱為似然方程組若對(duì)于某組給定的樣本值x1,x2,…,xn，參數(shù)使似然函數(shù)取得最大值,即則稱為1,…,k

的極大似然估計(jì)值7-24若關(guān)于1,…,k可微,則稱為似然方程組若對(duì)于某組給定例7設(shè)總體X~N(,2),x1,x2,…,xn是

X

的樣本值,求,2的極大似然估計(jì).解7-26例7例7設(shè)總體X~N(,2),x1,x2

,2的最大似然估計(jì)量分別為似然方程組為7-27,2的最大似然估計(jì)量分別為似然7-27最大似然估計(jì)步驟1）寫出似然函數(shù)L2）求出,使得7-28可得未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值若L可微,解似然方程組若L不可微,需用其它方法求最大似然估計(jì)值.請(qǐng)看下例：步驟最大似然估計(jì)步驟1）寫出似然函數(shù)L2）求出,使得7-例8設(shè)X~U(a,b),x1,x2,…,xn是

X

的一個(gè)樣本值,求

a,b的極大似然估計(jì)值與極大似然估計(jì)量.解X的密度函數(shù)為似然函數(shù)為7-30例8例8設(shè)X~U(a,b),x1,x2,…,x似然函數(shù)只有當(dāng)a<xi<b,i=1,2,…,n時(shí)才能獲得最大值,且a越大,b越小,L越大.令xmin=min{x1,x2,…,xn}xmax=max{x1,x2,…,xn}取則對(duì)滿足的一切a<b,7-31都有似然函數(shù)只有當(dāng)a<xi<b,i=1,2,…,故是a,b的極大似然估計(jì)值.分別是a,b的極大似然估計(jì)量.7-32問題1)待估參數(shù)的極大似然估計(jì)是否一定存在?2)若存在,是否惟一?故是a,b的極大似然估計(jì)值.分別是a,b的極設(shè)X~U(a–?,a+?),x1,x2,…,xn是

X的一個(gè)樣本,求

a的極大似然估計(jì)值.解由上例可知,當(dāng)時(shí),L

取最大值1,即顯然,a

的極大似然估計(jì)值可能不存在,也可能不惟一.7-33例9例9設(shè)X~U(a–?,a+不僅如此,任何一個(gè)統(tǒng)計(jì)量若滿足都可以作為

a

的估計(jì)量.7-34不僅如此,任何一個(gè)統(tǒng)計(jì)量若滿足都可以作為a的估計(jì)量.極大似然估計(jì)的不變性設(shè)是的極大似然估計(jì)值,u()()是的函數(shù),且有單值反函數(shù)=(u),uU則是u()的極大似然估計(jì)值.7-35不變性極大似然估計(jì)的不變性設(shè)是的極大似然估計(jì)值,u如在正態(tài)總體N(,2)中,2的極大似然估計(jì)值為是2的單值函數(shù),且具有單值反函數(shù)，故的極大似然估計(jì)值為lg的極大似然估計(jì)值為7-36如在正態(tài)總體N(,2)中,2的極大是2的

特殊方法（對(duì)正態(tài)總體參數(shù)的特殊估計(jì)）用子樣中位數(shù)作為總體期望的估計(jì)用子樣極差的函數(shù)作為總體均方差的估計(jì)特殊法值查表2-1（P.41）特殊方法（對(duì)正態(tài)總體參數(shù)的特殊估計(jì)）用子樣中位數(shù)作為總體設(shè)若是的中位數(shù),則對(duì)任意有近似即當(dāng)較大時(shí)，近似所以，當(dāng)較大時(shí)可取定理設(shè)若是的中位數(shù),則對(duì)任意有近似即當(dāng)較大時(shí)，近似所以，當(dāng)設(shè)總體為子樣極差，則由上可見：估計(jì)產(chǎn)生平均平方誤差為用標(biāo)準(zhǔn)差為其系數(shù)可查表2-1（P.41）設(shè)總體為子樣極差，則由上可見：估計(jì)產(chǎn)生平均平方誤差為用標(biāo)準(zhǔn)差當(dāng)時(shí),將子樣數(shù)據(jù)等分成若干組,每組數(shù)據(jù)不超過10個(gè),取各組極差的平均然后用估計(jì)查時(shí)，取每一組中數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).當(dāng)時(shí),將子樣數(shù)據(jù)等分成若干組,每組數(shù)據(jù)不超過10個(gè),取例10

