算法-第05與網(wǎng)絡(luò)

第五章§1圖論于18世紀(jì)。第一篇圖論是數(shù)學(xué)家歐拉于1736年的“哥尼1哥尼斯堡七橋問(wèn)圖與網(wǎng)絡(luò)是運(yùn)籌學(xué)（OperationsResearch）中的一個(gè)經(jīng)典和重要的分支，所研究的我們首先通過(guò)一些例子來(lái)了解網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題。1最短路問(wèn)題（SPP－shortestpathproblem）2例 例 梅谷教授1960年首先，所以國(guó)際上稱之為中國(guó)郵遞員問(wèn)題。例 例 種意義下的最優(yōu)安排或方案，數(shù)學(xué)上把這種問(wèn)題稱為最優(yōu)化或優(yōu)化（opn）問(wèn)為網(wǎng)絡(luò)（network。與圖和網(wǎng)絡(luò)相關(guān)的最優(yōu)化問(wèn)題就是網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)化或稱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化（netwokoptimization）問(wèn)題。所以上面例子中介紹的問(wèn)題都是網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題。由于多絡(luò)流（networkflows）或網(wǎng)絡(luò)流規(guī)劃等。§2一個(gè)無(wú)向圖(undirectedgraph)G是由一個(gè)非空有限集合V(G和V(G中某些元素的無(wú)序?qū)螮(G)構(gòu)成的二元組，記為GV(GE(G))。其中V(G){v1v2L,vn}稱為圖G的頂點(diǎn)集（vertexset）或節(jié)點(diǎn)集（nodeset，V(G中vi(i1,2,Ln稱為該圖的一個(gè)頂點(diǎn)（vertex）或節(jié)點(diǎn)（node）；E(Ge1e2Lem稱為圖G的邊集（edgesetE(G中的每一個(gè)元素ek(即V(G)vivj的無(wú)序?qū)kvivjekvivjv被稱為該圖的一條從vi到vj的邊（edge

(k1,2,L,m)當(dāng)邊ekvivj時(shí)，稱vivj為邊ek的端點(diǎn)，并稱vj與vi相鄰（adjacent；邊ek稱（incident圖G中相鄰。network一個(gè)圖稱為有限圖，如果它的頂點(diǎn)集和邊集都有限。圖G的頂點(diǎn)數(shù)用符號(hào)|V|(G表示，邊數(shù)用|E|或(G當(dāng)?shù)膱D只有一個(gè)時(shí)，總是用G來(lái)表示這個(gè)圖。從而在圖論符號(hào)中我們常略去字母G，例如，分別用VE,和代替V(GE(G),(G)和(G。端點(diǎn)重合為一點(diǎn)的邊稱為環(huán)(loop)一個(gè)圖稱為簡(jiǎn)單圖 graph)，如果它既沒(méi)有環(huán)也沒(méi)有兩條邊連接同一對(duì)頂點(diǎn)定義一個(gè)有向圖（directedgraphdigraph）G是由一個(gè)非空有限集合V和V中A構(gòu)成的二元組，記為GVA。其中Vv1v2Lvn稱為圖G的頂點(diǎn)集或節(jié)點(diǎn)集，Vvi(i1,2,L,n)稱為該圖的一個(gè)頂點(diǎn)set，某兩個(gè)元素vivj的有序?qū)?記為akvivj或akvivj(k1,2,Ln，被稱為該圖的一條從vi到vj的?。╝rc當(dāng)弧akvivj時(shí)，稱vi為ak的尾（tailvj為ak的頭（head，并稱弧ak為vi的出?。╫utgoingarc，為vj的入弧（ingarc。樣的有向圖稱為G的一個(gè)定向圖。的完全圖記為Kn。若V(GXUYXIY，|X||Y|0（這里|X|表示X中的元素個(gè)數(shù)XY中亦然，則稱G為二分圖(bipartitegraph)H叫做圖G的子圖（subgraph），記作HGV(HV(G)E(HE(GH是G的子圖，則GH的母圖G的支撐子圖（spanningsubgraph，又成生成子圖）是指滿足V(HV(G的子圖H。設(shè)vV(G，G中與v關(guān)聯(lián)的邊數(shù)（每個(gè)環(huán)算作兩條邊）稱為v的度(degree)，記作d(v)。若d(v)是奇數(shù)，稱v是奇頂點(diǎn)(oddpoint)d(v)是偶數(shù)，稱v是偶頂點(diǎn)(evend(v)表示法、鄰接表表示法和星形表示法。在下面數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的中，我們首先假設(shè)G(V,A是一個(gè)簡(jiǎn)單有向圖，|V|n,|A|m，并假設(shè)V中的頂點(diǎn)用自然數(shù)1,2,Ln表示或，A中的弧用自然數(shù)1,2,L,m表示或。對(duì)于有多重邊或無(wú)向網(wǎng)絡(luò)的情況，GVAC是一個(gè)nn的01C(cij)nn{0,1}nncij

(i,j)(i,j)2例 00

00同樣，對(duì)于網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)，也可以用類似鄰接矩陣的nn矩陣表示。只是此時(shí)一條B(bik)nm{1,0,1}nm

jV,k(i,j)jV,k(j,i)1；如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)是一條弧的終點(diǎn)，則關(guān)聯(lián)矩陣中對(duì)應(yīng)的元素為1；如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)與一條弧不關(guān)聯(lián)，則關(guān)聯(lián)矩陣中對(duì)應(yīng)的元素為0。對(duì)于簡(jiǎn)單圖，關(guān)聯(lián)矩陣每列只含有兩個(gè)非零元（一個(gè)1，一個(gè)1。可以看出，這種表示法也非常簡(jiǎn)單、直接。但是，在關(guān)聯(lián)矩陣的所有nm個(gè)元素中，只有2m個(gè)為非零元。如果網(wǎng)絡(luò)比較稀疏，這種表示法也會(huì)浪費(fèi)大量的空間。但由于87所示的圖，如果關(guān)聯(lián)矩陣中每列對(duì)應(yīng)弧的順序?yàn)?3,2)，(4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)，則關(guān)聯(lián)矩00

