2021-2022學(xué)年湖北省武漢市青山區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年湖北省武漢市青山區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、你一定能選對(duì)!（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）下列各題均有四個(gè)備選答案，其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)在答題卡上將對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑．1．（3分）下列品牌的標(biāo)識(shí)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列圖形中有穩(wěn)定性的是（）A．四邊形 B．三角形 C．五邊形 D．六邊形3．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．5，6，11 B．4，4，9 C．3，4，8 D．8，7，144．（3分）如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)是（）A．62° B．72° C．76° D．66°5．（3分）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作5條對(duì)角線，則n的值是（）A．6 B．8 C．10 D．126．（3分）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線DE分別與邊AB，AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，若△ABC與△BCE的周長分別是36cm和22cm，則AD的長是（）A．7cm B．8cm C．10cm D．14cm7．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，則∠BAC的度數(shù)是（）A．20° B．40° C．60° D．80°8．（3分）如圖，已知：∠MON＝30°，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1＝2，則△A5B5A6的邊長為（）A．32 B．24 C．16 D．89．（3分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，則∠DCE的度數(shù)為（）A．110° B．118° C．120° D．130°10．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，N分別是AC，BC上一點(diǎn)，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，則MN的長度可以是（）A．2 B．7 C．16 D．17二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請(qǐng)將結(jié)論直接填寫在答題卷的指定位置．11．（3分）點(diǎn)P（2，﹣5）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．12．（3分）一個(gè)n邊形的每個(gè)外角都等于72°，則n＝．13．（3分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得到△COD≌△C′O′D′的依據(jù)是．14．（3分）等腰△ABC的一個(gè)外角是100°，則其頂角的度數(shù)為．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，角平分線BD，CE交于點(diǎn)O，OF⊥AB于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四邊形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正確結(jié)論是．16．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．則∠ABD的度數(shù)為°．三、解下列各題（本大題共8小題，共72分）下列各題需要在答題卷的指定位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形．17．（8分）如圖，DE分別與△ABC的邊AB，AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，與BC的延長線交于點(diǎn)F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度數(shù)．18．（8分）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求證：AC∥DF．19．（8分）已知一個(gè)三角形的三條邊的長分別為：n+6；3n；n+2．（n為正整數(shù)）（1）若這個(gè)三角形是等腰三角形，求它的三邊的長；（2）若這個(gè)三角形的三條邊都不相等，且為正整數(shù)，直接寫出n的最大值為．20．（8分）如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，請(qǐng)用無刻度直尺畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按要求完成下列問題：（1）如圖1，連接AC．①∠ACB＝°；②在圖1中畫出以AC為邊的等邊三角形，且另一個(gè)頂點(diǎn)在六邊形的邊上；（2）已知，P為AF邊上一點(diǎn)，①如圖2，在AB邊上找一點(diǎn)Q，使得AQ＝AP；②如圖3，在CD邊上找一點(diǎn)H，使得PH⊥CD．21．（8分）如圖，在等邊△ABC中，P為AB邊上的一點(diǎn)，線段BC與DC關(guān)于直線CP對(duì)稱，連接DA并延長交直線CP于點(diǎn)E．（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度數(shù)；（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的長．22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．23．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為BC邊上一點(diǎn)，E為射線AD上一點(diǎn)，連接BE、CE．（1）如圖1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求證：BD＝DE；（2）若∠CED＝45°．①如圖2，求證：BE⊥AE；②如圖3，若∠BED＝30°，E在A、D之間，且AE＝1，求BE的長．24．（12分）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（0，b），將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°得到AC，連接BC．（1）若α＝90．①如圖1，b＝1，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；②如圖2，D為BC中點(diǎn)，連接OD．求證：OD平分∠AOB；（2）如圖3，若α＝60，b＝3，N為BC邊上一點(diǎn)，M為AB延長線上一點(diǎn)，BM＝CN，連接MN，將線段MN繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到NP，連接OP．求當(dāng)∠AOP取何值時(shí)，線段OP最短．

