2020版高中物理（新教材）人教必修第2冊(cè)：(學(xué)案)向心加速度

向心加速度【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解向心加速度的概念。2．知道向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系式。3．能夠運(yùn)用向心加速度公式求解有關(guān)問題。【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1．理解勻速圓周運(yùn)動(dòng)中加速度的產(chǎn)生原因，掌握向心加速度的確定方法和計(jì)算公式。2．向心加速度方向的確定過程和向心加速度公式的推導(dǎo)與應(yīng)用。【新知探究】要點(diǎn)一對(duì)向心加速度的理解1．加速度定義公式：a＝eq\f(Δv,Δt)，a的方向與Δv的方向一致。2．速度的變化量Δv＝是矢量式，其運(yùn)算規(guī)律符合平行四邊形定則。3．方向：總是沿著圓周運(yùn)動(dòng)的半徑指向圓心，即方向始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直。（1）勻速圓周運(yùn)動(dòng)雖然線速度的大小不變，但速度方向時(shí)刻改變，Δv就是由于速度方向的變化產(chǎn)生的。0時(shí)，Δv指向圓心，所以加速度指向圓心?！?時(shí)，Δv指向圓心，所以加速度指向圓心。4．物理意義：描述線速度方向改變的快慢。5．圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：不論加速度an的大小是否變化，an的方向是時(shí)刻改變的，所以圓周運(yùn)動(dòng)一定是變加速運(yùn)動(dòng)。要點(diǎn)二向心加速度的幾種表達(dá)式1．不同形式的各種表達(dá)式（1）對(duì)應(yīng)線速度：an＝eq\f(v2,r)（2）對(duì)應(yīng)角速度：an＝rω2（3）對(duì)應(yīng)周期：an＝eq\f(4π2,T2)r（4）對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速：an＝4π2n2r（5）推導(dǎo)公式：an＝ωv2．理解（1）當(dāng)半徑一定時(shí)，向心加速度的大小與角速度的平方成正比，也與線速度的平方成正比。隨頻率的增加或周期的減小而增大。（2）當(dāng)角速度一定時(shí)，向心加速度與運(yùn)動(dòng)半徑成正比。（3）當(dāng)線速度一定時(shí)，向心加速度與運(yùn)動(dòng)半徑成反比。an與r的關(guān)系圖像，如圖1所示。圖1由an—r圖像可以看出：an與r成正比還是反比，要看ω恒定還是v恒定。3．向心加速度公式也適用于非勻速圓周運(yùn)動(dòng)（1）向心加速度不一定是物體做圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)際加速度。①對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所受的合外力就是向心力，其只產(chǎn)生向心加速度，因而勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度是其實(shí)際加速度。②圖2而對(duì)于非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，例如豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，小球的合力不指向圓心，因而其實(shí)際加速度也不指向圓心，此時(shí)的向心加速度只是它的一個(gè)分加速度，還有切向加速度。向心加速度表達(dá)速度方向改變的快慢，切向加速度表達(dá)速度大小改變的快慢。（2）an＝eq\f(v2,r)＝rω2＝ωv，適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)和變速圓周運(yùn)動(dòng)，要注意的是變速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度和角速度都是變化的，利用向心加速度公式只能求某時(shí)刻的向心加速度。要求某一時(shí)刻的向心加速度，必須用該時(shí)刻的線速度或角速度代入進(jìn)行計(jì)算?！緦W(xué)習(xí)小結(jié)】1．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，其向心加速度的方向沿半徑指向圓心，方向時(shí)刻變化，勻速圓周運(yùn)動(dòng)為變加速曲線運(yùn)動(dòng)。2．