線性函數(shù)與數(shù)學(xué)模型課件

第1章直線和線性函數(shù)第1章直線和線性函數(shù)1.1笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)

笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第2頁1.1笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)

笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)Tan/管理數(shù)學(xué)3笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第2-3頁3笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)Tan/管理數(shù)學(xué)4笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第3-4頁4笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)Tan/管理數(shù)學(xué)5距離的公式距離的公式

平面上的兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)之間的距離d為(1)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第4頁5距離的公式距離的公式Tan/管理數(shù)學(xué)6例題1試求(4,3)與(2,6)兩點之間的距離。解： 令平面上的兩點分別為P1(4,3)與P2(2,6)，則 利用公式(1)可得Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第5頁6例題1試求(4,3)與(2,6)兩點之間的距離。7例題2令P(x,y)是圓上的一點，此圓半徑為r，中心點為C(h,k)，請找出x

與y的關(guān)係式。解： 根據(jù)圓的定義，C(h,k)與圓上的點P(x,y)的距離為r，利用公式(1)可得 兩邊平方即得Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第5頁7例題2令P(x,y)是圓上的一點，此圓半徑為r，中心點8距離的公式圓方程式 圓心C(h,k)，半徑為r的圓方程式(equationofacircle)為

(x

h)2+(y

k)2=

r2

(2)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第5頁8距離的公式圓方程式Tan/管理數(shù)學(xué)9例題3找出下列的圓方程式：

a.半徑為2，圓心在(1,3)。

b.半徑為3，圓心在原點。解：

a.將r=2,h=1及k=3代入公式(2)，即得

[x

(1)]2+(y

3)2=22 (x+1)2+(y

3)2=4

見圖7(a)。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第6頁9例題3找出下列的圓方程式：Tan/管理數(shù)學(xué)10例題3（續(xù)）

b.將r=3,h=k=0代入公式(2)，可得

x2+y2=32 x2+y2=9

見圖7(b)。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第6頁10例題3（續(xù)） b.將r=3,h=k=0111.2直線

線的斜率假設(shè)L是通過相異兩點(x1,y1)及(x2,y2)的唯一線。若x1

x2，則L斜率(slope)定義如下：非垂線的斜率

假設(shè)L是條非垂線(nonverticalline)且通過兩相異點(x1,y1)及(x2,y2)，則可計算其斜率m(3)

參見圖9。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第11頁111.2直線

線的斜率假設(shè)L是通過相異兩點(x1,y112線的斜率Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第11頁12線的斜率Tan/管理數(shù)學(xué)13線的斜率若x1=x2，則L是一條垂線(verticalline)，其斜率無定義(undefined)，見圖10。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第12頁13線的斜率若x1=x2，則L是一條垂線(vertica14線的斜率Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第12頁14線的斜率Tan/管理數(shù)學(xué)15線的斜率圖12顯示出一群通過原點的直線及其斜率，由圖中可以很明顯看到斜率的正負(fù)與線的走向關(guān)係。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第12-13頁15線的斜率圖12顯示出一群通過原點的直線及其斜率，由圖中16例題1畫出通過點(2,5)，斜率為的直線。解： 首先將點(2,5)標(biāo)到圖上(見圖13)。其次，考慮斜率為代表x

增加一個單位時，y將減少個單位。因此，若x增加3個單位時，y將減少個單位，因此我們走到了另一個點(1,1)。最後，此兩點連線即為所求。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第13頁16例題1畫出通過點(2,5)，斜率為17例題1（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第13頁17例題1（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)18例題2一直線通過點(1,1)與(5,3)，找出其斜率m。解： 令(x1,y1)為點(1,1)，(x2,y2)為點(5,3)。將x1=

1,y1=1,x2=5,y2=3代入公式(3)可得 參見圖14。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第13-14頁18例題2一直線通過點(1,1)與(5,3)，找19例題2（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第14頁19例題2（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)20例題3找出通過點(2,5)與(3,5)的直線斜率。解： 利用公式(3)可得 參見圖15。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第14頁20例題3找出通過點(2,5)與(3,5)的直線21線的斜率從上例可知水平線(horizontalline)的斜率是0。此外，我們可從兩線的斜率判斷它們是否平行。平行線 相異的兩條線互相平行(parallel)，若且唯若其斜率相等或均無定義。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第14頁21線的斜率從上例可知水平線(horizontalline22例題4令L1為通過點(2,9)與(1,3)的線，L2為通過點(4,10)與(3,4)的線，試問L1與L2是否平行？解：

L1與L2的斜率分別為 由於m1=m2，故L1與L2是平行的(見圖16)。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第15頁22例題4令L1為通過點(2,9)與(1,3)23例題4Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第15頁23例題4Tan/管理數(shù)學(xué)24線方程式令L為平行於y軸(垂直於x軸)的直線，則L切過x軸的(a,0)點，其x座標(biāo)必然是x=a，a為任意的實數(shù)。所以，L的線方程式可寫成x=a L即是垂線。例如，圖17的兩條垂線，其線方程式分別為x=2及x=3。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第15頁24線方程式令L為平行於y軸(垂直於x軸)的直線，則L切過x25線方程式Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第16頁25線方程式Tan/管理數(shù)學(xué)26線方程式假設(shè)L是一條非垂線，其斜率為m，(x1,y1)為線上的一個點。令(x,y)是L線上另一點，則由公式(3)可得 交叉相乘後，即得下列點斜式(point-slopeform)方程式(4)。點斜式 已知一直線的斜率是m，且通過點(x1,y1)，則其線方程式為

y

y1=m(x

x1)(4)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第16頁26線方程式假設(shè)L是一條非垂線，其斜率為m，(x1,y1)27例題5一直線通過點(1,3)，斜率為2，求其線方程式。解： 可利用點斜式，將點座標(biāo)代(1,3)，斜率代2 y

