廣東高考數(shù)學(xué)(理)一輪題庫(kù)33導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

匠心文檔，專屬精選。第3講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)一、選擇題1．若函數(shù)yfxfx有實(shí)根”是“fx)有極值”的()．＝()可導(dǎo)，則“′()＝0(A．必需不充分條件B．充分不用要條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件答案A2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()．A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)分析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因?yàn)楹瘮?shù)有極大值和極小值，所以f′(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以＝4a2－4×3(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞6.答案B3．設(shè)f(x)是一個(gè)三次函數(shù)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，如圖所示的是y＝x·f′(x)的圖象的一部分，則f(x)的極大值與極小值分別是()．A．f(1)與f(－1)B．f(－1)與f(1)C．f(－2)與f(2)D．f(2)與f(－2)分析由圖象知f′(2)＝f′(－2)＝0.∵x>2時(shí)，y＝x·f′(x)>0，∴f′(x)>0，∴y＝f(x)在(2，＋∞)上單一遞加；同理f(x)在(－∞，－2)上單一遞加，在(－2,2)上單一遞減，y＝f(x)的極大值為f(－2)，極小值為f(2)，應(yīng)選C.答案C．設(shè)a∈，函數(shù)fx＝x－x的導(dǎo)函數(shù)是f′(x，且f′(x是奇函數(shù)．若e＋a·e4R()))曲線y＝f(x)的一條切線的斜率是3)，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(2A．ln2B．－ln2C.ln2D.－ln222匠心教育文檔系列1匠心文檔，專屬精選。分析fxxa－x，這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)fx)在0處有定義，′()＝e－e(所以f′(0)＝0，故只好是a＝1.此時(shí)f′(x)＝ex－e－x，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0x0－e－x03x02x0x0－2)(2ex0＋1)＝0，只，則e＝2，即2(e)－3e－2＝0，即(e能是x0＝，解得x0＝ln2.正確選項(xiàng)為A.e2答案A．設(shè)函數(shù)f(x＝ax2＋bx＋ca，b，c∈R)．若x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極5)(值點(diǎn)，則以下圖象不行能為y＝f(x)的圖象是()．分析若x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，則易得a＝c因選項(xiàng)、B的.A函數(shù)為fx＝ax＋1)2，則f(xx]′＝f′(x)ex＋fxx′＝ax＋1)(x()([)e()(e)(＋3)ex，∴x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，知足條件；選項(xiàng)C中，對(duì)稱b軸x＝－a＞0，且張口向下，∴a＜0，b＞0，∴f(－1)＝2a－b＜0，也知足2條件；選項(xiàng)D中，對(duì)稱軸bx＝－a＜－1，且張口向上，∴a＞0，b＞2a，2f(－1)＝a－b＜，與圖矛盾，故答案選D.∴20答案D．已知函數(shù)f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，2，且1∈－，－1]，26xx[2x∈[1,2]，則f(－1)的取值范圍是()．A.－3，3B.3，622C．[3,12]D.－3，122分析因?yàn)閒(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，所以f′(x)＝3x2＋4bx＋c＝0有兩個(gè)根x1，2，且x1∈[－，－1]，2x2xf′－2≥0，∈[1,2]，所以f′－1≤0，即f′1≤0，f′2≥0，匠心教育文檔系列2匠心文檔，專屬精選。12－8b＋c≥0，3－4b＋c≤0，3＋4b＋c≤0，12＋8b＋c≥0，畫出可行域以下圖．因?yàn)閒(－1)＝2b－c，由圖知經(jīng)過點(diǎn)A(0，－3)時(shí)，f(－1)獲得最小值3，經(jīng)過點(diǎn)C(0，－12)時(shí)，f(－1)獲得最大值12，所以f(－1)的取值范圍為[3,12]．答案C二、填空題．函數(shù)f(x＝x2－2lnx的最小值為________．7)分析由f′(x22又x＞，所以x＝因?yàn)椋紉＜時(shí)，)＝2x－＝，得x＝1.1.1x000′(x)＜0，x＞1時(shí)f′(x)＞0，所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取極小值(極小值獨(dú)一)也即最小值f(1)＝1.答案18．若fx＝x3＋ax2＋3(a＋2)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍()3________．分析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由已知條件>0，即36a2－36(a＋2)>0，解得a<－1，或a>2.答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)9．已知函數(shù)f(x)＝mx3＋nx2的圖象在點(diǎn)(－1,2)處的切線恰巧與直線3x＋y＝0平行，若f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單一遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________．分析由題意知，點(diǎn)(－1,2)在函數(shù)f(x)的圖象上，故－m＋n＝2.①又f′(x)＝3mx2＋2nx，則f′(－1)＝－3，故3m－2n＝－3.②聯(lián)立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2，令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，則[t，t＋1]?[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，匠心教育文檔系列3匠心文檔，專屬精選。