模擬濾波器設(shè)計(jì)

模擬濾波器設(shè)計(jì)實(shí)際信號(hào)除有用信號(hào)外，往往帶有干擾，這些干擾有的是與有用信號(hào)同時(shí)產(chǎn)生的，有的是在信號(hào)傳輸與處理過(guò)程中由于不同系統(tǒng)間的相互作用引起的。在信號(hào)處理中從帶有干擾的信號(hào)中分離出有用信號(hào)的裝置稱(chēng)為濾波器。在電子測(cè)量、通信、電視等領(lǐng)域，濾波器的使用極為廣泛。當(dāng)有用信號(hào)與希望濾除的干擾占有不同的頻帶時(shí)，用一個(gè)在有用信號(hào)頻帶增益較高、而在干擾頻帶增益較低的選頻濾波器則能分離出有用信號(hào)。當(dāng)有用信號(hào)與干擾的頻帶有重疊時(shí)，需要按照隨機(jī)信號(hào)內(nèi)部的一些統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律最佳地提取有用信號(hào)，如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器。只介紹選頻濾波器。根據(jù)處理的是模擬信號(hào)還是數(shù)字信號(hào)，濾波器可分為模擬和數(shù)字兩大類(lèi)。模擬濾波器用電路實(shí)現(xiàn)，數(shù)字濾波器用計(jì)算機(jī)、數(shù)字信號(hào)處理芯片等完成有關(guān)數(shù)字處理，通過(guò)一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)的頻譜分布。數(shù)字濾波器和模擬濾波器都起改變頻譜分布的作用，只是信號(hào)的形式和實(shí)現(xiàn)濾波的方法不同。一般來(lái)說(shuō)，模擬濾波器成本低、功耗小，目前頻率可達(dá)幾十MHz。數(shù)字濾波器則精度高，穩(wěn)定、靈活，便于實(shí)現(xiàn)模擬濾波器難以實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題主要是根據(jù)給定的頻率響應(yīng)指標(biāo)確定系統(tǒng)函數(shù)的問(wèn)題，其內(nèi)容相當(dāng)廣泛。本章介紹濾波器設(shè)計(jì)的基本概念和一些實(shí)用方法：首先介紹濾波器的一些典型逼近函數(shù)，主要為巴特沃思逼近和切比雪夫逼近；然后介紹頻率變換，將低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為帶通、高通等的系統(tǒng)函數(shù)；接著再介紹有源濾波器的概念?！?濾波器的一些典型逼近函數(shù)一、濾波器的頻率響應(yīng)理想濾波器由于是不可實(shí)現(xiàn)的，它只有在理論分析中才有用。所幸的是，實(shí)際中并不嚴(yán)格要求系統(tǒng)函數(shù)的幅度在干擾信號(hào)頻帶絕對(duì)為零，只要非常小就行，在有用信號(hào)頻帶也不必一定為恒定值，可以在很小的范圍內(nèi)變化，只要其幅度相對(duì)較大；幅頻特性曲線(xiàn)也不必在某一頻率處特別陡峭。理論還證明，對(duì)物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)的實(shí)部和虛部具有依從關(guān)系，因而實(shí)際濾波器也就不能同時(shí)滿(mǎn)足幅度要求和相位要求。在濾波器設(shè)計(jì)中，由于幅度函數(shù)為角頻率。的偶對(duì)稱(chēng)函數(shù)，相位函數(shù)為。的奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)，因而以下只考慮。為正值時(shí)的頻率響應(yīng)。當(dāng)幅度函數(shù)在某一頻率范圍（。1，。2）內(nèi)很小時(shí)，稱(chēng)該頻率區(qū)間為阻帶。當(dāng)幅度函數(shù)在某一頻率范圍（oP1，QP2）內(nèi)相對(duì)其它頻率處的幅度較大，而且幅度的變化范圍又比較小，稱(chēng)該頻率區(qū)間為通帶。此外，還定義通帶與阻帶間的頻率范圍為過(guò)渡帶。為了實(shí)現(xiàn)濾波的目的，有用信號(hào)的頻帶應(yīng)在濾波器的通帶之內(nèi)，干擾信號(hào)的頻帶應(yīng)在阻帶內(nèi)。低通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)如圖11（a）所示，它的通帶為（0，Qp），阻帶為（。，8,過(guò)渡帶為（。，。），。稱(chēng)為通帶（截止）頻率，。稱(chēng)為阻帶（截止）頻率。在通帶或阻帶內(nèi)，幅度函數(shù)可以是單調(diào)的：也可以在一定范圍內(nèi)起伏變化。為了便于描述通帶與阻帶的相對(duì)變化量，定義|H（jw）|dB的最大值與通帶內(nèi)最小值之差為通帶波紋，用A表示，定義|H（jw）|dB的最大值（也可為通帶內(nèi)的其他值）與阻帶內(nèi)最大值之差為阻帶衰減，用A表示，A和As都以分貝度量，為正值。SPS若|H（jw）|的最大值為1，通帶和阻帶的變化量分別為身和q（見(jiàn)圖11（b）），根據(jù)Ap和As的定義，則有Ap=-20log（1-5p）或5p=1—10-％/20

