圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)匯編

學(xué)習(xí)好資料圓的知識(shí)總結(jié)（一）的有關(guān)質(zhì)［知識(shí)納］1.圓的有關(guān)概：圓、圓、半徑圓的內(nèi)、圓的部、心圓、圓；弦、直、弦心、弧、圓、優(yōu)、劣、等弧弓形、形的高圓的內(nèi)三角形三角形外接圓三角的外心圓內(nèi)接邊形、邊形的接圓；圓角、圓角、圓接四邊的外。2.圓的對(duì)稱性圓是軸稱圖形經(jīng)過(guò)圓的每一直線是它的稱軸，有無(wú)數(shù)對(duì)稱軸圓是以心為對(duì)中心的心對(duì)稱形；圓具有轉(zhuǎn)不變。3.圓的確定不在同條直線的三點(diǎn)定一個(gè)。4.垂直于弦的徑垂徑定垂直弦的直平分這弦，且平分所對(duì)的條??；推論平分弦不是直）的直垂直于，并平分弦對(duì)的兩?。幌业拇蛊椒志€過(guò)圓心并且平弦所的兩條；平分弦對(duì)的一弧的直垂直平弦，且平分所對(duì)的一條弧垂徑定及推論可理解為個(gè)圓和條直線備下面?zhèn)€條中的任兩個(gè)，可推出外三個(gè)過(guò)圓心②直于弦③平分（是直徑；④平分所對(duì)的?。虎莘窒宜牧?。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料推論圓的兩條平行弦夾的弧等。5.圓心角、弧弦、弦距之間關(guān)系定理在同圓或圓中，等的圓角所的弧相，所對(duì)弦相等所對(duì)弦的弦心距等。推論在同圓或圓中，果兩個(gè)心角兩條弧兩條弦兩條弦弦心中有一組量等，那它們所應(yīng)的其各組都分別等。此定理推論可理解成在同圓等圓，滿足面四個(gè)件中的何一個(gè)能推出另三個(gè)：兩個(gè)圓角相等②兩圓心角對(duì)的弧等；③個(gè)圓心角或條弧所的弦相；④兩弦的心距相。圓心角度數(shù)等它所對(duì)弧的度。6.圓周角定理一條弧所的圓周等于它對(duì)的心角的半；推論1同弧或等所對(duì)的周角相等；同圓或圓中，等的圓角所的弧也相等；推論2半圓（或徑）所的圓周角是角；°的圓周角所對(duì)的弦是直徑推論3如果三角一邊上中線等于這的一半那么這三角形直角角形。圓周角度數(shù)等它所對(duì)弧的度的一。7.圓內(nèi)接四形的性圓內(nèi)接邊形的角互補(bǔ)并且任一個(gè)角都等它的內(nèi)角?！?.軌跡軌跡符合某一件的所的點(diǎn)組的圖，叫做合這個(gè)件的點(diǎn)軌跡（1）面內(nèi)，一定點(diǎn)距離等定長(zhǎng)的的軌，是以個(gè)定點(diǎn)圓心，長(zhǎng)為徑的圓；（2）面內(nèi)，已知線兩個(gè)端的距離等的的軌跡是這條段的垂平分；（3）面內(nèi)，已知角邊的距相等的的軌，是這角的平線。［例題析］例已知：如圖1，在O中，半徑OM弦點(diǎn)N。圖若＝，，求的長(zhǎng)；若半徑OM＝R，∠120°求長(zhǎng)。解：①AB，半徑OM⊥AB，∴BN∵＝1由勾股理得OA＝2∴＝OM＝ON1②∵半OMAB且∠＝120∴∠AOM＝60°更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料∵OAcosAON＝OM°＝∴說(shuō)明：圖1一般地若∠AOB°，⊥于NAO＝，＝h，則AB＝2Rsinn＝n例2.已知：如圖，在△ABC，∠，∠＝25°，以點(diǎn)C圓心、半徑作C，交于點(diǎn)，求

的度數(shù)圖2分析：為弧與徑定理關(guān)；與心角圓周角關(guān)；與、弦心有關(guān)；與弧間還存著和、、倍、的關(guān)系因此道題有多解法僅選幾供參考解法一（用垂定理求如圖－，過(guò)點(diǎn)CCE于點(diǎn)交