3=2(x

1)y

y1=m(x

x1)

化簡成2x

y+1=0Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第16頁27例題5一直線通過點(1,3)，斜率為2，求其線方程式28例題6一線通過點(3,2)與(4,1)，求其線方程式。解： 我們首先求出斜率 再利用點斜式，將點座標(biāo)代(4,1)，斜率代

參見圖18。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第17頁28例題6一線通過點(3,2)與(4,1)，求其29例題6Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第17頁29例題6Tan/管理數(shù)學(xué)30線方程式互相垂直的線 若L1與L2為相異的兩條非垂線，斜率分別為m1與m2，則L1與L2互相垂直(perpendicular)(寫成L1⊥L2)若且唯若Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第17頁30線方程式互相垂直的線Tan/管理數(shù)學(xué)31例題7一線通過點(3,1)並與例題5之直線垂直，寫出其線方程式。解： 例題5的直線斜率是2，因此與其垂直的線，斜率應(yīng) 為。運(yùn)用點斜式，可以得到 參見圖19。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第18頁31例題7一線通過點(3,1)並與例題5之直線垂直，32例題7（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第18頁32例題7（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)33線方程式若一直線L不是水平線也不是垂線，它必然與x軸和y軸相交。假設(shè)L

與x

軸交於(a,0)，與y

軸交於(0,b)，則a,b分別稱為線L

的x

截距(x-intercept)與y

截距(y-intercept)，參見圖20。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第18頁33線方程式若一直線L不是水平線也不是垂線，它必然與x軸和y34線方程式令L直線的斜率為m，y截距為b。因L經(jīng)(0,b)的點，故由點斜式(即公式(4))可得

y

b=m(x0) y=mx+b

該式稱為斜截式(slope-interceptform)。斜截式

一直線的斜率是m且與y軸相交於(0,b)，則其線方程式為

y=mx+b (5)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第19頁34線方程式令L直線的斜率為m，y截距為b。因L經(jīng)(0,b35例題8一直線的斜率是3，y

截距是4，寫出其線方程式。解： 在公式(5)中代入m=3及b=4即得線方程式y(tǒng)=3x

4Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第19頁35例題8一直線的斜率是3，y截距是4，寫出其線方程式。36例題9給定線方程式3x4y=8，找出該線的斜率及y截距。解： 我們可以先將線方程式改寫成 然後與公式(5)比較，可知。因此，該線的斜率是，y截距是

2。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第19頁36例題9給定線方程式3x4y=8，找出該線的斜37例題10運(yùn)動器材的銷售額某地區(qū)一家運(yùn)動器材店銷售經(jīng)理繪製了過去5年的銷售圖，並發(fā)現(xiàn)資料點約形成一條直線(見圖21)。請用第一年與第五年的資料點找出其趨勢線(trendline)，並預(yù)測第六年的銷售額。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第19-20頁37例題10運(yùn)動器材的銷售額某地區(qū)一家運(yùn)動器材店銷售經(jīng)38例題10（續(xù)）解： 由圖21可以知道第一年與第五年的資料點為(1,20)與(5,60)，利用公式(3)先求出斜率如下 再用點(1,20)與斜率m=10代入點斜式即得

y

20=10(x

1) y=10x+10Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第20頁38例題10（續(xù)）解：Tan/管理數(shù)學(xué)39例題10（續(xù)）解：（續(xù)） 將x=6代入所得的方程式，可預(yù)測第六年的銷售額為y=10(6)+10=70

即70,000元。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第20頁39例題10（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)40線方程式的一般式線方程式的一般式

含x,y變數(shù)的一般式線性方程式為

Ax+By+C=0 (6)

其中，A,B,C是常數(shù)且A,B至少有一數(shù)不為0。一直線的方程式一定是線性方程式；同時，每一線性方程式恰好代表著一條直線。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第21頁40線方程式的一般式線方程式的一般式一直線的方程式一定是線性41例題12畫出3x

4y

12=0的線。解： 由於相異的兩點決定一條直線，因此我們只要找出滿足方程式的兩個點，即可畫出所要的線。為方便起見，令y=0解得x=4，我們有了第一個點(4,0)；令x=0解得y=3，於是我們有了第二個點(0,3)。連接此兩點即得該線，見圖22。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第21頁41例題12畫出3x4y12=0的線。T42例題12（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第21頁42例題12（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)43線方程式的一般式直線方程式 垂線：x=a

水平線：y=b

點斜式：y

y1=m(x

x1)

斜截式：y=mx+b

一般式：Ax+By+C=0Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第22頁43線方程式的一般式直線方程式Tan/管理數(shù)學(xué)441.3線性函數(shù)與數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第29頁441.3線性函數(shù)與數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型Tan/管理數(shù)學(xué)45函數(shù)函數(shù)

函數(shù)(function)

f

定義了x

與y

之間的對應(yīng)規(guī)則，每個x值對應(yīng)一且唯一的y值。線性函數(shù)

我們稱函數(shù)f(x)=mx+b為線性函數(shù)(linearfunction)，其中m

和b

為任意的常數(shù)。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第30-31頁45函數(shù)函數(shù)線性函數(shù)Tan/管理數(shù)學(xué)46例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)由於美國高齡人口快速成長，預(yù)期未來幾十年其健康照護(hù)花費(fèi)將明顯增加。下表列出美國2008-2013年的健康照護(hù)花費(fèi)(單位：兆元)，2009年以後為預(yù)估值：表中的數(shù)據(jù)可以下列數(shù)學(xué)模型描述：S(t)=0.134t+2.325