設(shè)一批機(jī)器零件毛坯的重量服從正態(tài)分布,隨機(jī)抽取10件,得子樣(單位kg):

210,243,185,240,215,228,196,235,200,199解將子樣由小到大重排例10用不同方法估計(jì)總體的參數(shù)值.例10設(shè)一批機(jī)器零件毛坯的重量服從正態(tài)分布,隨機(jī)抽取10其中誤差誤差查表

2-1其中誤差誤差查表2-1例11某班50名學(xué)生概率考試成績(jī)?nèi)缦拢?565808192637779549885726684836082786490817876866876737188876557468978668779847896886738677583826885例11若認(rèn)為學(xué)生成績(jī)總體試用特殊方法估計(jì)總體的參數(shù)值.例11某班50名學(xué)生概率考試成績(jī)?nèi)缦拢?56580解1756580819263777954982857266848360827864903817876866876737188874655746897866877984785968867386775838268854430204358組成績(jī)將數(shù)據(jù)等分為5組.解1756580819263

結(jié)論

一般矩法與最大似然法優(yōu)于特殊方法結(jié)論一般矩法與最大似然法優(yōu)于特殊方法7-39習(xí)題作業(yè)

P.76第二章468107-39習(xí)題作業(yè)P.76第二章42-1第二章第二章

參數(shù)估計(jì)2-1第二章第二章參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)2-1通過子樣對(duì)總體未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)內(nèi)容參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)估計(jì)2-1通過子樣對(duì)總體未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)內(nèi)容參數(shù)的點(diǎn)估什么是參數(shù)估計(jì)？參數(shù)是刻畫總體某方面概率特性的數(shù)量.當(dāng)此數(shù)量未知時(shí),從總體抽出一個(gè)子樣，用某種方法對(duì)這個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)就是參數(shù)估計(jì).例如，X~N(,2),

點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)若,2未知,通過構(gòu)造樣本的函數(shù),給出它們的估計(jì)值或取值范圍就是參數(shù)估計(jì)的內(nèi)容.什么是參數(shù)估計(jì)？參數(shù)是刻畫總體某方面概率特性的數(shù)量.當(dāng)此數(shù)量參數(shù)估計(jì)的類型點(diǎn)估計(jì)——估計(jì)未知參數(shù)的值區(qū)間估計(jì)——估計(jì)未知參數(shù)的取值范圍，并使此范圍包含未知參數(shù)真值的概率為給定的值.參數(shù)估計(jì)的類型點(diǎn)估計(jì)——估計(jì)未知參數(shù)的值區(qū)間估計(jì)——§2.1點(diǎn)估計(jì)方法2-5§2.1點(diǎn)估計(jì)常用的點(diǎn)估計(jì)方法介紹

