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中考?jí)狠S微專題:反比例函數(shù)與相似三角形問題(2)1.如圖,直線與雙曲線的交點(diǎn)為,與軸的交點(diǎn)為.(1)求的度數(shù);(2)求的長(zhǎng);(3)已知點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn),當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)(b為常數(shù))與函數(shù)(k為常數(shù),,)交于A,B兩點(diǎn)(B在A右側(cè)),與x軸,y軸分別交于C,D兩點(diǎn).(1)求的值;(2)如圖1,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,1),在x軸上是否存在點(diǎn)P,使ACP與CDO相似,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)如圖2,將直線AB平移到直線EF,其中點(diǎn)E為(0,1),點(diǎn)F在x軸上,連接AE,若AE⊥EF且AB=2EF,求k的值.3.直線y1=kx+b與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)A(m,4)和點(diǎn)B(n,2),與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D.(1)求直線AB的解析式;(2)根據(jù)圖象寫出不等式kx+b﹣≤0的解集;(3)若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△COD與△ADP相似時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).4.如圖,點(diǎn)A(1,4)、B(2,a)在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,直線AB與x軸相交于點(diǎn)C,AD⊥x軸于點(diǎn)D.(1)m=;(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)在x軸上是否存在點(diǎn)E,使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.5.定義:點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部或邊上的點(diǎn),若滿足△PAB,△PBC,△PAC至少有一一個(gè)三角形與△ABC相似(點(diǎn)P不與△ABC頂點(diǎn)重合),則稱點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn).例如:如圖1,點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,則△BCP∽△ABC,故點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系xOy中.(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,2),AB⊥x軸于B點(diǎn),在E(2,1),F(xiàn)(),G()這三個(gè)點(diǎn)中,其中是△AOB的自相似點(diǎn)的是(填字母);(2)若點(diǎn)M是曲線C:y=(x>0)上的一個(gè)點(diǎn),N為x軸正半軸上一個(gè)點(diǎn),如圖2,點(diǎn)M橫坐標(biāo)為3,且NM=NO,若點(diǎn)P是△MON的自相似點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo).6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P(-1,2),AB⊥x軸于點(diǎn)E,正比例函數(shù)y=mx的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于A,P兩點(diǎn).(1)求m,n的值與點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)求證:∽(3)求的值7.如圖①,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B在x軸的正半軸上,四邊形OACB是平行四邊形,sin∠AOB=,反比例函數(shù)(k>0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,與BC交于點(diǎn)F.(1)若OA=5,求反比例函數(shù)解析式;(2)若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),且△AOF的面積S=12,求OA的長(zhǎng)和點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)在(2)中的條件下,過點(diǎn)F作EF//OB,交OA于點(diǎn)E(如圖②),點(diǎn)P為直線EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PA,PO.是否存在這樣的點(diǎn)P,使以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第一、三象限內(nèi)的、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,.(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式,并寫出使成立的的取值范圍;(2)若是直線上一點(diǎn),使得,求點(diǎn)的坐標(biāo).9.如圖,一次函數(shù)y=k1x﹣1的圖象經(jīng)過A(0,﹣1)、B(1,0)兩點(diǎn),與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M,若△OBM的面積為1.(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使AM⊥PM?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;(3)x軸上是否存在點(diǎn)Q,使△QBM∽△OAM?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.10.直線與雙線交于、兩點(diǎn),為第三象限內(nèi)一點(diǎn).(1)如圖1,若點(diǎn)的坐標(biāo)為.①______,點(diǎn)的坐標(biāo)為______.②不等式的解集為______.③當(dāng),且時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).(2)如圖2,當(dāng)為等邊三角形時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,試求、之間的關(guān)系式.11.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在軸的正半軸上,在第一象限內(nèi)以為邊作,點(diǎn)和邊的中點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上,已知的面積為(1)求反比例函數(shù)解析式;(2)點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求最大時(shí)的值;(3)過點(diǎn)作軸的平行線(如圖2),在直線上是否存在點(diǎn),使為直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.12.