氣=-20log5s或5s=10-as/20高通濾波器的通帶為（Op,8,阻帶為（0,。），如圖11（c）所示。帶通濾波器的幅頻曲線(xiàn)如圖1i（d）所示。oP1,oP2為通帶頻率，qs1,os2為阻帶頻率，當(dāng)幅頻特性呈幾何對(duì)稱(chēng)時(shí)，還定義中心頻率Q0=JQ,件2（11）帶阻濾波器的幅頻曲線(xiàn)如圖11（e）所示。（a）低通（幅度用dB表示）ps(b)低通（c）高通（d）（a）低通（幅度用dB表示）ps(b)低通（c）高通（d）帶通（e）帶阻二、逼近的一般方法濾波器設(shè)計(jì)的首要任務(wù)是要確定滿(mǎn)足技術(shù)指標(biāo)要求的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)必須是物理可實(shí)現(xiàn)的，因而要滿(mǎn)足因果性和穩(wěn)定性。由于IH（s）l.=IH（jw）l為復(fù)數(shù)H(jo)=1H(jo)Ie神0)=Re[H(jo)]+jIm[H(jo)]則有IH(jo)|2=H(jo)H(-jo)=H(s)H(—s)s=j°(12)由于集總系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)是s的有理函數(shù)，則H(s)H(-s)是S2的有理函數(shù)，IH(jo)I2必為o2的有理函數(shù)。在研究濾波器的逼近函數(shù)問(wèn)題中，一般由IH(jo)|2確定H(s)。當(dāng)滿(mǎn)足濾波器技術(shù)指標(biāo)要求的IH(jo)I2給定后，將IH(jo)I2表達(dá)式中的o2用s2替換，得出與IH(jo)I2對(duì)應(yīng)的H(s)H(-s)，而后求出H(s)H(-s)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，由于H(s)H(-s)是S2的有理函數(shù)，若p為H(s)H(-s)的一個(gè)極點(diǎn)(或零點(diǎn))，則-p也必然為極點(diǎn)(或零點(diǎn))，如圖12所示。顯然，虛軸上的極點(diǎn)(或零點(diǎn))必是二重的。圖12H(s)H(-s)極點(diǎn)(或零點(diǎn))分布的對(duì)稱(chēng)性根據(jù)s平面上H(s)H(-s)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的分布圖，考慮到H(s)必須是穩(wěn)定的，因此，位于左半平面的極點(diǎn)應(yīng)屬于H(s)，而右半平面的極點(diǎn)屬于H(-s)。然而，零點(diǎn)的分配則不是惟一的，現(xiàn)來(lái)考察它對(duì)頻率特性的影響。系統(tǒng)在正弦輸入下，輸出信號(hào)相位Wy(o)與輸入信號(hào)相位Wx(o)及系統(tǒng)函數(shù)相位中(o)存在下式關(guān)系W(o)=w(o)+中(o)系統(tǒng)的相移為逐(o)，系統(tǒng)的相延遲時(shí)間d和群延遲時(shí)間'g分別定義為中(o)d中(o)dogdo(13)如果中(o)與頻率的成線(xiàn)性關(guān)系，則七與'g相等，且為常數(shù)。對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，中(o)為超越函數(shù)，而群延遲時(shí)間總是o2的有理函數(shù)。M、CI.....設(shè)H(s)和H(s)具有相同的極點(diǎn)，p],2=P】,2=q土J2；而二者的零點(diǎn)卻以理軸成鏡像關(guān)系，%2=T±J1，4,2=1土J1，，如圖13所示。因門(mén)①-平Tj①-％1，Ij①f2l=lj①-知I，因此H(J?)和二.H(J3)具有相同的幅頻特性。再看二者的相移特性，分別為一中(①)=一中]―甲2+arg[(j①-P])(j①-p2)]_(P(?)=-(P1-(P2+arg[。