頻率替換法利用事件A

在n

次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率作為事件A

發(fā)生的概率p

的估計(jì)量§2.1點(diǎn)估計(jì)方法2-5§2.1點(diǎn)估計(jì)常用的點(diǎn)估計(jì)方法介例1

設(shè)總體X~N(,2

),在對(duì)其作28次

獨(dú)立觀察中,事件“X<4”出現(xiàn)了21次,試用頻率替換法求參數(shù)的估計(jì)值.解

由查表得于是的估計(jì)值為2-8例1例1設(shè)總體X~N(,2),在對(duì)其作方法用子樣

k

階原點(diǎn)矩作為總體

k

階原點(diǎn)矩的估計(jì)量,建立含有待估參數(shù)的方程,從而解出待估參數(shù)2-9一般,不論總體服從什么分布,總體期望

與方差2存在,則它們的矩估計(jì)量分別為

矩法矩法方用子樣k階原點(diǎn)矩作為總體k階原點(diǎn)矩的估計(jì)量,2-10事實(shí)上，按矩法原理，令2-10事實(shí)上，按矩法原理，令例2設(shè)從某燈泡廠某天生產(chǎn)的燈泡中隨機(jī)抽取10只燈泡，測(cè)得其壽命為(單位:小時(shí))1050,1100,1080,1120,12001250,1040,1130,1300,1200試用矩法估計(jì)該天生產(chǎn)的燈泡的平均壽命及壽命分布的方差.解7-14例2例2設(shè)從某燈泡廠某天生產(chǎn)的燈泡中隨機(jī)解7-14例2例3設(shè)總體X~E(),X1,X2,…,Xn為總體的樣本,求的矩法估計(jì)量.解令7-13故例3~4例4設(shè)總體X~U(a,b),a,b未知,求參數(shù)

a,b

的矩法估計(jì)量.解由于例3設(shè)總體X~E(),X1,X2,…,Xn為令解得令解得例5設(shè)總體X~解7-15例5,其密度函數(shù)為求和的矩估計(jì)量.令例5設(shè)總體X~解7-15例5,其密度函數(shù)為求令7-16解得令7-16解得2-11一般,設(shè)待估計(jì)的參數(shù)為總體的

r

階矩記為子樣X1,X2,…,Xn的r階矩為令解上述方程組,得k

個(gè)統(tǒng)計(jì)量：未知參數(shù)

1,,k

的矩估計(jì)量矩法小結(jié)2-11一般,設(shè)待估計(jì)的參數(shù)為總體的r階矩記為子樣X最大似然估計(jì)法思想方法：一次試驗(yàn)就出現(xiàn)的事件有較大的概率例如:有兩外形相同的箱子,各裝100個(gè)球一箱99個(gè)白球1個(gè)紅球一箱1個(gè)白球99個(gè)紅球現(xiàn)從兩箱中任取一箱,并從箱中任取一球,結(jié)果所取得的球是白球.答:第一箱.7-17問:所取的球來(lái)自哪一箱？最大似然法最大似然估計(jì)法思想方法：一次試驗(yàn)就出現(xiàn)的例如:有兩外例6設(shè)總體X服從0-1分布,且P(X=1)=p,

用最大似然法求

p

的估計(jì)值.解總體X的概率分布為設(shè)x1,x2,…,xn為總體樣本X1,X2,…,Xn的樣本值,則7-18例6例6設(shè)總體X服從0-1分布,且P(X=1)=對(duì)于不同的p,L(p)不同,見右下圖現(xiàn)經(jīng)過一次試驗(yàn)，發(fā)生了，事件則

p

的取值應(yīng)使這個(gè)事件發(fā)生的概率最大.7-19對(duì)于不同的p,L(p)不同,見右下圖現(xiàn)經(jīng)過一次試驗(yàn)在容許范圍內(nèi)選擇

p，使L(p)最大注意到，lnL(p)是L的單調(diào)增函數(shù),故若某個(gè)p

使lnL(p)最大,則這個(gè)p必使L(p)最大。7-20所以為所求p的估計(jì)值.在容許范圍內(nèi)選擇p，使L(p)最大注意到，一般,設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,其分布律為則樣本X1,X2,…,Xn的概率分布為7-21或稱L()為樣本的似然函數(shù)一般,設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,其分布律為則樣本X1,稱這樣得到的為參數(shù)的極大似然估計(jì)值稱統(tǒng)計(jì)量為參數(shù)的極大似然估計(jì)量7-22MLE簡(jiǎn)記mle簡(jiǎn)記L()選擇適當(dāng)?shù)?,使取最大值,即最大似然法的思想稱這樣得到的為參數(shù)的極大似然估計(jì)值稱統(tǒng)計(jì)量為若X