于點(diǎn)圖－1∴又∵∠°，∠＝25°，∴∠°∴的度數(shù)為°，∴的度數(shù)為。解法二（用圓角求）圖22，延長(zhǎng)AC交⊙點(diǎn)，連結(jié)ED更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料圖－2∵AE是直徑，∴ADE＝90°∵∠90，∠25，∴∠∠B＝25°∴的度數(shù)為°。解法三（用圓角求）圖23，連結(jié)CD圖－3∵∠90，∠25，∴∠65∵CA＝CD，∴∠ADC∠A＝65∴∠50，∴

的度數(shù)50。例已知：如圖3，△ABC接于⊙且＝⊙O半徑等6cm，O到的距離于求的長(zhǎng)析：因不知道A是角還是角，因圓心可能在角形內(nèi)，還可在三角外部，以需分種情況行討論略解：1）假若∠是銳角△ABC是銳角三角形。如圖，由可知點(diǎn)A優(yōu)弧BO

的中點(diǎn)因?yàn)锽CAB根據(jù)垂定理推可知DO延長(zhǎng)線必過(guò)點(diǎn)A，結(jié)∵BO＝6OD2∴在Rt△ADB中，ADDOAO628∴圖3

圖3－（2）∠A鈍角，則△ABC鈍角三形，如3－添加輔助線求出在ADB中，AD＝AO6－＝更多精品文檔

，學(xué)習(xí)好資料∴綜上所AB＝小結(jié)：是與三形外接有關(guān)的題，定要首判斷三形的形，確定心與角形的置關(guān)系防止丟或多解例4.已知：如圖4AB⊙O直徑，CDAB，CD長(zhǎng)線上點(diǎn)，⊙O于。求證：AE·EFEC圖分析：證的等式AE·EFEC中，有條線段EFED△，另兩線段AE沒有在一三角中，欲其置三角形，只要加輔助設(shè)法證明△FED△可。證明：結(jié)AC∵四邊接于圓∴∠∠∠∠DCA∵直徑AB⊥CD∴∴∠∠∴∠＝∠CEA∴△△∴，∴EFED小結(jié)：邊形內(nèi)于圓這條件，常不在已知件中明給出的而是隱在圖之中，分析已條件時(shí)千萬(wàn)不忽略一重要件。例已知：如5，AM是⊙的直徑，過(guò)O一點(diǎn)BNAM垂足為N，其延長(zhǎng)線交⊙于點(diǎn)，弦交點(diǎn)E。圖如果CDAB，求證：EN＝NM如果弦CDAB點(diǎn)F且＝求證＝EF·ED如果弦CD點(diǎn)C旋，并且延長(zhǎng)線于點(diǎn)F且AB那么（2）的論是否成立？成立，證明；不成，請(qǐng)說(shuō)理由。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料證明：連結(jié)（如圖51圖－1∵AM是直徑，∴ABM＝90°∵CD⊥AB，∴∥CD∴∠∠又⊥∴CN＝BN∴Rt△CEN≌△∴NM（2連結(jié)，AC如圖5－2）圖－∵點(diǎn)是直平分線AM上一點(diǎn)∴BEEC∵CD＝AB，∴∴∠∠又＝AEAE∴△△∴∠＝∠ACD∠∵∠公共角∴△BED∽△FEB∴BE

2

＝·，∴

2

＝·（3結(jié)論成立。圖5－3圖5－證明：（2）證△ABE≌△ACE∴BE＝CE，且∠ABE∠又∵＝CD∴∴∠∠∴∥∴∠∠180°而∠∠180°∴∠∠而∠公共角∴△△更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料∴BE