其中t代表年份，起始年(t=0)為2008年。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第31頁46例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)由於美國高齡人口快速成長，預(yù)47例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）a.繪出函數(shù)S的圖形。b.假設(shè)這個趨勢繼續(xù)維持下去，2014年(即t=6)時，美國健康照護(hù)花費(fèi)估計為若干？c.試問自2008至2013年期間，美國健康照護(hù)花費(fèi)的增加速率為何？資料來源：CentersforMedicare&MedicaidServices.Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第31頁47例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）a.繪出函數(shù)S的圖形48例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）解：

a.函數(shù)S的圖形如圖24所示。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第32頁48例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）解：Tan/管理數(shù)學(xué)49例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）解：（續(xù)）

b.估計2014年時，美國健康照護(hù)花費(fèi)為S(6)=0.134(6)+2.325=3.129

大約為3.13兆元。

c.

因為函數(shù)S是線性的，所以美國健康照護(hù)花費(fèi)S的 增加速率即該直線的斜率。由函數(shù)中t

的係數(shù)可以 得知線的斜率為0.134，因此健康照護(hù)花費(fèi)每年大 約增加0.134單位，即每年增加0.134兆元。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第32頁49例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理50例題2線性折舊一臺網(wǎng)路伺服器的初始價值是10,000元，經(jīng)線性折舊5年後的殘值為3,000元。

a.寫出其帳面價值的函數(shù)，以t代表折舊的年 份。

b.2年後該網(wǎng)路伺服器的帳面價值若干？

c.此網(wǎng)路伺服器的折舊速率為何？Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第32頁50例題2線性折舊一臺網(wǎng)路伺服器的初始價值是10,0051例題2線性折舊（續(xù)）解：

a.

令V為t年後網(wǎng)路伺服器的帳面價值。在線性 折舊的假設(shè)下可知V為線性函數(shù)，圖形呈直 線。由已知條件可以找出兩點，即t=0時

V=10,000，以及t=5時V=3,000，故此兩 點座標(biāo)為(0,10,000)與(5,3,000)，據(jù)此可出 斜率Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第33頁51例題2線性折舊（續(xù)）解：Tan/管理數(shù)學(xué)52例題2線性折舊（續(xù)）解：（續(xù)） 再以點(0,10,000)與斜率m=1,400代入點斜式得

V

10,000=1,400(t

0) V=1,400t+10,000

參見圖25。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第33頁52例題2線性折舊（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)53例題2線性折舊（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第33頁53例題2線性折舊（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)54例題2線性折舊（續(xù)）解：（續(xù)）

b.2年後該網(wǎng)路伺服器的帳面價值為V=1,400(2)+10,000=7,200

即7,200元。

c.

此網(wǎng)路伺服器的折舊速率等於折舊線的斜率 取絕對值，因m=1,400，故網(wǎng)路伺服器每 年折舊1,400元。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第33頁54例題2線性折舊（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)55線性成本、線性收入及線性利潤函數(shù)成本函數(shù)、收入函數(shù)及利潤函數(shù) 令x代表產(chǎn)品的生產(chǎn)量或銷售量，則成本函數(shù)(costfunction)

為C(x)=生產(chǎn)x個產(chǎn)品的總成本

收入函數(shù)(revenuefunction)

為R(x)=銷售x個產(chǎn)品的總收入

利潤函數(shù)(profitfunction)

為P(x)

=生產(chǎn)並銷售x個產(chǎn)品得到的總利潤Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第34頁55線性成本、線性收入及線性利潤函數(shù)成本函數(shù)、收入函數(shù)及利潤56例題3利潤函數(shù)某家濾水器製造商的固定成本為每月20,000元，單位生產(chǎn)成本為20元，單位售價為30元，請列出該製造商的成本、收入及利潤函數(shù)。解： 令x代表濾水器的生產(chǎn)量及銷售量，則

C(x)=20x+20,000 R(x)=30x P(x)=R(x)C(x) =30x(20x+20,000) =10x20,000Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第34-35頁56例題3利潤函數(shù)某家濾水器製造商的固定成本為每月2057線性需求函數(shù)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第35頁價格(price)個數(shù)特性：需求個數(shù)會隨價格降低而增加57線性需求函數(shù)Tan/管理數(shù)學(xué)價格(price)個數(shù)特性：58例題4需求函數(shù)一鬧鐘在單位價格8元時需求量是48,000個，單位價格12元時需求量降到32,000個。

a.在線性的假設(shè)下，請寫出需求方程式。

b.當(dāng)需求量為40,000個時，單位價格為多 少？

c.若單位價格為14元，則需求量是多少？Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第35頁58例題4需求函數(shù)一鬧鐘在單位價格8元時需求量是4859例題4需求函數(shù)（續(xù)）解：

a.

令p為鬧鐘的單位價格，x為p元價格下的需 求量(單位：千個)。由題意知p=8時

x=48，因此點(48,8)在需求曲線上。同樣 地，點(32,12)亦在需求曲線上。由這兩點 我們可以先求出斜率Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第36頁59例題4需求函數(shù)（續(xù)）解：Tan/管理數(shù)學(xué)60例題4需求函數(shù)（續(xù)）解：（續(xù)） 其次，將點(48,8)與斜率值代入點斜式，可得 需求曲線繪於圖27。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第36頁60例題4需求函數(shù)（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)61例題4需求函數(shù)（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第36頁61例題4需求函數(shù)（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)62例題4需求函數(shù)（續(xù)）解：（續(xù)）

b.將x=40(代表需求量為40,000個)代入 需求方程式 故單位價格為10元。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第36頁62例題4需求函數(shù)（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)63例題4需求函數(shù)（續(xù)）解：（續(xù)）

c.