2021-2022學(xué)年湖北省武漢市青山區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、你一定能選對(duì)!（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）下列各題均有四個(gè)備選答案，其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)在答題卡上將對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑．1．（3分）下列品牌的標(biāo)識(shí)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：A．2．（3分）下列圖形中有穩(wěn)定性的是（）A．四邊形 B．三角形 C．五邊形 D．六邊形【解答】解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，可得四個(gè)選項(xiàng)中只有三角形具有穩(wěn)定性．故選：B．3．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．5，6，11 B．4，4，9 C．3，4，8 D．8，7，14【解答】解：A．∵5+6＝11，∴不能組成三角形，不符合題意；B．∵4+4＜9，∴不能組成三角形，不符合題意；C．∵3+4＜8，∴不能組成三角形，不符合題意；D．∵8+7＞14，∴能組成三角形，符合題意．故選：D．4．（3分）如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)是（）A．62° B．72° C．76° D．66°【解答】解：由三角形內(nèi)角和定理得，∠2＝180°﹣40°﹣64°＝76°，∵兩個(gè)三角形全等，∴∠1＝∠2＝76°，故選：C．5．（3分）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作5條對(duì)角線，則n的值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：設(shè)多邊形有n條邊，則n﹣3＝5，解得n＝8，故選：B．6．（3分）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線DE分別與邊AB，AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，若△ABC與△BCE的周長分別是36cm和22cm，則AD的長是（）A．7cm B．8cm C．10cm D．14cm【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，AD＝BD=12∵△EBC的周長是22cm，∴BC+BE+EC＝22cm，即AC+BC＝22cm，∵△ABC的周長是36cm，∴AB+AC+BC＝36cm，∴AB＝36﹣22＝14（cm），∴AD=12AB=12×14故選：A．7．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，則∠BAC的度數(shù)是（）A．20° B．40° C．60° D．80°【解答】解：∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠ADB＝2∠C，∵AB＝AD，∠C＝2∠BAD，∴∠ABD＝∠ADB＝4∠BAD，∵∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，∴4∠BAD+∠4∠BAD+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝20°，∴∠ABD＝80°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，故選：C．8．（3分）如圖，已知：∠MON＝30°，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1＝2，則△A5B5A6的邊長為（）A．32 B．24 C．16 D．8【解答】解：∵△A1B1A2為等邊三角形，∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝60°﹣30°＝30°，∴∠MON＝∠OB1A1，∴B1A1＝OA1＝2，∴△A1B1A2的邊長為2，同理得：∠OB2A2＝30°，∴OA2＝A2B2＝OA1+A1A2＝2+2＝4，∴△A2B2A3的邊長為4，同理可得：、△A3B3A4的邊長為：23＝8，△A4B4A5的邊長為：24＝16，則△A5B5A6的邊長為：25＝32，故選：A．9．（3分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，則∠DCE的度數(shù)為（）A．110° B．118° C．120° D．130°【解答】解：如圖所示：∵∠EAD＝∠BAC＝80°，∴∠1＝∠2，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠1=∠2∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠BAC＝80°，AB＝AC，∴∠BCA＝∠CBA＝50°，∴∠DCE＝∠4+∠BCA+∠ACE＝∠4+50°+∠ABD＝∠4+50°+∠3+∠ABC＝∠3+∠4+100°，又∵∠BDC＝160°，∴∠3+∠4＝180°﹣∠BDC＝20°，∴∠DCE＝20°+100°＝120°，故選：C．10．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，N分別是AC，BC上一點(diǎn)，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，則MN的長度可以是（）A．