專題02 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（講義）（教師版）

專題02導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算【重難點(diǎn)知識點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)】：1．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如下表：函數(shù)導(dǎo)數(shù)（為常數(shù)）2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若，則；（6）若，則；（7）若，則；（8）若，則．3．導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則（1）；（2）；（3）．4．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）復(fù)合函數(shù)的定義一般地，對于兩個(gè)函數(shù)和，如果通過變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)(compositefunction)，記作．（2）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為___________，即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積．（3）如果函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)f(u)在點(diǎn)u=處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(u)=f[]在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，并且(f[])ˊ=或記作=?熟記鏈?zhǔn)椒▌t若y=f(u)，u=y=f[]，則=若y=f(u)，u=，v=y=f[]，=【重難點(diǎn)題型突破】：一、簡單的函數(shù)求導(dǎo)問題例1．（1）（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）下列各式中正確的是（）A．(logax)′=B．(logax)′=C．(3x)′=3xD．(3x)′=3xln3【答案】D【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式直接可判斷.【詳解】由(logax)′=，可知A，B均錯(cuò)；由(3x)′=3xln3可知D正確.故選：D（2）.（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=cosx，則=（）A．0 B．1 C．-1 D．以上均不正確【答案】A【分析】根據(jù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0可直接得解.【詳解】因?yàn)闉槌?shù)，所以故選：A（3）.（2020·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則_________.【答案】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可求得.【詳解】，因此，.故答案為：.【變式訓(xùn)練1-1】、（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【分析】（1）利用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可求得原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）利用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可求得原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（3）利用對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可求得原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（4）利用指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可求得原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（5）化簡函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可求得原函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【詳解】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），．【變式訓(xùn)練1-2】、（2021·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求；（2）求曲線過點(diǎn)的切線的方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）利用函數(shù)的求導(dǎo)法則可求得；（2）設(shè)所求切點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出所求切線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出的值，可得出切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得所求切線的方程.【詳解】（1），則；（2）設(shè)切點(diǎn)為，，所以，切線的斜率為，所求切線方程為．將，代入切線方程，得．整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，，切線方程為，化簡得；當(dāng)時(shí)，，切線方程為，化簡得．綜上所述，曲線過點(diǎn)的切線的方程為或．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，同時(shí)也考查了曲線過點(diǎn)的切線方程的求解，考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、簡單的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則例2．（1）（2021·全國高二月考（理））已知，則（）A．-1 B．0 C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，求得，代入即可求得的值.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以.故選：C（2）（2021·全國高二單元測試）函數(shù)y＝的導(dǎo)數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以故選：A（3）（2021·南昌市新建一中高二期末（理））下列求導(dǎo)運(yùn)算中錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】依據(jù)求導(dǎo)公式及法則一一判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：，A正確；B選項(xiàng)：，B正確；C選項(xiàng)：，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，D正確故選：C（4）（2021·全國高二單元測試）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y＝(2x2＋3)(3x－2)；（2）y＝.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)的乘法法則計(jì)算即可求解；（2）已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)的除法法則計(jì)算即可求解.【詳解】（1）y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9.(2)y′＝＝.【變式訓(xùn)練2-1】、（2021·陜西西安市·高二期末（文））求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】直接利用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求解.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)椋?；（Ⅱ）因?yàn)椋匀?、簡單的?fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算例3．（1）（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知f(x)＝ln(3x－1)，則f′（1）＝________.【答案】【分析】直接利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)即可.

【詳解】，則，所以.故答案為：.（2）．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為________．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得答案.【詳解】函數(shù)是函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)，則.故答案為：.（3）．（2021·全國高二月考（理））已知，則___________.【答案】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)得到，再代入即得結(jié)果.【詳解】由，可得，故.故答案為：.【變式訓(xùn)練3-1】、（（2021·安徽馬鞍山市·馬鞍山二中高二開學(xué)考試（理））函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即可求導(dǎo).【詳解】，故選：B.【變式訓(xùn)練3-2】、（2021·江西南昌市·高二期末（理））函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可求得結(jié)果.【詳解】.故選：C【變式訓(xùn)練3-3】、（2020·陜西省子洲中學(xué)高二月考（理））函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的加法運(yùn)算與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求解.【詳解】，故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，應(yīng)該先判斷出函數(shù)的形式，然后選擇合適的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式訓(xùn)練3-4】、（2021·全國高二單元測試）的導(dǎo)數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】令，則，，，.故選：A.四、簡單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與運(yùn)算法則例4．（2021·全國高二單元測試）函數(shù)y＝x2cos2x的導(dǎo)數(shù)為（）A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x【答案】B【分析】利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x故選：B【變式訓(xùn)練4-1】、（2021·江蘇泰州市·姜堰中學(xué)高二月考）下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.【變式訓(xùn)練4-2】、（2020·揚(yáng)州市第一中學(xué)高三月考）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算結(jié)果.【詳解】A.，故A不正確；，故B正確；C.，故C不正確；D.，故D不正確.故選：B【變式訓(xùn)練4-3】、（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y＝103x－2；（2）y＝ln(ex＋x2)；（3）y＝x.【答案】（1）y′x