拿破侖定理的推廣_第1頁
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文檔簡介

拿破侖定理推廣拿破侖是十九世紀初(1804—1814)的法國皇帝既是政治家和軍事家同時他還是一位頗有造詣的數學愛好者下面的定理就是他首先發(fā)現并論證的．拿破侖理若以任意角形的邊為一邊向外作等三角形，則它們的心構成一個邊三角．這一定理可以等價描述為以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為30°的等腰三角形，則它們的頂點構成一個等邊三角形．本文介紹拿破侖定理的兩種推廣：定理如圖1，以△ABC的三邊為底邊各向形外作等腰三角形，CAE和ABF三個等腰三角形的底角各為α和γ+β+γ＝90°，則∠FDE＝°-α，∠DEF＝90°-β，∠EFD＝90°-γ．證明為方便計，把△ABC的三內角簡記為A、、C．因DC＝DB，則可將△DCE繞D點旋轉∠BDC至△DBG位置，連FG．∵∠FBG＝360°-∠DBF-∠DBG＝360°-(α+β+γ)-(α+C+β)＝180°°-2(α+β+γ)+β+γ＝A+β+γ＝∠FAE．又BG＝＝AE，FB＝FA，

∴△FBG≌△FAE，FG＝FE．從而△DGF≌△DEF，∠FDG＝∠FDE，同理∠DEF＝90°-β，∠EFD＝90°-γ．定理2．如2，在ABC的外側作三角形△BCP、CAQ和△ABR，使∠PBC＝∠QAC＝α，∠PCB＝∠QCA＝β，∠RAB＝∠RBA＝γ，且α+β+γ＝90°，則RQ＝RP，且∠QRP＝2α．證明RB繞R逆時針旋轉2α至RG，連BG、AG、QG．∵∠GBA＝∠GBR-γ＝90°-α-γ＝β又RA＝＝RG，即R為△的外心，∴△ABG∽△ACQ∽△BCP，又∠BAC＝∠GAQ，

又∠RGQAGQ+∠AGR＝∠ABC+α+γ＝∠RBP，∴∠RGQ≌△RBP．∴RQ＝RP．又因∠GRQ＝∠BRP，∴∠QRP＝∠GRB＝2α．值得注意的是，兩個定理的證明中綜合了不少的基礎知識和基本方法，學習這些定理的證明，對提高證題能力是很有益的．在第十七IMO競賽中，有一道賽題如下：在△ABC的外側作三角形△BCD、△CAQ和△ABR，使∠PBC＝∠QAC＝45°，∠PCB＝∠QCA＝30°，∠RAB＝∠RB

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