以p=14代入，解下列需求方程式 得知需求量為24,000個。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第36頁63例題4需求函數(shù)（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)64線性供應(yīng)函數(shù)特性：供應(yīng)個數(shù)隨價格增加而增加。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第37頁64線性供應(yīng)函數(shù)特性：供應(yīng)個數(shù)隨價格增加而增加。Tan/管理65例題5供應(yīng)函數(shù)一商品的供應(yīng)方程式為4p

5x=120，p的單位是元，x的單位是100。

a.

試?yán)L出供應(yīng)曲線。

b.

試問單位價格55元時，供應(yīng)量為多少？Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第37頁65例題5供應(yīng)函數(shù)一商品的供應(yīng)方程式為4p5x66例題5供應(yīng)函數(shù)（續(xù)）解：

a.

x=0時由供應(yīng)方程式得知p截距為30，而

p=0時又求得x截距為24，因此繪一直線 通過點(0,30)與(24,0)，則該線位於第一 象限的部分即所求的供應(yīng)曲線。

b.

將p=55代入供應(yīng)方程式，解

4(55)5x=120，得x=20，故市場的供應(yīng) 量為2,000個。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第37頁66例題5供應(yīng)函數(shù)（續(xù)）解：Tan/管理數(shù)學(xué)67例題5供應(yīng)函數(shù)（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第38頁67例題5供應(yīng)函數(shù)（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)681.4直線的交點

尋找二線的交點實務(wù)上有些問題的解就在兩線的交點(intersection)上。以下我們說明如何以代數(shù)的方法解二直線的交點。令L1,L2代表兩條直線，其線方程式分別為y=m1x+b1y=m2x+b2

其中m1,b1,m2,b2是常數(shù)，兩直線交於P(x0,y0)，如圖30。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第42頁681.4直線的交點

尋找二線的交點實務(wù)上有些問題的解就在69尋找二線的交點Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第42頁69尋找二線的交點Tan/管理數(shù)學(xué)70例題1請找出二直線y=x+1與y=2x+4的交點。解： 令y

值相等，則

x+1=2x+4 3x=3 x=1

將所得x

值代入任一線方程式即解出y=2，參見圖31。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第42-43頁70例題1請找出二直線y=x+1與y=2x+71例題1（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第43頁71例題1（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)72損益兩平分析假設(shè)公司的成本、收入及利潤函數(shù)均為線性，其方程式如下：

C(x)=cx+F R(x)=sx P(x)=R(x)C(x)=(s

c)x

FTan/管理數(shù)學(xué)第1章第43-44頁成本函數(shù)收入函數(shù)72損益兩平分析假設(shè)公司的成本、收入及利潤函數(shù)均為線性，其方73例題2損益兩平水準(zhǔn)培特公司的產(chǎn)品單位生產(chǎn)成本是4元，每個售價10元，已知公司每月的固定成本為12,000元，試求其損益兩平點。解： 首先依題意列出成本與收入的函數(shù)如下

C(x)=4x+12,000 R(x)=10x

見圖33。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第44頁73例題2損益兩平水準(zhǔn)培特公司的產(chǎn)品單位生產(chǎn)成本是474例題2損益兩平水準(zhǔn)（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第44頁74例題2損益兩平水準(zhǔn)（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)75例題2損益兩平水準(zhǔn)（續(xù)）解：（續(xù)）

令R(x)=C(x)，解

10x=4x+12,000 6x=12,000 x=2000

再將解得之x值代入R(x)求損益兩平收入R(2000)=(10)(2000)=20,000

因此，如公司營運(yùn)上欲求得損益兩平，則每個月需生產(chǎn)2000個產(chǎn)品，此時每月的損益兩平收入為20,000元。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第45頁75例題2損益兩平水準(zhǔn)（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)76例題3損益兩平分析承例題2回答下列問題：

a.

如果培特公司每個月僅生產(chǎn)並銷售1,500個 產(chǎn)品，公司的損失會是多少？

b.

如果每個月生產(chǎn)並銷售3,000個產(chǎn)品，公司 的利潤會是多少？

c.

培特公司應(yīng)生產(chǎn)多少個產(chǎn)品才能保證至少有

9,000元的獲利？Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第45頁Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第45頁76例題3損益兩平分析承例題2回答下列問題：Tan/77例題3損益兩平分析（續(xù)）解： 我們先列出利潤函數(shù)如下

P(x)=R(x)

C(x) =10x

(4x+12,000) =6x

12,000

a.

因P(1500)=6(1500)12,000=3,000，意味 公司每月會有3,000元的損失。

b.

因P(3000)=6(3000)12,000=6,000，意味 公司每月會有6,000元的利潤。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第45頁77例題3損益兩平分析（續(xù)）解：Tan/管理數(shù)學(xué)78例題3損益兩平分析（續(xù)）解：（續(xù)）

c.設(shè)定利潤函數(shù)值為9,000，求x的解：

9,000=6x

12,000 6x=21,000 x=3,500

所以公司每月至少要生產(chǎn)3,500個產(chǎn)品，才能達(dá)到最低9,000元的獲利目標(biāo)。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第45頁78例題3損益兩平分析（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)79例題4決策分析羅森公司的管理階層必須在兩種製造程序中做選擇。兩種程序其月成本函數(shù)分別為C1(x)=20x+10,000以及C2(x)=10x+30,000，其中x為產(chǎn)品的生產(chǎn)量。今知產(chǎn)品單價為40元，且預(yù)計月銷售量是800個，則公司的管理階層應(yīng)選擇何種程序以使利潤最大？Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第46頁79例題4決策分析羅森公司的管理階層必須在兩種製造程序80例題4決策分析（續(xù)）解： 在第一種程序下，計算營運(yùn)的損益兩平水準(zhǔn)可得