①-P」(j①-P2)]當(dāng)3>0時(shí)，因％*]，氣*2,則-P(①)<-p(①)以上討論說(shuō)明：極點(diǎn)均位于左半平面且具有相同幅頻特性的兩個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，對(duì)任一大于零的①，全部零點(diǎn)位于左半平面的系統(tǒng)函數(shù)的相移總小于在右半平面有零點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)的相移，故稱(chēng)極點(diǎn)和零點(diǎn)均在左半平面的系統(tǒng)函數(shù)為最小相移函數(shù)。(a)最小相移(b)非最小相移圖13最小相移函數(shù)與非最小相移函數(shù)的s(a)最小相移(b)非最小相移盡管系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)的分布無(wú)關(guān)，但常見(jiàn)的濾波器用最小相移函數(shù)描述，否則在濾波器的輸入與輸出之間需要多個(gè)通路，從而導(dǎo)致了濾波器實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性，這在實(shí)際中應(yīng)盡可能避免。以后均把H(s)取為最小相移函數(shù)。濾波器在工程中使用相當(dāng)普遍，一些逼近函數(shù)在濾波器設(shè)計(jì)中發(fā)揮著重要作用，低通濾波器常見(jiàn)的逼近函數(shù)有：巴特沃思(Butterworth)逼近該逼近函數(shù)在通帶和阻帶內(nèi)具有單調(diào)衰減的幅頻特性。切比雪夫(Chebyshev)逼近其幅頻特性在通帶內(nèi)等波紋變化，在阻帶內(nèi)單調(diào)衰減。在相同階數(shù)條件下，切比雪夫?yàn)V波器比巴特沃思濾波器有更好的衰減特性。反切比雪夫逼近其幅頻特性在通帶內(nèi)單調(diào)衰減，在阻帶內(nèi)等波紋變化。橢圓逼近(也稱(chēng)考爾(Cauer)逼近或雙切比雪夫逼近)其幅頻特性在通帶和阻帶內(nèi)均按等波紋變化。貝塞爾(Bessel)逼近它是用泰勒級(jí)數(shù)逼近s=0附近的線(xiàn)性相位特性。圖14給出了低通濾波器幾種逼近函數(shù)的幅頻特性，均為5階函數(shù)，通帶頻率為1rad/s,最大增益為1。其中，圖14(a)為巴特沃思逼近；圖14(b)為切比雪夫逼近，通帶波紋(或通帶變化量0.2)；圖14(c)為反切比雪夫逼近，阻帶衰減(或阻帶變化量0.2)；圖14(d)為橢圓逼近，通帶波紋1.94dB，阻帶衰減14dB。由于任一通帶頻率的系統(tǒng)函數(shù)可以利用頻率變換方法從％=irad/s的得到，以下取通帶頻率％=】rad/s，只討論低通濾波器的巴特沃思逼近函數(shù)和切比雪夫逼近函數(shù)，其他逼近函數(shù)可參考有關(guān)濾波器設(shè)計(jì)手冊(cè)。圖14幾種逼近函數(shù)的幅頻特性三、巴特沃思逼近巴特沃思低通濾波器幅度函數(shù)的平方用下式給出...1IH(j①)|2=1+32N(14)式中通帶頻率取為1rad/s,N是系統(tǒng)函數(shù)的階數(shù)。由上式可計(jì)算出：3=0時(shí)，|H（j°）|=1；1式中通帶頻率取為1rad/s,N是系統(tǒng)函數(shù)的階數(shù)。由上式可計(jì)算出：3=0時(shí)，|H（j°）|=1；1IH(j1)1==3=1rad/s時(shí)，<2，即在通帶頻率處衰減約3dB，故有時(shí)稱(chēng)巴特沃思濾波器3dB通帶頻率為1rad/s；3=3時(shí)，1H(jOT)|=°。式（14）描述的H（j3）的幅頻特性如圖15所示，它具有以下特點(diǎn):0-10-20-30-40-50-60-70-80-90-10011.21.41.61.822.22.42.62.833(rad/s)圖15巴特沃思函數(shù)的幅頻特性（1）1H（j3）|為單調(diào)減函數(shù)，N愈大，愈接近理想低通濾波特性。當(dāng)3>>1rad/s時(shí)，頻率每增加十倍，特性曲線(xiàn)下降（2°N）dB，即以（2°N對(duì)用。的速率下降。（2）可以證明，直特性。d，IH(j3)|d3i?=°（i=°,1,...,2N-1），這表明1H（j3）|在通帶內(nèi)具有最大平s卜面根據(jù)式（14）求系統(tǒng)函數(shù)H（s）。令j11+(-1)Ns2N（15）上式極點(diǎn)為k=1,2,...,2N（16）/12k-1)

