課件-全微分與梯度

4.全微分的概念全增量:

設(shè)

z=f(x,y)

在點(diǎn)P(x,y)

的某鄰域內(nèi)有定義,全增量z

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)定義:

如果

z=f(x,y)

在點(diǎn)

(x,y)

的全增量z

f

(x

x,y

y)

f

(x,y)

可以表示為z

A

x

B

y

(

)僅與x,y有關(guān)

(x)2

(y)2則稱z=f(x,y)

在點(diǎn)(x,y)

可微分dz

A

x

B

y

稱為z=f(x,y)

在點(diǎn)(x,y)

的全微分z

xyz

(

x

x)(

y

y)

xy

yx

xy

xy

A

x

B

y

(

)xy(x)2

(y)2全微分特征:

0 (x

0,

y

0)xxyy全微分是自變量增量的線性函數(shù);全微分與全增量之差是比

高階的無窮小(

0)z

dz

o(

)函數(shù)若在某區(qū)域D

內(nèi)各點(diǎn)處處可微分，則稱這函數(shù)在D

內(nèi)可微分.5、可微的條件定理

3（必要條件）

如果函數(shù)

z

f

(

x,

y)

在點(diǎn)

(

x,

y)

可微分,

則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).lim

z

lim[

A

x

B

y

(

)]

0x0y0x0y0函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)

不可微定理5(可微的必要條件)x0若函數(shù)z=f(x,y)

在點(diǎn)(x,y)可微分,則稱它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必存在,且

dz

z

x

z

y

f

x

(

x0

,

y0

)x

y證明：由已知

z

A

x

B

y

(

)

x

z

A

x

(|

x

|)

y

z

B

y

(|

y

|)x

A

z

x

z

A

o(|

x

|)

A, (x

0)x

x函數(shù)在某點(diǎn)至少一個偏導(dǎo)數(shù)不存在

不可微xlim

f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在例0x2微分存在．全微分存在．

y2

0.

y2

0x2

y2x2xy如，

f

(

x,

y)

在(0,0)處，

f

x

(0,0)

f

y

(0,0)

0.但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).

在這點(diǎn)不可微x2f

(

x,

y)

y2

,

在(0,0)處連續(xù),在這點(diǎn)不可微但f

x

(0,0),f

y

(0,0)

不存在.結(jié)論： 函數(shù)可微

兩個偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)反之不一定成立（4）

x

y

,(x)2

(y)2當(dāng)

(x)2

(y)2

0時是無窮小量.思考題函數(shù)z

f

(

x,

y)在點(diǎn)(

x0

,

y0

)處可微的充分條件是:f

(x,y)在點(diǎn)(x0

,y0

)處連續(xù)；f

(

x,

y)、

f

(

x,

y)在點(diǎn)(

x

,

y

)的x

y

0

0某鄰域存在；（3）z

f

(

x,

y)x

f

(

x,

y)y

，x

y當(dāng)

(x)2

(y)2

0時是無窮小量；z

f

(

x,

y)x

f

(

x,

y)y定理6(可微的充分條件)若函數(shù)z=f(x,y)

的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y)

連續(xù),則函數(shù)在該點(diǎn)可微.注意:反之不然.z

z上，記全微分為

dz

x

dx

y

dy.全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)du

udx

udy

udz.x

y

z例.求

z

e

xy

在(2,1)點(diǎn)的全微分xyz

ye

xy

,

z

xe

xyzy

1x

x

2

e2

,

z

2e2

,y

1y

x

2

dz

e2dx

2e2dy2例.求u

x

sin

y

e

yz

的全微分xu

1,u

1

cos

y

ze

yz,y

2

2zu

ye

yz

du

dx

(

1

cos

y

ze

yz

)dy

ye

yz

dz2

2多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)6、全微分在近似計算中的應(yīng)用z

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)

z

x

z

y

o(

)

當(dāng)

x

,

y

很小時,有x

y(1) f

(

x

x,

y

y)

f

(x,y)

f

x

(x,y)x

f

y

(x,y)y.近似計算

z

dz

f

x

(x,y)x

f

y

(x,y)y.誤差估計例 計算(1.04)2.02

的近似值.解

設(shè)函數(shù)

f

(

x,

y)

x

y

.取x

1,

y

2,

x

0.04,y

0.02.f

(1,2)

1,y1fx

(

x,

y)

yx

,fy

(

x,

y)

x

y

ln

x,

f

(1,2)

2,

f

(1,2)

0,xy由公式得(1.04)2.02

1

2

0.04

0

0.02

1.08.cu例

已知

f

(c,

)

c

sin求

f

(2.1,310

)0解:

取

c

2,

c

0.1,,600

30

1800

1

6c6

6fc

(c,

)

sin

,

f

(c,

)

c

cos

,

f

(2.1,310

)

f

(2,

)

f

(2,

)c

f

(2,

)例 有一圓柱體,

受壓后發(fā)生變形,

它的半徑由

20cm

增大到

20.05cm,高度由

100cm

減少到

99cm求此圓柱體體積變化的近似值．解設(shè)圓柱體的半徑為

r高為

hV

r

2h體積為

V

則有記

r,

h,

V

的增量分別為

r,

h,

V則有V

dV

Vr

r

Vhh

2

r

h

r

r

2h將

r

20

h

100

r

0.05

h

1V

200代入上式得：即此圓柱體在受壓后，體積減少了

200

cm3x的絕對誤差為

|

x

x0

|

xy的絕對誤差為z的絕對誤差為|

y

y0

|

y|

z

z0

||

z

||

dz

||

f

x

(

x,

y)x

f

y

(

x,

y)y

||

f

x

(

x,

y)

||

x

|

|

f

y

(

x,

y)

||

y

||

f

x

(

x,

y)

|

x

|

f

y

(

x,

y)

|

yZ的絕對誤差限

zz

f

(

x,

y)z|

z0

|

相對誤差限方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)的定義及意義梯度的定義及意義實(shí)例：一塊長方形的金屬板，四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是

(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比．在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．一、問題的提出(k

0)T

(

x,

y)

y2x2k

x

yyxoP0的某一鄰域內(nèi)有定義，自點(diǎn)

P0沿向量

el

{cos

,

cos

}的方向引一條射線

l，點(diǎn)P(x,

y)是l上的任意一點(diǎn)，elPl函數(shù)z

f

(

x,y)在一點(diǎn)P0沿某一方向的變化率問題．定義

設(shè)函數(shù)z

f

(

x,

y)在點(diǎn)P0(

x0

,

y0

)設(shè)|

PP0

|

二、方向?qū)?shù)的定義0當(dāng)P

沿著l

趨于P時，若P0z

|l沿方向l

的方向?qū)?shù)，記作存在，則稱這個極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0處|

PP0

|lim

f

(

P

)

f

(

P0

)P

Pf

(

x,

y)

f

(

x0

,

y0

)即

lim

0注.方向?qū)?shù)是單方向的，它是一個數(shù).x

2函數(shù)z

f

(

x,

y)

y2

在(0,0)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？兩個偏導(dǎo)數(shù)均不存在.沿任意方向l

{x,y}的方向?qū)?shù),

0(0,0)z

lim

f

(

x,

y)

f

(0,0)l

1

lim

y2x2

y2

0

x2故沿任意方向的方向?qū)?shù)均存在且相等.O.P(x,y)x

y證明：由已知

f

f

x

f

y

(

)定理

如果函數(shù)

z

f

(

x,

y)

在點(diǎn)

P(

x,

y)

是可微分的,則函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向

l

的方向?qū)?shù)都存在，x

yz

f

cos

f

cos

l其中

cos

, cos

為

l

的方向余弦．f

f

x

f

y

(

)

x

y

f

cos

f

cos

o(

)x

y例 如果 在一座小山上，這座山各點(diǎn)的高度，可用函數(shù)

f(x,y)=3x2+4y2來表示，已知 所在的位置是(1,2,19)，試求在方向a={3,4}上的坡度（即方向?qū)?shù)）高度沿某個方向的變化率即是這個方向的山的坡度解：fx

6

x,

f

y

8

y(1,2)

f

x

(1,2).cos

f

y

(1,2)cos

a

f

|5

5

6

1

3

8

2

425

16推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義設(shè)

u

f

(

x,

y,

z)，則它在點(diǎn)

P(

x,

y,

z)

沿方向

l

{l1

,

l2,

l3

}的方向?qū)?shù)定義為

u

lim

f

(

x

x,

y

y,

z

z)

f

(

x,

y,

z)

0

l(x)2

(y)2

(z)2其中

其計算公式為x

y

z

lu

f

cos

f

cos

f

cosx

y

z

{f

,

f

,f

}{cos

,

cos

,

cos

}例

求

u

xyz

在點(diǎn)

(5,

1,

2)

處沿從點(diǎn)

(5,

1,

2)

到點(diǎn)

(9,

4,

14)的方向的方向?qū)?shù)．解

方向

l

{4,

3,

12}

其單位向量為,

,13

13

13

4

3

12l

0

u

yzx方向?qū)?shù)為u

xz

u

xyy

z13

13

13

l

u

{

yz,

xz,

xy}

4

,

3

,

12

4

yz

3

xz

12xy13故

9813(5,1,2)

u

l問題

:

函數(shù)在點(diǎn)

P

沿哪一方向增加的速度

最快?定義

設(shè)函數(shù)z

f

(

x,

y)在平面區(qū)域

D

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn)P(

x,

y)

D，都可定出一個向量f

i→

f

→j

，這向量稱為函數(shù)x

yz

f

(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的梯度，記為gradf

(

x,

y)

f

→ f

→i

j

.x

y

f

(

x,

y)三、梯度的概念結(jié)論函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個向量，沿著這個方向，函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值,而它的模為這個最大值．梯度的模為.

f

(

x

,

y

)

l

00

00

0cos

f

|

f

|(

x0

,

y0

)(

x0,

y0

)(

x0

,

y0

)ycos

f

|xl|

f

(

x

,

y

)

|

cos

0

0|

f

(

x0

,

y0

)

|,

|

f

(

x

,

y

)

|,

0

|

f

(

x0

,

y0

)

|0

00

0|2|

2(

x

,

y

)(

x

,

y

)yx

f

f例

函數(shù)

z

arctan

1

x1

y在（0，0）點(diǎn)處沿哪個方向的方向?qū)?shù)最大，并求此方向?qū)?shù)的值。

21

1

12

1

y(0,0)(

0,0)1

1

x

z解：x

1

y