40x=20x+10,000

20x=10,000

x=500Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第46頁80例題4決策分析（續(xù)）解：Tan/管理數(shù)學(xué)81例題4決策分析（續(xù)）解：（續(xù)） 而第二種程序下的營運(yùn)損益兩平水準(zhǔn)為

40x=10x+30,000

30x=30,000

x=1,000

Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第46頁81例題4決策分析（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)82例題4決策分析（續(xù)）解：（續(xù)） 由於預(yù)計的月銷售量只有800個，不到1,000個，若使用第二種程序，羅森公司將無法獲利，因此公司的管理階層應(yīng)選擇第一種程序，方能獲得利潤。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第46頁82例題4決策分析（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)83市場均衡Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第47頁83市場均衡Tan/管理數(shù)學(xué)84例題6市場均衡溫馬公司專門生產(chǎn)掛壁式溫度計，其產(chǎn)品的需求方程式為5x+3p

30=0

供應(yīng)方程式為52x

30p+45=0

其中，x為需求數(shù)量(單位：1,000個)，p為溫度計之單價。請找出均衡數(shù)量與價格。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第47-48頁84例題6市場均衡溫馬公司專門生產(chǎn)掛壁式溫度計，其產(chǎn)品85例題6市場均衡（續(xù)）解： 本題需解聯(lián)立方程式

5x+3p

30=0 52x

30p+45=0

我們可以用代換法(methodofsubstitution)求解，即任意選取一個方程式，將其中的一個變數(shù)表示成另一變數(shù)的形式，再代入另一方程式中。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第48頁85例題6市場均衡（續(xù)）解：Tan/管理數(shù)學(xué)86例題6市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)） 假設(shè)我們先從需求方程式著手Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第48頁86例題6市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)87例題6市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)）

再將p的結(jié)果代入供應(yīng)方程式中Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第48頁87例題6市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)88例題6市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)） 然後將所得的x值代回p

式，求得p

值如下 因此，我們得到均衡數(shù)量為2.5×1,000=2,500個，均衡價格為每個溫度計5.83元。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第48頁88例題6市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)89例題7市場均衡某一廠牌的DVD播放機(jī)在單價260元時，需求量為8,000臺；於單價200元時，需求量增加為10,000臺。又知單價低於100元時，製造商將不供應(yīng)商品；但單價高於100元時每提升50元，製造商將增加1,000臺的供應(yīng)量。今假設(shè)需求與供應(yīng)方程式均為線性。

a.寫出需求方程式。

b.寫出供應(yīng)方程式。

c.找出均衡數(shù)量與價格。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第48-49頁89例題7市場均衡某一廠牌的DVD播放機(jī)在單價26090例題7市場均衡（續(xù)）解： 令p為DVD播放機(jī)的單價(單位：100元)，x為其數(shù)量(單位：1,000臺)。

a.

由於需求函數(shù)已假設(shè)為線性，因此可 知需求曲線是通過點(8,2.6)與(10,2)的 直線，求得斜率

Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第49頁90例題7市場均衡（續(xù)）解：Tan/管理數(shù)學(xué)91例題7市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)） 再將點(10,2)與斜率m=0.3代入點斜式可得需求方程式

p

2=0.3(x

10) p=0.3x+5

見圖35。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第49頁91例題7市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)92例題7市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第49頁92例題7市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)93例題7市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)）

b.

供應(yīng)曲線是通過點(0,1)與(1,1.5)的直線， 求得斜率

再將點(0,1)與斜率m=0.5代入點斜式可得 供應(yīng)方程式

p

1=0.5(x

0) p=0.5x+1

見圖35。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第49頁93例題7市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)94例題7市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)）

c.

解需求與供應(yīng)的聯(lián)立方程式如下：

p=0.3x+5 p=0.5x+1

設(shè)兩式的等號右側(cè)相等，得0.8x

4=0

故x=5。將x值代入需求或供應(yīng)方程式均可得到

p=3.5。因此，均衡數(shù)量為5,000臺，均衡價格為

350元。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第50頁94例題7市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)95例題7市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第49頁95例題7市場均衡（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)1.5最小平方法Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第56頁斜截式最小平方法假設(shè)有以下n

個資料點P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),……,Pn(xn,yn)其最小平方線(或迴歸線)方程式為y=f(x)=mx+b其中，m與b由正規(guī)方程組(normalequations)(9)與(10)求解而得1.5最小平方法Tan/管理數(shù)學(xué)斜截式最小平方法1.5最小平方法

例題1找出下列資料點之最小平方線P1(1,1),P2(2,3),P3(3,4),P4(4,3),P5(5,6)解： 此題共有5個資料點，故n=5，且x1=1

x2=2

x3=3

x4=4

x5=5y1=1

y2=3

y3=4

y4=3

y5=6Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第56頁1.5最小平方法

例題1找出下列資料點之最小平方線Tan例題1（續(xù)）解（續(xù)）： 在解方程式之前，建議先計算下表求出各欄總和：Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第56頁例題1（續(xù)）解（續(xù)）：Tan/管理數(shù)學(xué)例題1（續(xù)）解（續(xù)）： 將表格值代入方程式(9)與(10)即得正規(guī)方程組

5b+15m=17 (11) 15b+55m=61 (12)