0010010000001000010001100000101弧表表示法將圖以弧表（arclist）的形式在計(jì)算機(jī)中。所謂圖的弧表，也就是圖的弧集合中的所有有序?qū)??；”肀硎痉ㄖ苯恿谐鏊谢〉钠瘘c(diǎn)和終點(diǎn)，共需2m個(gè)存應(yīng)地用額外的單元表示。例如，例7所示的圖，假設(shè)弧(1,2)，(1,3)，(2,4)，(3,2)，(4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)8，9，6，4，0，3，6711123445523423534權(quán)89640367鄰接表表示法將圖以鄰接表（adjacencylists）的形式在計(jì)算機(jī)中。所謂圖的組表示。例如，例7所示的圖，鄰接表表示為1個(gè)數(shù)據(jù)域表示弧的另一個(gè)端點(diǎn)（弧的頭(1,3)9對(duì)于有向圖G(V,A，一般用A(i)表示節(jié)點(diǎn)i的鄰接表，即節(jié)點(diǎn)i的所有出弧構(gòu)也就是說(shuō)，在該數(shù)組中首先存放從節(jié)點(diǎn)1出發(fā)的所有弧，然后接著存放從節(jié)點(diǎn)2出發(fā)的所有孤，依此類推，最后存放從節(jié)點(diǎn)n出發(fā)的所有孤。對(duì)每條弧，要依次存放其起點(diǎn)、（forwardstar）（1,2（l,3（2,4（3,2（4,3（4,5，（5,3）和（5,4）8，9，6，4，0，3，67。此時(shí)該網(wǎng)絡(luò)圖可以用前向星形表示法表示為表2和表3。表2節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的出弧的起始地址數(shù)節(jié)點(diǎn)號(hào)123456 弧56781123445523423534權(quán)89640367[point(i),point(i1)point(i)point(i1)，則節(jié)點(diǎn)i后有序存放，并增加一個(gè)數(shù)組（point）記錄每個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)的弧的起始。有入弧。為了能夠快速檢索每個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有入孤，可以采用反向星形（reversestar）表后存放進(jìn)入節(jié)點(diǎn)n的所有孤。對(duì)每條弧，仍然依次存放其起點(diǎn)、終點(diǎn)、權(quán)的數(shù)值等有關(guān)個(gè)節(jié)點(diǎn)的入孤的起始地址（即弧的。例如，例7所示的圖，可以用反向星形表示法表示為表4和表5。表4節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的入弧的起始地址數(shù)節(jié)點(diǎn)號(hào)1234561 弧6782233344531權(quán)763當(dāng)于一種緊湊的雙向星形表示法，如表6所示。6兩種表示法中的弧的對(duì)應(yīng)關(guān) 12345678 trace(41257836①星形表示法和鄰接表表示法在實(shí)際算法實(shí)現(xiàn)中都是經(jīng)常采用的。星形表示法的優(yōu)點(diǎn)是占用的空間較少，并且對(duì)那些不提供指針類型的語(yǔ)言（如FORTRAN語(yǔ)言量較大（需要花費(fèi)O(m的計(jì)算時(shí)間。有關(guān)“計(jì)算時(shí)間”的觀念是網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中需要（即多重?。r(shí)，顯然此時(shí)鄰接矩陣表示0和1，而不含有1，因?yàn)榇藭r(shí)不區(qū)分邊的起點(diǎn)和終點(diǎn)。又如，在鄰接表和星形表示W(wǎng)v0e1v1e2Lekvk，其中eiE(G，1ik，vjV(G，0jk，eivi1vi關(guān)聯(lián)，稱W是圖G的一條道路(walk)，k為路長(zhǎng)，頂點(diǎn)v0和vk分別稱為W的起點(diǎn)和終點(diǎn)，而v1,v2,L,vk1稱為它的頂點(diǎn)。若道路W的邊互不相同，則W稱為跡(trail)。若道路W的頂點(diǎn)互不相同，則W稱若圖G的兩個(gè)頂點(diǎn)uv間存在道路，則稱u和v連通(connected)。uv間的最短軌的長(zhǎng)叫做uv間的距離。記作d(uv。若圖G的任二頂點(diǎn)均連通，則稱G2；圖C是一個(gè)圈的充要條件是C2G的子圖的權(quán)是指子圖的各邊的權(quán)和。問(wèn)題就是求賦權(quán)圖G中指定的兩個(gè)頂點(diǎn)u0v0間的具最小權(quán)的軌。這條軌叫做u0v0間的最短路，它的權(quán)叫做u0v0間的距離，亦記作d(u0,v0)。求最短路已有成算法：迪克斯特拉（Dijkstra）算法，其基本思想是按距u0從近到遠(yuǎn)為順序，依次求得u0到G的各頂點(diǎn)的最短路和距離，直至v0（或直至G令l(u00，對(duì)vu0，令l(v)S0u0i0對(duì)每個(gè)vSi（SiVSimin{l(v),l(u)代替l(v)。計(jì)算min{l(v)}，把達(dá)到這個(gè)最小值的一個(gè)頂點(diǎn)記為ui1，令Si1SiU{ui1}(iii).若i|V|1，停止；若i|V|1，用i1代替i，轉(zhuǎn)(ii)算法結(jié)束時(shí)，從u0v的距v的最后一次的標(biāo)號(hào)l(v)給出。在vSi之前的標(biāo)號(hào)l(v)TvSi時(shí)的標(biāo)號(hào)l(v)P標(biāo)號(hào)。算法就是不斷修改各頂TPP標(biāo)號(hào)所由來(lái)的邊在圖上標(biāo)明，則算法結(jié)束時(shí)，u0至各項(xiàng)點(diǎn)的最短路也在圖上標(biāo)示出來(lái)了。9某公司在六個(gè)城市c1c2L,c6中有，從ci到cj的直接航程票價(jià)記在

0用矩陣ann（n為頂點(diǎn)個(gè)數(shù)存放各邊權(quán)的鄰接矩陣，行向量pbindex1index2dP標(biāo)號(hào)信息、標(biāo)號(hào)頂點(diǎn)順序、標(biāo)號(hào)頂點(diǎn)索引、最短通路的值。其中分0pb(i)0