向心加速度只改變做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度方向，而切向加速度改變做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度大小。3．向心加速度意義：描述速度方向變化的快慢的物理量。答疑解惑如何理解向心加速度的含義？分析：速度矢量的方向應(yīng)當(dāng)用它與空間某一確定方向（如坐標(biāo)軸）之間的夾角來描述。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度方向（圓周的切線方向）時(shí)刻在變化，在Δt時(shí)間內(nèi)速度方向變化的角度Δφ等于半徑在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度，如做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體在一個(gè)周期T內(nèi)半徑轉(zhuǎn)過2π弧度，速度方向變化的角度也是2π弧度。因此，確切描述速度方向變化快慢的，應(yīng)該是角速度。即ω＝eq\f(Δφ,Δt)＝eq\f(2π,T)上式表示了單位時(shí)間內(nèi)速度方向變化的角度，即速度方向變化的快慢。角速度相等，速度方向變化的快慢相同。由向心加速度公式an＝ω2r＝eq\f(v2,r)＝vω可知，向心加速度的大小除與角速度有關(guān)外，還與半徑或線速度的大小有關(guān)，從a＝vω看，向心加速度等于線速度與角速度的乘積。圖3例如：在繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤上，半徑不同的A、B、C三點(diǎn)，它們有相同的角速度ω，但線速度不同，，，，如圖3所示。因此它們的速度方向變化快慢是相同的，但向心加速度的大小卻不相等，。又如：A、B兩個(gè)物體分別沿半徑為和做圓周運(yùn)動(dòng)，＝eq\f(1,2)，它們的角速度不同，設(shè)，因此它們的線速度的關(guān)系為，顯然，這兩個(gè)物體有相同的向心加速度，即。但速度方向變化的快慢卻不同。綜上所述：向心加速度是由于速度方向變化而引起的速度矢量的變化率。速度方向變化是向心加速度存在的前提條件，但向心加速度的大小并不簡(jiǎn)單地表示速度方向變化的快慢，確切地說：當(dāng)半徑一定時(shí)，向心加速度的大小反映了速度方向變化的快慢，當(dāng)線速度一定時(shí)，向心加速度的大小正比于速度方向變化的快慢。典例剖析一、對(duì)向心加速度的理解例1關(guān)于向心加速度，下列說法正確的是（）A．向心加速度是描述線速度變化的物理量B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小C．向心加速度大小恒定，方向時(shí)刻改變D．向心加速度的大小也可用a＝eq\f(vt－v0,t)來計(jì)算解析加速度是描述速度變化快慢的物理量，向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量，因此A錯(cuò)，B對(duì)。只有勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小恒定，C錯(cuò)。公式a＝eq\f(vt－v0,t)適用于勻變速運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)是變加速運(yùn)動(dòng)，D錯(cuò)。答案B方法總結(jié)深刻理解向心加速度的物理意義是描述速度方向改變快慢的，方向始終指向圓心，所以它是變量。二、對(duì)向心加速度的表達(dá)式的理解例2如圖4所示圖4為質(zhì)點(diǎn)P、Q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)向心加速度隨半徑變化的圖線。表示質(zhì)點(diǎn)P的圖線是雙曲線，表示質(zhì)點(diǎn)Q的圖線是過原點(diǎn)的一條直線。由圖線可知（）A．質(zhì)點(diǎn)P的線速度大小不變B．質(zhì)點(diǎn)P的角速度大小不變C．質(zhì)點(diǎn)Q的角速度隨半徑變化D．質(zhì)點(diǎn)Q的線速度大小不變解析由an＝eq\f(v2,r)知：v一定時(shí)，an∝eq\f(1,r)，即an與r成反比，由an＝rω2知：ω一定時(shí)，an∝r。從圖像可知，質(zhì)點(diǎn)P的圖線是雙曲線，即a與r成反比，可得質(zhì)點(diǎn)P的線速度大小是不變的。同理可知：質(zhì)點(diǎn)Q的角速度是不變的。答案A方法總結(jié)由an＝eq\f(v2,r)＝ω2r分析，an究竟與半徑成正比還是成反比，要看清是v一定還是ω一定。