導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(二)

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(二)【知識(shí)回顧】1、函數(shù)的單調(diào)性一般地，函數(shù) y=f(x)在某個(gè)區(qū)間（a,b）內(nèi)，若f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)_________； 若f'(x)<0,那么函數(shù) y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)_________；2、極值判別法當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0及兩側(cè)有定義時(shí)，極值判斷法是：如果在x0附近的左側(cè) f'(x)>0，右側(cè) f'(x)<0，那么 f(x0)是_____值；如果在x0附近的左側(cè) f'(x)<0，右側(cè) f'(x)>0，那么 f(x0)是_____值。3、求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 :① 求導(dǎo)數(shù) f'(x)；②求導(dǎo)數(shù) f'(x)=0的根；③列表，用根判斷f'(x)在方程根左右的值的符號(hào)，確定f(x)在這個(gè)根處取極大值還是取極小值。4、函數(shù)的最大值與最小值f(x)在[a,b]上求最大值與最小值的步驟：先求f(x)在（a,b）內(nèi)的極值；再將f(x)的各極值與____,_____比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。5.定積分的概念與計(jì)算bnf(x)dxlimf(i)xi（1）定義表達(dá)式：ani1（2）定積分幾何意義：b(f(x)0)表示y=f(x)與____軸，直線x=____直線x=____所圍成曲邊梯形①f(x)dxa的面積b(f(x)0)表示y=f(x)與x軸，x=a，x=b所圍成曲邊梯形的面積的相反數(shù)②f(x)dxa3）定積分的性質(zhì)①_____________________②___________________③_________________4）微積分基本定理（牛頓--萊布尼茲公式）_____________________________________；2．定積分的基本應(yīng)用：（ 1）利用定積分計(jì)算平面圖形的面積；（ 2）利用平面圖形的面積計(jì)算定積分.【提能演練】第Ⅰ卷(選擇題 共40分)一、選擇題(本大題共8/小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ,1只有一項(xiàng)是最符合題目要求的 .)1、下列函數(shù)在點(diǎn)x0處沒(méi)有切線的是()A.y3x2cosxB.yxsinxC.y1D.y12xcosxx2、函數(shù)y2x2ln2x的的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,)D.(1,0)和(0,1)242223、若函數(shù)y f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),則f(x0) 0是x0為函數(shù)y f(x)的極值點(diǎn)的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4、下列各式中值為1的是()11x1dx111dxA.xdxB.C.1dxD.000025、若函數(shù)f(x)x2bxc的圖象的頂點(diǎn)在第四象限,則函數(shù)f(x)的圖象是()6、曲線yf(x)axb在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x4y120,則a,b的值分別為()xa1a1a1a1A.3B.3C.3D.3bbbb7、設(shè)函數(shù)y f(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為 f'(x),f'(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為 f''(x),若在(a,b)上,f''(x) 0恒成立,則稱函數(shù)函數(shù) f(x)在(a,b)上為“凸函數(shù)”已.知當(dāng)m 2時(shí),f(x) 1x31mx2x在(1,2)上是“凸函數(shù)”則.f(x)在(1,2)上 ( )2既有極大值,也有極小值B.既有極大值,也有最小值C.有極大值,沒(méi)有極小值 D.沒(méi)有極大值,也沒(méi)有極小值28,yf(x)上任一點(diǎn)P的切線PQ交x軸于、如圖曲線Q,過(guò)P作PT垂直于x軸于T,若PTQ的面積為1,則y與2y'的關(guān)系滿足()A.yy'B.yy'C.yy'2D.y2y'第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中的橫線上.)9、已知函數(shù)yx21的圖象上一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)1x,2y,則y等于x______10、函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是_____________曲線y1x2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是.yx12、已知函數(shù)f(x)ax33x26axb在x=2處取得極值9,則a2b41||x3|)dx13.