2 B．7 C．16 D．17【解答】解：如圖，作等邊△ABQ和等邊△MBP，連接QP，QM，在等邊△ABQ和等邊△MBP中，∠QBA＝∠PBM＝60°，∴∠QBP+∠QBM＝∠QBM+∠ABM＝60°，∴∠QBP＝∠ABM，又∵QB＝AB＝9，PB＝MB＝7，∴△QBP≌△ABM（SAS），∴∠BQP＝∠BAM，PQ＝AM，∵AM＝BN，在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°，∠ACB＝60°，∴∠MBC＝180°﹣60°﹣∠MAB﹣∠ABM＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，在△QBP中，∠QPB+∠BQP+∠QBP＝180°，∠MPB＝60°，∴∠MPQ＝180°﹣60°﹣∠BQP﹣∠QBP＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，∴∠MBN＝MPQ，在△QMP和△NMB中，PB=MB∠MBN=∠MPQ∴△QMP≌△NMB（SAS），∴MQ＝MN，在△QMB中，QB﹣MB＜QM＜QB+MB，∴AB﹣MB＜MN＜AB+MB，∴2＜MN＜16，∴選項(xiàng)B，MN＝7符合題意，故選：B．二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請(qǐng)將結(jié)論直接填寫在答題卷的指定位置．11．（3分）點(diǎn)P（2，﹣5）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，5）．【解答】解：點(diǎn)P（2，﹣5）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，5），故答案為：（2，5）．12．（3分）一個(gè)n邊形的每個(gè)外角都等于72°，則n＝5．【解答】解：∵n邊形的每個(gè)外角都相等，∴這個(gè)n邊形是正多邊形，∵多邊形的外角和為360°，∴多邊形的邊數(shù)為360°÷72°＝5．故答案為：5．13．（3分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得到△COD≌△C′O′D′的依據(jù)是SSS．【解答】解：由作法得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，所以△COD≌△C′O′D′（SSS）．故答案為SSS．14．（3分）等腰△ABC的一個(gè)外角是100°，則其頂角的度數(shù)為20°或80°．【解答】解：∵等腰△ABC的一個(gè)外角是100°，∴①當(dāng)頂角的外角是100°，∴頂角等于180°﹣100°＝80°，②當(dāng)?shù)捉堑耐饨鞘?00°，∴底角等于180°﹣100°＝80°，∴頂角等于180°﹣80°﹣80°＝20°，∴其頂角的度數(shù)為：20°或80°．故答案為：20°或80°．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，角平分線BD，CE交于點(diǎn)O，OF⊥AB于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四邊形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正確結(jié)論是①③④．【解答】解：如圖1，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE相交于點(diǎn)O，∴∠OBC＝∠OBA=12∠ABC，∠OCB＝∠OCA=1∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）＝∴∠EOB＝∠OBC+∠OCB＝60°，故①正確；如圖2，在BC上截取BM＝BE，連接OM，在△BOE和△BOM中，BE=BM∠OBE=∠OBM∴△BOE≌△BOM（SAS），∴OE＝OM，∠EOB＝∠BOM＝60°，∵∠COD＝∠EOB＝60°，∴∠COM＝180°﹣∠BOM﹣∠COD＝60°，∴∠COD＝∠COM，在△COD和△COM中，∠COD=∴△COD≌△COM{ASA），∴CD＝CM，∴BE+CD＝BC，故②錯(cuò)誤；如圖3，作OH⊥AC于點(diǎn)H，OG⊥BC于點(diǎn)G，連接OA，∵OF⊥AB于點(diǎn)F，∴∠AFO＝∠AHO＝90°，∠OFE＝∠OHD＝90°，∵OF＝OG，OH＝OG，∴OF＝OH，在Rt△AOF和Rt△AOH中，OA=OAOF=OH∴Rt△AOF≌Rt△AOH（HL），∴AF＝AH，∵∠EAC＝∠COD＝60°，∴∠EAC+∠ACE＝∠COD+∠ACE，∵∠OEF＝∠EAC+∠ACE，∠ODH＝∠COD+∠ACE，∴∠OEF＝∠ODH，在△OEF和△ODH中，∠OEF=∴△OEF≌△ODH（AAS），∴EF＝DH，∴AE+AD＝AE+AH+DH＝AE+AH+EF＝AF+AH＝2AF，故③正確；如圖2，∵△BOE≌△BOM，△COD≌△COM，∴S△BOE＝S△BOM，S△COD＝S△COM，∴S△BOE+S△COD＝S△BOM+S△COM，＝S△BOC，∴S四邊形BEDC＝S△BOC+S△BOE+S△COD+S△EDO＝2S△BOC+S△EDO，故④正確，故答案為：①③④．16．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．則∠ABD的度數(shù)為30°．【解答】解：作△BCD的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，OD，如圖，∵∠BCD＝150°，∴∠BOD＝60°．∵OB＝OD，∴△OBD為等邊三角形．∴∠OBD＝∠ODB＝60°，BD＝OB＝OD．在△OBA和△OCA中，OA=OAOB=OC∴△OBA≌△OCA（SSS）．∴∠BOA＝∠COA=12∠∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB=12∠∵∠BDC=12∠∴∠BOA＝∠COA＝∠ADB＝∠CDB．∵∠BOD＝∠BDO＝60°，∴∠BOD﹣∠BOA＝∠BDO﹣∠ADB．∴∠AOD＝∠ADO．∴AO＝AD．在△OBA和△DBA中，OB=BDBA=BA∴△OBA≌△DBA（SSS）．∴∠ABO＝∠ABD=12∠OBD＝故答案為：30．三、解下列各題（本大題共8小題，共72分）下列各題需要在答題卷的指定位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形．17．（8分）如圖，DE分別與△ABC的邊AB，AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，與BC的延長線交于點(diǎn)F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度數(shù)．