；index2i)存放始點(diǎn)到第i點(diǎn)最短通路中第id(i)存放由始點(diǎn)到第iwhilesum(pb)<length(a)tb=find(pb==0);d,index1,ww(vivj vivj 其決策變量為xij，當(dāng)xij1，說(shuō)明弧vivj位于頂點(diǎn)1至頂點(diǎn)n的；否則xij0。其n

n

is.t.xijxji i E

i1,viv

v xij0或10在圖3中，用點(diǎn)表示城市，現(xiàn)A,B1B2C1C2C3D7個(gè)城市。點(diǎn)與到城市D鋪設(shè)一條天然氣管道，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最小價(jià)格管道鋪設(shè)方案。37個(gè)城市間的連線roads(cities,cities)/AB1,AB2,B1C1,B1C2,B1C3,B2C1,B2C2,B2C3,C1D,C2D,C3D/:w,x;w=2433123113@for(cities(i)|i#ne#1#and#i#ne#n:11（無(wú)向圖的最短路問(wèn)題）求圖4中v1到v11的最分析例10處理的問(wèn)題屬于有向圖的最短路問(wèn)題，本例是處理無(wú)向圖的最短路問(wèn)寫(xiě)LINGO程序。4無(wú)向圖的最短@for(roads(i,j):w(i,j)=@if(w(i,j)#eq#0,1000,w(i,j)));n=@size(cities);!城市的個(gè)數(shù);@for(cities(i)|i#ne#1#andi#ne#!從頂點(diǎn)1離開(kāi)后，再不能回到該頂點(diǎn)。復(fù)執(zhí)行n1次這樣的操作，就可得到從每一個(gè)頂點(diǎn)到其它頂點(diǎn)的最短路徑。這種算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n3)。第二種解決這一問(wèn)題的方法是由FloydRW算法，稱之為Floyd算法。 a1n aA0

2n M an

annaii0aijaij

i1,2,L,n,wij是i,ji,j1,2,LnFloyd算法的基本思想是：遞推產(chǎn)生一個(gè)矩陣序列A0A1L,Ak,L,An，其中Ak(i,j)vivjk的最短路徑長(zhǎng)ki,jk1,2,Ln。最后，當(dāng)knAn即是各頂點(diǎn)之間的最短通路值。例12用Floyd算法求解例9。矩陣path用來(lái)存放每對(duì)頂點(diǎn)之間最短路徑上所經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)的序號(hào)。Floyd程序如n=6;a=zeros(n);a(4,5)=10;a(4,6)=25;a(5,6)=55;a=a+a'M=max(max(a))*n^2M為充分大的正實(shí)數(shù)fork=1:nfori=1:nifa,我們使用LINGO9.0編寫(xiě)的FLOYD th;!path標(biāo)志最短路徑上走過(guò)的頂點(diǎn);@format(w(i,j),'10.0f')),@newline(1)); 連通的無(wú)圈圖叫做樹(shù)，記之為T(mén)。若圖G滿足V(G)V(TE(T)E(G則稱T是G的生成樹(shù)。圖G連通的充分必要條件為G有生成樹(shù)。通圖的生成樹(shù)的個(gè)數(shù)很多，用(G)表示G的生成樹(shù)的個(gè)數(shù)，則有公式公式(Caylay)

)nn2公式(G(Ge(Ge其中Ge表示從G上刪除邊eGe表示把e的長(zhǎng)度收縮為零得到的圖。定理 （i）G是樹(shù)當(dāng)且僅當(dāng)G中任二頂點(diǎn)之間有且僅有一條軌道G是樹(shù)當(dāng)且僅當(dāng)G無(wú)圈，且1G是樹(shù)當(dāng)且僅當(dāng)G連通，且1G是樹(shù)當(dāng)且僅當(dāng)G連通，且eE(GGeG是樹(shù)當(dāng)且僅當(dāng)GeE(GGen個(gè)城市的鐵路，已知ij城之間的鐵路造價(jià)為Cij，設(shè)計(jì)一個(gè)線prim算法構(gòu)造最小生成樹(shù)P和Q,P用于存放G的最小生成樹(shù)中的頂點(diǎn)，集合Q存放的最小生成樹(shù)令集P的初值P{v1}（假設(shè)構(gòu)造最小生成樹(shù)v1出發(fā)，集合Q的初值為Q。primpPvVP的邊中，選取具有最pv，將v加入P中，將pv加入集合Q中，如PV時(shí)，最小生成樹(shù)構(gòu)造完畢，這時(shí)集合Q中包含了最小生成樹(shù)（i）P{v1}，Q（ii）whileP~pvpPvVPPQQ5最小生成樹(shù)問(wèn)a=zeros(7);a(1,2)=50;a(2,4)=65; Kruskal算法構(gòu)造最小生成樹(shù)科茹斯克爾（Kruskal）算法是一個(gè)好算法。Kruskal算法如下:(i)選e1E(G)w(e1min。若e1e2Lei已選好，則從E(G){e1e2Lei中選取ei1，使①G[{e1e2Leiei1中無(wú)②w(ei1min直到e1號(hào)中較大序號(hào)u改記為此邊的另一序號(hào)v，同時(shí)把后面邊中所有序號(hào)為u的改記為v。此方法的幾何意義是：將序號(hào)u的這個(gè)頂點(diǎn)收縮到v頂點(diǎn)，u頂點(diǎn)不復(fù)存在。后面繼續(xù)程序如下：a(3,4)=52;a(3,7)=45;a(4,5)=50;a(4,6)=30;a(4,7)=42;a(5,6)=70;whilelength(result)<loopifindex(1,flag)~=index(2,flag) 定義ME(G，eiejMei與ej無(wú)公共端點(diǎn)（ij）MG中的一個(gè)對(duì)集；MM中相配；M中的端點(diǎn)稱為M許配；GM許配時(shí)，M稱為完美對(duì)集；G中已無(wú)使|M'||M稱此軌為M的交錯(cuò)軌，交錯(cuò)軌的起止頂點(diǎn)都未被許配時(shí)，此交錯(cuò)軌稱為可增廣軌。MM內(nèi)的邊從對(duì)集中刪除，則被許配的頂點(diǎn)數(shù)增加2，對(duì)集中的“對(duì)兒”增加一個(gè)。定理 M是圖G中的最大對(duì)集當(dāng)且僅當(dāng)G中無(wú)M可增廣軌定理 G為二分圖，X與Y是頂點(diǎn)集的劃分，G中存在把X中頂點(diǎn)皆許配SX，則|N(S||S|N(SS中頂點(diǎn)的鄰集。1：若G是k次（k0)2分圖，則G所謂k次正則圖，即每頂點(diǎn)皆k度的圖。定理 每個(gè)姑娘都結(jié)識(shí)k(k1)位小伙子，每個(gè)小伙子都結(jié)識(shí)k位姑娘，則每分派問(wèn)題：x1x2L,xn去做ny1,y2L,yn，每人適合做其這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是：G是二分圖，頂點(diǎn)集劃分為V(GXUYX{x1Lxn}，Y{y1L,yn}，當(dāng)且僅當(dāng)xi適合做工作yj時(shí)xiyjE(G解決這個(gè)問(wèn)題可以利用1965年埃德門(mén)茲(Edmonds)匈牙利算法。從GM許配的一頂點(diǎn)uSu}TN(STyN(STyM許配的yzMSSU{zTTU{y}，轉(zhuǎn)（iii；P(u,yM(ME(PU(E(P)M，轉(zhuǎn)（ii。這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是：在分派問(wèn)題的模型中，圖G的每邊加了 定義若l:V(G)R，滿足xX,yYlxlywxy，則稱l是二分圖G的可行頂點(diǎn)標(biāo)Elxy|xyE(Glxlywxy)}，El為邊集的G的生成子圖為相等子圖，記作Gl。l(x)maxw(l(y)

