新高考數(shù)學(xué)專題38 數(shù)列中的通項公式（教師版）

專題38數(shù)列中的通項公式一、題型選講題型一、由的關(guān)系求通項公式例1、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）已知數(shù)列的前項和滿足，且.求數(shù)列的通項公式；【解析】因為,,所以,,兩式相減得,整理得,即,,所以為常數(shù)列,所以,所以例2、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）已知等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列，且；等差數(shù)列的前n項和.求：（1）；【解析】設(shè)的公比為q.因為成等差數(shù)列，所以，即.因為，所以.因為，所以.因此.由題意，.所以，，從而.所以的公差.所以.例3、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知數(shù)列的前項和為，且，.求數(shù)列的通項公式；【解析】當(dāng)時，，整理得，，解得；當(dāng)時，①，可得②，①－②得，即，化簡得，因為，，所以，從而是以為首項，公差為的等差數(shù)列，所以；題型二、由的遞推關(guān)系求通項公式例3、【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項公式.【解析】（1）由題設(shè)得，即．又因為a1+b1=l，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列．由題設(shè)得，即．又因為a1–b1=l，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．（2）由（1）知，，．所以，．例4、（2020屆山東省德州市高三上期末）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，對自然數(shù)，規(guī)定為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中.若，且，則數(shù)列的通項公式為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題中定義可得，即，即，等式兩邊同時除以，得，且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，因此，.故選：B.例5、【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．已知．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中．（i）求數(shù)列的通項公式；【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．依題意得解得故．所以，的通項公式為的通項公式為．（2）（i）．所以，數(shù)列的通項公式為．題型三、新定義題型中通項公式的求法例6、【2020年高考江蘇】已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ～k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式；【解析】（1）因為等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，則，即，也即，此式對一切正整數(shù)n均成立．若，則恒成立，故，而，這與是等差數(shù)列矛盾．所以．（此時，任意首項為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列）（2）因為數(shù)列是“”數(shù)列，所以，即．因為，所以，則．令，則，即．解得，即，也即，所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列．因為，所以．則例7、【2019年高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項、第i2項、…、第im項（i1<i2<…<im），若，則稱新數(shù)列為{an}的長度為m的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項都是{an}的長度為1的遞增子列．（1）寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個長度為4的遞增子列；（2）已知數(shù)列{an}的長度為p的遞增子列的末項的最小值為，長度為q的遞增子列的末項的最小值為．若p<q，求證：<；（3）設(shè)無窮數(shù)列{an}的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等．若{an}的長度為s的遞增子列末項的最小值為2s–1，且長度為s末項為2s–1的遞增子列恰有2s-1個（s=1，2，…），求數(shù)列{an}的通項公式．【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一）（2）設(shè)長度為q末項為的一個遞增子列為.由p<q，得.因為的長度為p的遞增子列末項的最小值為，又是的長度為p的遞增子列，所以.所以·（3）由題設(shè)知，所有正奇數(shù)都是中的項.先證明：若2m是中的項，則2m必排在2m?1之前（m為正整數(shù)）.假設(shè)2m排在2m?1之后.設(shè)是數(shù)列的長度為m末項為2m?1的遞增子列，則是數(shù)列的長度為m+1末項為2m的遞增子列.與已知矛盾.再證明：所有正偶數(shù)都是中的項.假設(shè)存在正偶數(shù)不是中的項，設(shè)不在中的最小的正偶數(shù)為2m.因為2k排在2k?1之前（k=1，2，…，m?1），所以2k和不可能在的同一個遞增子列中.又中不超過2m+1的數(shù)為1，2，…，2m?2，2m?1，2m+1，所以的長度為m+1且末項為2m+1的遞增子列個數(shù)至多為.與已知矛盾.最后證明：2m排在2m?3之后（m≥2為整數(shù)）.假設(shè)存在2m（m≥2），使得2m排在2m?3之前，則的長度為m+1且末項為2m+l的遞增子列的個數(shù)小于.與已知矛盾.綜上，數(shù)列只可能為2，1，4，3，…，2m?3，2m，2m?1，….經(jīng)驗證，數(shù)列2，1，4，3，…，2m?3，2m，2m?1，…符合條件.所以二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020屆浙江省溫州市高三4月二模）已知數(shù)列滿足：)若正整數(shù)使得成立，則（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【解析】當(dāng)時，，即，且.故，，故.故選：.2、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，在正項等比數(shù)列中，．求和的通項公式；【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，==，所以．所以，于是，解得或（舍）所以=．3、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知數(shù)列滿足：.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項；【解析】證明：因為，所以．因為所以所以．又，所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以．4、（2020·山東省淄博實驗中學(xué)高三上期末）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，對任意，它的前項和滿足，并且，，成等比數(shù)列.求數(shù)列的通項公式；【解析】對任意，有，①當(dāng)時，有，解得或.當(dāng)時，有.②①-②并整理得.而數(shù)列的各項均為正數(shù)，.當(dāng)時，，此時成立；當(dāng)時，，此時，不成立，舍去.，.5、（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）設(shè)等差數(shù)列前項和為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為．由已知得，解得．于是．（2）當(dāng)時，．當(dāng)時，，當(dāng)時上式也成立．于是．故．6、（2020·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，（，且）求數(shù)列的通項公式；【解析】由，得，即，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，也滿足上式，所以；7、【2019年高考浙江卷】設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足：對每個成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得，解得．從而．所以，由成等比數(shù)列得．解得．所以．8、【2019年高考江蘇卷】定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前