由方程式(11)解b

得

(13)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第56頁例題1（續(xù)）解（續(xù)）：Tan/管理數(shù)學(xué)例題1（續(xù)）解（續(xù)）： 將之代入方程式(12)可得 再將m值代入方程式(13)得到Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第56-57頁例題1（續(xù)）解（續(xù)）：Tan/管理數(shù)學(xué)例題1（續(xù)）解（續(xù)）： 因此，所求最小平方線為y=x+0.4

本例之散佈圖與最小平方線示於圖38。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第57頁例題1（續(xù)）解（續(xù)）：Tan/管理數(shù)學(xué)例題1（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第57頁例題1（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)例題2美國健康照護(hù)花費(fèi)本題承自第1.3節(jié)例題1。由於美國高齡人口快速成長，預(yù)期未來幾十年其健康照護(hù)花費(fèi)將明顯增加。下表列出美國2008-2013年的健康照護(hù)花費(fèi)(單位：兆元)，其中t代表年份，起始年(t=0)為2008年，2009年以後為預(yù)估值。試?yán)米钚∑椒椒ㄕ页雒绹】嫡兆o(hù)花費(fèi)的函數(shù)。資料來源：CentersforMedicare&MedicaidServices.Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第57頁例題2美國健康照護(hù)花費(fèi)本題承自第1.3節(jié)例題1。由於美例題2美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）解： 首先由下表計算各欄總和：Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第58頁例題2美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）解：Tan/管理數(shù)學(xué)例題2美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）解（續(xù)）： 將表中數(shù)值代入方程式(9)與(10)即得正規(guī)方程組

6b+15m=15.95 (17) 15b+55m=42.21 (18)

由方程式(17)解b

得

b

2.5m+2.6583 (19)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第58頁例題2美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）解（續(xù)）：Tan/管理數(shù)學(xué)例題2美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）解（續(xù)）： 再將m值代入方程式(19)得到b

2.5(0.1335)+2.65832.3246

故所求得健康照護(hù)花費(fèi)函數(shù)為S(t)=0.134t+2.325Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第58頁例題2美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）解（續(xù)）：Tan/管理數(shù)學(xué)第1章直線和線性函數(shù)第1章直線和線性函數(shù)1.1笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)

笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第2頁1.1笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)

笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)Tan/管理數(shù)學(xué)109笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第2-3頁3笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)Tan/管理數(shù)學(xué)110笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第3-4頁4笛卡兒座標(biāo)系統(tǒng)Tan/管理數(shù)學(xué)111距離的公式距離的公式

平面上的兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)之間的距離d為(1)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第4頁5距離的公式距離的公式Tan/管理數(shù)學(xué)112例題1試求(4,3)與(2,6)兩點之間的距離。解： 令平面上的兩點分別為P1(4,3)與P2(2,6)，則 利用公式(1)可得Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第5頁6例題1試求(4,3)與(2,6)兩點之間的距離。113例題2令P(x,y)是圓上的一點，此圓半徑為r，中心點為C(h,k)，請找出x

與y的關(guān)係式。解： 根據(jù)圓的定義，C(h,k)與圓上的點P(x,y)的距離為r，利用公式(1)可得 兩邊平方即得Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第5頁7例題2令P(x,y)是圓上的一點，此圓半徑為r，中心點114距離的公式圓方程式 圓心C(h,k)，半徑為r的圓方程式(equationofacircle)為

(x

h)2+(y

k)2=

r2

(2)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第5頁8距離的公式圓方程式Tan/管理數(shù)學(xué)115例題3找出下列的圓方程式：

a.半徑為2，圓心在(1,3)。

b.半徑為3，圓心在原點。解：

a.將r=2,h=1及k=3代入公式(2)，即得

[x

(1)]2+(y

3)2=22 (x+1)2+(y

3)2=4

見圖7(a)。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第6頁9例題3找出下列的圓方程式：Tan/管理數(shù)學(xué)116例題3（續(xù)）

b.將r=3,h=k=0代入公式(2)，可得

x2+y2=32 x2+y2=9

見圖7(b)。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第6頁10例題3（續(xù)） b.將r=3,h=k=01171.2直線

線的斜率假設(shè)L是通過相異兩點(x1,y1)及(x2,y2)的唯一線。若x1

x2，則L斜率(slope)定義如下：非垂線的斜率

假設(shè)L是條非垂線(nonverticalline)且通過兩相異點(x1,y1)及(x2,y2)，則可計算其斜率m(3)

參見圖9。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第11頁111.2直線

線的斜率假設(shè)L是通過相異兩點(x1,y1118線的斜率Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第11頁12線的斜率Tan/管理數(shù)學(xué)119線的斜率若x1=x2，則L是一條垂線(verticalline)，其斜率無定義(undefined)，見圖10。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第12頁13線的斜率若x1=x2，則L是一條垂線(vertica120線的斜率Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第12頁14線的斜率Tan/管理數(shù)學(xué)121線的斜率圖12顯示出一群通過原點的直線及其斜率，由圖中可以很明顯看到斜率的正負(fù)與線的走向關(guān)係。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第12-13頁15線的斜率圖12顯示出一群通過原點的直線及其斜率，由圖中122例題1畫出通過點(2,5)，斜率為的直線。解： 首先將點(2,5)標(biāo)到圖上(見圖13)。其次，考慮斜率為代表x

增加一個單位時，y將減少個單位。因此，若x增加3個單位時，y將減少個單位，因此我們走到了另一個點(1,1)。最後，此兩點連線即為所求。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第13頁16例題1畫出通過點(2,5)，斜率為123例題1（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第13頁17例題1（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)124例題2一直線通過點(1,1)與(5,3)，找出其斜率m。解： 令(x1,y1)為點(1,1)，(x2,y2)為點(5,3)。將x1=