xXyY定理 Gl的完美對(duì)集即為G的權(quán)最大的完美對(duì)集Kuhn-Munkres算法選定初始可行頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)l，確定Gl，在GlMM許配的頂點(diǎn)uSu}，T。 若 （iv； (S)T lmin{l(x)l(y)w(xS,l(v)l(v)l,vT 其llGlGlG (S)T中一頂點(diǎn)y若y已被M許配且yzM則SSU{z}GliiiM(ME(P))U(E(P)M)（iilNG(S是GlSl 定義經(jīng)過(guò)G的每條邊的跡叫做GEulerEulerEuler直觀地講，Euler圖就是從一頂點(diǎn)出發(fā)每邊恰通過(guò)一次能回到出發(fā)點(diǎn)的那種圖，即定理 （i）G是Euler圖的充分必要條件是G連通且每頂點(diǎn)皆偶次d（ii）G是Euler圖的充分必要條件是G連通且Gi

Ci是圈，E(CiIE(Cj(ijGEuler跡的充要條件是G定義包含GHamilton(哈密頓)Hamilton直觀地講，Hamilton圖就是從一頂點(diǎn)出發(fā)每頂點(diǎn)恰通過(guò)一次能回到出發(fā)點(diǎn)的那種Fleury1o.v0V(G，令W0v02o.假設(shè)跡WvevLevE{e,Le 01 i 邊ei1ei1和vi相關(guān)聯(lián)（ii）除非沒(méi)有別的邊可選擇，否則ei1不是GiG{e1Lei}的割邊(cutedge)。 設(shè)G是連通賦權(quán)圖。（i）求V0v|vV(Gd(v1(mod2)}對(duì)每對(duì)頂點(diǎn)uvV0，求d(uv)（d(uv是u與vFloyd算法構(gòu)造完全賦權(quán)圖K|V0|，以V0為頂點(diǎn)集，以d(uv)為邊uv的權(quán)00M中邊的端點(diǎn)之間的在G在（vi）中得的圖GEuler回路即為中國(guó)郵遞員問(wèn)題的解。kPP的數(shù)學(xué)模型如下：G(VEv0V(G，求G的回路C1L,Ck（i）v0V(Ci)，i1,2,L,kmaxw(e)mini1ikeE(CikUE(Ci)i旅行商（TSP）問(wèn)Hamilton圈C，然后適當(dāng)修改C以得到具有較小權(quán)的另一個(gè)Hamilton圈。修改的方法叫做改良圈算法。設(shè)初始圈Cv1v2Lvnv1。對(duì)于1i1jnHamilton圈Cijv1v2Lvivjvj1vj2Lvi1vj1vj2Lvnv1它是由C中刪去邊vivi1vjvj1，添加邊vivjvi1vj1而得到的。若w(vivj)w(vi1vj1w(vivi1w(vjvj1，則以Cij代替C，Cij叫做C的改iKruskal算法加以說(shuō)明。假設(shè)C是G中的最優(yōu)圈。則對(duì)于vCv是在GvHamilton軌，因而也是Gv的生成樹(shù)。由此推知：若TGv中的最優(yōu)樹(shù)，同時(shí)e和f是和v關(guān)聯(lián)的兩條邊，并使得w(ew(fw(Tw(ew(fw(C的一個(gè)上界。間的航線距離如表7。7六城市間的距LMNTLMNTfunctionmainglobalaa(3,4)=36;a(3,5)=68;a(3,6)=68;a(5,6)=13;a=a+a';L=size(a,1);c1=[51:46];c2=[561:4];%改變初始圈，該算法的最后一個(gè)頂點(diǎn)不動(dòng)iflong2<long%修改圈function[circle,long]=modifycircle(c1,L);globalawhileifc1(m+1:n)=c1(n:-fori=1:L-1設(shè)城市的個(gè)數(shù)為ndij是兩個(gè)城市ijxij01（1表示走過(guò)城市i到城市j的路，0表示沒(méi)有選擇走這條路。則有mindijin xij1i1,2,Ln每個(gè)點(diǎn)只有一條邊出去nxij1j1,2,Ln（每個(gè)點(diǎn)只有一條邊進(jìn)去xij|s|1，2|s|n1，s{1,2,L,i,xij{0,1}i,j1,2,Lnij。其中|s|表示集合s中元素個(gè)數(shù)。例16已知SV地區(qū)各城鎮(zhèn)之間距離見(jiàn)表8，某公司計(jì)劃在SV地區(qū)做宣傳，從城市1出發(fā)，經(jīng)過(guò)各個(gè)城鎮(zhèn)，再回到城市1。為節(jié)約開(kāi)支，公司希望走過(guò)這10個(gè)城鎮(zhèn)的總距離最少。8城鎮(zhèn)之間的距 58678689解編寫(xiě)LINGOCITY/1..10/:U;!U(I)=sequenceno.ofcity;LINK(CITY,CITY):DIST,!ThedistanceX;!X(I,J)=1ifweuselinkI, !Distancematrix,itneednotbesymmetric;DIST=0 !Themodel:Ref.Desrochers&Laporte,ORLetters,Feb.91;N=@SIZE(MIN=@SUM(LINK:DIST*X);@FOR(CITY(K):!Itmustbe@SUM(CITY(I)|I#NE#K:X(I,K))=!Itmustbe@SUM(CITY(J)|J#NE#K:X(K,J))=!Weakformofthesubtourbreaking!Thesearenotverypowerfulforlargeproblems;@FOR(CITY(J)|J#GT#1#AND#J#NE#K:U(J)>=U(K)+X(K,J)(N-2)*(1-X(K,J))(N-3)*X(J,!MaketheX's0/1;@FOR(LINK:@BIN(X));!Fortheandlaststopwe@FOR(CITY(K)|K#GT#U(K)<=N-1-(N-2)*X(1,U(K)>=1+(N-2)*X(K,1)); 定義在以VA為弧集的有向圖GVA（i）LAR為孤上的權(quán)函數(shù)，弧(i,jAL(i,jlij(i,j的容量下界（lowerbound；（ii）U:AR為弧上的權(quán)函數(shù)，弧(i,jA對(duì)應(yīng)的權(quán)U(i,j記為uij(i,j)的容量上界，或直接稱為容量（capacity；（iii）DVR為頂點(diǎn)上的權(quán)函數(shù)，節(jié)點(diǎn)iVD(idi，稱為頂點(diǎn)i的供需量（supply／demand；NVAL,UD由于我們只V,A為有限集合的情況，所以對(duì)于弧上的權(quán)函數(shù)L,U和頂點(diǎn)上的權(quán)函數(shù)D，可以直接用所有孤上對(duì)應(yīng)的權(quán)和頂點(diǎn)上的權(quán)組成的有限維向量表示，因此在流網(wǎng)絡(luò)中，弧(i,j)的容量下界lij和容量上界uij表示的物理意義分別是：通過(guò)點(diǎn)發(fā)送到網(wǎng)絡(luò)外部的“物質(zhì)”數(shù)量（di0時(shí)。下面我們給出嚴(yán)格定義。定義NVAL,UD，其上的一個(gè)流（flow）fNAR的一個(gè)函數(shù)，即對(duì)每條弧(i,j)fij（稱為弧(i,j的流量果流ffijj:(i,j

