函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)何小靈

《函數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二中學(xué)何小靈一、教材內(nèi)容分析“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念。函數(shù)貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的主題內(nèi)容。學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念。初中函數(shù)的概念是：一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。如果當(dāng)x二a時(shí)y=b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值。這個(gè)定義把函數(shù)看成是兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系。根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)，有些函數(shù)很難進(jìn)行深入研究。例如y=l，對于這個(gè)函數(shù)，如果用變量觀點(diǎn)來解釋，會顯得特別勉強(qiáng)。但用高中集合、對應(yīng)的觀點(diǎn)來解釋就十分自然。在高一，學(xué)生需要建立的函數(shù)概念是：設(shè)A,B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系/，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:AfB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),xeA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)IxeA｝叫做函數(shù)的值域。實(shí)際上，初中的函數(shù)概念和高中的函數(shù)概念本質(zhì)上是一樣的。只是高中的函數(shù)概念更具有一般性，高中用集合、對應(yīng)的語言描述函數(shù)概念，在初中雖然沒有提及，但事實(shí)上是客觀存在的，學(xué)生在解決具體問題的過程中也滲透了集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)。不同之處在于初中沒有明確強(qiáng)調(diào)“確定的對應(yīng)關(guān)系”，或者所接觸的函數(shù)多數(shù)是有解析式的，而高中引入了用“f”表示對應(yīng)關(guān)系，用f(x)表示集合B中與x對應(yīng)的那個(gè)數(shù)。在函數(shù)的概念教學(xué)中，我認(rèn)為需要注意以下幾點(diǎn)：1、集合A和集合B都必須是非空的數(shù)集，這與映射是不同的。2、兩個(gè)數(shù)集之間有確定的對應(yīng)關(guān)系f，即對于數(shù)集A中的每一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的y和它相對應(yīng)。對于集合A中的數(shù)，不能有些在B中有元素跟它對應(yīng)，而有些沒有；而且，在集合B中只能有一個(gè)數(shù)跟它對應(yīng)，不能是兩個(gè)或兩個(gè)以上。3、函數(shù)概念中集合A和集合B以及對應(yīng)法則f是一個(gè)整體。基于以上認(rèn)識我認(rèn)為本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)是：通過概括具體實(shí)例的共同屬性得出用集合與對應(yīng)的語言刻畫的函數(shù)概念。二、教學(xué)目標(biāo)分析1、學(xué)生能通過觀察、辨析具體實(shí)例的共同屬性，逐步抽象出用集合的語言刻畫的函數(shù)的概念；2、函數(shù)的概念及函數(shù)的三要素；3、學(xué)生能求出一些簡單函數(shù)的定義域及具體的函數(shù)值；4、通過從實(shí)例中抽象概括函數(shù)概念的過程，提高抽象概括能力。三、學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了用變量觀點(diǎn)描述的函數(shù)的概念，并具體研究了幾類簡單初等函數(shù)，對函數(shù)有了一定的感性認(rèn)識。另一方面在第一章已經(jīng)學(xué)習(xí)了集合，為學(xué)習(xí)用集合和對應(yīng)的語言描述的函數(shù)的概念打下基礎(chǔ)。初中函數(shù)的概念比較直觀。