第四章-分離變量(傅立葉級(jí)數(shù))法3課件

2022/11/25第四章分離變量法31第四章分離變量(傅立葉級(jí)數(shù))法§4.1齊次方程的分離變量法（重點(diǎn)：4個(gè)齊次邊界條件）§4.2非齊次方程和輸運(yùn)方程§4.3非齊次邊界條件的處理§4.4Laplace方程、泊松方程（重點(diǎn)：周期邊界條件）2022/11/22第四章分離變量法31第四章分離變量12022/11/25第四章分離變量法32§4.4

泊松方程本節(jié)介紹穩(wěn)定場(chǎng)方程(拉普拉斯方程，泊松方程)的分離變量法、傅里葉級(jí)數(shù)法求解。1、拉普拉斯方程例如矩形截面散熱片的穩(wěn)定溫度分布u(x,y)，邊界上溫度分布如圖所示，定解問題為(1)1)矩形邊界的穩(wěn)定場(chǎng)問題yxOabUu0u0u02022/11/22第四章分離變量法32§4.4泊松方22022/11/25第四章分離變量法33分析：u滿足二維拉普拉斯方程的第一類邊界條件問題。(2)則定解問題變?yōu)?3)為了簡(jiǎn)化計(jì)算，設(shè)法將x方向的邊界條件化為齊次。為此作如下平移變換：注意到v滿足齊次的泛定方程，可用分離變量法求解，令試探解為v(x,y)=X(x)Y(y)；又因?yàn)関(x,y)在x方向的兩端是固定的，所以有本征值ln=(np/a)2及本征函數(shù)Xn=Csin(npx/a)。2022/11/22第四章分離變量法33分析：u滿足二維拉32022/11/25第四章分離變量法34于是令試探解為其中Yn待定，由泛定方程及y方向的邊界條件確定。將試探解Eq.(4)代入泛定方程，得(4)即另一方面，由y方向的邊界條件得(5a)(5b)2022/11/22第四章分離變量法34于是令試探解為其中42022/11/25第四章分離變量法35以及比較系數(shù)得Yn(b)=fn，而fn為常數(shù)U-u0的傅里葉正弦展開系數(shù)，因此(5c)綜合(5a)、(5b)和(5c)式，我們得到Y(jié)n(y)滿足的方程。2022/11/22第四章分離變量法35以及比較系數(shù)得Yn52022/11/25第四章分離變量法36這是一個(gè)二階常系數(shù)微分方程，通解為e指數(shù)形式Y(jié)n(y)=ery(r待定)，代入方程得到r2=(np/a)2，有兩個(gè)實(shí)根r=(np/a)，因此將上式代入到Y(jié)n滿足的邊界條件中，得(i)n為偶數(shù)時(shí)可見當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Yn(y)=0，即v(x,y)=0，舍棄這個(gè)平凡解。(6)2022/11/22第四章分離變量法36這是一個(gè)二階常系數(shù)62022/11/25第四章分離變量法37求解上面的聯(lián)立方程，得(ii)n為奇數(shù)時(shí)通解仍為Eq.(6)，即，由代入邊界條件中，得2022/11/22第四章分離變量法37求解上面的聯(lián)立方程72022/11/25第四章分離變量法38由此解得n為奇數(shù)時(shí)代入到試探解中，令n=2k+1(k=0,1,2,···)，得(7)2022/11/22第四章分離變量法38由此解得n為奇數(shù)時(shí)82022/11/25第四章分離變量法39最后得穩(wěn)定場(chǎng)溫度分布u(x,y)=u0+v(x,y)，即(8)2022/11/22第四章分離變量法39最后得穩(wěn)定場(chǎng)溫度分92022/11/25第四章分離變量法3102)圓形邊界的穩(wěn)定場(chǎng)問題如圖，帶電云和大地之間靜電場(chǎng)視為勻強(qiáng)電場(chǎng)(場(chǎng)強(qiáng)E0)，求圓柱形輸電線對(duì)電勢(shì)u和場(chǎng)強(qiáng)E的改變。由于電線沿z軸方向“無限長(zhǎng)”，靜電場(chǎng)與z無關(guān)，可歸結(jié)為x-y平面內(nèi)圓形邊界的狄里希利(Dirichlet)問題。式中已取圓形半徑為a，規(guī)定邊界處及導(dǎo)體內(nèi)電勢(shì)為0。因?yàn)橹鉄o電荷，電勢(shì)u滿足二維拉普拉斯方程(即，齊次泊松方程)E0E02022/11/22第四章分離變量法3102)圓形邊界的102022/11/25第四章分離變量法311極坐標(biāo)系下，定解問題變?yōu)?見附錄)(9)其中周期邊界條件如右圖所示。xyOa研究區(qū)域oraj2p研究區(qū)域xyEx=E0(r,j)jOr2022/11/22第四章分離變量法311極坐標(biāo)系下，定解112022/11/25第四章分離變量法312應(yīng)用分離變量法，取試探解為：(10)將試探解代入到泛定方程中，即式(9)，得兩邊同乘r2/F，得上式等號(hào)左邊只和r有關(guān)，右邊只和極角j有關(guān)，二者相等的條件是它們同時(shí)等于一個(gè)常數(shù)l，即2022/11/22第四章分離變量法312應(yīng)用分離變量法，122022/11/25第四章分離變量法313F滿足二階常系數(shù)微分方程，通解為：其中只有l(wèi)0的解滿足周期邊界條件，即式(12)。