控制工程基礎(chǔ)-第三章控制系統(tǒng)分析方法

控制系統(tǒng)的分析第一步建立模型第二步分析控制性能

性系統(tǒng)的時(shí)域分析線性系統(tǒng)的時(shí)域分析時(shí)域分析性能高階系統(tǒng)的時(shí)域分實(shí)驗(yàn)方第三章時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)分分析控制系統(tǒng)的第一步是建立模型，數(shù)學(xué)模型一旦建立，第二步分析控制性實(shí)際上，控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)常常是不知的，而是隨機(jī)的。很難用解析的方法表示。只有在一些特殊的情況下是預(yù)先知道的，可以用解析的方法或者曲線表示。例如，切削機(jī)床的自動(dòng)控制的例子。在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，對(duì)各種控制系統(tǒng)性能得有評(píng)判、比較的依據(jù)。這個(gè)依據(jù)也以通過(guò)對(duì)這些系統(tǒng)加上各種輸入信號(hào)，比較它們對(duì)特定的輸入信號(hào)的響應(yīng)來(lái)建立。許多設(shè)計(jì)準(zhǔn)則就建立在這些信號(hào)的基礎(chǔ)上，或者建立在系統(tǒng)對(duì)初始條件變（無(wú)任何試驗(yàn)信號(hào)）的基礎(chǔ)上，因?yàn)橄到y(tǒng)對(duì)典型試驗(yàn)信號(hào)的響應(yīng)特性，與系統(tǒng)對(duì)實(shí)際輸入信號(hào)的響應(yīng)特性之間，存在著一定的關(guān)系；所以采用試驗(yàn)信號(hào)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能是合理的。瞬時(shí)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)TransientResponse&Steady_state在典型輸入信號(hào)作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)1瞬態(tài)響應(yīng)指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。由于實(shí)際控制系統(tǒng)具2穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是指t趨近于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)，表征系統(tǒng)輸出量最絕對(duì)穩(wěn)定性，相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤AbsoluteStabilityRelativeStability,Steady_stateError在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，我們能夠根據(jù)元件的性能，估算出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性?？刂葡到y(tǒng)動(dòng)態(tài)特性中，最重要的是絕對(duì)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還是不穩(wěn)定的。如果控制系統(tǒng)沒(méi)有受到任何擾動(dòng)，或輸入信號(hào)的作用，系統(tǒng)的輸出量保持在某一狀態(tài)上，控制系統(tǒng)便處于平衡狀態(tài)。如果線性定?？刂葡到y(tǒng)受到擾動(dòng)量的作用后，輸出量最終又返回到它的平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果線性定?？刂葡到y(tǒng)受到擾動(dòng)量作用后，輸出量顯現(xiàn)為持續(xù)的振蕩過(guò)程或輸出量地偏離其平衡狀態(tài)，那么系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。

穩(wěn)態(tài)特性：穩(wěn)態(tài)誤差是系3.1.1典型試驗(yàn)信Typicaltest實(shí)際系統(tǒng)的輸入信號(hào)不可知典型試驗(yàn)信號(hào)的響應(yīng)與系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)，存在某種關(guān)電壓試驗(yàn)信號(hào)是時(shí)間的簡(jiǎn)單函數(shù)，便于分析（單位）階躍函數(shù)（Stepfunction）突然受到恒定輸入作用或突然的擾動(dòng)

t

室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)和（單位）斜坡函數(shù)（Rampfunction）

t如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時(shí)間逐步變化的函數(shù)，則斜坡時(shí)間函數(shù)是比較合適的（單位）加速度函數(shù)（Accelerationfunction）拋物

1t2

t（單位）脈沖函數(shù)（Impulse t正弦函數(shù)（Simusoidalfunction）Asinwt，當(dāng)輸入作用具有周期性變化時(shí)通常運(yùn)用階躍函數(shù)作為典型輸入作用信號(hào)，這樣可在一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對(duì)各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。本章討論系統(tǒng)對(duì)正弦試驗(yàn)信號(hào)響應(yīng)，將在第四章頻域分析法）一階系統(tǒng)的時(shí)域分R