2

＝·，∴

2

＝·（二）線與圓關(guān)系1.直線與圓位置關(guān)直線和的位置相離相切相交公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012公共點(diǎn)稱無(wú)切點(diǎn)交點(diǎn)直線名無(wú)切線割線圓心到線的距離半徑關(guān)系2.切線的判經(jīng)過(guò)半的外端且垂直這條半的直是圓的線。3.切線的性圓的切垂直于過(guò)切點(diǎn)半徑；推論經(jīng)過(guò)圓心垂直于線的直必經(jīng)過(guò)點(diǎn)；推論經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于線的直必經(jīng)過(guò)心。此定理推論可解為以三個(gè)條中任其中兩就可推第三個(gè)：①垂直于切線；經(jīng)過(guò)切；③經(jīng)圓心。4.切線長(zhǎng)定從圓外點(diǎn)引圓兩條切，它們切線相等，心和這點(diǎn)的連平分兩切線的夾角5.弦切角定弦切角于它所的弧對(duì)圓周角推論如果兩個(gè)弦角所夾弧相等那么這兩個(gè)切角也等；弦切角度數(shù)等它所夾弧的度的一。6.和圓有關(guān)比例線（1相交弦定理圓內(nèi)兩條相弦，被點(diǎn)分成兩條段長(zhǎng)的相等；（2推論如果弦與直徑直相交那么弦一半是分直徑成的兩線段的例中項(xiàng)切割線理從圓外一點(diǎn)圓的切和割線切線長(zhǎng)這點(diǎn)到割線圓交點(diǎn)兩條線長(zhǎng)的比中項(xiàng)；推論從圓外一點(diǎn)圓的兩割線，一點(diǎn)到每條線與圓交點(diǎn)的條線段長(zhǎng)的積等。7.三角形的切圓有關(guān)概：角形的切圓三角形內(nèi)心圓的外三角形、邊形的切圓、圓的外多邊形作圖：一個(gè)圓使它和知三角的各都相切［例題析］例6.已知：如圖，⊙O的直徑，是AB長(zhǎng)線上點(diǎn)，⊙O于，DEE。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料圖求證：CDB∠分析：⊙O直徑，聯(lián)想直徑的個(gè)性質(zhì)圖－1

圖62

圖－3直徑上圓周角直角。連結(jié)則得RtABD垂徑定如圖6－若延長(zhǎng)DE⊙O于則可得DE＝EF，；（3）過(guò)直外端的線與直垂直如圖6，過(guò)B作⊙的切線BM，則⊥。由CD是⊙O的切線聯(lián)想到線的三性質(zhì)：過(guò)切點(diǎn)半徑垂于切線如圖61，若結(jié)OD則CD弦切角于它所的弧對(duì)圓周角若連則∠∠A；切割線理。如6，＝CB·CA由ABE，聯(lián)想到下一些質(zhì)：Rt△DEB兩銳角余，即EDB＋∠EBD＝°；垂徑定。如圖－2，要延長(zhǎng)DE交于F則可得相等的段，相的弧（3）造與射定理相的基本形。即結(jié)AD則可得△ADB直角三角形是斜邊的高，可得到對(duì)相等銳角三個(gè)相的三角，還可用射影理、股定理、面公式等證明：結(jié)AD如圖6∵直徑，∴ADB°?！逥E⊥AB，∴∠EDB∠A∵CD是⊙O的線，∴CDB∠A∴∠此例題有許多法，比連結(jié)如圖6－1利用切的定義又比如長(zhǎng)DE⊙O于，連結(jié)BF如圖6－，利用徑定理還可過(guò)點(diǎn)B作的切線交CD點(diǎn)M如圖6－，利切線長(zhǎng)理，等，這諸證法讀者不試證之小結(jié)：例題證∠CDB∠，即證明BD∠平分線由此證可以聯(lián)到AD也是∠GDE的平分線。另外，過(guò)對(duì)此題的分和證明知，6－中隱含很多圖的性質(zhì)如相等銳角、相的線段相等的及相似角形等，為可將圖6－4分解成三基本圖。如圖65，以利于進(jìn)一步理解線段間的比關(guān)系。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料圖－4圖－5例已知：如圖點(diǎn)是半圓O的直徑延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，半圓于CCD于點(diǎn)若PA：PC1：，＝，求PCAPC長(zhǎng)。圖證明：結(jié)CB∵PC切半圓于點(diǎn)，∴PCA∠B∵∠＝∠，∴△PAC△∴AC：BC＝：∴∵AB是半圓的直徑，∠ACB90又∵⊥AB∴∴AB＝AD＋＝∵更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料∴例8.已知：如圖8在Rt△ABC，∠＝，A平分線交點(diǎn)，為AB上的一，DE，以為圓心，DB長(zhǎng)為半徑⊙。圖求證：1）⊙D的切線；（2）AB＋EB＝AC分析：1）欲證⊙D相，只要圓心AC距離等于的半徑BD。因此要作ACF（2要證＋ABEB明的關(guān)是證BEFC這又轉(zhuǎn)化證△EBD△CFD。證明：如圖，過(guò)DF⊥AC，垂足∵AD是∠平分線，DB⊥AB∴＝DF∴點(diǎn)到距離等于圓D的半徑∴AC是⊙D的線（2∵AB，⊙D半徑等于，∴AB是⊙D的線，∴AF∵在Rt△FCD中，EDCDFD∴△△∴＝∴AB＋BE＝＋AC小結(jié)：關(guān)切線判定，要有兩類型若要判的直線已知圓公共點(diǎn)可采用“連徑證垂”的方；若要定的線與已圓的公點(diǎn)沒有出，可用“圓心作垂線證垂線等于半”的方。此題屬于一類例9.已知：如圖9AB⊙O的弦P為BA長(zhǎng)線上點(diǎn)，PE⊙O切于點(diǎn)EC為