本節(jié)課函數(shù)的概念較為抽象，高一學(xué)生的思維水平還不善于把抽象概念和具體實(shí)例聯(lián)系起來，因此在教學(xué)中需要在學(xué)生頭腦中建構(gòu)情景幫助學(xué)生理解函數(shù)是從集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系，它是一個(gè)整體。四、教學(xué)策略分析問題式教學(xué)法（問題情境、啟發(fā)引導(dǎo)、合作交流、歸納抽象）本節(jié)課從集合與對應(yīng)的角度揭示函數(shù)的本質(zhì)。根據(jù)學(xué)生的心理特征和認(rèn)知規(guī)律，我結(jié)合以問題為主線，以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)的教學(xué)理念，采用一系列的設(shè)問、引導(dǎo)、啟發(fā)、發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生歸納概括出函數(shù)概念的本質(zhì)，并靈活應(yīng)用多媒體和黑板來呈現(xiàn)、展示、交流，并以此來突破本節(jié)課的難點(diǎn)：符號yf（x）的意義以及值域與集合B的關(guān)系。五、教學(xué)過程分析（1）引入問題我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)，就函數(shù)這個(gè)內(nèi)容，你還有哪些印象呢？問題1：根據(jù)初中學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念，你能舉出幾個(gè)函數(shù)的具體例子嗎？（請2名同學(xué)說出他們舉的例子）在學(xué)生回答基礎(chǔ)上追問：你憑什么認(rèn)為你舉的是一個(gè)函數(shù)的例子？設(shè)計(jì)意圖：通過具體實(shí)例，激活學(xué)生的原有知識，形成學(xué)生的“再創(chuàng)造”欲望。了解學(xué)生在初中對函數(shù)概念的認(rèn)知程度，讓學(xué)生感受函數(shù)概念的本質(zhì)，即對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)。以此問題來刺激學(xué)生大腦，活躍課堂，并培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。3頁教師舉例（課本15頁）（2）創(chuàng)設(shè)情境，形成概念實(shí)例分析1、一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo)，炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時(shí)間t（單位：s）變化的規(guī)律是h=1301-5t2，那么炮彈距離地面的高度h是時(shí)間t的函數(shù)嗎？為什么？學(xué)生：對于任一個(gè)給定的時(shí)間t，都有唯一確定的高度h跟它相對應(yīng)，因此h是t的函數(shù)。教師：好，那我給你一個(gè)具體的時(shí)間，你怎么得到與之相對應(yīng)的高度？學(xué)生：通過h=1301-5t2。教師：那你能說出t=1s,10s,100s時(shí)對應(yīng)的高度h嗎？學(xué)生：t=1s時(shí)h=125m,t=10s時(shí)h=800m，由于炮彈在26s時(shí)已經(jīng)落到地面爆炸了，因此在t=100s時(shí)沒有高度跟它對應(yīng)了。教師：那你還能說任給一個(gè)時(shí)間t，都有唯一確定的高度h與之對應(yīng)嗎？學(xué)生：對于0s?26s之間的每一個(gè)時(shí)間t，通過h=1301-5t2，都有唯一確定的高度h跟它相對應(yīng)。教師：0s?26s是我們生活中的語言，其實(shí)我們可以用集合表示這個(gè)范圍，你能說出這個(gè)集合嗎？學(xué)生：A=610<t<26）教師：那么高度h也應(yīng)該有一個(gè)范圍，你能用集合表示嗎？學(xué)生：B={h10<h<845）教師：那我們可以用集合的語言重新表述這個(gè)實(shí)例中的對應(yīng)關(guān)系，誰來說一說。在學(xué)生描述的基礎(chǔ)上教師規(guī)范解答：對于集合A中的每一個(gè)時(shí)間，集合B中都有它的130倍減去它平方的5倍與它對應(yīng)。教師：那么用集合的語言表述的這個(gè)實(shí)例中對應(yīng)關(guān)系和你剛才判斷炮彈距離地面的高度h是時(shí)間t的函數(shù)所用的表述方式有什么不同嗎？那么它們的對應(yīng)關(guān)系變了嗎？設(shè)計(jì)意圖：本例題具有承上啟下的作用：既是對初中已學(xué)的函數(shù)概念的進(jìn)一步深入，又是為下一步用集合的語言刻畫函數(shù)概念的本質(zhì)做好伏筆。