+

i(t)

其微分方程cU(t)c

duc(t)U

(t)

→Tc(t)c(t)r(t)

（a）

其中c(t)為電路輸出電壓，r(t)為電路輸入電壓，T=RC為時(shí)間常數(shù)。當(dāng)初使條件為零時(shí)，其傳遞函數(shù)G(s)

C(s) （b）

TS1

這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)非周期性的一階慣性環(huán)節(jié)。下面分別就不同的典型輸入信號(hào)，分析該一階系（c）

統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)

G(s)

C(s) R(s) TS1一階系統(tǒng)的單位階躍響Unit-StepResponseofFirst-order因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)的拉氏變換

R(s)S

，則系統(tǒng)的輸出由下式可得G(s)

C(s)

TS

C(s)G(s)R(s)

TS1

1S

TS1對(duì)上式取拉氏反變換

1

t

t11T0Tt3-411T0Tt3-41響應(yīng)曲線

t

時(shí)的斜率為T1，如果系統(tǒng)輸出響應(yīng)的速度恒，則只要t＝T時(shí)，輸出c(t)到其終值110Tt3-4td

延遲時(shí)tr ts

上升時(shí)調(diào)整時(shí)tp和％不存lg[1-0tlg[1-0t

1e

兩邊取對(duì)數(shù)，(1T

1lge

為常數(shù)

圖3-5一階慣性環(huán)節(jié)識(shí)別曲一階系統(tǒng)的單位斜坡響Unit-rampResponseoffirst-order R(s)

TS

S22 11

1對(duì)上式求拉氏反變換，得1

T 因 e(t)r(t)c(t)T(1eT

所以一階系 單位斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差

T上式表明：①一階系統(tǒng) 斜坡輸入號(hào)。穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸入和輸出信號(hào)的變化率全相

②由于系統(tǒng)存在慣性 0從

0上升到1時(shí)，對(duì)應(yīng)的輸出信號(hào)在數(shù)值

圖3-5一階系統(tǒng)的斜坡響要滯后于輸入信號(hào)一個(gè)常量T，這就是穩(wěn)態(tài)差產(chǎn)生的原因③減少時(shí)間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應(yīng)的速度，還可減少系 斜坡信的穩(wěn)態(tài)誤差一階系統(tǒng)的單位脈沖響Unit-impulseresponseoffirst-order當(dāng)輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)時(shí)，R(s)＝1，輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)傳遞函數(shù)相同，C(s)G(s)

TS1

這時(shí)相應(yīng)的輸出稱為脈沖響應(yīng)記作g(t g(t)

L

,其表達(dá)式

c(t) eT

t0t 重要0t 已知：¤¤

(t)

1(t)

[t

1¤由 xo1(t)1e¤

xot(t)t

Te1 xo(t)1， ，

e圖3-6單位脈沖響應(yīng)曲

可知

(t)

dxo1(t)

(t)

dxot(t)一階系統(tǒng)的單位加速度r(t)

1t2

R(s) S

G(s)

TSC(s)G(s)R(s)

)1

A

C

1

T2 TTS1S1

S S

1

ST

S S

STc(t)

t2TtT2(1eT2

(te(t)r(t)c(t)TtT2(1

1T。上式表明 誤差隨時(shí)間推移而增大，直至無(wú)限大。因此，一階系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)加速度輸入函數(shù)表3-1一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響微分輸入信輸入信輸出響傳遞函時(shí)頻(t)1 e (tT微分1TS1S1e tt1StTTe t1t21S t2TtT2(1eT t2 ysisandSteady-State ofSecond-order二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模隨動(dòng)系統(tǒng)AServoSystem（位置控制系統(tǒng)）如圖3-6所示輸入電位 輸出電位

