2022-2023學(xué)年北師大版必修第一冊(cè) 1.1.1　第2課時(shí)　集合的表示 課件（39張）

第2課時(shí)集合的表示第一章課標(biāo)要求1.掌握集合的兩種表示方法:列舉法和描述法.2.了解空集的含義.3.會(huì)用區(qū)間表示集合.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

集合的表示方法1.列舉法列舉法是把集合中的元素

出來(lái)寫在花括號(hào)“{

}”內(nèi)表示集合的方法,一般可將集合表示為{a,b,c,…}.

元素與元素之間必須用“,”隔開(kāi)

2.描述法描述法是通過(guò)描述元素滿足的條件表示集合的方法.一般可將集合表示為{x及x的范圍|x滿足的條件},即在花括號(hào)內(nèi)先寫出集合中元素的一般符號(hào)及范圍,再畫一條豎線“|”,在豎線后寫出集合中元素所具有的共同特征.一一列舉

名師點(diǎn)睛1.用列舉法表示集合時(shí),必須注意以下幾點(diǎn):(1)集合的元素必須是明確的;(2)不必考慮元素出現(xiàn)的先后順序;(3)集合的元素不能重復(fù);(4)集合的元素可以表示任何事物;(5)對(duì)含有較多元素的集合,如果該集合的元素具有明顯的規(guī)律,可用列舉法表示,但是必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后,才能用省略號(hào)表示,如N+也可表示為{1,2,3,…,n,…}.2.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x”是集合中元素的一般符號(hào)的代表形式,簡(jiǎn)稱代表元素;“I”是x取值范圍的一般代表形式;“p(x)”(可以是符號(hào)表達(dá)式,也可以是文字表述形式)是集合中元素x的共同特征的一般代表形式.通常用于表示無(wú)限集,或容易歸納其特征的集合.3.用描述法表示集合時(shí),若需要多層次描述屬性時(shí),可選用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與“或”等聯(lián)結(jié).如集合{x|x<0或x≥3}.4.元素的取值范圍,從上下文關(guān)系來(lái)看,如果x∈R是明確的,則∈R可以省略不寫,如集合D={x∈R|x<9}可以表示為D={x|x<9}.5.若描述部分出現(xiàn)代表元素以外的字母時(shí),要對(duì)該字母說(shuō)明其含義或指出其取值范圍.如{x∈Z|x=2m}中m未被說(shuō)明,故該集合中元素是不確定的.6.所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號(hào)內(nèi),如{x∈Z|x=2m,m∈N+},此時(shí)m∈N+不能寫到花括號(hào)外.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1){0,1}與{(0,1)}表示相同的集合.(

)(2)用列舉法表示集合{x|x2-2x+1=0}為{1,1}.(

)(3){x|x>-1}與{t|t>-1}表示同一集合.(

)(4)集合{(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}是指第一象限內(nèi)的點(diǎn)集.(

)××√√2.下面四個(gè)集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.它們是不是相同的集合?它們各自的含義是什么?提示它們是互不相同的集合.①集合{x|y=x2+1}表示滿足y=x2+1的所有x值組成的集合,所以{x|y=x2+1}=R;②集合{y|y=x2+1}表示滿足y=x2+1的所有y值組成的集合,因?yàn)閥≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1};③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),表示的是滿足y=x2+1的數(shù)對(duì)(x,y)組成的集合,也可以認(rèn)為是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)(x,y),由于這些點(diǎn)的坐標(biāo)滿足y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P是拋物線y=x2+1上的點(diǎn)};④{y=x2+1}表示的是由y=x2+1這一元素組成的單元素集合.知識(shí)點(diǎn)2

集合的分類1.集合可以根據(jù)它含有的元素的個(gè)數(shù)分為兩類:含有

的集合叫作有限集,含有

的集合叫作無(wú)限集.

2.把不含有任何元素的集合叫作

,記作

.