于是泛定方程分解為兩個(gè)獨(dú)立的常微分方程(11)(12)極角j加減2p的整數(shù)倍電勢(shì)u不變，因此有周期邊界條件：2022/11/22第四章分離變量法313F滿足二階常系數(shù)132022/11/25第四章分離變量法314于是圓域內(nèi)周期邊界條件的本征值和本征函數(shù)為(13a)(13b)將本征值(13a)代入R滿足的常微分方程中，得(14a)這是一個(gè)歐拉型二階常微分方程，作變換r=et，即t=lnr，式(14a)簡(jiǎn)化為(見附錄，下一章還將用到！)(14b)2022/11/22第四章分離變量法314于是圓域內(nèi)周期邊142022/11/25第四章分離變量法315Eq.(14b)是一個(gè)常系數(shù)二階微分方程，通解為(r=et，t=lnr)代回試探解u=RF中，由Eqs.(13b)和(15)得所有本征解的疊加給出一般解:(16)(15)2022/11/22第四章分離變量法315Eq.(14b152022/11/25第四章分離變量法316Eq.(16)中的系數(shù)由邊界條件u|r=a=0，u|r=-E0rcos確定，所以得(17)2022/11/22第四章分離變量法316Eq.(16)162022/11/25第四章分離變量法317比較系數(shù)得對(duì)于r>>a，rm項(xiàng)的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于D0ln(r/a)和諸r-m項(xiàng)，忽略后者的貢獻(xiàn)，得(18)將Eq.(17)代入(16)中，得rau=ru=r－1u=lnr2022/11/22第四章分離變量法317比較系數(shù)得對(duì)于r172022/11/25第四章分離變量法318如果導(dǎo)體不帶電，D0=0，Eq.(19)只剩后面兩項(xiàng)。由此可證y軸方向的電勢(shì)始終為零，即A1=-E0，其他系數(shù)都為零，最終得圓柱之外的靜電勢(shì)(19)其中第一項(xiàng)為電線自帶電荷產(chǎn)生的電勢(shì)；第二項(xiàng)為勻強(qiáng)靜電場(chǎng)的電勢(shì)；最后一項(xiàng)代表圓柱形導(dǎo)線對(duì)其鄰近區(qū)域勻強(qiáng)電場(chǎng)的修正，當(dāng)r(離電線無窮遠(yuǎn))時(shí)，修正項(xiàng)可以忽略。2022/11/22第四章分離變量法318如果導(dǎo)體不帶電，182022/11/25第四章分離變量法319此外導(dǎo)體A、B兩點(diǎn)(如圖)的電場(chǎng)強(qiáng)度是勻強(qiáng)電場(chǎng)的兩倍，因此特別容易被擊穿。討論：對(duì)于平板電容器，如果上極板上帶有半圓形突起，那么該突起處的電場(chǎng)強(qiáng)度總是無限遠(yuǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E0的兩倍。AB為防止突起點(diǎn)處被擊穿，高壓電容器的極板必須刨得非常光滑。2022/11/22第四章分離變量法319此外導(dǎo)體A、B兩19203)推廣：周期邊界條件(periodicboundarycondition)203)推廣：周期邊界條件(periodicbounda202022/11/25第四章分離變量法321周期邊界條件的應(yīng)用：固體物理、半導(dǎo)體物理---晶格振動(dòng)；電磁場(chǎng)(E.M.field)理論、電動(dòng)力學(xué)、量子光學(xué)，etc.ThefreeclassicalE.M.fieldSeee.g.,R.Loudon,Thequantumtheoryoflight(2thedition,ClarendonPress,Oxford,1983).2022/11/22第四章分離變量法321周期邊界條件的應(yīng)212022/11/25第四章分離變量法322泊松方程采用特解法求解：先不管邊界條件，任取泊松方程的一個(gè)特解v，然后令u=v+w，把問題轉(zhuǎn)化為求w。因?yàn)閡=v=f，所以w=u-v=0，即w滿足拉普拉斯方程，它的求解過程如前。2、泊松方程例1(P219).在圓域rr0內(nèi)求解泊松方程的邊值問題：也稱為非齊次拉普拉斯方程，它描述與時(shí)間無關(guān)的穩(wěn)定場(chǎng)問題，不適合用沖量定理法求解。2022/11/22第四章分離變量法322泊松方程采用特解222022/11/25第四章分離變量法323于是取滿足泊松方程的特解為解：先找特解。注意到令問題轉(zhuǎn)化為w的定解問題：2022/11/22第四章分離變量法323于是取滿足泊松方232022/11/25第四章分離變量法324該定解問題的一般結(jié)論由Eq.(16)給出，即其中系數(shù)由邊界條件w|r=r0給出。此外w在圓內(nèi)應(yīng)處處有限，而lnr和r-m在圓心處發(fā)散，所以排除在外。于是得2022/11/22第四章分離變量法324該定解問題的一般242022/11/25第四章分離變量法325代入到邊界條件中，比較兩邊系數(shù)，得最后得，即2022/11/22第四章分離變量法325代入到邊界條件中252022/11/25第四章分離變量法326作業(yè)P172