sk=eJk=1,2,...,2N（16）兀圖16給出了N=3和N=4時(shí)的極點(diǎn)分布，可見(jiàn)，2N個(gè)極點(diǎn)以N為間隔均勻分布在半徑為1的圓周上。圖16式（15）的極點(diǎn)分布當(dāng)取k=1,2,,N時(shí)，用式（16）求得的極點(diǎn)位于左半平面，用這些極點(diǎn)可構(gòu)成穩(wěn)定的H（s）。以N=3為例，有j2n.-j2ns=e3.s=ej兀=-1.s=e31，2，3則H(s)為H(s)=I(s+1)s-e」3l八,一一,2一(s+1)s2一2cos(3兀)s+111(s+1)(s2+s+1)s3+2s2+2s+1按以上方法，還可求得其他階數(shù)的H（s），巴特沃思系統(tǒng)函數(shù)的分母多項(xiàng)式A（s）如表11所示。表11巴特沃思低通濾波器分母多項(xiàng)式的系數(shù)A（s）=sN+a1sN-1+…+aN-1s+1N00203040521.41421432.0000002.00000042.6131263.4142142.61312653.2360685.2360685.2360683.23606863.8637037.4641029.1416207.4641023.863703

根據(jù)技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)濾波器，首先要確定出濾波器的階數(shù)。由于巴特沃思逼近函數(shù)及其有關(guān)表格和曲線(xiàn)是按3dB通帶頻率1rad/s給出的，因此，需要對(duì)頻率變量做尺度變換，將原始3dB通帶頻率％折算為1rad/s，相應(yīng)地將原始阻帶角頻率氣折算為叫=，/°p[①]，這一過(guò)程有時(shí)稱(chēng)之為頻率歸一化。將通帶頻率為1rad/s的低通濾波器轉(zhuǎn)化為其他通帶頻率低通濾波器的過(guò)程為去歸一化，可稱(chēng)為低通到低通（LP2LP）變換，如圖17所示。將通帶頻率是1rad/s的系統(tǒng)函數(shù)H3）變換為通帶頻率是％的系統(tǒng)函數(shù)H（s）的變換關(guān)系為s（17）H(s)=H1(--)p—p—圖17LP2LP變換（17）—p—系統(tǒng)函數(shù)的階數(shù)可用式（14）確定，設(shè)阻帶衰減的dB值A(chǔ)=-20l°S[H（j-:）]式中-:為Hi（s）的阻帶頻率。可求得N>l°g（10°ns-1）—2l°g-s（18）按式（18）求得濾波器的階數(shù)后，查表就可得到Hi（s），利用式（17），用s/-p替代Hi（s）中的s，即可得到滿(mǎn)足技術(shù)指標(biāo)要求的系統(tǒng)函數(shù)H（s）。例1-1已知低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H（s）采用巴特沃思逼近，3dB通帶角頻率-p=10krad/s，阻帶角頻率-s=20krad/s，阻帶衰減As不小于15dB，求H（s）解（1）確定階數(shù)N將頻率坐標(biāo)在3dB通帶角頻率處歸一化，有rad/s由式（18）

0.1As-])0.1As-])1.5—])2.52log2階數(shù)N只能為整數(shù)，故取N=3。也可根據(jù)圖15所示的幅頻曲線(xiàn)確定階數(shù)N,可看出，在3=2rad/s處，N=2時(shí)的衰減約為12dB，不滿(mǎn)足要求，N=3時(shí)衰減約為18dB，大于技術(shù)指標(biāo)15dB，故取N=3。(2)求系統(tǒng)函數(shù)H(s)由表11,N=3時(shí)H1H1(s)=s3+2s2+2s+1按式(17)進(jìn)行頻率變換，得系統(tǒng)函數(shù)H(s)H(s)=H11104"4j1012+1s3+2X104s2+2X108s+1012從上式可看出，當(dāng)階數(shù)N和通帶頻率3P比較大時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)H⑶中各s項(xiàng)的系數(shù)值較大，直接利用H(s)設(shè)計(jì)電路有時(shí)會(huì)帶來(lái)無(wú)法容許的數(shù)值誤差，因此在高階濾波電路設(shè)計(jì)中，一般先在頻率歸一化條件下設(shè)計(jì)，然后再調(diào)整電路動(dòng)態(tài)元件的值進(jìn)行頻率變換，有關(guān)內(nèi)容見(jiàn)例22。四、切比雪夫逼近切比雪夫低通濾波器幅度函數(shù)的平方為IH(j3)|2=(19)1+￡2C2(3)(19)式中Cn(°)是N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為Cn(①)=Cn(①)=cos(Narccos①)I①!<1(110)Cn(①)=ch(Narcch①)I①I(mǎi)>1(111)由式(110)可得(112)C0(3)=1C(112)C](①)=cos(arccos①)=3(113)若令X=arccos3，并利用三角函數(shù)等式關(guān)系cos[(N+1)x]=2cos(Nx)cosx一cos[(N-1)x]式(110)又可表示成遞推形式(114)(115)Cn+1(①)=2^Cn(ro)-Cn-1((114)(115)由式(112)?(114)可遞推出C2(ro)=2w2-1C3(w)=4ro3-3①C4(0)=8ro4-8ro2+1<C5(w)=16ro5-20ro3+5①C6(ro)=32ro6-48ro4+18ro2-1C普)=64ro7-112ro5+56ro3-7roC(ro)=128ro8-256①6+160ro4-32ro2+118當(dāng)ro>1時(shí)，由式(111)仍得c0(ro)=1，c1(ro)=ro。利用雙曲函數(shù)的關(guān)系式ch[(N+1)x]=2ch(Nx)chx-ch[(N-1)x]取x=arcchro，同樣可得式(114)遞推關(guān)系，故當(dāng)ro>1時(shí)，式(115)結(jié)果也成立。式(19)中￡是決定通帶波紋的參數(shù)。由式(110)，在ro=1rad/s處，Cn⑴=】，與階數(shù)N無(wú)關(guān)，因而與式(110)對(duì)應(yīng)的濾波器的通帶頻率定義為rop=1rad/so在通帶內(nèi)(0^^1)，1由于CN(ro)L故1H(jro)|在1和C+3之間變化。設(shè)通帶波紋的dB值A(chǔ)p為Ap=20logJ1+￡2由上式得￡=v'100.1Ap-1(116)在通帶外，可以證明|H(jro)|為單調(diào)減函數(shù)。圖18給出了N=4和N=5時(shí)的幅頻曲線(xiàn)，|H(j0)|=可見(jiàn)，通帶內(nèi)|H(jro)|的極大值和極小值的總數(shù)等于階數(shù)N，N為偶數(shù)時(shí)，司+￡2，N為奇數(shù)時(shí)，|H(j0)|=1O階數(shù)N根據(jù)阻帶衰減As(用dB形式表示，As>0)確定，利用式(19)和式(111)，有s'1+￡2[ch(Narcchro')]2(1置)把式（116）代入式（117）得arcchJ(10N>OfarcchJ(10N>Of-1)/(100的-1)arcchw's(118)例如給定通帶波紋Ap=0.5dB阻帶角頻率"s=2rad/s,阻帶衰減As=60dB,由式（118）求得N>5.6，則取N=6。圖1參數(shù)￡和階數(shù)N確定后，可以求出Hs）的極點(diǎn)，求解過(guò)程請(qǐng)參考有關(guān)資料，下面僅介紹其結(jié)果。設(shè)H（s）的N個(gè)極點(diǎn)圖1參數(shù)￡和階數(shù)N確定后，可以求出Hs）的極點(diǎn)，求解過(guò)程請(qǐng)參考有關(guān)資料，下面僅介紹其結(jié)果。設(shè)H（s）的N個(gè)極點(diǎn)，人=s^+j①k，（k=1?2,…，N），其中sk=-shgsin①k=chgcos（119）式中&」arcsh1N￡H(s)=——bb