止匕外，本例題符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，化抽象為直觀，學(xué)生容易理解。實(shí)例分析2、近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題。下圖顯示了南極上空臭氧層空洞面積從1979~2001年的變化情況。那么臭氧層空洞面積s是時(shí)間t的函數(shù)嗎？為什么？南極臭軻層空洞的面積5南極臭軻層空洞的面積5一/S學(xué)生：面積s是時(shí)間t的函數(shù)，因?yàn)閷τ诿恳粋€(gè)確定的t值，都有唯一確定的一個(gè)面積s跟它對應(yīng)。教師：好，那我給你一個(gè)具體的時(shí)間t，你怎么得到與之相對應(yīng)的面積?學(xué)生：根據(jù)圖像。教師：那你能說出1991對應(yīng)的面積嗎？學(xué)生：20。教師：前面實(shí)例中的對應(yīng)關(guān)系是用解析式表示的，那這個(gè)實(shí)例中的對應(yīng)關(guān)系也得用一個(gè)解析式表示嗎？學(xué)生：不用。教師：那我們?nèi)绾斡涗涍@個(gè)對應(yīng)關(guān)系呢？由學(xué)生思考，教師啟發(fā)得出用圖像記錄這個(gè)對應(yīng)關(guān)系。教師：好，那是不是對任何一個(gè)時(shí)間，通過圖像，都有面積跟它對應(yīng)呢？學(xué)生：不是，對于1979?2001之間的每一個(gè)時(shí)間，都有唯一的面積跟它相對應(yīng)。教師：那好，咱們用集合來表示這個(gè)范圍。學(xué)生：A=^t11979<t<20011。教師：同樣的，那面積S也有一個(gè)范圍，怎么用集合表示？學(xué)生：B={yI0<s<26}教師：你能用集合的語言重新表述一下這個(gè)對應(yīng)關(guān)系嗎？學(xué)生討論、交流。教師：那用集合的語言表述的這個(gè)實(shí)例的對應(yīng)關(guān)系和你剛才判斷臭氧層空洞面積s是時(shí)間t的函數(shù)所用的表述方式有何不同呢？那么時(shí)間t到面積s的對應(yīng)關(guān)系變化了嗎？學(xué)生思考，交流意見。

教師：那么集合B可以是B=（>10<sV3。｝嗎？學(xué)生：可以。教師：那集合B可以是hI0<s<24｝嗎？為什么？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生參與課堂，體驗(yàn)圖像是一種記錄兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系的語言，進(jìn)一步提高學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題的能力。實(shí)例分析3、國際上常用恩格爾系數(shù)（恩格爾系數(shù)實(shí)例分析3、國際上常用恩格爾系數(shù)（恩格爾系數(shù)=食物支出金額

總支出金額）反映一個(gè)國家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高。下表給出“八五”計(jì)劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況。那么恩格爾系數(shù)是時(shí)間的函數(shù)嗎？你能仿照前面的兩個(gè)實(shí)例來描述恩格爾系數(shù)和時(shí)間（年）的關(guān)系嗎？時(shí)間（年）19911992199319941995199619971998199920002001恩格爾系數(shù)（%）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9活動：同桌兩人為一組，交流討論（用時(shí)大約2分鐘），從中選一名代表來描述恩格爾系數(shù)和時(shí)間（年）的關(guān)系。教師：那你能說出1999對應(yīng)的恩格爾系數(shù)嗎？學(xué)生：41.9。教師：那么這個(gè)對應(yīng)關(guān)系得用一個(gè)解析式來表示嗎?學(xué)生：不用。教師：那我們該如何記錄這個(gè)對應(yīng)關(guān)系呢？經(jīng)過學(xué)生思考、提出意見后統(tǒng)一認(rèn)識：用表格記錄這個(gè)對應(yīng)關(guān)系。設(shè)計(jì)意圖：本例題從生活中的經(jīng)濟(jì)問題出發(fā)，通過學(xué)生思考、探索，進(jìn)一步認(rèn)識到對應(yīng)關(guān)系也可以用表格來記錄。問題3：分析這三個(gè)實(shí)例，它們有哪些共同屬性呢？誰來說說。設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般，歸納得出三個(gè)案例的共同屬性：對集合A的每一個(gè)數(shù)X，在集合B中都有唯一確定的一個(gè)數(shù)j與它對應(yīng)，即集合A到集合B有一種對應(yīng)。