中考?jí)狠S微專題：反比例函數(shù)與相似三角形問題

中考?jí)狠S微專題：反比例函數(shù)與相似三角形問題（2）1．如圖，直線與雙曲線的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為．（1）求的度數(shù)；（2）求的長(zhǎng)；（3）已知點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)（b為常數(shù)）與函數(shù)（k為常數(shù)，，）交于A，B兩點(diǎn)（B在A右側(cè)），與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)．（1）求的值；（2）如圖1，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，1)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使ACP與CDO相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，將直線AB平移到直線EF，其中點(diǎn)E為(0，1)，點(diǎn)F在x軸上，連接AE，若AE⊥EF且AB=2EF，求k的值．3．直線y1＝kx+b與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)A（m，4）和點(diǎn)B（n，2），與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D．（1）求直線AB的解析式；（2）根據(jù)圖象寫出不等式kx+b﹣≤0的解集；（3）若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△COD與△ADP相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．4．如圖，點(diǎn)A（1，4）、B（2，a）在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，AD⊥x軸于點(diǎn)D．（1）m＝；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）在x軸上是否存在點(diǎn)E，使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．5．定義：點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部或邊上的點(diǎn)，若滿足△PAB，△PBC，△PAC至少有一一個(gè)三角形與△ABC相似（點(diǎn)P不與△ABC頂點(diǎn)重合），則稱點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn)．例如：如圖1，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，∠PBC＝∠A，∠PCB＝∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系xOy中．（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，2），AB⊥x軸于B點(diǎn)，在E（2，1），F(xiàn)（），G（）這三個(gè)點(diǎn)中，其中是△AOB的自相似點(diǎn)的是（填字母）；（2）若點(diǎn)M是曲線C：y＝（x＞0）上的一個(gè)點(diǎn)，N為x軸正半軸上一個(gè)點(diǎn)，如圖2，點(diǎn)M橫坐標(biāo)為3，且NM＝NO，若點(diǎn)P是△MON的自相似點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P（-1，2），AB⊥x軸于點(diǎn)E，正比例函數(shù)y=mx的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于A，P兩點(diǎn)．（1）求m，n的值與點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求證：∽（3）求的值7．如圖①，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，sin∠AOB＝，反比例函數(shù)（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F．（1）若OA＝5，求反比例函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且△AOF的面積S＝12，求OA的長(zhǎng)和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）在（2）中的條件下，過點(diǎn)F作EF//OB，交OA于點(diǎn)E（如圖②），點(diǎn)P為直線EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PO．是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第一、三象限內(nèi)的、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，并寫出使成立的的取值范圍；（2）若是直線上一點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)．9．如圖，一次函數(shù)y=k1x﹣1的圖象經(jīng)過A（0，﹣1）、B（1，0）兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若△OBM的面積為1．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使AM⊥PM？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（3）x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QBM∽△OAM？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．10．直線與雙線交于、兩點(diǎn)，為第三象限內(nèi)一點(diǎn)．（1）如圖1，若點(diǎn)的坐標(biāo)為．①______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______．②不等式的解集為______．③當(dāng)，且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，試求、之間的關(guān)系式．11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，在第一象限內(nèi)以為邊作，點(diǎn)和邊的中點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，已知的面積為（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求最大時(shí)的值；（3）過點(diǎn)作軸的平行線（如圖2），在直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．如圖，點(diǎn)A（2，n）和點(diǎn)D是反比例函數(shù)y（m＞0，x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，一次函數(shù)y＝kx+3（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E，連接OA，OD．已知△OAB與△ODE的面積滿足S△OAB：S△ODE＝3：4．(1)S△OAB＝，m＝；(2)已知點(diǎn)P（6，0）在線段OE上，當(dāng)∠PDE＝∠CBO時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．13．如圖，∠AOB＝90°，且點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)（x＜0），（x＞0）的圖象上，且k1，k2分別是方程x2－x－6＝0的兩根．（1）求k1，k2的值；（2）連接AB，求tan∠OBA的值．14．平面直角坐標(biāo)系中，正方形AOBC如圖所示，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，a），其中a使得式子有意義，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．（1）求反比例函數(shù)解析式.（2）若有一點(diǎn)D自A向O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滿足AD2=OD·AO時(shí)，求此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo).（3）若點(diǎn)D在AO上、G為OB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，AD=BG，連接AB交DG于點(diǎn)H，寫出AB－2HB與AD之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出不需證明）.（4）如圖，點(diǎn)E為正方形AOBC的OB邊一點(diǎn)，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)且∠CAE=∠FEA=60°，求直線EF的解析式.15．如圖，正方形AOCB的邊長(zhǎng)為4，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)E（3，4）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點(diǎn)D，直線過點(diǎn)D，與線段AB相交于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）連接OF，OE，探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關(guān)系，并證明．（4）若點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是（1）中的反比例函數(shù)在第一象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且使得△PDQ為等腰直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．16．在平面直角坐標(biāo)系第一象限中，已知點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，軸上動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度向右運(yùn)動(dòng)，兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：，以分別為邊作矩形，過點(diǎn)作雙曲線交線段于點(diǎn)，作中點(diǎn)，連接（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）若平分，則的值為多少？（3）若為直角，則的值為多少？17．（2016山東省濟(jì)南市）如圖1，?OABC的邊OC在x軸的正半軸上，OC=5，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，4）．（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖2，過BC的中點(diǎn)D作DP∥x軸交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)P，連接AP、OP．①求△AOP的面積；②在?OABC的邊上是否存在點(diǎn)M，使得△POM是以PO為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖，直線y=-x+與，軸分別交于、兩點(diǎn)，為雙曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，軸與，交線段于，軸于，交線段于．（1）求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用，的式子表示）；（2）當(dāng)時(shí)，求的面積．（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)且線段、均與線段有交點(diǎn)時(shí)，探究：、、這三條線段是否能組成一個(gè)直角三角形？說(shuō)明理由．19．已知在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)A(m，n)在第一象限內(nèi)，AB⊥OA且AB＝OA，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，（1）當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)時(shí)（如圖1），求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)（如圖2），用含字母m，n的代數(shù)式表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，求的值．20．如圖，直線l：y＝﹣x+3與x，y軸分別相交于點(diǎn)A，B．經(jīng)過點(diǎn)C（2，0）作CD⊥x軸交反比例函數(shù)y＝（x＞0）于點(diǎn)D，交直線l于點(diǎn)E，并且點(diǎn)E恰好是線段CD的中點(diǎn)．（1）求該反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）若點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，①當(dāng)△PCE與△ACE相似且相似比不等于1時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交直線l和反比例函數(shù)于點(diǎn)F，G，連接CF，DG，當(dāng)CF＝DG時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．21．如圖，已知反比例函數(shù)（x＞0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，在雙曲線上有一動(dòng)點(diǎn)B，作AM⊥x軸，垂足為M，BN⊥y軸，垂足為N，AM與BN的交點(diǎn)為C．（1）寫出反比例函數(shù)解析式；（2）求證：△ACB∽△NOM；（3）若△ACB與△NOM的相似比為3:1，求AB所在直線的解析式；（4）在（3）的條件下，在x軸上找一個(gè)點(diǎn)P，使得△BOP是等腰三角形，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．22．如圖，直線與雙曲線的交點(diǎn)為，與