中點(diǎn)，CE交于點(diǎn)。圖求證：分析：已知可PE

2

＝·PB因此要

2

＝PAPB只要證PE＝PF即證∠PFE＝∠更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料證明一如圖，作直徑CD，交點(diǎn)G連結(jié)∴∠90∵點(diǎn)為的中點(diǎn)∴CD⊥AB∴∠∠D∵PE為⊙O切，E切點(diǎn)∴∠∠D，∠PEF＝∵∠∠∴∠＝∠PEF∴PF∵PE

2

＝·，∴

2

＝·證明二如圖9－1連結(jié)、AE圖－1∵點(diǎn)是的中點(diǎn)∴，∴∠CAB＝∠∵PE切⊙O于，∴∠＝C∵∠∠∠，∠∠∠∴∠∠∴＝∵PE

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＝·，∴

2

＝·例10.（1）如圖10已知線AB過(guò)圓心交⊙O于、B，直線AF⊙O于F（與重），直⊙O于C、，交長(zhǎng)線于E且與垂直，足為G連結(jié)AD圖求證：∠BAD∠②ADAE

圖1（2）問題（）中當(dāng)直線上平行動(dòng)，與O切時(shí)，其它件不變①請(qǐng)你圖10中畫出變化的圖形并對(duì)圖10記字母；②問題1）中的兩個(gè)結(jié)論是成立？果成立請(qǐng)給證明；果不成，請(qǐng)說(shuō)明理。證明：①連結(jié)∵AB是⊙O的徑，∴ADB90∴∠∠90更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料又∵是⊙O內(nèi)接四邊形∴∠∠B，∠BAD＝②連結(jié)CF∵∠∠∠∠FAB∴∠∠又∵∠∠F∴△△AFC∴，∴ADAF（2①見圖101②兩個(gè)論都成，證明下：①連結(jié)BC，∵AB是直徑，∴ACB＝90°∴∠∠90∵GC切⊙O于C∴∠∠∴∠∠即∠＝∠CAG②連結(jié)CF∵∠∠∠∠GAC∴∠∠∠∠ACG∠∠E＝∠ACG－∠∴∠∠E，△ACF∽，∴∴AC

＝AE·（即ADAE·）說(shuō)明：題通過(guò)化圖形位置，查了生動(dòng)手圖的能，并通探究式提問加強(qiáng)了學(xué)生證題的考，這是前熱的考題希望引大家的注。例如圖AB⊙直徑，O中點(diǎn)，BC垂足為圖由這些件，你推出哪正確結(jié)？（求，不標(biāo)注其字母，結(jié)論的程中所連助線不出現(xiàn)在論中，寫推過(guò)程，出4個(gè)結(jié)論即可）若∠ABC直角，他條件變，除述結(jié)外，你能推出些新的確結(jié)論并畫出形。分析：1）若連結(jié)，可證DE是⊙的切線若連結(jié)DB，由直AB點(diǎn)DAC中點(diǎn)，可BC∠A＝C。而且BC于點(diǎn)，又由雙垂形，可，（2）結(jié)DOOB方法同。答：下結(jié)論可選擇，圖111

