分式(基礎(chǔ))知識講解

分式(基礎(chǔ))知識講解分式(基礎(chǔ))知識講解分式(基礎(chǔ))知識講解xxx公司分式(基礎(chǔ))知識講解文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準審核制定方案設計，管理制度分式的概念和性質(zhì)（基礎(chǔ)）【學習目標】1.理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為0的條件.2．掌握分式的基本性質(zhì)，并能利用分式的基本性質(zhì)將分式恒等變形，進而進行條件計算.【要點梳理】要點一、分式的概念一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要點詮釋：（1）分式的形式和分數(shù)類似，但它們是有區(qū)別的.分數(shù)是整式，不是分式，分式是兩個整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分數(shù)的分子、分母中都不含字母.（2）分式與分數(shù)是相互聯(lián)系的：由于分式中的字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分數(shù)更具有一般性；分數(shù)是分式中字母取特定值后的特殊情況.（3）分母中的“字母”是表示不同數(shù)的“字母”，但π表示圓周率，是一個常數(shù)，不是字母，如是整式而不能當作分式.（4）分母中含有字母是分式的一個重要標志，判斷一個代數(shù)式是否是分式不能先化簡，如是分式，與有區(qū)別，是整式，即只看形式，不能看化簡的結(jié)果.要點二、分式有意義，無意義或等于零的條件1.分式有意義的條件：分母不等于零.2.分式無意義的條件：分母等于零.3.分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零.要點詮釋：（1）分式有無意義與分母有關(guān)但與分子無關(guān)，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值為零.（2）本章中如果沒有特殊說明，所遇到的分式都是有意義的，也就是說分式中分母的值不等于零.（3）必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值.要點三、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.要點詮釋：（1）基本性質(zhì)中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強調(diào)；M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運用分式的基本性質(zhì)時，必須重點強調(diào)M≠0這個前提條件.（2）在應用分式的基本性質(zhì)進行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.要點四、分式的變號法則對于分式中的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；改變其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數(shù).要點詮釋：根據(jù)分式的基本性質(zhì)有，.根據(jù)有理數(shù)除法的符號法則有.分式與互為相反數(shù).分式的符號法則在以后關(guān)于分式的運算中起著重要的作用.要點五、分式的約分，最簡分式與分數(shù)的約分類似，利用分式的基本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個分式叫做最簡分式.要點詮釋：（1）約分的實質(zhì)是將一個分式化成最簡分式，即約分后，分式的分子與分母再沒有公因式.（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式最低次冪的積；當分式的分子、分母中含有多項式時，要先將其分解因式，使之轉(zhuǎn)化為分子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進行約分.分式的乘除（基礎(chǔ)）【學習目標】1.學會用類比的方法總結(jié)出分式的乘法、除法法則.2.會分式的乘法、除法運算.3.掌握乘方的意義，能根據(jù)乘方的法則，先乘方，再乘除進行分式運算.【要點梳理】要點一、分式的乘除法1.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.用字母表示為：，其中是整式，.2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用字母表示為：，其中是整式，.要點詮釋：（1）分式的乘除法都能統(tǒng)一成乘法，然后約去公因式，化為最簡分式或整式.（2）分式與分式相乘，若分子和分母是多項式，則先分解因式，看能否約分，然后再乘.（3）整式與分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代數(shù)式）和分式的分子相乘作為分子，分母不變.當整式是多項式時，同樣要先分解因式，便于約分.（4）分式的乘除法計算結(jié)果，要通過約分，化為最簡分式或整式.要點二、分式的乘方分式的乘方運算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，用字母表示為：（為正整數(shù)）.要點詮釋：（1）分式乘方時，一定要把分式加上括號.不要把寫成（2）分式乘方時，要首先確定乘方結(jié)果的符號，負數(shù)的偶次方為正，負數(shù)的奇次方為負.（3）在一個算式中同時含有分式的乘方、乘法、除法時，應先算乘方，再算乘除，有多項式時應先分解因式，再約分.（4）分式乘方時，應把分子、分母分別看作一個整體.如.分式的加減（基礎(chǔ)）【學習目標】1．能利用分式的基本性質(zhì)通分．2．會進行同分母分式的加減法．3．會進行異分母分式的加減法．【要點梳理】要點一、同分母分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；上述法則可用式子表為：.要點詮釋：（1）“把分子相加減”是把各分式的分子的整體相加減，即各個分子都應用括號，當分子是單項式時，括號可以省略；當分子是多項式時，特別是分子相減時，括號不能省，不然，容易導致符號上的錯誤.（2）分式的加減法運算的結(jié)果必須化成最簡分式或整式.