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sN+a1sN—1++aN1s+aNk=1式中:a,???",%由s,（k=1,2,...,N）確定，￡=1時(shí)的各系數(shù)如表］2所示。b取決于通帶1N—1Nk，。o0*n；A最大幅度，若取最大幅度為1，則對(duì)奇次階H（s），由于在?=0處1H（j0）|=L故b0=aN；對(duì)偶次階H（s）由于1H(j0)|=^-―，則?敏1次階H（s）表12切比雪夫低通濾波器分母多項(xiàng)式的系數(shù)3=1，Ap=3dB）A(s')=sN+a1sNt++aN1s+a^Na1a2a3&4a5a620.6449000.70794830.5972400.9283480.25059440.5815801.1691180.4047680.17698750.5745001.4150250.5489370.4079660.06264960.5706981.6628480.6906100.6990980.1634300.044247例71-2導(dǎo)出三階切比雪夫低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，已知通帶頻率°p=1rad/s，通帶波紋Ap=3dB。解由式（116），參數(shù)￡為￡=v'10°-1Ap-1=0.997628根據(jù)式（119）求3個(gè)極點(diǎn)，有s1=-0.149310+j0.903814s2=-0.149310-j0.903814s3=-0-298620則H（s）的分母多項(xiàng)式A（s）=（s一s）（s一s）（s一s）123/=s3+0.597240s2+0.928348s+0.250594由于N=3為奇次階，b0=aN=。.250594，故系統(tǒng)函數(shù)§2模擬濾波器的頻率變換借助低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，經(jīng)合適的頻率變換，可以得到高通、帶通、帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，因此不論那一種濾波器的設(shè)計(jì)，都可以先將該濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為頻率歸一化的低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，按照該指標(biāo)先設(shè)計(jì)低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，再通過(guò)頻率變換，得到所需類(lèi)型系統(tǒng)函數(shù)。頻率變換也可直接用于無(wú)源濾波電路，把低通濾波電路通過(guò)適當(dāng)?shù)脑儞Q轉(zhuǎn)化為其他類(lèi)型的濾波電路。以下假定低通濾波器的通帶頻率為1rad/s，系統(tǒng)函數(shù)為H1（s）。一、低通到高通的變換低通到高通（LP2HP）的變換關(guān)系為sT君TH(s)=H(君)(21)s或1S(21)其中°p為高通濾波器的通帶角頻率。當(dāng)?shù)屯V器的角頻率?從-經(jīng)-1rad/s到0變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的高通濾器的角頻率°則從0經(jīng)°p到+8變化，由于幅頻特性偶對(duì)稱(chēng)，則濾波器的通帶由（0,1rad/s）變換為（°p，^），為高通濾波器的通帶，如圖21所示，曲線(xiàn)a'-b'-c，變換為a-b—c。因此，式（21）具有把低通變換為高通的功能。圖21圖21LP2HP變換以二階巴特沃思低通濾波器的變換為例，系統(tǒng)函數(shù)（22）H1(s)=（22）利用式（21），設(shè)取°p=1rad/s，變換后的系統(tǒng)函數(shù)為H(s)=H（23）例2-1求巴特沃思高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，要求通帶頻率為100Hz，在50Hz例2-1解（1）將高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為歸一化低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)HP2LP的轉(zhuǎn)換關(guān)系為HP2LP的轉(zhuǎn)換關(guān)系為s或，則低通指標(biāo)為:100阻帶角頻率s150rad/s100阻帶角頻率s150rad/s阻帶衰減（2）求低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)AsZ10dB由式（18），階數(shù)log100』4N>2log°si—1)log(00.ixio—1)「log100』4N>2log°si取N=2,系統(tǒng)函數(shù)見(jiàn)式（22）。（3）求高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)根據(jù)式（21），有H(s)H(s)=f?，

sPks7S2s2+200^\.?as+(200k)2若把頻率變換直接用于電感和電容元件，可把無(wú)源低通濾波電路轉(zhuǎn)換為高通形式。低通電路中電感L的阻抗SL'，經(jīng)式（21）變換后1