fjidij:(j,i

lijfijuij (i,j)A flownetwork可見(jiàn)，當(dāng)di0時(shí)，表示有di個(gè)單位的流量從網(wǎng)絡(luò)外部流入該頂點(diǎn)，因此頂點(diǎn)i稱（source時(shí)，表示有|di|個(gè)單位的流量從該頂點(diǎn)流失到網(wǎng)絡(luò)外部（或說(shuō)被該頂點(diǎn)吸收點(diǎn)i稱為需求點(diǎn)（demandnode）或匯（sink，有時(shí)也形象地稱為終止點(diǎn)或收點(diǎn)等；當(dāng)di0時(shí)，頂點(diǎn)i稱為轉(zhuǎn)運(yùn)點(diǎn)（transshipmentnode）或平衡點(diǎn)、中間點(diǎn)等。此外，根據(jù)di

L0（即所有孤(i,jlij0），并將L0時(shí)的流網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)記為N(V,A,UD。此時(shí)，相應(yīng)的容量約束（2）為0fijuij (i,jA定義NVA,UDffij (i,j)Af為零流，否則為非零流。如果某條弧(i,j)上的流量等于其容量（fijuij稱該弧為飽和弧（saturatedarc）；如果某條弧(ij上的流量小于其容量（fijuij，arc。而其它節(jié)點(diǎn)為轉(zhuǎn)運(yùn)點(diǎn)。如果網(wǎng)絡(luò)中存在可行流f，此時(shí)稱流f的流量（或流值，flowvalue）為ds（根據(jù)（3），它自然也等于dt，通常記為v或v(f)，即vvfdsdt般記為Nst,VA,U)。最大流問(wèn)題（umflowproblem）就是在N(s,t,V,A,U)中找到流值最大的可行流（即最大流。會(huì)看到，最大流問(wèn)題maxs.t.fijf

ii j:(i,j j:(j,i is,0fijuij (i,j)A 定義A的任何子方陣的行列式的值都等于0，1或1A是全幺模的(totallyunimodularTU，又譯為全單位模的)，或稱A是全幺模矩陣。實(shí)際問(wèn)題往往是多源多匯網(wǎng)絡(luò)，為了計(jì)算的規(guī)格化，可將多源多匯網(wǎng)絡(luò)G化成單源單匯網(wǎng)絡(luò)G'。設(shè)X是GY是G的匯，具體轉(zhuǎn)化方法如下：在原圖Gxy，令為新圖G中之單源和單匯，則G中所有頂點(diǎn)V成為G'之中間頂點(diǎn)集。 的弧把x連接到X中的每個(gè)頂點(diǎn) 的弧把Y中的每個(gè)頂點(diǎn)連接到y(tǒng)G和Gf是Gff'(a)ff

若a(x,v)若av所定義的函數(shù)fGvfvf的流，這里f(vv的流量，f(v表示流入v的流量（在G中G中的流在G的弧集上的限制就是G中Nst,VA,USVsStVS，則稱(SSSVS(SSSSC(S,S)為割(SS

(i,j)AiS,

定理 f是最大流，(S,S)是容量最小的割的充要條件vf)C(SSN(st,VA,U中，對(duì)于軌(sv2Lvn1t（此軌為無(wú)向的vivi1A，則稱它為前向??；若vi1viA，則稱它為后向弧Ns到tP上，若對(duì)所有的前向弧(ijfijuij，對(duì)所有的后向弧(i,j)恒有fij0Ps到t的關(guān)于f的可增廣軌。令uijfij 當(dāng)（i,j fij

當(dāng)（i,j)且保持為正，也不影響其它弧的流量。總之，網(wǎng)絡(luò)中f可增廣軌的存在是有意義的，因?yàn)檫@意味著f不是最大流。標(biāo)號(hào)法是由Ford和Fulkerson在1957年。用標(biāo)號(hào)法尋求網(wǎng)絡(luò)中最大流的基給發(fā)點(diǎn)標(biāo)號(hào)為(s,)①若(xyAfxyuxy時(shí)，令ymin{uxyfxy,xy標(biāo)號(hào)為(xyxfyuxyy②yxAf