2.

P161

16.(1)P178

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2022/11/22第四章分離變量法326作業(yè)P172

2262022/11/25第四章分離變量法327附錄A：極坐標(biāo)系拉普拉斯方程從極坐標(biāo)系中的柯西-黎曼方程可求出拉普拉斯(Laplace)方程的極坐標(biāo)表示式(P12).解:極坐標(biāo)下C-R條件為(A1)(A2)消去g(其中g(shù)=u或v),就對(duì)它求偏導(dǎo),使之成為的形式.例如消掉v,Eq.(A1)左右乘然后對(duì)求偏導(dǎo),得(A3)2022/11/22第四章分離變量法327附錄A：極坐標(biāo)系272022/11/25第四章分離變量法328接著,Eq.(A2)左右對(duì)求偏導(dǎo),得到(A4)比較Eqs.(A3)和(A4),自然得到(A5)或者寫為(A6)Eqs.(A5)和(A6)就是極坐標(biāo)下拉普拉斯方程的表達(dá)式.2022/11/22第四章分離變量法328接著,Eq.282022/11/25第四章分離變量法329附錄B(1)圓柱外“無窮遠(yuǎn)處”的靜電場(chǎng)視為沿x方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)Ex=E0，Ey=0，于是電勢(shì)的導(dǎo)數(shù)ux=-E0，uy=0，所以有因此給出(9)式中圓柱外電勢(shì)的邊界條件。(2)歐拉型二階常微分方程(14a)的化簡(jiǎn)：徑向部分函數(shù)R滿足的常微分方程為(B1)這是一個(gè)歐拉型二階常微分方程，作變換r=et，即t=lnr，于是有2022/11/22第四章分離變量法329附錄B(1)圓292022/11/25第四章分離變量法330所以Eq.(B1)簡(jiǎn)化為即(B2)2022/11/22第四章分離變量法330所以Eq.(B1302022/11/25第四章分離變量法331例題.在矩形域0xa，0yb

