實際問題中導數(shù)的意義

實際問題中導數(shù)的意義學科組

高二數(shù)學組

主備人

田光海

執(zhí)教人課題

4.2.1

實際問題中導數(shù)的意

課

型

新授課

時間2012.課時教學目標教學設想

義1.進步熟練函數(shù)的最大值與最小值的求法；2.初會解有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題3.掌導數(shù)在日常生活中的重要作用，并能應用導數(shù)去解決生活中的實際問題4.通學習，感受學習的樂趣，激發(fā)學習的興趣，樹立必勝的信念。重點：解有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題．難點：建立函數(shù)模型，解有關函數(shù)的實際問題．教法學法指導：引導探究，講練結合多媒課演）教學程序與策略教過：多體件示一復引：極大：一般地，設函數(shù)f(x)在x附有定義，如果對x附的所有的點，都有＜f(x)就f(x)是數(shù)f(x)的一個極大值記作y=f(x)x是大值點極?。阂话愕卦O數(shù)f(x)在x附有定義如對附的所有的點都f(x)＞).就說f(x)是函數(shù)f(x)一個極小值，記作y=f(x)，是極小值點極大與小統(tǒng)為極判x)極、小的方:0

個性化修改若滿足f0

，在x的側00

f(

的導數(shù)異號，則x是f(0

的極值點，

f(0

是極值并如果

f

在

x

0

兩側滿“正右負

x

0

是

f(

的極大值點，

f(0

是極大值如

f

在

x

0

兩側滿“負右正

x

0

是

f(的極小值點，

f(0

是極小值求導數(shù)x的極的驟(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)′()(2)求方程′(x的根(3)用函數(shù)的導數(shù)為0的，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格檢f(在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么()在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么x)在這個根處取得極小值如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么fx在這個根處無極值二講范：多體件示/

實際問題中導數(shù)的意義例1在長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，把它的邊沿虛線折起如)，做成一個無蓋的方底子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？【媒課演圖】

解法一：設箱底邊長為xcm，則箱高60hcm，得2

0

x

x子容積

0V()2h

60x

22

3(060)．

3x2

60)令

V

3x2

＝，得x=0（舍去，并求得V(40)=16000由題意可知x過（接近0或過（接近60）時，箱子容積很小，因000是最大

60-2x

x值

60-2x

60-2x答當x=40cm時箱子容積最大最大容積是16000cm解法二：設箱高為cm，則箱底長為(60-2)cm，則得箱子容積

60-2x

xV(x))2xx

面解法一，略）由題意可知，當x過或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處．事實上可導函數(shù)

V()

2

h

60x

22

3

、V)(60)2x

在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值例2圓形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應怎樣選取，才使所用的材料最??？解：設圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2Rh+2πR

由V=Rh，得

h

2

，則S(R)=2R

2VV+2R=+2πR令s+4πR=0R/

實際問題中導數(shù)的意義解得，

3

V，從而h==22

4VV=3=23)2即h=2R因為S(R)只有一個極值所以它是最小值答當罐的高與底直徑相等時，所用材料最?。n練：1.函數(shù)y=2－x

－12+5在0，3］的最小值___________.2.函數(shù)fx)=sin2－在－

,］的最大值為；小_______.23.將正數(shù)a成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應分_________.4.使內接橢圓

22a2

=1的矩形面積最大，矩形的長_____，為____.5.在半徑為的內，作內接等腰三角形，當?shù)走吷细達__時，它的面積最大答：－152.四課?。?/p>

a－3.4.5.2

R⑴解有關函數(shù)最大值小的際問題要分析問題中各個變量之間的關系，找出適當?shù)暮瘮?shù)關系式確函數(shù)的定義區(qū)間得結果要符合問題的實際意義．⑵根據(jù)問題的實際意義來判斷函數(shù)最值時函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較．⑶相當多有關最值的實際問題用導數(shù)方法解決較