比較三個(gè)案例，體會用解析式、圖像、表格刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生感受從本質(zhì)上本節(jié)課學(xué)習(xí)的函數(shù)概念和初中函數(shù)的概念是一致的，但初中是用兩個(gè)變量間的依賴關(guān)系描述函數(shù)，而高中是用兩個(gè)集合元素之間的對應(yīng)關(guān)系來描述函數(shù)概念，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。這樣做，不僅符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且符合“先過程后對象”的認(rèn)知順序。教師：我們學(xué)習(xí)過很多的數(shù)學(xué)概念，當(dāng)我們認(rèn)識到概念的本質(zhì)屬性以后，我們并沒有停止，這些數(shù)學(xué)概念往往都沉淀成一個(gè)數(shù)學(xué)符號。就如某個(gè)銳角的正弦，我們發(fā)現(xiàn)不管在那個(gè)直角三角形中，只要這個(gè)角的大小一定，那么這個(gè)角的對邊比斜邊都不變，我們把這個(gè)定值稱為這個(gè)銳角的正弦，但是我們并沒有因此停下來，我們用sinA來表示這個(gè)角的正弦。那我們只要看到sinA，就知道它表示直角三角形中這個(gè)銳角的對邊比斜邊。那么這三個(gè)實(shí)例的共同屬性是不是也可以用一個(gè)符號來表示？老師總結(jié)板書：f：A~^BxfJ=f(x)設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)中的概念通常是用符號來表示的。學(xué)生總結(jié)三個(gè)實(shí)例的共同屬性，能夠認(rèn)識到函數(shù)的本質(zhì)，這時(shí)及時(shí)地引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生把符號和它所代表的實(shí)質(zhì)內(nèi)容聯(lián)系起來，使學(xué)生在看到符號時(shí)就能夠聯(lián)想起符號所代表的本質(zhì)特征，從而可以提高學(xué)生的抽象能力、概括能力。建立函數(shù)概念:

設(shè)AB是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:AfB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),xeA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合if(x)IxeA｝叫做函數(shù)的值域。(3)質(zhì)疑解惑，剖析概念問題5：那么我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念中，有哪些關(guān)鍵詞呢？再次回到三個(gè)實(shí)例中，分別要求學(xué)生說出實(shí)例中的具體函數(shù)值。設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生指出概念中的關(guān)鍵詞，說出三個(gè)案例的具體函數(shù)值，從抽象到具體，從一般到特殊，挖掘背后的思維過程，暴露學(xué)生對函數(shù)概念的本質(zhì)的理解情況。思考辨析：下列哪些y是x的函數(shù)，為什么？(1)y=v'x-2+<1-x；(4)(2)y=l(xeR)(4)(3)⑸某位學(xué)生的幾次考試成績情況如下:序號數(shù)x123456成績y909390缺考9892可以使概念的關(guān)鍵屬性變得清晰，使實(shí)例成為理解概念的一種思維載體。設(shè)計(jì)意圖：對函數(shù)概念正例與反例的辨析，通過學(xué)生比較、分析、概括，(4)討論研究，示范鞏固：例1、已知函知(x)=\；x+3+^_x+2(1)求函數(shù)的定義域；(2)求f(-3),f(-)的值；(3)當(dāng)a〉0時(shí)，求/(a),f(a-1)的值。分析：函數(shù)的定義域通常由問題的實(shí)際背景確定，如前所述的三個(gè)實(shí)例。如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合。解：(1)使根式%：x工3有意義的實(shí)數(shù)x的集合是{xIx>-3}使分式，有意義的實(shí)數(shù)x的集合是％Ixw-2}x+2所以，函數(shù)的定義域就是{xIx>-3}{xIxw-2}={xIx>-3,且xw-2}(2)f(-3)=v--3+3+—L-=-1;-3+2〃2、1f(-)=,.-+3+-——3 、13 2c3 13 -+23⑶因?yàn)閍