習題：空間向量及其加減運算

空間向量及其加減運算時間：45分鐘分值：100分一、選擇題(每小題6分，共36分)1．已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))為()\o(AD,\s\up6(→))\o(BD,\s\up6(→))\o(AC,\s\up6(→))D．0解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).答案：A圖12．點D是空間四邊形OABC的邊BC的中點，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AD,\s\up6(→))為()\f(1,2)(a＋b)－c\f(1,2)(c＋a)－b\f(1,2)(b＋c)－aD．a(chǎn)＋eq\f(1,2)(b＋c)解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋eq\f(1,2)(b＋c)．答案：C圖23．已知P是正六邊形ABCDEF外一點，O為ABCDEF的中心，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(PF,\s\up6(→))等于()\o(PO,\s\up6(→))B．3eq\o(PO,\s\up6(→))C．6eq\o(PO,\s\up6(→))D．0解析：eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(PF,\s\up6(→))＝6eq\o(PO,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)))＝6eq\o(PO,\s\up6(→)).答案：C4．設(shè)a表示向東3m，b表示向北4m，c表示向上5m，則()A．a(chǎn)－b＋c表示向東3m，向南4m，向上5mB．a(chǎn)＋b－c表示向東3m，向北4m，向上5mC．2a－b＋c表示向東3m，向南4m，向上5mD．2(a＋b＋c)表示向東6m，向北8m，向上5m答案：A5．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c答案：A6．空間四邊形ABCD中，若E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的中點，則下列各式中成立的是()\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝0\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＝0\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝0\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝0圖3解析：如圖3，∵eq\o(GE,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(GH,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＝0.答案：B二、填空題(每小題8分，共24分)圖47．如圖4，a、b是兩個空間向量，則eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(A′C′,\s\up6(→))是________向量，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(B′A′,\s\up6(→))是________向量．答案：相等相反8．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，給出以下向量表達式：①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).其中能夠化簡為向量eq\o(BD1,\s\up6(→))的是________．解析：①中(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；②中(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；③中(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；④中(eq\o(B1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))，所以①②正確．答案：①②圖59．已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，則下列四式中：①eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；②eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))；③eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(CC′,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).正確式子的序號是________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，①正確；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))，②正確；③正確；(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，故④錯誤．圖6答案：①②③三、解答題(共40分)10．(10分)如圖6所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，化簡式子：eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(B1C,\s\up6(→))－eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1B,\s\up6(→))，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量．圖7解：eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(B1C,\s\up6(→))－eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))，如圖7.圖811．(15分)已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，以圖中一對頂點構(gòu)造向量，使它們分別等于：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(A′D′,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→)).(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＝eq\o(DB′,\s\up6(→)).12．(15分)已知長方體ABCD－A′B′C′D′，點E、F分別是上底面A′B′C′D′和面CC′D′D的中心，求下列各題中x、y、z的值：(1)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＋zeq\o(CC′,\s\up6(→))；(2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＋zeq\o(CC′,\s\up6(→))；(3)eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＋zeq\o(CC′,\s\up6(→)).解：(1)∵eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))，又由題知eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＋zeq\o(CC′,\s\up6(→))，∴x＝1，y＝1，z＝1.(2)∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,