sC其中(24)即低通電路中的電感L在高通電路中變換為電容C。類(lèi)似地，低通電路中的電容C'變換為電感L,其中L=(25)按以上二式對(duì)電感和電容變換后，可得通帶角頻率為°p的高通電路?？紤]到實(shí)際中電阻值既不能太小，也不能太大，比如在k。量級(jí)，則還需要再次調(diào)整各元件值。由于給無(wú)源電路中各阻抗乘以相同系數(shù)K后，傳遞電壓比（或電流比）保持不變，因此，對(duì)電阻、電感的值乘以適當(dāng)?shù)南禂?shù)K，而對(duì)電容值除以&使各元件值在一合適的范圍內(nèi)。例2-2圖22所示電路為歸一化低通濾波電路，若要求高通電路的通帶頻率fp=1kHz，電阻為1k。，試求高通電路。1。2H

1。Vin1。Vin1。Vout解通帶角頻率①p=Wp=2兀虹ad/s,利用式（24）和（25）對(duì)電感和電容進(jìn)行變換，得圖23（a）所示的高通電路。按題中要求，將電阻值調(diào)整為1k。，則同時(shí)對(duì)電感乘以103，對(duì)電容除以103，電路如圖23（b）所示。79.5mF79.5mF（a）電阻值為1。79.5nFTl—-O+v.79.5nFTl—-O+v.159mH159mH1k。vout（b）電阻值為1k。圖23高通電路二、低通到帶通的變換低通到帶通（LP2BP）的變換關(guān)系為Bs（26）Bs式中w0是帶通濾波器的中心角頻率，B為帶寬，單位rad/s。若令低通濾波器的s=何’，有s2-j①Bs+①0=0從上式求得i①B±\.'（（?B）2+4①02

s=j2即帶通濾波器的少為I（27）①B±、.（（dB）2+4①0=（27）少與"間的映射關(guān)系如圖24所示。即曲線(xiàn)a'-b，-c，-d，-e，映射為a-b-c-d-e?？梢?jiàn)，變換后為帶通濾波器。

圖24LP2BP變換若只考慮①〉0的情況，由式（27）,低通濾波器的"和圖24LP2BP變換從以上兩式得①2-①]=3'B當(dāng)妃=1rad/s時(shí)，映射后分別為°p2和°pi，則有B=°2-°1（28）（29）（210）可見(jiàn)，B（28）（29）（210）式（211）說(shuō)明，用式（26）變換得到的帶通濾波器具有幾何對(duì)稱(chēng)性，°o為°i和°2的幾何平均值。由于°p2和°pi均為°'=1rad/s和°’=Trad/s的映射，由式（211）有°0=°0=^°2°1可見(jiàn)，中心頻率°°為兩個(gè)通帶頻率的幾何平均值。為了描述帶通濾波器幅頻特性曲線(xiàn)的尖銳程度，還定義中心頻率°°與帶寬B的比值為品質(zhì)因數(shù)Q，即（213）Q愈大，對(duì)同一°0則帶寬B愈小，故曲線(xiàn)愈尖銳。式（26）給出的變換關(guān)系也可用Q和°0表示，為s2+°2s—QQ愈大，對(duì)同一°0則帶寬B愈小，故曲線(xiàn)愈尖銳。式（26）給出的變換關(guān)系也可用Q和°0表示，為s2+°2s—Q0s°

0(214)若用式（214）對(duì)一階歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1（s）=今進(jìn)行變換，得二階帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)CO

s0H（s）==K。二°0+1s2*3+°o0該式為二階帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的一般形式。(215)帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的求解與高通的類(lèi)似，首先要求出低通濾波器的阻帶頻率叫，當(dāng)已知阻帶頻率°s（°,1或°：2）時(shí)，由式（26）得,I°2—°21sB°s(216)再根據(jù)°s和阻帶衰減A確定逼近函數(shù)的類(lèi)型和階數(shù)，得到低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1（s），最后，用式（26）將其轉(zhuǎn)化為帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（s）。例2-3已知帶通濾波器的通帶帶寬B=&x200rad/s，中心頻率°0=2x1000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減3dB，在°s1=&x830rad/s和°s2=&x1200rad/s處最小衰減As=15dB，試求巴特沃思逼近的系統(tǒng)函數(shù)。解（1）求歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。按式（216）得°,=(2兀x1000)2—(2兀X830)2=1874

s1一(2兀x200)x(2兀x830)—.°，=("1200)2-("1000)2=1.833s2(2兀x200)x(2兀x1200)由于①,］〉°，s2，則在°：2處的衰減相對(duì)較小，故取°s=°：2=技33低通濾波器的階數(shù)0.1&-])0.1x15—1)=2.82log1.833取N=3,查表11得H1H1(s)=s3+2s2+2s+1(2)求帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)=H1(H(s)=H1(s6+2Bs5+(3唱+2B2)s4+(yB+B3)s3+伽4+2唱B2)s4+2%Bs+唱帶通電路也可由低通電路經(jīng)元件變換實(shí)現(xiàn)。低通電路中電感L的阻抗經(jīng)變換后為s2+32L'1L'=s—+BB2LL0BsA)BsBs對(duì)電容C'，變換后的導(dǎo)納s2+32C'BsC，

