考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化習(xí)題-定積分(應(yīng)用)

一份好的考研復(fù)習(xí)資料，會(huì)讓你的復(fù)習(xí)力上加力。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【高等數(shù)學(xué)-定積分（應(yīng)用）知識(shí)點(diǎn)講解和習(xí)題】，同時(shí)中公考研網(wǎng)首發(fā)2023考研信息，2023考研時(shí)間及各科目復(fù)習(xí)備考指導(dǎo)、復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為2023考研學(xué)子提供一站式考研輔導(dǎo)服務(wù)。模塊七定積分（應(yīng)用）Ⅰ經(jīng)典習(xí)題一．平面圖形的計(jì)算1、曲線與軸所圍成圖形的面積可表示為（）2、設(shè)為常數(shù)（1）求曲線的斜漸近線（記為）的方程（2）設(shè)與從延伸到之間的圖線的面積為有限值，求3、曲線與直線所圍成的平面圖形的面積為_________.4、假設(shè)曲線：、軸和軸所圍區(qū)域被曲線：分為面積相等的兩部分,其中是大于零的常數(shù),試確定的值.5、求曲線的一條切線,使該曲線與切線及直線所圍成的平面圖形面積最小.6、計(jì)算拋物線與直線所圍成的圖形面積。7、求橢圓所圍成圖形的面積。8、求下列各曲線圍成的圖形的面積（1）（2）二．簡(jiǎn)單幾何體的體積9、曲線及直線圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積是（）10、設(shè)曲線方程為（1）把曲線軸、y軸和直線所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體體積求滿足的(2)在此曲線上找一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸所夾平面圖形的面積最大，并求出該面積.11、設(shè)拋物線過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)又已知該拋物線與x軸及直線所圍圖形的面積為試確定使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V最小.12、過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，該切線與曲線以及軸圍成的向軸負(fù)向無(wú)限延伸的平面圖形記為（1）求的面積（2）求饒直線所成旋轉(zhuǎn)體體積13、設(shè)曲線（）與曲線交于點(diǎn),過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)的直線與曲線圍成一平面圖形（1）求饒軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積（2）求的值使為最大14、在曲線上某點(diǎn)A處作切線，使之與曲線及x軸所圍圖形的面積為試求：（1）切點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過(guò)切點(diǎn)A的切線方程；（3）由上述所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。15、過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，該切線與曲線以及圍成平面圖形（1）求的面積（2）求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積16、求曲線與軸圍成的封閉圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積.17、設(shè)曲線及直線所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的體積。三．曲線弧長(zhǎng)（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）18、曲線，從到的弧長(zhǎng)為（）19、計(jì)算曲線上相應(yīng)于的一段弧長(zhǎng)。20、求對(duì)數(shù)螺旋線，相應(yīng)于的一段弧長(zhǎng)。21、求曲線，相應(yīng)于的一段弧長(zhǎng)。22、求心形線的全長(zhǎng)。23、求拋物線，被圓所截下的有限部分弧長(zhǎng)。四．旋轉(zhuǎn)曲面面積（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）24、已知擺線的參數(shù)方程為，其中，常數(shù)，設(shè)擺線一拱的弧長(zhǎng)的數(shù)值等于該弧段饒軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)曲面面積的數(shù)值，求25、設(shè)有曲線,過(guò)原點(diǎn)作其切線,求由此曲線、切線及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.26、由曲線段繞軸的旋轉(zhuǎn)面面積.五．