如圖,點(diǎn)A(2,n)和點(diǎn)D是反比例函數(shù)y(m>0,x>0)圖象上的兩點(diǎn),一次函數(shù)y=kx+3(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)D作DE⊥x軸,垂足為E,連接OA,OD.已知△OAB與△ODE的面積滿足S△OAB:S△ODE=3:4.(1)S△OAB=,m=;(2)已知點(diǎn)P(6,0)在線段OE上,當(dāng)∠PDE=∠CBO時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).13.如圖,∠AOB=90°,且點(diǎn)A,B分別在反比例函數(shù)(x<0),(x>0)的圖象上,且k1,k2分別是方程x2-x-6=0的兩根.(1)求k1,k2的值;(2)連接AB,求tan∠OBA的值.14.平面直角坐標(biāo)系中,正方形AOBC如圖所示,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,a),其中a使得式子有意義,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C.(1)求反比例函數(shù)解析式.(2)若有一點(diǎn)D自A向O運(yùn)動(dòng),當(dāng)滿足AD2=OD·AO時(shí),求此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo).(3)若點(diǎn)D在AO上、G為OB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn),AD=BG,連接AB交DG于點(diǎn)H,寫出AB-2HB與AD之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出不需證明).(4)如圖,點(diǎn)E為正方形AOBC的OB邊一點(diǎn),點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)且∠CAE=∠FEA=60°,求直線EF的解析式.15.如圖,正方形AOCB的邊長(zhǎng)為4,反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)E(3,4).(1)求反比例函數(shù)的解析式;(2)反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點(diǎn)D,直線過點(diǎn)D,與線段AB相交于點(diǎn)F,求點(diǎn)F的坐標(biāo);(3)連接OF,OE,探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關(guān)系,并證明.(4)若點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是(1)中的反比例函數(shù)在第一象限圖象上的動(dòng)點(diǎn),且使得△PDQ為等腰直角三角形,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).16.在平面直角坐標(biāo)系第一象限中,已知點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng),與此同時(shí),軸上動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以相同的速度向右運(yùn)動(dòng),兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為:,以分別為邊作矩形,過點(diǎn)作雙曲線交線段于點(diǎn),作中點(diǎn),連接(1)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).(2)若平分,則的值為多少?(3)若為直角,則的值為多少?17.(2016山東省濟(jì)南市)如圖1,?OABC的邊OC在x軸的正半軸上,OC=5,反比例函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,4).(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式和點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)如圖2,過BC的中點(diǎn)D作DP∥x軸交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)P,連接AP、OP.①求△AOP的面積;②在?OABC的邊上是否存在點(diǎn)M,使得△POM是以PO為斜邊的直角三角形?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.18.如圖,直線y=-x+與,軸分別交于、兩點(diǎn),為雙曲線上的一動(dòng)點(diǎn),軸與,交線段于,軸于,交線段于.(1)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)(用,的式子表示);(2)當(dāng)時(shí),求的面積.(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)且線段、均與線段有交點(diǎn)時(shí),探究:、、這三條線段是否能組成一個(gè)直角三角形?說(shuō)明理由.19.已知在平面直角坐標(biāo)中,點(diǎn)A(m,n)在第一象限內(nèi),AB⊥OA且AB=OA,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,(1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)時(shí)(如圖1),求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上,且在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)(如圖2),用含字母m,n的代數(shù)式表示點(diǎn)B的坐標(biāo);(3)在第(2)小題的條件下,求的值.20.如圖,直線l:y=﹣x+3與x,y軸分別相交于點(diǎn)A,B.經(jīng)過點(diǎn)C(2,0)作CD⊥x軸交反比例函數(shù)y=(x>0)于點(diǎn)D,交直線l于點(diǎn)E,并且點(diǎn)E恰好是線段CD的中點(diǎn).(1)求該反比例函數(shù)的關(guān)系式;(2)若點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn),①當(dāng)△PCE與△ACE相似且相似比不等于1時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);②過點(diǎn)P作x軸的垂線,分別交直線l和反比例函數(shù)于點(diǎn)F,G,連接CF,DG,當(dāng)CF=DG時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).21.如圖,已知反比例函數(shù)(x>0,k是常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn),在雙曲線上有一動(dòng)點(diǎn)B,作AM⊥x軸,垂足為M,BN⊥y軸,垂足為N,AM與BN的交點(diǎn)為C.(1)寫出反比例函數(shù)解析式;(2)求證:△ACB∽△NOM;(3)若△ACB與△NOM的相似比為3:1,求AB所在直線的解析式;(4)在(3)的條件下,在x軸上找一個(gè)點(diǎn)P,使得△BOP是等腰三角形,并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).22.如圖,直線與雙曲線的交點(diǎn)為,與
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