0，令

min{fyx,xy標(biāo)號(hào)為(xy不斷地重復(fù)步驟（ii）直到收點(diǎn)t被標(biāo)號(hào)，或不再有頂點(diǎn)可以標(biāo)號(hào)為止。當(dāng)t（Bs到t的可增廣軌，算法結(jié)束，令ut若u的標(biāo)號(hào)為(vtfvufvut；若u的標(biāo)號(hào)為(vtfuvfuvt若us，把全部標(biāo)號(hào)去掉，并回到標(biāo)號(hào)過(guò)程（A。否則，令uv，并回到增流過(guò)程（ii。(pred(j),可以增廣的最大流量maxf(j)。 1 若maxft0 jV的標(biāo)號(hào)，即令maxfj)0))STEP3LIST且maxft0，繼續(xù)下一步；否則：（3a）如果t已經(jīng)有標(biāo)號(hào)（即maxf(t)0，則找到了一條增廣路，沿該增廣路對(duì)x進(jìn)行增廣（增廣的流量為maxf(t)，增廣路可以根據(jù)pred回溯方便地得到STEP1。（3b）如果t沒(méi)有標(biāo)號(hào)（LIST=且maxft0對(duì)非飽和前向弧(i,j)，若節(jié)點(diǎn)j沒(méi)有標(biāo)號(hào)（即pred(j)0，對(duì)j進(jìn)行標(biāo)號(hào)，即令maxfjmin{maxf(i),uijxij}pred(j)i，并將j加入LIST中。)maxf(j)min{maxf(i),xij}，pred(j)i例17 用Ford-Fulkerson算法計(jì)算如圖6網(wǎng)絡(luò)中的最大流每條弧上的兩個(gè)數(shù)字分6最大流問(wèn)解編寫(xiě)程序如下：whilemaxf(n)>0while(~isempty(list))&(maxf(n)==0)ifwhilev2~=1if例18s的石油通過(guò)管道運(yùn)送到城市t，中間有4個(gè)中轉(zhuǎn)站v1v2和v4，城市與中轉(zhuǎn)站的連接以及管道的容量如圖7所示，求從城市s到城市t的最圖7最大流問(wèn)arcs(nodes,nodes)/s1,s3,12,13,23,2t,34,42,4t/:c,f;c=87952596n=@size(nodes)頂點(diǎn)的個(gè)數(shù);@for(nodes(i)|i#ne#1#and#i#ne#n:@sum(arcs(i,j)|i#eq#1:f(i,j))=flow;@sum(arcs(i,j)|j#eq#n:f(i,j))=flow;n=@size(nodes)頂點(diǎn)的個(gè)數(shù);@for(nodes(i)|i#ne#1#and#i#ne#n:的費(fèi)用問(wèn)題，在許多實(shí)際問(wèn)題中，費(fèi)用的因素很重要。例如，在問(wèn)題中，人們總是希望在完成任務(wù)的同時(shí)，尋求一個(gè)使總的費(fèi)用最小的方案。這就是下面要在網(wǎng)絡(luò)N(s,t,V,A,U)中，設(shè)cij是定義在A上的非負(fù)函數(shù)，它表示通過(guò)弧(i,j)單位流的費(fèi)用。所謂最小費(fèi)用流問(wèn)題就是從發(fā)點(diǎn)到收點(diǎn)怎樣以最小費(fèi)用輸送一已知量為v(f)的總流量。mincij(i,j fijj:(i,j

fjidij:(j0fijuij (i,j)Av(f i其中divf),i is,顯然，如果vf最大流vfmaxvfvfmax（8最小費(fèi)用最大流問(wèn)arcs(nodes,nodes)/s1,s3,12,13,23,2t,34,42,4t/:c,u,f;d=14000014;!最大流為c=28251634u=87952596d=140000-14;c=0;u=0;在1961年。其主要步驟如下求出從發(fā)點(diǎn)到收點(diǎn)的最小費(fèi)用通路(s,t)對(duì)該通路(s,t)f min(i,j)(s,t并讓通的所有邊的容量相應(yīng)減少f。這時(shí)，對(duì)于通的飽和邊，其單位流費(fèi)用相應(yīng)改為。(s,t上所有邊(i,j的反向邊(j,iujif，cji部流量等于v(f)為止（或者再也找不到從s到t的最小費(fèi)用道路。求最短路的函數(shù)floydpath。globalMnumglobalMnumfork=1:numfori=1:numforif

ifw(1,num)==M

while~isempty(m)if

%最小費(fèi)用最大流函數(shù)function%第一個(gè)參數(shù)：容量矩陣；第二個(gè)參數(shù)：費(fèi)%前兩個(gè)參數(shù)必須在不通%第三個(gè)參數(shù)：指定容量值（可以不寫(xiě)，表示求最小費(fèi)用最大流%返回值flow為可行流矩陣,val為最小費(fèi)用值globalMifnargin<3whileallflow<flowvaluepath=floydpath(w);%調(diào)用floydpath函數(shù)ifisempty(path) ,（criticalpathmethodCPM）是網(wǎng)絡(luò)分析的重要組成部分，它廣泛地用于系統(tǒng)分析和項(xiàng)杜邦公司為了協(xié)調(diào)企業(yè)不同業(yè)務(wù)部門(mén)的系統(tǒng)規(guī)劃，提出了關(guān)鍵路。1958年，PERTCPM既有著相同的目標(biāo)應(yīng)用，又有很多相同的術(shù)語(yǔ)，這兩種方法已合并為法，在國(guó)外稱為PERT/CPM，在國(guó)內(nèi)稱為統(tǒng)籌方法（schedulingmethod。例20 某項(xiàng)目工程由11項(xiàng)作業(yè)組成（分別用代號(hào)A,B,L,J,K表示其計(jì)劃完成時(shí)間及作業(yè)間相互關(guān)系如表9所示，求完成該項(xiàng)目的最短時(shí)間。9作業(yè)流程數(shù)A5—B,B,B,EF,GB—C—D4BE4AFC,示事件，A,B表示作業(yè)。由這種方法畫(huà)出的網(wǎng)絡(luò)圖稱為計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖。9計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖的基本畫(huà)事件j的最早時(shí)間用tE(j)表示，它表明以它為始點(diǎn)的各工作最早可能開(kāi)始的時(shí)設(shè)事件為1,2,L,n，tE(1)t(j)max{t(i)t(i, t 其中tE(ijt(ij是作業(yè)(i,j所需的工時(shí)。tE(n)總最早完工 事件i的最遲時(shí)間用tL(i)表示，它表明在不影響任務(wù)總工期條件下，以它為始點(diǎn)tL(n)總工期（或tEt(i)min{t(j)t(i, 其中tLj是與事件i一個(gè)工作(i,j的最早可能開(kāi)工時(shí)間用tES(i,j有緊前工作全部完工后才能開(kāi)始。工作(ij的最早可能完工時(shí)間用tEF(ij表示。它