物理應(yīng)用（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）27、曲線，的質(zhì)心為28、半徑為的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的密度與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要多少功？29、一圓柱形的貯水桶高為，底圓半徑為，桶內(nèi)盛滿水，試問(wèn)要把桶內(nèi)的水全部吸出來(lái)需要做多少的功。30、用鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘入木板的深度成正比，在擊第一次時(shí)，將鐵釘擊入木板。如果鐵錘每次錘擊鐵釘所作的功相等，問(wèn)鐵錘第二次時(shí)，鐵釘又擊入多少？31、等腰梯形的閘門，它的兩條底邊各長(zhǎng)和，高為，較長(zhǎng)的底邊與水面相齊，計(jì)算閘門的一側(cè)所受的水壓力(重力加速度按計(jì)算)。32、一底為，高為的等腰三角形片，鉛直的沉入到水中，頂在上，底在下且與水面平行，而頂離水面，試求它的每面所受的壓力(重力加速度按計(jì)算)。33、求下列平面圖形的形心坐標(biāo)：（1）平面區(qū)域：；（2）曲線：；（3）平面區(qū)域：.Ⅱ參考答案一．平面圖形的計(jì)算1、2、【解析】：（1）的斜漸近線為所以斜漸近線方程為：（2）若，即如果，無(wú)論均有這與的面積為有限值矛盾，所以當(dāng)時(shí)，0，此時(shí)3、【答案】【解析】O2先解出兩條曲線在平面的交點(diǎn),即令,O2解得和,故所圍成的平面圖形如右圖所示:所求面積為4、【解析】先求出曲線和的交點(diǎn),然后利用定積分求出平面圖形面積和,如圖：由得所以,.又因?yàn)?所以,即,解得5、【解析】過(guò)曲線上已知點(diǎn)的切線方程為,其中當(dāng)存在時(shí),.O2如圖所示,設(shè)曲線上一點(diǎn)處的切線方程為O2,化簡(jiǎn)即得.面積,其一階導(dǎo)數(shù).令解得唯一駐點(diǎn),而且在此由負(fù)變正,即在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,在此過(guò)程中在時(shí)取極小值也是最小值,所以將代入先前所設(shè)的切線方程中,得所求切線方程為.6、答案：7、答案：8、（1）答案：（2）答案：二．簡(jiǎn)單幾何體的體積9、10、【解析】：（1）要即得（2）設(shè)切點(diǎn)為則切線方程為令得令得切線與坐標(biāo)軸所夾面積令 得由于當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，面積S有極大值，即最大值。所求切點(diǎn)為最大面積11、【解析】：∵曲線過(guò)原點(diǎn)，∴由題設(shè)有即及令得代入b的表達(dá)式得又因及實(shí)際情況，知當(dāng)12、【解析】：設(shè)切點(diǎn)為，于是曲線在點(diǎn)的切線斜率為故切線方程為：此切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，再由即切線方程為：（1）易得：（2）饒直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體積13、【解析】：的交點(diǎn)，直線的方程為（1）旋轉(zhuǎn)體體積（2）在時(shí)得的唯一駐點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故為的唯一極大值點(diǎn)，為最大值點(diǎn)14、【解析】： 設(shè)切點(diǎn)A的坐標(biāo)為則過(guò)A點(diǎn)的切線的斜率為切線方程為 即切線與x軸的交點(diǎn)為曲線、x軸及切線所圍圖形面積為由題設(shè) 因此于是，切點(diǎn)A的坐標(biāo)為過(guò)切點(diǎn)的切線方程為旋轉(zhuǎn)體的體積為15、【解析】：(1)設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則曲線y=lnx在點(diǎn)處的切線方程是由該切線過(guò)原點(diǎn)知，從而所以該切線的方程為平面圖形D的面積（2）切線與x軸及直線x=e所圍成的三角形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為曲線y=lnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為，因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為16、O2O2與軸的交點(diǎn)是.只計(jì)算右半部分即可.作垂直分割,相應(yīng)于的小豎條的體積微元：,于是.17、三．曲線弧長(zhǎng)（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）18、19、答案：20、答案：21、答案：22、答案：23、答案：四．旋轉(zhuǎn)曲面面積（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）24、【解析】：擺線一拱弧長(zhǎng)擺線一拱饒軸旋轉(zhuǎn)一周所生產(chǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面面積為按題意，25、12x(2,1)O12x(2,1)Oy1.以代入切線方程,解得,切線方程為.(見(jiàn)右圖)由曲線段繞軸的旋轉(zhuǎn)面面積由此,旋轉(zhuǎn)體的