名師點(diǎn)睛1.集合的分類是按照集合中元素是有限個(gè)還是無(wú)限個(gè)劃分的,不是按元素多少,一個(gè)集合中元素有很多,但是個(gè)數(shù)有限,也屬于有限集.2.空集中不含有任何元素,{0}不是空集,因?yàn)樗性?.有限個(gè)元素

無(wú)限個(gè)元素

空集

?過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)大于1的整數(shù)所構(gòu)成的集合可以用列舉法表示,屬于有限集.(

)(2)一元二次方程解的集合可以是空集.(

)×√2.空集是有限集還是無(wú)限集?提示空集可以看成包含0個(gè)元素的集合,所以空集是有限集.知識(shí)點(diǎn)3

區(qū)間及其表示1.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),且a<b,我們作出規(guī)定:

此條件不能省略

定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a,b]{x|a<x<b}開(kāi)區(qū)間(a,b){x|a≤x<b}

[a,b){x|a<x≤b}

(a,b]這里的實(shí)數(shù)a,b稱為區(qū)間的端點(diǎn).在數(shù)軸上表示區(qū)間時(shí),用實(shí)心點(diǎn)表示

區(qū)間的端點(diǎn),用空心點(diǎn)表示

區(qū)間的端點(diǎn).

半開(kāi)半閉區(qū)間

半開(kāi)半閉區(qū)間屬于不屬于2.實(shí)數(shù)集R也可用區(qū)間表示為(-∞,+∞),“∞”讀作“

”,“-∞”讀作“負(fù)無(wú)窮大”,“+∞”讀作“正無(wú)窮大”.還可把滿足x≥a,x>a,x≤b,x<b的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為如下情況:

“∞”處一定要用開(kāi)區(qū)間符號(hào)

定義符號(hào)數(shù)軸表示{x|x≥a}[a,+∞){x|x>a}(a,+∞){x|x≤b}(-∞,b]{x|x<b}(-∞,b)無(wú)窮大名師點(diǎn)睛1.區(qū)間左端點(diǎn)的值小于右端點(diǎn)的值.2.有完整的區(qū)間外圍記號(hào).3.區(qū)間符號(hào)中的兩個(gè)端點(diǎn)(字母或數(shù)字)之間只能用“,”隔開(kāi).過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)集合{1}可用區(qū)間[1,1]表示.(

)(2)區(qū)間可以表示空集.(

)(3)有的區(qū)間和集合可以互化.(

)××√2.用區(qū)間表示下列數(shù)集:(1){x|x≥1}=

;

(2){x|2<x≤3}=

;

(3){x|x≤-5}=

;

(4){x|-1≤x<2}=

.

答案

(1)[1,+∞)

(2)(2,3]

(3)(-∞,-5](4)[-1,2)重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一集合的表示角度1用列舉法表示集合【例1】

用列舉法表示下列集合:(1)方程x2-1=0的解組成的集合;(2)單詞“see”中的字母組成的集合;(3)所有正整數(shù)組成的集合;(4)直線y=x與y=2x-1的交點(diǎn)組成的集合.解(1)方程x2-1=0的解為x=-1,或x=1,所求集合用列舉法表示為{-1,1}.(2)單詞“see”中有兩個(gè)互不相同的字母,分別為“s”“e”,所求集合用列舉法表示為{s,e}.(3)正整數(shù)有1,2,3,…,所求集合用列舉法表示為{1,2,3,…}.規(guī)律方法

1.使用列舉法表示集合時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)在元素個(gè)數(shù)較少或元素間有明顯規(guī)律時(shí)可用列舉法表示集合;(2)“{}”表示“所有”的含義,不能省略,元素之間無(wú)順序,滿足無(wú)序性.2.用列舉法表示集合,要分清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集,還是其他集合.變式訓(xùn)練1用列舉法表示下列集合:故方程組的解集為{(2,1)}.(2)不大于10,即小于或等于10,非負(fù)是大于或等于0,故不大于10的非負(fù)奇數(shù)集為{1,3,5,7,9}.(3)由式子可知4-x的值為1,2,3,6,從而可以得到x的值為3,2,1,-2,所以A={-2,1,2,3}.角度2用描述法表示集合【例2】

用描述法表示下列集合:(1)函數(shù)y=-x的圖象上的點(diǎn)組成的集合;(2)數(shù)軸上離原點(diǎn)的距離大于3的點(diǎn)組成的集合;(3)不等式x-2<3的解組成的集合.解(1){(x,y)|y=-x}.(2)數(shù)軸上離原點(diǎn)的距離大于3的點(diǎn)組成的集合等于絕對(duì)值大于3的實(shí)數(shù)組成的集合,則集合用描述法表示為{x∈R||x|>3}.(3)不等式x-2<3的解是x<5,則不等式x-2<3的解組成的集合用描述法表示為{x|x<5}.規(guī)律方法