反饋信

ia

放大器 齒輪傳3-6輸入電位 輸出電位

反饋信

ia

放大器 齒輪傳 負(fù)3-6⑴該系統(tǒng)的任務(wù)：控制機(jī)械負(fù)載的位置。使其與參考位置相協(xié)調(diào)⑵工作原理：用一對(duì)電位計(jì)作系統(tǒng)的誤差測(cè)量裝置，它們可以將輸入和出位置信號(hào)，轉(zhuǎn)換為與位置成正比的電信號(hào)輸入電位計(jì)電刷臂的角位置r

，由控制輸入信號(hào)確定，角位置r就是系統(tǒng)的參考輸入量，而電刷臂上的電位與電刷臂的角位置成正比，輸電位計(jì)電刷臂的角位置 ，由輸出軸的位置確定輸入電位 輸出電位

反饋信

ia 電位

eKs

放大器 齒輪傳 負(fù)就是誤差信號(hào)

3-6Ks

橋式電位器的傳遞函該信號(hào)被增益常數(shù)為K輸出阻抗

的放大器放大，（K

應(yīng)具有很高的輸入阻抗和很低放大器的輸出電壓作用到直流 的電樞 激磁繞組上加有固定電壓如果出現(xiàn)誤差信號(hào)， 就產(chǎn)生力矩以轉(zhuǎn)動(dòng)輸出負(fù)載，并使誤差信號(hào)減少零(3)當(dāng)激磁電流固定時(shí)，（3-產(chǎn)生的力矩（電磁轉(zhuǎn)距）(3)當(dāng)激磁電流固定時(shí)，（3-M

M(s)CmIa

Cm

的轉(zhuǎn)矩系

ia

為電樞電對(duì)于電樞電

L:RLa

Kb

KAKse

電樞繞組的電感和電阻（3-(LaSRa)Ia(s)KAKSE(s)Kb Kb（3-

的反電勢(shì)常數(shù) 的力矩平衡方程為 :

的軸的角位移d2 fdt

M

(JS2

fS)(s)

M（3-J:為 負(fù)載和齒輪傳動(dòng)裝置，折合到 軸上的組合轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（3-（3-f:為 負(fù)載和齒輪傳動(dòng)裝置，折合到 軸上的粘性摩擦系數(shù)（3-

(s)1

i i3-7 i i3-7開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)（即前向通路傳遞函數(shù)）因?yàn)榉答伝芈穫鬟f函數(shù)為(s)H

G(s)

mJS2

（3-E(s)

1 KbmS

LR)(JS

fS) 如果略去電樞電感

KK i

G(s)

S增K1KSKAC增

S(JS

F

S(JSF

S(F

S

（3-F

Cm

阻尼系數(shù)，由于 反電勢(shì)(K

的存在，增大了系統(tǒng)的粘性摩擦開(kāi)環(huán)增開(kāi)環(huán)增K

機(jī)電時(shí)間常Tm機(jī)電時(shí)間常不考慮負(fù)載力矩，隨動(dòng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)簡(jiǎn)化為

G(s) S(TmS

（3-不考慮負(fù)載力矩，隨動(dòng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)簡(jiǎn)化為

G(s)

S(TmS

（3-相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函

(s)c

G(s) r

1G(s) TS2S（3-m umOvershoot）：指響應(yīng)的最大偏離量（3-m值之差的百分比， S2

S

S2 nn為了使研究的結(jié)果具有普遍意義，可將式（3-17）表示為如下標(biāo)準(zhǔn)形C(s)

G(s)

22 2nS22

（3-TT（3-TT

Tn TmTnn －自然頻率（或無(wú)阻尼自振角頻率 －阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)nS2nS22S C(s)G(s)（3-n_nn －自然頻率（或無(wú)阻尼自振角頻率

－阻尼比（相對(duì)二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，相應(yīng)的方塊圖如

圖3-8標(biāo)準(zhǔn)形式的二階系統(tǒng)方示2二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，可以用和n加以描述,二階系統(tǒng)的特征方程22 2

n

（3-

2

（3-二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)Unit-StepResponseofSecond-Order阻尼比不同時(shí)的情1