等。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料圖1（1）DE⊙O的切線②＝③∠∠C④

2

＝BE·⑤CD

2

＝CE·⑥∠C∠90⑦（2）BE②＝BE③CE④DE⑤CB⊙O切線⑥B⑦∠＝∠45⑧∠C＝∠⑨CB＝CD·⑩(11)(12)說(shuō)明：題是結(jié)開放的索性問，答不唯一尋找結(jié)的關(guān)鍵抓住命的條及其特（尤是利用殊幾何形的判和性，幾何中如：相等系、殊圖形兩圖形關(guān)系等（三）和圓的置關(guān)系［知識(shí)納］1.基本概念兩圓外、外切相交、切、內(nèi)的定。兩圓的切線、公切線內(nèi)公切、公線長(zhǎng)的義。兩圓的心線、心距、共弦。2.圓和圓的置關(guān)系兩圓的置圓心距與兩圓的外公切內(nèi)公切線半徑r關(guān)系線條數(shù)切線條數(shù)條數(shù)外離224外切213相交

202內(nèi)切101內(nèi)含000相交兩的性質(zhì)相交兩的連心垂直分兩圓公共弦相切兩的性質(zhì)如果兩相切，么切一定在心線上［例題析］例已知兩圓切時(shí)圓心距10cm兩圓內(nèi)切時(shí)圓心為4cm，求兩半徑的。解：設(shè)圓的半分別為和rcm依題意得更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料答：大的半徑，小圓的徑為3cm。例已知：如兩圓相于、B，過(guò)點(diǎn)A直線交圓于、D，過(guò)的直線交兩圓E、。圖求證：CE∥FD。分析：證CEFD，通過(guò)角關(guān)系證行，只要證E∠BFD或∠＋∠＝，若證E＝∠BFD，需將∠BFD轉(zhuǎn)化成與⊙O有關(guān)的周角，圓內(nèi)接邊形的1角，只連結(jié)AB可；若證∠∠D180，也需結(jié)AB，得∠∠D∠EBA∠180°，則也得證。證明一（用同角證）結(jié)AB∵四邊接于⊙∴∠∠1又∵∠∠∴∠∠∴CE∥FD證明二（用同內(nèi)角證連結(jié)∵四邊接于⊙1∴∠＋∠＝，又∵B∠D∴∠＋∠＝，∴ECFD小結(jié)：圓相交，常添輔助線作兩的公共。（四）多邊形圓［知識(shí)納］1.基本概念正多邊、正多形的中、正多形的徑、正邊形的心距、多邊形中心以及平鑲嵌等2.正多邊形判定與質(zhì)（1）圓分成等份：依次連各分點(diǎn)得的多形是這圓的接正n邊形；經(jīng)過(guò)各點(diǎn)作圓切線，相鄰切的交為頂點(diǎn)多邊形這個(gè)圓外切正n邊形（2）何正多形都有個(gè)外接和一個(gè)切圓這兩個(gè)是同心。3.正多邊形有關(guān)計(jì)正邊形的半徑邊心距正n邊形分成2n個(gè)全等的直三角。如圖16示，設(shè)形的中角為更多精品文檔

，半徑邊長(zhǎng)為，邊心距r周長(zhǎng)為n學(xué)習(xí)好資料P面積為S，則由有關(guān)形的性可以推：nn圖（1

（2）

；（3；（4（5；（64.與圓有關(guān)計(jì)算

；

；（1圓的周長(zhǎng)

；（2）弧長(zhǎng)

；（3圓的面積

；（4）扇形面積

；（5弓形面積（如圖16）5.與圓有關(guān)作圖過(guò)不在一條直上的三作圓；作三角的內(nèi)切；等分圓（三、、十二四、八五等），作三角形正四邊、正六形。6.圓柱和圓錐側(cè)面展圖（1圓柱的側(cè)面：（2）錐的側(cè)積：

（r底面半徑，：圓柱）（L＝2πR，圓錐母線長(zhǎng)r是底面半）。（側(cè)面展開圖形的圓角的度數(shù)，R母線長(zhǎng)。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料［例題析］例14.已知：圖17，兩個(gè)同圓中，圓的弦AB與圓相切點(diǎn)CAB長(zhǎng)為12cm求兩個(gè)所圍成環(huán)形面。圖