=s+BB32C'0可見(jiàn)，低通電路中的電容要用電容和電感的并聯(lián)置換，其值分別為C'C=—B(218)電路元件的變換如圖25所示。ChCC■I卜jnrmB圖25LP2BP電路的元件變換三、低通到帶阻的變換變換關(guān)系為sBs—S2+W20式中30為帶阻濾波器的阻帶中心頻率，°0=氣氣約2,氣1和氣2為阻帶頻率；B為阻帶帶寬，B*s2—①si。帶阻濾波器的幅頻特性如圖26所示。圖26帶阻濾波器的幅頻特性圖26帶阻濾波器的幅頻特性3B由式（218）可得Q>0和3>0時(shí)頻率間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為（219）3130-33B（219）帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)的求解步驟和電路元件的變換與帶通濾波器的類(lèi)似，此處從略?！?有源濾波器根據(jù)濾波電路是否含有有源器件，模擬濾波器分為無(wú)源和有源兩大類(lèi)。無(wú)源濾波器由電阻、電容和電感構(gòu)成，其設(shè)計(jì)理論已很成熟，電路一般為梯形結(jié)構(gòu)，可用有關(guān)計(jì)算機(jī)軟件設(shè)計(jì)。有源濾波器含有源器件，如：運(yùn)算放大器，品體管，電流傳輸器、跨導(dǎo)放大器等，一般不含電感，它可實(shí)現(xiàn)無(wú)源濾波器的所有功能，系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)可以在左半s平面的任一位置。無(wú)源濾波器受電感線(xiàn)圈電阻的影響，其精度有時(shí)難以滿(mǎn)足實(shí)際要求，在低頻應(yīng)用場(chǎng)合，電感線(xiàn)圈的體積較大，不適合對(duì)體積有限制的電子裝置，此外，無(wú)源電路的直流增益不可能大于1。自從20世紀(jì)50年代起，人們對(duì)用有源器件和電阻電容實(shí)現(xiàn)的有源濾波器的研究經(jīng)久不衰，隨著各種新器件的出現(xiàn)，有源濾波器的種類(lèi)已有很多，表31給出了一些典型的濾波器。表中，有些種類(lèi)的濾波器不含電阻元件，主要是為了能夠?qū)崿F(xiàn)全集成化，從而極大地減小了濾波器的體積。本節(jié)介紹二階有源RC濾波電路，主要是為了讓讀者了解濾波器的一些基本概念和分析方法，在實(shí)際電路設(shè)計(jì)時(shí)，則需要參考有關(guān)專(zhuān)門(mén)書(shū)籍，根據(jù)各個(gè)電路的特點(diǎn)和應(yīng)用范圍選取合適的電路。表31一些典型的濾波器名稱(chēng)有源器件電阻電容其他元件說(shuō)明有源RC濾波器運(yùn)算放大器VV有源R濾波器運(yùn)算放大V利用了運(yùn)算放大器的寄生電容

TO器開(kāi)關(guān)電容濾波器運(yùn)算放大TO器VMOS開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān)電流濾波器VMOS開(kāi)關(guān)電流鏡MOSFET-C濾波器運(yùn)算放大TO器VMOSFET用MOSFET實(shí)現(xiàn)電阻跨導(dǎo)電容濾波器跨導(dǎo)放大TO器V用跨導(dǎo)放大器實(shí)現(xiàn)電阻電流傳輸器有源濾波器電流傳輸TO器VV電流模式濾波器V電流鏡直接在晶體管級(jí)設(shè)計(jì)，輸入輸出均為電流一、二階濾波器的頻率特性二階濾波器在實(shí)際中使用較多，它也是采用級(jí)聯(lián)方法設(shè)計(jì)高階濾波器的基本模塊，盡管其電路結(jié)構(gòu)非常多，但分析方法卻基本相同。在濾波器理論中，常將二階系統(tǒng)函數(shù)表示成如下形式:低通H(s)=bos2+-^s+o21)Qp(3帶通H(s)=bsos2+-^s+o2Qp(32)高通H(s)=bs2os2+ps+o2Qp(33)陷波H(s)=b0s2+b2os2+—ps+o2Qp(34)全通s2——ps+①2QpH(s)=bQ①s2+Zs+①2Qp(35)式中％稱(chēng)為無(wú)阻尼固有頻率或極點(diǎn)頻率，對(duì)帶通濾波器，七也是中心頻率；Q稱(chēng)為品質(zhì)因數(shù)，它的大小直接影響幅頻曲線(xiàn)的尖銳程度。圖31給出了二階濾波器的幅頻特性，其中Q分別取1/互、2、10，Q愈大曲線(xiàn)愈尖銳；％均歸一化為1rad/s；系數(shù)b=1；陷波濾波器的系數(shù)b0=1，b2=4。