(1,j)tES(i,j)max{tES(k,i)t(k, tEF(i,j)tES(i,j)t(i,這組公式也是遞推公式。即所有從總開(kāi)工事件出發(fā)的工作(1,j，其最早可能開(kāi)工時(shí)間為零；任一工作(ij的最早開(kāi)工時(shí)間要由它的所有緊前工作(ki的最早開(kāi)工時(shí)間決定；工作(i,j)的最早完工時(shí)間顯然等于其最早開(kāi)工時(shí)間與工時(shí)之和。一個(gè)工作(i,j的最遲開(kāi)工時(shí)間用tLS(i,j表示。它表示工作(i,j在不影響整個(gè)任工作(ij的最遲必須完工時(shí)間用tLF(i,j表示。它表示工作(ij

(in)總完工期（或tEF(itLS(i,j)min{tLS(j,k)t(i, tLF(i,j)tLS(i,j)t(i,總完工事件n的工作(in，其最遲完工時(shí)間必須等于預(yù)定總工期或等于這個(gè)工作的最早可能完工時(shí)間。任一工作(i,j的最遲必須開(kāi)工時(shí)間由它的所有緊后工作(jk)的最遲開(kāi)工時(shí)間確定。而工作(i,j的最遲完工時(shí)間顯然等于本工作的最遲開(kāi)工時(shí)間與工時(shí),最早可能開(kāi)工時(shí)間tES(i,j)就等于事件i的最早時(shí)間tE(i。工作(i,j)的最遲必須完工時(shí)間等于事件j的最遲時(shí)間。在不影響任務(wù)總工期的條件下，某工作(ij可以延遲其開(kāi)工時(shí)間的最大幅度，叫做該工作的總時(shí)差，用R(i,j)表示。其計(jì)算公式為：R(i,j)tLF(i,j)tEF(i, 即工作(ijR(ij也等于開(kāi)工時(shí)間的最大幅度，用r(i,j)表示。其計(jì)算公式為：r(i,j)tES(j,k)tEF(i,

1020的計(jì)劃xnx1。設(shè)tij是作業(yè)(i,j的計(jì)劃時(shí)間，因此，對(duì)于事件i與事件j有不等式xjximinxn xjxitij，(i,j)A，i,jVxi0，iV用LINGO求解例20。解編寫(xiě)LINGOoperate(events,events)/12,13,14,25,34,35,46,557,58,67,68,7t=5101144 10天；等等。每個(gè)作業(yè)只要按規(guī)定的時(shí)間開(kāi)工，整個(gè)項(xiàng)目的最短工期為51天。sijsijxjxitij，(i,jA，這樣就可以得到作業(yè)的最遲yi表示事件i的最遲開(kāi)工時(shí)間。當(dāng)最早開(kāi)工時(shí)間與最遲開(kāi)工時(shí)間相同時(shí)，operate(events,events)/12,13,14,25,34,35,46,557,58,67,68,7t=5101144 m=5 34 c=07004004500006003005000500400;sijsij0時(shí)，說(shuō)明還有剩余時(shí)間，對(duì)sijs781，作業(yè)（7，8）（J）的開(kāi)工時(shí)間可以推遲1，6（（1，4（（4，6（所以，作業(yè)（1，4（C）5天。1210作業(yè)數(shù)作業(yè)(i,作業(yè)(i,5HI4J4KF11帶有關(guān)鍵路線的計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)n

tij(i,jn

i xijxji i(i,j

(j

xij01(i,j例 operate(events,events)/12,13,14,25,34,35,46,557,58,67,68,7t=5101144 d=1000000-23（關(guān)鍵路線與計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化）20中所列的工程要求在49天內(nèi)完成。20中可縮短工期的所有作業(yè)和縮短一天工期額外增加的費(fèi)用?，F(xiàn)在的問(wèn)題11工程作業(yè)數(shù)作 計(jì)劃完(i,j)時(shí)間（天最短完作 (i,j)最短完8H8I43JKxi是事件itij是作業(yè)(ijmij是完成作業(yè)(ij的最yij是作業(yè)(ijcij是作業(yè)(i,j縮短一天增加的費(fèi)用，因此xjxitijyij且0yijtij總目標(biāo)是使額外增加的費(fèi)用最小，即目標(biāo)函數(shù)為mincij(i,j xjxiyijtij，(i,j)A，i,jVxnx1d0yijtijmij，(i,j)A，i,j

(i,joperate(events,events)/12,13,14,25,34,35,46,557,58,67,68,7t=5101144 m=58834 c=07004004500006003005000500400;作業(yè)(1,3)(B）壓縮1天的工期，作業(yè)(6,8)(K)1天工期，這樣可以在49例24（續(xù)例23）用LINGO求解例23，并求出相應(yīng)的關(guān)鍵路徑、各作業(yè)的xizi表示事件寫(xiě)出相應(yīng)的LINGO程序如下：operate(events,events)/12,13,14,25,34,35,46,557,58,67,68,7t=5101144 m=58834 c=07004004500006003005000500400;12作業(yè)數(shù)作業(yè)(i,作業(yè)(i,59HI4J4KF12優(yōu)化后的關(guān)鍵路線估計(jì)值：最樂(lè)觀值的估計(jì)值（a，最悲觀的估計(jì)值（b）和最可能的估計(jì)值（m設(shè)tij是完成作業(yè)(i,j)的實(shí)際時(shí)間（是一隨量通常用下面的方法計(jì)算相應(yīng)

)aij4mij6(bijaij)

var(tij)