所以t∈[－2，－1]．答案[－2，－1]．已知函數(shù)f(x)＝1－x＋lnx，若函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，則正實(shí)數(shù)a10ax的取值范圍為________．1－xax－1分析∵f(x)＝ax＋lnx，∴f′(x)＝ax2(a>0)，ax－1∵函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，∴f′(x)＝ax2≥0對(duì)x∈[1，＋∞)恒成1立，∴ax－1≥0對(duì)x∈[1，＋∞)恒建立，即a≥x對(duì)x∈[1，＋∞)恒建立，∴a≥1.答案[1，＋∞)三、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在點(diǎn)x0處獲得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象經(jīng)過(1,0)，(2,0)點(diǎn)，以下圖．求x0的值；求a，b，c的值．分析(1)由f′(x)隨x變化的狀況x(－∞，1)1(1,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋可知當(dāng)x＝1時(shí)fx取到極大值，則x0＝1()5(2)f′(x＝ax2＋bx＋c，a)32>0由已知條件x＝，x＝2為方程ax2＋bx＋c＝，1320a＋b＋c＝5，b的兩根，所以－3a＝3，解得a＝，b＝－，c＝12.29c3a＝2，12．某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表示，該商品每天的銷售量y(單位：千克)與銷匠心教育文檔系列4匠心文檔，專屬精選。售價(jià)錢x(單位：元/千克)知足關(guān)系式y(tǒng)＝x－a3＋10(x－6)2，此中3<x<6，a為常數(shù)．已知銷售價(jià)錢為5元/千克時(shí)，每天可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確立銷售價(jià)錢x的值，使商場(chǎng)每天銷售該商品所獲取的收益最大．a(chǎn)解(1)因?yàn)閤＝5時(shí)，y＝11，所以2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，該商品每天的銷售量y＝x－23＋10(x－6)2.所以商場(chǎng)每天銷售該商品所獲取的收益f(x)＝(x－3)2＋10x－62x－3＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.進(jìn)而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]30(x－4)(x－6)．于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化狀況以下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)單一遞加極大值42單一遞減由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)獲得最大值，且最大值等于42.答：當(dāng)銷售價(jià)錢為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每天銷售該商品所獲取的收益最大．a(chǎn)3213．設(shè)函數(shù)f(x)＝3x＋bx＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的兩根分別為1,4.(1)當(dāng)a＝3且曲線y＝f(x)過原點(diǎn)時(shí)，求f(x)的分析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點(diǎn)，求a的取值范圍．解由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.因?yàn)閒′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩個(gè)根分別為1,4，a＋2b＋c－9＝0，所以(*)16a＋8b＋c－36＝0，匠心教育文檔系列5匠心文檔，專屬精選。2b＋c－6＝0，(1)當(dāng)a＝3時(shí)，由(*)式得8b＋c＋12＝0，解得b＝－3，c＝12.又因?yàn)榍€y＝f(x)過原點(diǎn)，所以d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.a32(2)因?yàn)閍>0，所以f(x)＝3x＋bx＋cx＋d在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點(diǎn)等價(jià)于f′(x)ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒建立．由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)，a>0，得a∈[1,9]．由a－9≤0＝9a－1即a的取值范圍是[1,9]．．已知函數(shù)知足x－1－f(0)x＋1214f(x)f(x)＝f′(1)e2x.(1)求f(x)的分析式及單一區(qū)間；12(2)若f(x)≥2x＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．解(1)由已知得f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x.所以f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1.又f(0)＝f′(1)e－1，所以f′(1)＝e.進(jìn)而f(x)＝ex－x＋12x2.因?yàn)閒′(x)＝ex－1＋x，故當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.進(jìn)而，f(x)在(－∞，0)上單一遞減，在(0，＋∞)上單一遞加．(2)由已知條件得ex－(a＋1)x≥b.①1－b若a＋1<0，則對(duì)隨意常數(shù)b，當(dāng)x<0，且x<a＋1時(shí)，可得ex－(a＋1)x<b，所以①式不建立．若a＋1＝0，則(a＋1)b＝0.若a＋1>0，設(shè)g(x)＝ex－(a＋1)x，則g′(x)＝ex－(a＋1)．當(dāng)x∈(－∞，ln(a＋1))時(shí)，g′(x)<0；匠心教育文檔系列6匠心文檔，專屬精選。當(dāng)x∈(ln(a＋1)，＋∞)時(shí)，g′(x)>0.進(jìn)而g(x)在(－∞，ln(a＋1))上單一遞減，在(ln(a＋1)，＋∞)上單一遞加．故g(x)有最小值g(ln(a＋1))＝a＋1－(a＋1)ln(a＋1)．12所以f(x)≥2x＋ax＋b等價(jià)于b≤a＋1－(a＋1)·ln(a＋1)．②所以(a＋1)b≤(a＋1)