三、傳動(dòng)裝置的向心加速度的計(jì)算例3如圖5所示，O、O1為兩個(gè)皮帶輪，O輪的半徑為r，O1輪的半徑為R，且R>r，M點(diǎn)為O輪邊緣上的一點(diǎn)，N點(diǎn)為O1輪上的任意一點(diǎn)，當(dāng)皮帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，（設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中不打滑）則（）圖5A．M點(diǎn)的向心加速度一定大于N點(diǎn)的向心加速度B．M點(diǎn)的向心加速度一定等于N點(diǎn)的向心加速度C．M點(diǎn)的向心加速度可能小于N點(diǎn)的向心加速度D．M點(diǎn)的向心加速度可能等于N點(diǎn)的向心加速度解析因?yàn)閮奢喌霓D(zhuǎn)動(dòng)是通過皮帶傳動(dòng)的，又因皮帶在傳動(dòng)過程中不打滑，故兩輪邊緣各點(diǎn)的線速度大小一定相等，在O1輪邊緣上任取一點(diǎn)Q，因?yàn)镽>r，所以由an＝eq\f(v2,r)可知，aQ<aM，再比較Q、N兩點(diǎn)的向心加速度大小，因?yàn)镼、N是在同一輪上的兩點(diǎn)，所以角速度ω相等，又因?yàn)镽Q>RN，則由an＝ω2r可知，aQ>aN，綜上可見，aM>aN。選項(xiàng)A正確。答案A方法總結(jié)分析傳動(dòng)問題關(guān)鍵有兩點(diǎn)：其一是同一輪上的各點(diǎn)角速度相同；其二是皮帶不打滑時(shí)，與皮帶接觸的各點(diǎn)線速度相同。再正確的選擇an＝ω2r或an＝v2/r，進(jìn)行求解。效果自測(cè)1．關(guān)于質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是（）A．由an＝eq\f(v2,r)知an與r成反比B．由an＝ω2r知an與r成正比C．由ω＝eq\f(v,r)知ω與r成反比D．由ω＝2πn知ω與轉(zhuǎn)速n成正比答案D解析由關(guān)系式y(tǒng)＝kx知，y與x成正比的前提條件是k為定值。只有當(dāng)v一定時(shí)，才有an與r成反比；只有當(dāng)ω一定時(shí)，才有an與r成正比。2．在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，下列物理量中不變的是（）A．角速度B．線速度C．向心加速度D．轉(zhuǎn)速答案AD解析線速度和向心加速度都是矢量，方向時(shí)刻改變，是變量，故只有AD正確。3．關(guān)于北京和廣州隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度，下列說法中正確的是（）A．它們的方向都是沿半徑指向地心B．它們的方向都在平行于赤道的平面內(nèi)指向地軸C．北京的向心加速度比廣州的向心加速度大D．北京的向心加速度比廣州的向心加速度小答案BD解析如圖所示，地球表面各點(diǎn)的向心加速度方向都在平行于赤道的平面內(nèi)指向地軸，選項(xiàng)B正確，A錯(cuò)誤；設(shè)地球半徑為R0，在地面上緯度為φ的P點(diǎn)，做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r＝R0cosφ，其向心加速度為an＝ω2r＝ω2R0cosφ。由于北京的地理緯度比廣州的大，cosφ小，兩地隨地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，因此北京隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度比廣州的小，選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。4．一物體以4m/s的線速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)周期為2s，則物體在運(yùn)動(dòng)過程中的任一時(shí)刻，速度變化率的大小為（）A．2m/s2 B．4m/s2 C．0 D答案D5．甲乙兩球均在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，甲球的軌道半徑是乙球軌道半徑的2倍，甲球的轉(zhuǎn)速是30r/min，乙球的轉(zhuǎn)速是15r/min，則兩小球的向心加速度之比為（）A．1∶1 B．2∶1 C．8∶1 答案C解析ω＝2πn，an＝ω2r，故eq\f(a甲,a乙)＝（eq\f(n甲,n乙)）2eq\f(r甲,r乙)＝8∶1，C項(xiàng)正確。6．如圖所示，壓路機(jī)前后輪半徑之比是1∶3，A、B分別是前后輪邊緣上的點(diǎn)，C為后輪上的一點(diǎn)，它到后輪軸心的距離是后輪半徑的一半。則當(dāng)壓路機(jī)運(yùn)動(dòng)后三點(diǎn)A、B、C的角速度之比為________，向心加速度之比為________。答案3∶1∶16∶2∶1解析壓路機(jī)在地面上行駛，不打滑時(shí)，兩輪邊緣的線速度大小相等，這里的地面好像是連接兩輪的皮帶。