設(shè)TT (i,j)TE(T) E(tij (i,j)S2var(T) (ij)關(guān)鍵路

var(tij dTP{Td} 1@psn(x)是LINGO提供的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，1

x@psn(x)(x)x

et2/2 25205213作業(yè)數(shù)(i,(i,ambamb35789H8I246J345KF8operate(events,events)/12,13,14,25,34,35,46,557,58,67,68,78/:a,m,b,et,dt,x;a=388208;m=59d=100404000-3252025 后可以生產(chǎn)這種主管道的鋼廠有S1,S2,LS7。圖中粗線表示鐵路，單細(xì)線表示公表示火車站，每段鐵路、公路和管道旁的數(shù)字表示里程(單位km)。一個(gè)鋼廠如果承擔(dān)制造這種，至少需要生產(chǎn)500個(gè)單位。鋼廠Si在指定期限1單位的鐵路運(yùn)價(jià)見(jiàn)表15。i1234567 里程里程請(qǐng)制定一個(gè)主管道的訂購(gòu)和計(jì)劃，使總費(fèi)用最?。ńo出總費(fèi)用)絡(luò)，請(qǐng)就這種更一般的情形給出一種解決辦法，并對(duì)圖15按（1）的要求給出模型和結(jié)果。

記第i個(gè)鋼廠的最大供應(yīng)量為si，從第i個(gè)鋼廠到鋪設(shè)節(jié)點(diǎn)j的訂購(gòu)和費(fèi)用為cij；用lj表示管道第j段需要鋪設(shè)的量。xij是從鋼廠i運(yùn)到節(jié)點(diǎn)j的量，yj是從節(jié)點(diǎn)j向左鋪設(shè)的量，zj是從節(jié)點(diǎn)j向右鋪設(shè)的量。SiAj的最小購(gòu)運(yùn)費(fèi)cij中），費(fèi)用（Si經(jīng)鐵路、公路至各點(diǎn)Aji1,2,L,7,j1,2,L,15AjAj1j1,2,L,14)的運(yùn)費(fèi)。用cij的計(jì)算構(gòu)造鐵路距離賦權(quán)圖G1(VE1W1,其

（j1,2,L,15）V{S,L,S,A,L,A,B,L,B}，各頂點(diǎn)的見(jiàn)圖14；W(w1 ij,11

i,j

（d1表示i，j兩點(diǎn)之間的鐵路路的最小費(fèi)用c1。其中，路徑值無(wú)窮大時(shí)的費(fèi)用也為無(wú)窮大。②計(jì)算公路任意兩點(diǎn)間的最小構(gòu)造公路距離賦權(quán)圖G2VE2,W2,其中V同上，W2(w2

3939d2ijw2 (d2表示i，j兩點(diǎn)之間的公i,j計(jì)算，計(jì)算出公路任意兩點(diǎn)間的最小費(fèi)用 費(fèi)

ij。路徑值為無(wú)窮大時(shí)的費(fèi) 構(gòu)造鐵路公路的混合賦權(quán)完全圖G(V,E,W)，W(c~ ，其~minc1c2 16最小運(yùn)費(fèi)計(jì)算結(jié)

ij（j1,2,L,152任意兩點(diǎn)間的最 費(fèi)用加上出廠售價(jià),得到單位從任一個(gè)（i1,2,L,7）到Aj（j1,2,L,15） 和運(yùn)送最小費(fèi)用cij運(yùn)量約束：xij對(duì)izjyj；yj1zjAjAj1段的長(zhǎng)度lj由Aj向AjAj1段鋪設(shè)管道的總路程為1Ly由Aj向AjAj1段鋪設(shè)管道的總路程為1Lz

yj(yj1)/2zj(zj1)27min7

0.1152

j(z

1)

yj(y

s.t.xij0U[500,si

i 7xijzjyj7yj1zjlxij0,zj0,yjy10,z15Lingo

jji1,2,L7,j

使用計(jì)算機(jī)求解上述數(shù)學(xué)規(guī)劃時(shí)需要對(duì)約束條（20）進(jìn)行處理我們引進(jìn)

500fi xijsifi，i!nodes表示節(jié)點(diǎn)集合

!c1(i,j)表示節(jié)點(diǎn)i到j(luò)鐵路的最小運(yùn)價(jià)（萬(wàn)元）,c2(i,j)表示節(jié)點(diǎn)i到j(luò)公路的費(fèi)用鄰接矩陣，c(i,j)表示節(jié)點(diǎn)ij的最小運(yùn)價(jià)，path標(biāo)志最短路徑上走過(guò)的頂點(diǎn);link(nodes,nodes):w,c1,c2,c,path1,path;need/A1..A15/:b,y,zy表示每一點(diǎn)往左鋪的量，z表示往右鋪的量;linkf(supply,need):cf,X;S=8008001000200020002000P=160155 path1=0;path=0;w=0; 以下是格式化輸出計(jì)算的中間結(jié)果和最終結(jié)果@text(MiddleCost.txt)=@writefor(supply(i):@writefor(need(j):@format(cf(i,j),'6.1f')),@newline(1));@for(link(i,j):w(i,j)= w(i,j)+w(j,i));!輸入鐵路距離鄰接矩陣的下三角元素;@for(link(i,j)|i#ne#j:w(i,j)=@if(w(i,j)#eq#0,20000,w(i,j))); !無(wú)鐵路連接，元素為充分!以下就是最短路計(jì)算公式（Floyd-Warshall算法）;@for(link|w#eq#0:C1=0);@for(link|w#gt#0#and#w#le#300:C1=20);@for(link|w#gt#300#and#w#le#350:C1=23);@for(link|w#gt#350#and#w#le#400:C1=26);@for(link|w#gt#400#and#w#le#450:C1=29);@for(link|w#gt#450#and#w#le#500:C1=32);@for(link|w#gt#500#and#w#le#600:C1=37);@for(link|w#gt#600#and#w#le#700:C1=44);@for(link|w#gt#700#and#w#le#800:C1=50);@for(link|w#gt#800#and#w#le#900:C1=55);@for(link|w#gt#900#and#w#le#1000:C1=60); !輸入公路距離鄰接矩陣的下三角元素));!@for(link(i,j)|i#ne#j:c2(i,j)=@if(c2(i,j)#eq#0,10000,c2(i,j))); @for(link:C=@if(C1#le#C2,C1,C2)); C1C2矩陣對(duì)應(yīng)元素取最小;@for(link(i,j)|ile7and#j#ge#8and#j#le22:cf(i,j-7)=c(i,j提取下面二次規(guī)劃模型需要的7×15矩陣;!約束@for(supply(i):[con2]@sum(need(j):x(i,j))>=@for(need(j):[con3]@sum(supply(i):x(i,j))=y(j)+z(j));@for(need(j)|j#NE#15:[con4]z(j)+y(j+1)=b(j));y(1)=0;z(15)=0;@for(need:@gin(y));7 mincijxij

(y2y

i1 j1