連續(xù),取f(xi,)為Xi

的密度函數(shù)似然函數(shù)為7-23注1注2未知參數(shù)可以不止一個(gè),如1,…,k

設(shè)X

的密度(或分布)為則定義似然函數(shù)為若X連續(xù),取f(xi,)為Xi的密度函數(shù)似然若關(guān)于1,…,k可微,則稱為似然方程組若對(duì)于某組給定的樣本值x1,x2,…,xn，參數(shù)使似然函數(shù)取得最大值,即則稱為1,…,k

的極大似然估計(jì)值7-24若關(guān)于1,…,k可微,則稱為似然方程組若對(duì)于某組給定例7設(shè)總體X~N(,2),x1,x2,…,xn是

X

的樣本值,求,2的極大似然估計(jì).解7-26例7例7設(shè)總體X~N(,2),x1,x2

,2的最大似然估計(jì)量分別為似然方程組為7-27,2的最大似然估計(jì)量分別為似然7-27最大似然估計(jì)步驟1）寫出似然函數(shù)L2）求出,使得7-28可得未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值若L可微,解似然方程組若L不可微,需用其它方法求最大似然估計(jì)值.請(qǐng)看下例：步驟最大似然估計(jì)步驟1）寫出似然函數(shù)L2）求出,使得7-例8設(shè)X~U(a,b),x1,x2,…,xn是

X

的一個(gè)樣本值,求

a,b的極大似然估計(jì)值與極大似然估計(jì)量.解X的密度函數(shù)為似然函數(shù)為7-30例8例8設(shè)X~U(a,b),x1,x2,…,x似然函數(shù)只有當(dāng)a<xi<b,i=1,2,…,n時(shí)才能獲得最大值,且a越大,b越小,L越大.令xmin=min{x1,x2,…,xn}xmax=max{x1,x2,…,xn}取則對(duì)滿足的一切a<b,7-31都有似然函數(shù)只有當(dāng)a<xi<b,i=1,2,…,故是a,b的極大似然估計(jì)值.分別是a,b的極大似然估計(jì)量.7-32問題1)待估參數(shù)的極大似然估計(jì)是否一定存在?2)若存在,是否惟一?故是a,b的極大似然估計(jì)值.分別是a,b的極設(shè)X~U(a–?,a+?),x1,x2,…,xn是

X的一個(gè)樣本,求

a的極大似然估計(jì)值.解由上例可知,當(dāng)時(shí),L

取最大值1,即顯然,a

的極大似然估計(jì)值可能不存在,也可能不惟一.7-33例9例9設(shè)X~U(a–?,a+不僅如此,任何一個(gè)統(tǒng)計(jì)量若滿足都可以作為

a

的估計(jì)量.7-34不僅如此,任何一個(gè)統(tǒng)計(jì)量若滿足都可以作為a的估計(jì)量.極大似然估計(jì)的不變性設(shè)是的極大似然估計(jì)值,u()()是的函數(shù),且有單值反函數(shù)=(u),uU則是u()的極大似然估計(jì)值.7-35不變性極大似然估計(jì)的不變性設(shè)是的極大似然估計(jì)值,u如在正態(tài)總體N(,2)中,2的極大似然估計(jì)值為是2的單值函數(shù),且具有單值反函數(shù)，故的極大似然估計(jì)值為lg的極大似然估計(jì)值為7-36如在正態(tài)總體N(,2)中,2的極大是2的

特殊方法（對(duì)正態(tài)總體參數(shù)的特殊估計(jì)）用子樣中位數(shù)作為總體期望的估計(jì)用子樣極差的函數(shù)作為總體均方差的估計(jì)特殊法值查表2-1（P.41）特殊方法（對(duì)正態(tài)總體參數(shù)的特殊估計(jì)）用子樣中位數(shù)作為總體設(shè)若是的中位數(shù),則對(duì)任意有近似即當(dāng)較大時(shí)，近似所以，當(dāng)較大時(shí)可取定理設(shè)若是的中位數(shù),則對(duì)任意有近似即當(dāng)較大時(shí)，近似所以，當(dāng)設(shè)總體為子樣極