上求解泊松方程的邊值問題解：先找一個(gè)特解v.顯然v=-x2滿足泊松方程。另外也滿足泊松方程。取c1=a，c2=0，即令u=v+w，則w滿足齊次邊界條件定解問題附錄C：補(bǔ)充例題(C1)(C2)(C3)2022/11/22第四章分離變量法331例題.在矩形312022/11/25第四章分離變量法332注意到x方向是兩端固定，本征函數(shù)已知，按其展開得將試探解代入泛定方程，得即(C4)2022/11/22第四章分離變量法332注意到x方向是兩322022/11/25第四章分離變量法333另一方面，由y方向的邊界條件得而x(x-a)可展開成傅里葉正弦級(jí)數(shù)其中系數(shù)為2022/11/22第四章分離變量法333另一方面，由y方332022/11/25第四章分離變量法334(i)n為偶數(shù)時(shí)如前所述，該方程的解為Yn(y)=0，舍棄這個(gè)平凡解。(ii)n為奇數(shù)時(shí)通解為，由代入邊界條件中，得2022/11/22第四章分離變量法334(i)n為偶數(shù)342022/11/25第四章分離變量法335比較系數(shù)可得于是得2022/11/22第四章分離變量法335比較系數(shù)可得于是352022/11/25第四章分離變量法336將Yn(y)帶回Eq.(C4)，得求出的w(x,y)加上x(x-a)就是u(x,y)。2022/11/22第四章分離變量法336將Yn(y)帶回362022/11/25第四章分離變量法337第四章分離變量(傅立葉級(jí)數(shù))法§4.1齊次方程的分離變量法（重點(diǎn)：4個(gè)齊次邊界條件）§4.2非齊次方程和輸運(yùn)方程§4.3非齊次邊界條件的處理§4.4Laplace方程、泊松方程（重點(diǎn)：周期邊界條件）2022/11/22第四章分離變量法31第四章分離變量372022/11/25第四章分離變量法338§4.4