1.用描述法表示集合時(shí)應(yīng)弄清楚集合的屬性,即它是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型.一般地,數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素,點(diǎn)集用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)代表其元素.2.若描述部分出現(xiàn)代表元素以外的字母,則要說(shuō)明新字母含義或指出其取值范圍.變式訓(xùn)練2用描述法表示下列集合:(1)平面直角坐標(biāo)系中x軸上的點(diǎn)組成的集合;(2)拋物線y=x2-4上的點(diǎn)組成的集合;(3)使函數(shù)y=有意義的實(shí)數(shù)x組成的集合.解(1){(x,y)|x∈R,y=0};(2){(x,y)|y=x2-4};(3){x|x≠1}.學(xué)生乙:問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線y=x與拋物線y=x2的交點(diǎn),得到A={(0,0),(1,1)}.解學(xué)生甲正確,學(xué)生乙錯(cuò)誤.由于集合A的代表元素為x,這是一個(gè)數(shù)集,而不是點(diǎn)集.因此滿足條件的元素只能為x=0,1;而不是實(shí)數(shù)對(duì)變式探究若把例3中的集合改為A=,哪位同學(xué)解答正確?解代表元素是點(diǎn),所以這是點(diǎn)集,學(xué)生乙正確.探究點(diǎn)二集合表示方法的選擇與轉(zhuǎn)換【例4】

用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(2)1000以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)組成的集合;(3)所有的正方形組成的集合;(4)拋物線y=x2上的所有點(diǎn)組成的集合.(2)設(shè)集合的代表元素是x,則該集合用描述法可表示為{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.(3)用描述法表示為{x|x是正方形},或{正方形}.(4)用描述法表示為{(x,y)|y=x2}.規(guī)律方法

表示集合時(shí),應(yīng)先根據(jù)題意確定符合條件的元素,再根據(jù)元素情況選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒?值得注意的是,并不是每一個(gè)集合都可以用兩種方法表示出來(lái).變式訓(xùn)練3用另一種方法表示下列集合:(1){絕對(duì)值不大于2的整數(shù)};(2){能被3整除,且小于10的正數(shù)};(3){-3,-1,1,3,5}.解(1){-2,-1,0,1,2}.(2){3,6,9}.(3){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.探究點(diǎn)三已知集合中元素個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【例5】

若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一個(gè)元素,試求實(shí)數(shù)k的值,并用列舉法表示集合A.解當(dāng)k=0時(shí),原方程變?yōu)?8x+16=0,x=2.此時(shí)集合A={2},滿足題意.當(dāng)k≠0時(shí),要使關(guān)于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有兩個(gè)相等實(shí)根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此時(shí)方程的解為x1=x2=4,集合A={4},滿足題意.綜上所述,實(shí)數(shù)k的值為0或1.當(dāng)k=0時(shí),A={2};當(dāng)k=1時(shí),A={4}.規(guī)律方法

1.解答與描述法有關(guān)的問(wèn)題時(shí),明確集合中代表元素及其共同特征是解題的切入點(diǎn)及關(guān)鍵點(diǎn).2.本題因不能確定kx2-8x+16=0是否為一元二次方程,因而,需要分為k=0和k≠0兩種情況進(jìn)行討論,從而做到不重不漏.3.解答集合與含有參數(shù)的方程的綜合問(wèn)題時(shí),一般要求對(duì)方程中最高次項(xiàng)的系數(shù)的取值進(jìn)行分類討論,確定方程的根的情況,進(jìn)而求得結(jié)果.需特別關(guān)注判別式在討論一元二次方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)中的作用.變式探究1例5中,若集合A中含有2個(gè)元素,試求k的取值范圍.解得k<1,且k≠0.故k的取值范圍為{k|k<1,且k≠0}.變式探究2例5中,若集合A中至多有一個(gè)元素,試求k的取值范圍.解①當(dāng)集合A中含有1個(gè)元素時(shí),由例5知,k=0或k=1;②當(dāng)集合A中沒(méi)有元素時(shí),方程kx2-8x+16=0無(wú)解,綜上,實(shí)數(shù)k的取值范圍為{k|k=0,或k≥1}.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)用列舉法和描述法表示集合;(2)兩種表示法的綜合應(yīng)用;(3)區(qū)間.2.方法歸納:等價(jià)轉(zhuǎn)化.3.常見(jiàn)誤區(qū):點(diǎn)集與數(shù)集的區(qū)別.學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.已知集合A=,則下列關(guān)系式不成立的是(

)A.0∈A B.1.5?A

C.-1?A D.6∈A