1,y1=1,x2=5,y2=3代入公式(3)可得 參見圖14。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第13-14頁18例題2一直線通過點(1,1)與(5,3)，找125例題2（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第14頁19例題2（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)126例題3找出通過點(2,5)與(3,5)的直線斜率。解： 利用公式(3)可得 參見圖15。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第14頁20例題3找出通過點(2,5)與(3,5)的直線127線的斜率從上例可知水平線(horizontalline)的斜率是0。此外，我們可從兩線的斜率判斷它們是否平行。平行線 相異的兩條線互相平行(parallel)，若且唯若其斜率相等或均無定義。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第14頁21線的斜率從上例可知水平線(horizontalline128例題4令L1為通過點(2,9)與(1,3)的線，L2為通過點(4,10)與(3,4)的線，試問L1與L2是否平行？解：

L1與L2的斜率分別為 由於m1=m2，故L1與L2是平行的(見圖16)。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第15頁22例題4令L1為通過點(2,9)與(1,3)129例題4Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第15頁23例題4Tan/管理數(shù)學(xué)130線方程式令L為平行於y軸(垂直於x軸)的直線，則L切過x軸的(a,0)點，其x座標(biāo)必然是x=a，a為任意的實數(shù)。所以，L的線方程式可寫成x=a L即是垂線。例如，圖17的兩條垂線，其線方程式分別為x=2及x=3。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第15頁24線方程式令L為平行於y軸(垂直於x軸)的直線，則L切過x131線方程式Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第16頁25線方程式Tan/管理數(shù)學(xué)132線方程式假設(shè)L是一條非垂線，其斜率為m，(x1,y1)為線上的一個點。令(x,y)是L線上另一點，則由公式(3)可得 交叉相乘後，即得下列點斜式(point-slopeform)方程式(4)。點斜式 已知一直線的斜率是m，且通過點(x1,y1)，則其線方程式為

y

y1=m(x

x1)(4)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第16頁26線方程式假設(shè)L是一條非垂線，其斜率為m，(x1,y1)133例題5一直線通過點(1,3)，斜率為2，求其線方程式。解： 可利用點斜式，將點座標(biāo)代(1,3)，斜率代2 y

3=2(x

1)y

y1=m(x

x1)

化簡成2x

y+1=0Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第16頁27例題5一直線通過點(1,3)，斜率為2，求其線方程式134例題6一線通過點(3,2)與(4,1)，求其線方程式。解： 我們首先求出斜率 再利用點斜式，將點座標(biāo)代(4,1)，斜率代

參見圖18。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第17頁28例題6一線通過點(3,2)與(4,1)，求其135例題6Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第17頁29例題6Tan/管理數(shù)學(xué)136線方程式互相垂直的線 若L1與L2為相異的兩條非垂線，斜率分別為m1與m2，則L1與L2互相垂直(perpendicular)(寫成L1⊥L2)若且唯若Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第17頁30線方程式互相垂直的線Tan/管理數(shù)學(xué)137例題7一線通過點(3,1)並與例題5之直線垂直，寫出其線方程式。解： 例題5的直線斜率是2，因此與其垂直的線，斜率應(yīng) 為。運(yùn)用點斜式，可以得到 參見圖19。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第18頁31例題7一線通過點(3,1)並與例題5之直線垂直，138例題7（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第18頁32例題7（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)139線方程式若一直線L不是水平線也不是垂線，它必然與x軸和y軸相交。假設(shè)L

與x

軸交於(a,0)，與y

軸交於(0,b)，則a,b分別稱為線L

的x

截距(x-intercept)與y

截距(y-intercept)，參見圖20。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第18頁33線方程式若一直線L不是水平線也不是垂線，它必然與x軸和y140線方程式令L直線的斜率為m，y截距為b。因L經(jīng)(0,b)的點，故由點斜式(即公式(4))可得

y

b=m(x0) y=mx+b

該式稱為斜截式(slope-interceptform)。斜截式

一直線的斜率是m且與y軸相交於(0,b)，則其線方程式為

y=mx+b (5)Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第19頁34線方程式令L直線的斜率為m，y截距為b。因L經(jīng)(0,b141例題8一直線的斜率是3，y

截距是4，寫出其線方程式。解： 在公式(5)中代入m=3及b=4即得線方程式y(tǒng)=3x

4Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第19頁35例題8一直線的斜率是3，y截距是4，寫出其線方程式。142例題9給定線方程式3x4y=8，找出該線的斜率及y截距。解： 我們可以先將線方程式改寫成 然後與公式(5)比較，可知。因此，該線的斜率是，y截距是

2。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第19頁36例題9給定線方程式3x4y=8，找出該線的斜143例題10運(yùn)動器材的銷售額某地區(qū)一家運(yùn)動器材店銷售經(jīng)理繪製了過去5年的銷售圖，並發(fā)現(xiàn)資料點約形成一條直線(見圖21)。請用第一年與第五年的資料點找出其趨勢線(trendline)，並預(yù)測第六年的銷售額。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第19-20頁37例題10運(yùn)動器材的銷售額某地區(qū)一家運(yùn)動器材店銷售經(jīng)144例題10（續(xù)）解： 由圖21可以知道第一年與第五年的資料點為(1,20)與(5,60)，利用公式(3)先求出斜率如下 再用點(1,20)與斜率m=10代入點斜式即得

y

20=10(x

1) y=10x+10Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第20頁38例題10（續(xù)）解：Tan/管理數(shù)學(xué)145例題10（續(xù)）解：（續(xù)） 將x=6代入所得的方程式，可預(yù)測第六年的銷售額為y=10(6)+10=70