【解答】解：∵∠B＝65°，∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，又∵∠AED＝42°，∴∠BDF＝∠A+∠AED＝45°+42°＝87°．18．（8分）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求證：AC∥DF．【解答】證明：∵BE＝CF（已知），∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∠A=∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC＝DF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．19．（8分）已知一個(gè)三角形的三條邊的長分別為：n+6；3n；n+2．（n為正整數(shù)）（1）若這個(gè)三角形是等腰三角形，求它的三邊的長；（2）若這個(gè)三角形的三條邊都不相等，且為正整數(shù)，直接寫出n的最大值為7．【解答】解：（1）①如果n+2＝3n，解得n＝1，三角形三邊的長為3，3，7，不符合三角形三邊關(guān)系；②如果n+6＝3n，解得n＝3，三角形三邊的長為5，9，9，符合三角形三邊關(guān)系．綜上所述，等腰三角形三邊的長為5，9，9；（2）n的最大值為7．由三角形三邊關(guān)系知，(n+2)+(n+6)＞解得43∵三角形的三條邊都不相等，∴3n≠n+6，∴n≠3，∴43＜n＜8∵n為正整數(shù)，∴n的最大值為7．故答案為：7．20．（8分）如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，請(qǐng)用無刻度直尺畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按要求完成下列問題：（1）如圖1，連接AC．①∠ACB＝30°；②在圖1中畫出以AC為邊的等邊三角形，且另一個(gè)頂點(diǎn)在六邊形的邊上；（2）已知，P為AF邊上一點(diǎn)，①如圖2，在AB邊上找一點(diǎn)Q，使得AQ＝AP；②如圖3，在CD邊上找一點(diǎn)H，使得PH⊥CD．【解答】解：（1）①∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠ACB＝∠BAC=12（180°﹣120°）＝故答案為：30；②如圖1中，△ACE即為所求；（2）①如圖2中，點(diǎn)Q即為所求；②如圖3中，線段PH即為所求．21．（8分）如圖，在等邊△ABC中，P為AB邊上的一點(diǎn)，線段BC與DC關(guān)于直線CP對(duì)稱，連接DA并延長交直線CP于點(diǎn)E．（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度數(shù)；（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的長．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，CB＝CA，∵∠ACE＝20°，∴∠ECB＝60°﹣20°＝40°，由翻折的性質(zhì)可知，CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝40°，∴CA＝CD，∠ACD＝40°﹣20°＝20°，∴∠CAD＝∠D＝80°，∵∠DAC＝∠CED+∠ACE，∴∠CED＝80°﹣20°＝60°．（2）過點(diǎn)C作CT⊥DE于T．設(shè)∠ECA＝α，則∠ECB＝∠ECD＝60°﹣α，∴∠ACD＝60°﹣2α，∵CA＝CD，∴∠CAD=12（180°﹣60°+2α）＝60°+∵∠DAC＝∠E+∠ACE，∴∠E＝60°+α﹣α＝60°，∵CT⊥AD，CA＝CD，∴AT＝DT，∴∠ECT＝30°，∴ET=12EC＝∴AT＝DT﹣AE＝2﹣1＝1，∴AD＝2AT＝2．22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【解答】（1）證明：∵ACB＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AD，∵∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形；（2）解：連接AP，BQ，∵△BCE是等邊三角形，∴∠BCE＝60°，∴∠ACE＝30°，∵△ACD是等邊三角形，∴CP垂直平分AD，∴DP＝AP，同理得EQ＝BQ，∴PD+PQ+QE＝AP+PQ+BQ，∴當(dāng)點(diǎn)P、Q落在AB上時(shí)，PD+PQ+QE的最小值為AB，∵∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∴PD+PQ+QE的最小值為4．23．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為BC邊上一點(diǎn)，E為射線AD上一點(diǎn)，連接BE、CE．（1）如圖1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求證：BD＝DE；（2）若∠CED＝45°．①如圖2，求證：BE⊥AE；②如圖3，若∠BED＝30°，E在A、D之間，且AE＝1，求BE的長．【解答】（1）證明：如圖1中，延長CE交AB于點(diǎn)J．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∵CE平分∠ACB，∴CJ⊥AB，AJ＝JB，∴EA＝EB，∵∠ADC＝60°，∴∠DAC＝90°﹣∠ADC＝30°，∴∠EAB＝∠EBA＝15°，∴∠EBD＝30°，∵∠EDC＝∠EBD+∠BED＝60°，∴∠EBD＝∠BED＝30°，∴DB＝DE；（2）①證明：如圖2中，過點(diǎn)C作CH⊥CE交AE于點(diǎn)H．∵∠AEC＝45°，∠ECH＝90°，∴∠CEH＝∠CHE＝45°，∴CE＝CH，∵∠ACB＝∠ECH＝90°，∴∠ACH＝∠BCE，在△ACH和△BCE中，CA=CB∠ACH=∠BCE∴△ACH≌△BCE（SAS），∴∠CAH＝∠CBE，∵∠ADC＝∠BDE，∴∠ACD＝∠BED＝90°；②解：如圖3中，過點(diǎn)C作CH⊥CE交AD的延長線于點(diǎn)H，連接BH．同法可證，△ACE≌△BCH（SAS），BH⊥AH，∴BH＝AE＝1，∵∠BHE＝90°，∠BEH＝30°，∴BE＝2BH＝2．24．（12分）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（0，b），將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°得到AC，連接BC．（1）若α＝90．①如圖1，b＝1，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；②如圖2，D為BC中點(diǎn)，連接O