泊松方程本節(jié)介紹穩(wěn)定場(chǎng)方程(拉普拉斯方程，泊松方程)的分離變量法、傅里葉級(jí)數(shù)法求解。1、拉普拉斯方程例如矩形截面散熱片的穩(wěn)定溫度分布u(x,y)，邊界上溫度分布如圖所示，定解問題為(1)1)矩形邊界的穩(wěn)定場(chǎng)問題yxOabUu0u0u02022/11/22第四章分離變量法32§4.4泊松方382022/11/25第四章分離變量法339分析：u滿足二維拉普拉斯方程的第一類邊界條件問題。(2)則定解問題變?yōu)?3)為了簡(jiǎn)化計(jì)算，設(shè)法將x方向的邊界條件化為齊次。為此作如下平移變換：注意到v滿足齊次的泛定方程，可用分離變量法求解，令試探解為v(x,y)=X(x)Y(y)；又因?yàn)関(x,y)在x方向的兩端是固定的，所以有本征值ln=(np/a)2及本征函數(shù)Xn=Csin(npx/a)。2022/11/22第四章分離變量法33分析：u滿足二維拉392022/11/25第四章分離變量法340于是令試探解為其中Yn待定，由泛定方程及y方向的邊界條件確定。將試探解Eq.(4)代入泛定方程，得(4)即另一方面，由y方向的邊界條件得(5a)(5b)2022/11/22第四章分離變量法34于是令試探解為其中402022/11/25第四章分離變量法341以及比較系數(shù)得Yn(b)=fn，而fn為常數(shù)U-u0的傅里葉正弦展開系數(shù)，因此(5c)綜合(5a)、(5b)和(5c)式，我們得到Y(jié)n(y)滿足的方程。2022/11/22第四章分離變量法35以及比較系數(shù)得Yn412022/11/25第四章分離變量法342這是一個(gè)二階常系數(shù)微分方程，通解為e指數(shù)形式Y(jié)n(y)=ery(r待定)，代入方程得到r2=(np/a)2，有兩個(gè)實(shí)根r=(np/a)，因此將上式代入到Y(jié)n滿足的邊界條件中，得(i)n為偶數(shù)時(shí)可見當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Yn(y)=0，即v(x,y)=0，舍棄這個(gè)平凡解。(6)2022/11/22第四章分離變量法36這是一個(gè)二階常系數(shù)422022/11/25第四章分離變量法343求解上面的聯(lián)立方程，得(ii)n為奇數(shù)時(shí)通解仍為Eq.(6)，即，由代入邊界條件中，得2022/11/22第四章分離變量法37求解上面的聯(lián)立方程432022/11/25第四章分離變量法344由此解得n為奇數(shù)時(shí)代入到試探解中，令n=2k+1(k=0,1,2,···)，得(7)2022/11/22第四章分離變量法38由此解得n為奇數(shù)時(shí)442022/11/25第四章分離變量法345最后得穩(wěn)定場(chǎng)溫度分布u(x,y)=u0+v(x,y)，即(8)2022/11/22第四章分離變量法39最后得穩(wěn)定場(chǎng)溫度分452022/11/25第四章分離變量法3462)圓形邊界的穩(wěn)定場(chǎng)問題如圖，帶電云和大地之間靜電場(chǎng)視為勻強(qiáng)電場(chǎng)(場(chǎng)強(qiáng)E0)，求圓柱形輸電線對(duì)電勢(shì)u和場(chǎng)強(qiáng)E的改變。由于電線沿z軸方向“無限長(zhǎng)”，靜電場(chǎng)與z無關(guān)，可歸結(jié)為x-y平面內(nèi)圓形邊界的狄里希利(Dirichlet)問題。式中已取圓形半徑為a，規(guī)定邊界處及導(dǎo)體內(nèi)電勢(shì)為0。因?yàn)橹鉄o電荷，電勢(shì)u滿足二維拉普拉斯方程(即，齊次泊松方程)E0E02022/11/22第四章分離變量法3102)圓形邊界的462022/11/25第四章分離變量法347極坐標(biāo)系下，定解問題變?yōu)?見附錄)(9)其中周期邊界條件如右圖所示。xyOa研究區(qū)域oraj2p研究區(qū)域xyEx=E0(r,j)jOr2022/11/22第四章分離變量法311極坐標(biāo)系下，定解472022/11/25第四章分離變量法348應(yīng)用分離變量法，取試探解為：(10)將試探解代入到泛定方程中，即式(9)，得兩邊同乘r2/F，得上式等號(hào)左邊只和r有關(guān)，右邊只和極角j有關(guān)，二者相等的條件是它們同時(shí)等于一個(gè)常數(shù)l，即2022/11/22第四章分離變量法312應(yīng)用分離變量法，482022/11/25第四章分離變量法349F滿足二階常系數(shù)微分方程，通解為：其中只有l(wèi)0的解滿足周期邊界條件，即式(12)。于是泛定方程分解為兩個(gè)獨(dú)立的常微分方程(11)(12)極角j加減2p的整數(shù)倍電勢(shì)u不變，因此有周期邊界條件：2022/11/22第四章分離變量法313F滿足二階常系數(shù)492022/11/25第四章分離變量法350于是圓域內(nèi)周期邊界條件的本征值和本征函數(shù)為(13a)(13b)將本征值(13a)代入R滿足的常微分方程中，得(14a)這是一個(gè)歐拉型二階常微分方程，作變換r=et，即t=lnr，式(14a)簡(jiǎn)化為(見附錄，下一章還將用到！)(14b)2022/11/22第四章分離變量法314于是圓域內(nèi)周期邊502022/11/25第四章分離變量法351Eq.