即70,000元。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第20頁39例題10（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)146線方程式的一般式線方程式的一般式

含x,y變數(shù)的一般式線性方程式為

Ax+By+C=0 (6)

其中，A,B,C是常數(shù)且A,B至少有一數(shù)不為0。一直線的方程式一定是線性方程式；同時，每一線性方程式恰好代表著一條直線。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第21頁40線方程式的一般式線方程式的一般式一直線的方程式一定是線性147例題12畫出3x

4y

12=0的線。解： 由於相異的兩點決定一條直線，因此我們只要找出滿足方程式的兩個點，即可畫出所要的線。為方便起見，令y=0解得x=4，我們有了第一個點(4,0)；令x=0解得y=3，於是我們有了第二個點(0,3)。連接此兩點即得該線，見圖22。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第21頁41例題12畫出3x4y12=0的線。T148例題12（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第21頁42例題12（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)149線方程式的一般式直線方程式 垂線：x=a

水平線：y=b

點斜式：y

y1=m(x

x1)

斜截式：y=mx+b

一般式：Ax+By+C=0Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第22頁43線方程式的一般式直線方程式Tan/管理數(shù)學(xué)1501.3線性函數(shù)與數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第29頁441.3線性函數(shù)與數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型Tan/管理數(shù)學(xué)151函數(shù)函數(shù)

函數(shù)(function)

f

定義了x

與y

之間的對應(yīng)規(guī)則，每個x值對應(yīng)一且唯一的y值。線性函數(shù)

我們稱函數(shù)f(x)=mx+b為線性函數(shù)(linearfunction)，其中m

和b

為任意的常數(shù)。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第30-31頁45函數(shù)函數(shù)線性函數(shù)Tan/管理數(shù)學(xué)152例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)由於美國高齡人口快速成長，預(yù)期未來幾十年其健康照護(hù)花費(fèi)將明顯增加。下表列出美國2008-2013年的健康照護(hù)花費(fèi)(單位：兆元)，2009年以後為預(yù)估值：表中的數(shù)據(jù)可以下列數(shù)學(xué)模型描述：S(t)=0.134t+2.325

其中t代表年份，起始年(t=0)為2008年。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第31頁46例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)由於美國高齡人口快速成長，預(yù)153例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）a.繪出函數(shù)S的圖形。b.假設(shè)這個趨勢繼續(xù)維持下去，2014年(即t=6)時，美國健康照護(hù)花費(fèi)估計為若干？c.試問自2008至2013年期間，美國健康照護(hù)花費(fèi)的增加速率為何？資料來源：CentersforMedicare&MedicaidServices.Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第31頁47例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）a.繪出函數(shù)S的圖形154例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）解：

a.函數(shù)S的圖形如圖24所示。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第32頁48例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）解：Tan/管理數(shù)學(xué)155例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）解：（續(xù)）

b.估計2014年時，美國健康照護(hù)花費(fèi)為S(6)=0.134(6)+2.325=3.129

大約為3.13兆元。

c.

因為函數(shù)S是線性的，所以美國健康照護(hù)花費(fèi)S的 增加速率即該直線的斜率。由函數(shù)中t

的係數(shù)可以 得知線的斜率為0.134，因此健康照護(hù)花費(fèi)每年大 約增加0.134單位，即每年增加0.134兆元。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第32頁49例題1美國健康照護(hù)花費(fèi)（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理156例題2線性折舊一臺網(wǎng)路伺服器的初始價值是10,000元，經(jīng)線性折舊5年後的殘值為3,000元。

a.寫出其帳面價值的函數(shù)，以t代表折舊的年 份。

b.2年後該網(wǎng)路伺服器的帳面價值若干？

c.此網(wǎng)路伺服器的折舊速率為何？Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第32頁50例題2線性折舊一臺網(wǎng)路伺服器的初始價值是10,00157例題2線性折舊（續(xù)）解：

a.

令V為t年後網(wǎng)路伺服器的帳面價值。在線性 折舊的假設(shè)下可知V為線性函數(shù)，圖形呈直 線。由已知條件可以找出兩點，即t=0時

V=10,000，以及t=5時V=3,000，故此兩 點座標(biāo)為(0,10,000)與(5,3,000)，據(jù)此可出 斜率Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第33頁51例題2線性折舊（續(xù)）解：Tan/管理數(shù)學(xué)158例題2線性折舊（續(xù)）解：（續(xù)） 再以點(0,10,000)與斜率m=1,400代入點斜式得

V

10,000=1,400(t

0) V=1,400t+10,000

參見圖25。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第33頁52例題2線性折舊（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)159例題2線性折舊（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第33頁53例題2線性折舊（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)160例題2線性折舊（續(xù)）解：（續(xù)）

b.2年後該網(wǎng)路伺服器的帳面價值為V=1,400(2)+10,000=7,200

即7,200元。

c.

此網(wǎng)路伺服器的折舊速率等於折舊線的斜率 取絕對值，因m=1,400，故網(wǎng)路伺服器每 年折舊1,400元。Tan/管理數(shù)學(xué)第1章第33頁54例題2線性折舊（續(xù)）解：（續(xù)）Tan/管理數(shù)學(xué)161線性成本、線性收入及線性利潤函數(shù)成本函數(shù)、收入函數(shù)及利潤函數(shù) 令x代表產(chǎn)品的生產(chǎn)量或銷售量，則成本函數(shù)(costfunction)

為C(x)=生產(chǎn)x個產(chǎn)品的總成本

收入函數(shù)(revenuefunction)

為R(x)=銷售x個產(chǎn)品的總收入

利潤函數(shù)(profitfunction)

為P