因壓路機(jī)前后輪在相等時(shí)間內(nèi)都滾過相同的距離，則前、后輪邊緣上的A、B線速度大小相等，而同一輪上的B、C點(diǎn)具有相同的角速度。根據(jù)vA＝vB，ωB＝ωC和v＝ωr可得ωA∶ωB＝eq\f(vA,rA)∶eq\f(vB,rB)＝eq\f(1,rA)∶eq\f(1,rB)＝3∶1所以ωA∶ωB∶ωC＝3∶1∶1根據(jù)an＝ω2r，可得aA＝ωeq\o\al(2,A)rA，aB＝ωeq\o\al(2,B)rB，aC＝ωeq\o\al(2,C)rC所以aA∶aB∶aC＝（3ωC）2rA∶（ωeq\o\al(2,C)·3rA）∶（ωeq\o\al(2,C)·eq\f(3,2)rA）＝9∶3∶eq\f(3,2)＝6∶2∶1．探究歸納題型①對(duì)向心加速度的認(rèn)識(shí)例1：關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是（）A．由an＝eq\f(v2,r)知，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度恒定B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小C．勻速圓周運(yùn)動(dòng)不屬于勻速運(yùn)動(dòng)D．向心加速度越大，物體速率變化越快答案BC解析向心加速度是矢量，且方向始終指向圓心，因此為變量，所以A錯(cuò)；由向心加速度的意義可知B對(duì)，D錯(cuò)；勻速運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)稱，勻速圓周運(yùn)動(dòng)其實(shí)是勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，屬于曲線運(yùn)動(dòng)，很顯然C正確。拓展探究下列關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度的說法正確的是（）A．向心加速度越大，物體速率變化越快B．向心加速度越大，物體速度變化越大C．向心加速度越大，物體速度方向變化越快D．在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度是恒量答案C歸納總結(jié)深刻理解向心加速度的物理意義及矢量性，是做對(duì)的前提。題型②向心加速度的表達(dá)式的應(yīng)用例2：如圖1所示，圖1一球體繞軸O1O2以角速度ω旋轉(zhuǎn)，A、B為球體上兩點(diǎn)，下列幾種說法中正確的是（）A．A、B兩點(diǎn)具有相同的角速度B．A、B兩點(diǎn)具有相同的線速度C．A、B兩點(diǎn)的向心加速度方向都指向球心D．A、B兩點(diǎn)的向心加速度數(shù)值相同答案A解析A、B為球體上兩點(diǎn)，因此，A、B兩點(diǎn)的角速度與球體繞軸O1O2旋轉(zhuǎn)的角速度相同，A對(duì)；如上圖所示，A以P為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，B以Q為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，因此，A、B兩點(diǎn)的向心加速度方向分別指向P、Q，C錯(cuò)；設(shè)球的半徑為R，則A運(yùn)動(dòng)的軌道半徑rA＝Rsin60°，B運(yùn)動(dòng)的軌道半徑rB＝Rsin30°，eq\f(vA,vB)＝eq\f(ωrA,ωrB)＝eq\f(sin60°,sin30°)＝eq\r(3)，B錯(cuò)；eq\f(aA,aB)＝eq\f(ω2rA,ω2rB)＝eq\r(3)，D錯(cuò)。拓展探究關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度，下列說法中正確的是（）A．由于an＝eq\f(v2,r)，所以線速度大的物體向心加速度大B．由于an＝eq\f(v2,r)，所以旋轉(zhuǎn)半徑大的物體向心加速度小C．由于an＝ω2r，所以角速度大的物體向心加速度大D．以上結(jié)論都不正確答案D歸納總結(jié)分析此類問題，要理解線速度、角速度、向心加速度的概念和定義式及v、ω、an、r之間的關(guān)系，并能正確選擇關(guān)系式。題型③傳動(dòng)裝置的向心加速度的計(jì)算例3：如圖2所示，圖2O1為皮帶傳動(dòng)的主動(dòng)輪的軸心，輪半徑為r1，O2為從動(dòng)輪的軸心，輪半徑為r2，r3為固定在從動(dòng)輪上的小輪半徑。已知r2＝2r1，r3＝1.5r1。A、B、C分別是三個(gè)輪邊緣上的點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)A、B、C的向心加速度之比是（假設(shè)皮帶不打滑）（）A．1∶2∶3 B．2∶4∶3C．8∶4∶3