江蘇省南京市2022年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．點(diǎn)為棱長是2的正方體的內(nèi)切球球面上的動點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若滿足，則動點(diǎn)的軌跡的長度為（）A． B． C． D．2．金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種（含兩種）以上的肉混合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（）A．20 B．24 C．25 D．263．已知集合，，若AB，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．如圖，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)（靠近）若，則的值為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為（）A． B．C． D．6．設(shè)，均為非零的平面向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．已知函數(shù)，則（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率等于()A． B． C． D．9．已知實(shí)數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．若（），，則（）A．0或2 B．0 C．1或2 D．111．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．已知為虛數(shù)單位，實(shí)數(shù)滿足，則()A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某高校組織學(xué)生辯論賽，六位評委為選手成績打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，若去掉一個最高分，去掉一個最低分，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為______.14．已知函數(shù)，則函數(shù)的極大值為___________．15．在中，若，則的范圍為________.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，，求實(shí)數(shù)的值．（2）若，，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點(diǎn)，，證明：.19．（12分）近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)的對入院人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男女合計(jì)已知在全部人中隨機(jī)抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率為.（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)？請說明你的理由；（2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位從事的是戶外作業(yè)的工作.為了指導(dǎo)市民盡可能地減少因霧霾天氣對身體的傷害，現(xiàn)從不患心肺疾病的位男性中，選出人進(jìn)行問卷調(diào)查，求所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率.下面的臨界值表供參考：（參考公式，其中）20．（12分）等比數(shù)列中，．(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)記為的前項(xiàng)和．若，求．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)分別交于兩點(diǎn)（與原點(diǎn)不重合），求的最小值.22．（10分）如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是10m和20m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD＝60°．（1）求BC的長度；（2）在線段BC上取一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB＝α，∠DPC＝β，問點(diǎn)P在何處時，α+β最小？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

設(shè)的中點(diǎn)為，利用正方形和正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理可以證明出平面，這樣可以確定動點(diǎn)的軌跡，最后求出動點(diǎn)的軌跡的長度.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以動點(diǎn)的軌跡平面與正方體的內(nèi)切球的交線.正方體的棱長為2，所以內(nèi)切球的半徑為，建立如下圖所示的以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系：因此有，設(shè)平面的法向量為，所以有，因此到平面的距離為：，所以截面圓的半徑為：，因此動點(diǎn)的軌跡的長度為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了立體幾何中軌跡問題，考查了球截面的性質(zhì)，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、D【解析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為，再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（種），故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用，此類問題注意實(shí)際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.3、D【解析】

先化簡，再根據(jù)，且AB求解.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，且AB，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

使用不同方法用表示出，結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出．【詳解】解：，又解得，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

，將看成一個整體，結(jié)合的對稱性即可得到答案.【詳解】由已知，，令，得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的對稱性的問題，在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時，一般采用整體法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道容易題.6、B【解析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，均為非零的平面向量，存在?fù)數(shù)，使得，所以向量，共線且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當(dāng)向量，的夾角為鈍角時，滿足，但此時，不共線且反向，所以必要性不成立．所以“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．【點(diǎn)睛】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確．7、C【解析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進(jìn)而可求出.【詳解】由題意可得，則.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為，即，所以，選B.9、D【解析】

根據(jù)題意，對于函數(shù)分2段分析：當(dāng)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①，當(dāng)，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得，在上恒成立，變形可得②，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析可得③，聯(lián)立三個式子，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)，若為增函數(shù)，則①，

當(dāng)，若為增函數(shù)，必有在上恒成立，

變形可得：，

又由，可得在上單調(diào)遞減，則，

若在上恒成立，則有②，

若函數(shù)在上單調(diào)遞增，左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值，則需有，③

聯(lián)立①②③可得：.

故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).10、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算列方程，解方程求得的值.【詳解】由于（），，所以，解得或.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

由題可知，，再結(jié)合雙曲線第一定義，可得，對有，即，解得，再對，由勾股定理可得，化簡即可求解【詳解】如圖，因?yàn)?，所?因?yàn)樗?在中，，即，得，則.在中，由得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題12、D【解析】，則故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據(jù)莖葉圖求出平均數(shù)和中位數(shù)，然后可得結(jié)果.【詳解】剩下的四個數(shù)為83，85，87，95，且這四個數(shù)的平均數(shù)，這四個數(shù)的中位數(shù)為，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為.【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖的識別和統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，通過賦值，求得，再對函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析，求得極大值.【詳解】，故解得，，令，解得函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故的極大值為故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值的求解，難點(diǎn)是要通過賦值，求出未知量.15、【解析】

借助正切的和角公式可求得，即則通過降冪擴(kuò)角公式和輔助角公式可化簡,由，借助正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得所求.【詳解】，所以，.因?yàn)?，所以，所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡,重點(diǎn)考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度一般.16、【解析】

由題意，根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】由題意，可知當(dāng)時，；當(dāng)時，.又因?yàn)椴粷M足，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中解答中熟記數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，合理準(zhǔn)確推導(dǎo)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1（2）【解析】

（1）求得和，由，，得，令，令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，利用，即可求解．（2）解法一：令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，令（），利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，分類討論，即可求解．解法二：可利用導(dǎo)數(shù)，先證明不等式，，，，令（），利用導(dǎo)數(shù)，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【詳解】（1）由題意，得，，由，…①，得，令，則，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故方程①有且僅有唯一解，實(shí)數(shù)的值為1．（2）解法一：令（），則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增;當(dāng)時，，單調(diào)遞減;故．令（），則．（i）若時，，在單調(diào)遞增，所以，滿足題意．（ii）若時，，滿足題意．（iii）若時，，在單調(diào)遞減，所以．不滿足題意．綜上述：．解法二：先證明不等式，，，…（*）．令，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即．變形得，，所以時，，所以當(dāng)時，.又由上式得，當(dāng)時，，，.因此不等式（*）均成立．令（），則，（i）若時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增;當(dāng)時，，單調(diào)遞減;故．（ii）若時，，在單調(diào)遞增，所以．因此，①當(dāng)時，此時，，，則需由（*）知，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以．②當(dāng)時，此時，，則當(dāng)時，（由（*）知）；當(dāng)時，（由（*）知）．故對于任意，．綜上述：．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．18、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）求得的導(dǎo)函數(shù)，對分成兩種情況，討論的單調(diào)性.（2）由（1）判斷出的取值范圍，根據(jù)韋達(dá)定理求得的關(guān)系式，利用差比較法，計(jì)算，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，由此證得，進(jìn)而證得不等式成立.【詳解】（1）.當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由解得或，∵是增函數(shù)，∴此時在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由（1）知.，，，不妨設(shè)，∴，，令，∴，∴在上是減函數(shù)，，∴，即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19、（1）列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)，理由見解析；（2）.【解析】

（1）結(jié)合題意完善列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測值，對照臨界值表可得出結(jié)論；（2）記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為、，其余三人分別為、、，利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【詳解】（1）由于在全部人中隨機(jī)抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率為，所以人中患心肺疾病的人數(shù)為人，故可將列聯(lián)表補(bǔ)充如下：患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男女合計(jì).故有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)；（2）記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為、，其余三人分別為、、.從中選取三人共有以下種情形：、、、、、、、、、.其中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的有種情形，分別為：、、、、、、、、，所以所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想解決實(shí)際問題，同時也考查了利用列舉法求解古典概型的概率問題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】

（1）先設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出公比，即可得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，，，或.（2）時，，解得；時，，無正整數(shù)解；綜上所述.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列，熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.2