要點二、分式的通分與分數(shù)的通分類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘適當?shù)恼?，不改變分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.要點詮釋：（1）通分的關(guān)鍵是確定各分式的最簡公分母：一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母.（2）如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相同字母的最高次冪的乘積；如果各分母都是多項式，就要先把它們分解因式，然后再找最簡公分母.（3）約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對一個分式而言，而通分則是針對多個分式而言.要點三、異分母分式的加減異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.上述法則可用式子表為：.要點詮釋：（1）異分母的分式相加減，先通分是關(guān)鍵.通分后，異分母的分式加減法變成同分母分式的加減法.（2）異分母分式加減法的一般步驟：①通分，②進行同分母分式的加減運算，③把結(jié)果化成最簡分式.要點四、分式的混合運算與分數(shù)的加、減乘、除混合運算一樣，分式的加、減乘、除混合運算，也是先算乘、除，后算加、減；遇到括號，先算括號內(nèi)的，按先小括號，再中括號，最后大括號的順序計算.分式運算結(jié)果必須達到最簡，能約分的要約分，保證結(jié)果是最簡分式或整式.要點詮釋：（1）正確運用運算法則：分式的乘除（包括乘方）、加減、符號變化法則是正確進行分式運算的基礎(chǔ)，要牢牢掌握..（2）運算順序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、減，遇有括號，先算括號內(nèi)的.（3）運算律：運算律包括加法和乘法的交換律、結(jié)合律，乘法對加法的分配律.能靈活運用運算律，將大大提高運算速度.分式方程的解法及應用（基礎(chǔ)）【學習目標】1.了解分式方程的概念和檢驗根的意義，會解可化為一元一次方程的分式方程．2.會列出分式方程解簡單的應用問題．【要點梳理】要點一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.要點二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時必須驗根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.要點三、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根.產(chǎn)生增根的原因：去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是含有字母的式子，這個式子有可能為零，對于整式方程來說，求出的根成立，而對于原分式方程來說，分式無意義，所以這個根是原分式方程的增根.要點詮釋：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要檢驗根，這種檢驗與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯誤，而是檢驗是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯誤的前提下進行的.要點四、分式方程的應用分式方程的應用主要就是列方程解應用題.列分式方程解應用題按下列步驟進行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個分式方程；（5）驗根，檢驗是否是增根；（6）寫出答案.分式全章復習與鞏固（基礎(chǔ)）【學習目標】1.理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為0的條件.2．了解分式的基本性質(zhì)，掌握分式的約分和通分法則．3．掌握分式的四則運算．4．結(jié)合分析和解決實際問題，討論可以化為一元一次方程的分式方程，掌握這種方程的解法，體會解方程中的化歸思想．【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1．分式一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要點詮釋：分式中的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即當B≠0時，分式才有意義.2.分式的基本性質(zhì)

（M為不等于0的整式）.

3．最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子分母有公因式，要進行約分化簡.要點二、分式的運算1．約分利用分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子和分母的公因式約去，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.2．通分利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當?shù)恼?，不改變分式的值，把異分母的分式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．3．基本運算法則分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似,具體運算法則如下:（1）加減運算QUOTE；同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.（2）乘法運算，其中是整式，.兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運算，其中是整式，.兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，與被除式相乘.（4）乘方運算分式的乘方，把分子、分母分別乘方.

4.分式的混合運算順序先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的.要點三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．3．分式方程的增根問題增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方