(a)(b0=1)?/(rad/s)(c)(b0=1)?/(rad/s)(d)(b0=1,b2=4)w/(rad/s)圖31(a)(b0=1)?/(rad/s)(c)(b0=1)?/(rad/s)(d)(b0=1,b2=4)w/(rad/s)分別對(duì)應(yīng)于低通、帶通、高通濾波器。以電容電壓為例，可求得H(s)H(s)=LC1LC（36）WR\L比較式（36）和式（31），則極點(diǎn)頻率和品質(zhì)因數(shù)分別為、/LCWR\L該結(jié)果與電路課中對(duì)諧振現(xiàn)象研究定義的一致。以下只討論有源濾波電路。L0[2221TYYYX++v^t)-+v(t)v(t)圖32RLC串聯(lián)電路二、單運(yùn)放有源RC濾波器

有源RC濾波器電路種類(lèi)很多，圖33(a)給出了一種低通電路，它是由SallenR.P.和KeyE.L.于1955年提出的，圖中三角符號(hào)表示電壓放大器，可用運(yùn)算放大器實(shí)現(xiàn)，如同圖(b)所示，電壓放大倍數(shù)對(duì)圖33(a)列寫(xiě)結(jié)點(diǎn)方程，有結(jié)點(diǎn)2：(11)結(jié)點(diǎn)2：(11)11|嘰+R+R［匕⑴-R匕⑴-嘰匕⑴=R匕⑴k12J21結(jié)點(diǎn)3：V3(s)=(37)(38)電壓放大器的關(guān)系式為匕(s)=KV匕(s)=KV3(s)(a)濾波器電路(b)同相比例器圖33SallenKey低通濾波器電路由以上三式得(11(11)sC+—+—RsC2RR?R21-sC2KV3(s)=RV1(s)-1則系統(tǒng)函數(shù)H(s)=H(s)=冬V1(s)R2JR1R2C1C2(310)比較式(310)與式(31)，得"2C1C2(1—+——

kR1R2J伊1R2C1C2111C+(1-K)(1—+——

kR1R2J伊1R2C1C2111C+(1-K)V-2R2C1澎1R2C1C2(R1+R2)C1+(1-K)R1C2方法確定：（1）取駕=陳1，指定&、C1和C2的值，求解R和K；（2）指定K、C1和C2的值，注意K必須大于1，求解Ri和％。設(shè)給定系統(tǒng)函數(shù)的分母多項(xiàng)式為A3）=券+?！?%，由式（310）有1（311）=aTOC\o"1-5"\h\zR、R2qC221——+(1-K)=aCRC1221，1（311）1——+(1-K)=aCRC1221（312）借助計(jì)算機(jī)求解以上兩個(gè)方程則比較方便，可取多組數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)，最后選取一個(gè)比較好的解。Q=-L例3-1設(shè)二階低通濾波器的品質(zhì)因數(shù)、'2，極點(diǎn)頻率°p=104rad/s，直流增益K=1，如果選用SallenKey電路實(shí)現(xiàn)，設(shè)取C1=10nF，C2=20nF，試確定電阻值。解（1）在歸一化條件下設(shè)計(jì)為了數(shù)值運(yùn)算簡(jiǎn)單起見(jiàn)，將極點(diǎn)頻率°?歸一化為1rad/s，設(shè)取C1=1F，C2=2F，在此條件下，根據(jù)°p和Q可求得a2=°2=1°—a=―p=v''21Q由式（311）和式（312）得RRCCa=RRCCa=0.521=2^2C1=1/°p=10-4FC2=2/°p=2x10-4F由于要求C1=10-8F，故給電容乘以10-4，給電阻除以10-4，最終得q=io-8FC2=2X10-8FRi=R2=°.7°7x104=7.°7kQ由于直流增益K=1,電壓放大器為跟隨器，即圖33（b）中Rb去除，Ra可用短路線(xiàn)替代。三、多運(yùn)放有源RC濾波器二階有源RC濾波器也可用多個(gè)運(yùn)算放大器實(shí)現(xiàn)，它比單運(yùn)算放大器電路靈敏度低、品質(zhì)因數(shù)高、設(shè)計(jì)靈活、調(diào)試方便。下面介紹用狀態(tài)變量方法設(shè)計(jì)的二階濾波器。設(shè)二階系統(tǒng)函數(shù)為V（s）bs2+bs+bb+bs-1+bs-2H（s）=out'=o12=o12Vin（s）s2+。1s+a21+a1s-1+a2s-2（313）若將輸出Vout（s）表示為V(s)=[b+bs-1+bs-2]V(s)-[as-1+as-2]V(s)out012in12out7（314）實(shí)現(xiàn)上式關(guān)系的一種框圖如圖34所示，其中積分單元選取反相形式，主要是考慮采用運(yùn)算放大器的反相積分電路要比同相電路簡(jiǎn)單。圖34以虛線(xiàn)為界可視為兩個(gè)子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)，交換級(jí)聯(lián)順序得圖35，由于虛線(xiàn)左、右對(duì)應(yīng)積分單元的輸出相等，積分單元可合并，如圖36所示，該框圖使用了最少的積分單元。如果僅實(shí)現(xiàn)帶通或低通濾波器，圖36可表示成圖37形式，其中輸出端的系數(shù)?或b2移全輸入端，用b表示，