(|x_________014、已知函數(shù)f(x)x3ax2bx(a,bR)的圖象如圖y所示,它與直線y0在原點(diǎn)處相切,此切線與函數(shù)圖象所圍Ox區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為27,則a的值為.4三、解答題(本大題共6小題,共80分,解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.)15、(12分)求由曲線yx2,yx,及y2x圍成的平面圖形面積.316、(12分)已知函數(shù) f(x) ax3 (a 1)x2 48(a 2)x b的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值 .17、(14分)某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本c(x)12002x3(萬(wàn)元),已知產(chǎn)品單價(jià)P(萬(wàn)元)與產(chǎn)品件k,生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為75數(shù)x滿足:P250萬(wàn)元.x(1)設(shè)產(chǎn)量為x件時(shí),總利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)(萬(wàn)元),求L(x)的解析式;(2)產(chǎn)量x定為多少件時(shí)總利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)最大?并求最大值(精確到1萬(wàn)元).18、(14分)設(shè)函數(shù)f(x)x39x26xa.2(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,f(x)m恒成立求m的最大值;,(2)若方程f(x)0有且僅有一個(gè)實(shí)根,求a的取值范圍.19、(14分)已知函數(shù)f(x)ln(ax1)1x,x0,其中a01x(1)若f(x)在x=1處取得極值,求a的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若f(x)的最小值為 1,求a的取值范圍。420、(14分)已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a為實(shí)常數(shù)).(1)若a2,求證:函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù);(2)當(dāng)a2時(shí),求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值及相應(yīng)的x值;(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案一、選擇題1.D2.C3.B4.C5.A6.A7.C8.D.二、填空題9.2x10.(2,)11.313.412.－24414.－3由圖知方程 f(x) 0有兩個(gè)相等的實(shí)根 x1 x2 0,于是b 0,∴f(x)x2(xa),有27aax2)]dx(x4ax3aa4),∴a3.[0(x34043012又a0a0,得a3.三、解答題yx2yx215.解:由,得A(1,1),又由,得B(2,4)yxy2x所求平面圖形面積為:S122)dx122)dx(2xx)dx(2xxxdx(2xx010151x211x327x2.2031616.解:(1)∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,則f(x)是奇函數(shù),∴f(x)f(x)得ax3(a1)x248(a2)xb=ax3(a1)x248(a2)xb,于是2(a1)x22ba101,b0;0恒成立,∴0,解得ab(2)由(1)得f(x)x348x,∴f(x)3x2483(x4)(x4),令f(x)0,得x14,x24,令f(x)0,得4x4,令f(x)0,得x4或x4.∴f(x)的遞減區(qū)間為[4,4],遞增區(qū)間為(,4)和(4,),∴f(x)極大f(4)128,f(x)極小f(4)128.17.解:(1)由題意有502k,解得k25104,∴P25104500,100xx∴總利潤(rùn)L(x)x50012002x3=2x3500x1200(x0);x7575(2)由(1)得L(x)2x2250,令L(x)02502x2,25xx25令tx,得2502t4t51252555,∴t5,于是xt225,25則x25,所以當(dāng)產(chǎn)量定為25時(shí),總利潤(rùn)最大.這時(shí)L(25)416.725001200883.答:產(chǎn)量x定為25件時(shí)總利潤(rùn)L(x)最大,約為883萬(wàn)元.18.解:(1)f'(x)3x29x63(x1)(x2),因?yàn)閤(,),f'(x)m,即3x29x(6m)0恒成立,6所以8112(6m)0,得m3,即m的最大值為344(2)因?yàn)楫?dāng)x1時(shí),f'(x)0;當(dāng)1x2時(shí),f'(x)0;當(dāng)x2時(shí),f'(x)0;所以當(dāng)x1時(shí),f(x)取極大值f(1)5a;2當(dāng)x2時(shí),f(x)取極小值f(2)2a;故當(dāng)f(2)0或f(1)0時(shí),方程f(x)0僅有一個(gè)實(shí)根.解得a52或a.219.解:(1)f'(x)a2ax2a2,ax1(1x)2(ax1)(1x)2∵f(x)在x=1處取得極值,∴f'(1)0,即a12a20,解得a1.(2)f'(x)ax2a22,∵x0,a0,∴ax10.(ax1)(1x)①當(dāng)a2時(shí),在區(qū)間(0,)上，f'(x)0,∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,).②當(dāng)0a2時(shí),由f'(x)0解得x2a,由f'(x)0解得x2a,aa∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為（2-a),單調(diào)增區(qū)間為（2-a，）.0，aa(3)當(dāng)a2時(shí),由(2)①知,f(x)的最小值為f(0)1;當(dāng)0a2時(shí),由(2)②知,f(x)在x2a處取得最小值f(2a)f(0)1,aa綜上可知,若f(x)得最小值為1,則a的取值范圍是[2,).20.解:(1)當(dāng)a2時(shí),f(x)x22lnx,當(dāng)x(1,),f(x)2(x21)0,x7故函數(shù)f(x)在(1,)上是增函數(shù);(2)f(x)2x2a0),當(dāng)x[1,e],2x2a[a2,a2e2],x(x當(dāng)a2時(shí),f(x)在[1,e]上非負(fù)(僅當(dāng)a2,x=時(shí),f(x)0),故函數(shù)f(x)在[1,e]上是增函數(shù),此時(shí)[f(x)]minf(1)1.∴當(dāng)a2時(shí),f(x)的最小值為1,相應(yīng)的x值為1.(3)不等式f(x)(a2)x,可化為a(xlnx)x22x.∵x