(14b)是一個(gè)常系數(shù)二階微分方程，通解為(r=et，t=lnr)代回試探解u=RF中，由Eqs.(13b)和(15)得所有本征解的疊加給出一般解:(16)(15)2022/11/22第四章分離變量法315Eq.(14b512022/11/25第四章分離變量法352Eq.(16)中的系數(shù)由邊界條件u|r=a=0，u|r=-E0rcos確定，所以得(17)2022/11/22第四章分離變量法316Eq.(16)522022/11/25第四章分離變量法353比較系數(shù)得對(duì)于r>>a，rm項(xiàng)的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于D0ln(r/a)和諸r-m項(xiàng)，忽略后者的貢獻(xiàn)，得(18)將Eq.(17)代入(16)中，得rau=ru=r－1u=lnr2022/11/22第四章分離變量法317比較系數(shù)得對(duì)于r532022/11/25第四章分離變量法354如果導(dǎo)體不帶電，D0=0，Eq.(19)只剩后面兩項(xiàng)。由此可證y軸方向的電勢(shì)始終為零，即A1=-E0，其他系數(shù)都為零，最終得圓柱之外的靜電勢(shì)(19)其中第一項(xiàng)為電線自帶電荷產(chǎn)生的電勢(shì)；第二項(xiàng)為勻強(qiáng)靜電場(chǎng)的電勢(shì)；最后一項(xiàng)代表圓柱形導(dǎo)線對(duì)其鄰近區(qū)域勻強(qiáng)電場(chǎng)的修正，當(dāng)r(離電線無窮遠(yuǎn))時(shí)，修正項(xiàng)可以忽略。2022/11/22第四章分離變量法318如果導(dǎo)體不帶電，542022/11/25第四章分離變量法355此外導(dǎo)體A、B兩點(diǎn)(如圖)的電場(chǎng)強(qiáng)度是勻強(qiáng)電場(chǎng)的兩倍，因此特別容易被擊穿。討論：對(duì)于平板電容器，如果上極板上帶有半圓形突起，那么該突起處的電場(chǎng)強(qiáng)度總是無限遠(yuǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E0的兩倍。AB為防止突起點(diǎn)處被擊穿，高壓電容器的極板必須刨得非常光滑。2022/11/22第四章分離變量法319此外導(dǎo)體A、B兩55563)推廣：周期邊界條件(periodicboundarycondition)203)推廣：周期邊界條件(periodicbounda562022/11/25第四章分離變量法357周期邊界條件的應(yīng)用：固體物理、半導(dǎo)體物理---晶格振動(dòng)；電磁場(chǎng)(E.M.field)理論、電動(dòng)力學(xué)、量子光學(xué)，etc.ThefreeclassicalE.M.fieldSeee.g.,R.Loudon,Thequantumtheoryoflight(2thedition,ClarendonPress,Oxford,1983).2022/11/22第四章分離變量法321周期邊界條件的應(yīng)572022/11/25第四章分離變量法358泊松方程采用特解法求解：先不管邊界條件，任取泊松方程的一個(gè)特解v，然后令u=v+w，把問題轉(zhuǎn)化為求w。因?yàn)閡=v=f，所以w=u-v=0，即w滿足拉普拉斯方程，它的求解過程如前。2、泊松方程例1(P219).在圓域rr0內(nèi)求解泊松方程的邊值問題：也稱為非齊次拉普拉斯方程，它描述與時(shí)間無關(guān)的穩(wěn)定場(chǎng)問題，不適合用沖量定理法求解。2022/11/22第四章分離變量法322泊松方程采用特解582022/11/25第四章分離變量法359于是取滿足泊松方程的特解為解：先找特解。注意到令問題轉(zhuǎn)化為w的定解問題：2022/11/22第四章分離變量法323于是取滿足泊松方592022/11/25第四章分離變量法360該定解問題的一般結(jié)論由Eq.(16)給出，即其中系數(shù)由邊界條件w|r=r0給出。此外w在圓內(nèi)應(yīng)處處有限，而lnr和r-m在圓心處發(fā)散，所以排除在外。于是得2022/11/22第四章分離變量法324該定解問題的一般602022/11/25第四章分離變量法361代入到邊界條件中，比較兩邊系數(shù)，得最后得，即2022/11/22第四章分離變量法325代入到邊界條件中612022/11/25第四章分離變量法362作業(yè)P172

2.

P161

16.(1)P178

2.

2022/11/22第四章分離變量法326作業(yè)P172

2622022/11/25第四章分離變量法363附錄A：極坐標(biāo)系拉普拉斯方程從極坐標(biāo)系中的柯西-黎曼方程可求出拉普拉斯(Laplace)方程的極坐標(biāo)表示式(P12).解:極坐標(biāo)下C-R條件為(A1)(A2)消去g(其中g(shù)=u或v),就對(duì)它求偏導(dǎo),使之成為的形式.例如消掉v,Eq.(A1)左右乘然后對(duì)求偏導(dǎo),得(A3)2022/11/22第四章分離變量法327附錄A：極坐標(biāo)系632022/11/25第四章分離變量法364接著,Eq.(A2)左右對(duì)求偏導(dǎo),得到(A4)比較Eqs.(A3)和(A4),自然得到(A5