稱為臨界阻

0

1 稱為欠阻1

稱為過(guò)阻

稱為零阻

稱為負(fù)阻

，兩個(gè)正實(shí)部的特征根,發(fā)01，閉環(huán)極點(diǎn)為共扼復(fù)根，位于左半S

，為兩個(gè)相等的實(shí)兩個(gè)相等 β0σ3-9

，虛軸上，瞬態(tài)響應(yīng)變?yōu)榈确袂纷枘?0

1)二階系統(tǒng)的單位階躍響11

n

n11

jd

dn

阻尼振蕩頻1Xi(s)1

，由式（3-18）n nXO(s)G(s)Xi(s)

X

G(s) X S22S S

（3- （3-2222 (Sn d (Sn d22221

Sn

n22 22

n

(Sn

dndd1ddndd1dd21222dodx(t)1ent[cosod

t sint]

1

e

t

t 1111210011

（3-

1111不同ξ下的單位階躍響應(yīng)曲穩(wěn)態(tài)分量為1，表明二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差1瞬態(tài)分量為阻尼正弦振蕩項(xiàng)，其振蕩1

－阻尼振蕩頻包絡(luò)

1e

決定收斂速0

xo(t)1

t

（3-這是一條平均值為1的正、余弦形式等幅振蕩，其振蕩頻率為n由系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)參數(shù)確定－故稱為無(wú)阻尼振蕩頻率臨界阻尼

1xi(t)

(s)S（3- （3-XO(s)

2(Sn 2

2 (Sn2

S臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱為臨界阻尼響xo

1ent

1ent(1t)

t（3-nn當(dāng)（3-nn

時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的無(wú)超調(diào)單調(diào)上升過(guò)程dxo(t)

（3-（3-圖3-

過(guò)阻尼21

XO(s) (SS1)(SS2 S(nS(n2

[S(n2

21)][S( 2nnSA1

衰減 1 2 21( 2 2 21( 21)1

0 ξ

S13-10221( 221( 2

e(

21)nt

e(

2

t22221( 2（4）零阻尼

(3-(3-3-圖3-圖3-圖3-圖3- (5阻尼（ξ〈指數(shù)項(xiàng)變?yōu)檎笖?shù)，故隨時(shí)間時(shí)，其輸出x0t)→∞,即22100圖3-15表示了二階系統(tǒng)在不同 值單位階躍響應(yīng)曲3.3.2二階系統(tǒng)的單位脈沖響G(3-(3-(3-(3-(3-(3-（3-（（3-圖3-16表示了二階系統(tǒng)在不同 值單位脈沖響應(yīng)曲3.3.2二階系統(tǒng)的單位斜坡響（（3-（（3-（（3-（（3-（（3-（3-圖3-17欠阻尼二階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)曲（（3-（（3-（（3-（3-進(jìn)行拉氏反變換，求得過(guò)阻尼狀態(tài)時(shí)的單位斜（3-（（3-（（3- 動(dòng)態(tài)性能指入信號(hào)的誤差

動(dòng)態(tài)性能指Mp10.9Mp10.90.02或0.10tt3-2td,tr,tp,Mpts（DelayTime）上升時(shí)間tr峰值時(shí)間tp（PeakTime）：響應(yīng)曲線到過(guò)調(diào)量的第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間

（RiseTime）短，響應(yīng)速度快動(dòng)態(tài)性能指 調(diào)節(jié)時(shí)間ts1

Mp

0.02

（Settling響應(yīng)曲線達(dá)到并保范圍

t

⑤超調(diào)Mp%(%t Mp%

3-2td,tr,tp,Mpts

⑥振蕩次數(shù)N：在調(diào)整時(shí)內(nèi)曲線振蕩的次數(shù)。即在tr或t評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度

內(nèi)，系統(tǒng)單位階躍曲線穿穩(wěn)態(tài)值直線的次數(shù)之半tsMp

同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)、N評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度，反映相對(duì)穩(wěn)定3.4.1二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)二階系統(tǒng)一般

0.4~

其它的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，有的可和n

精確表示

trtp,%有的很難用和n

準(zhǔn)確表示，td,ts

,可采用近似算法二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)計(jì) nddd12 d12

1

圖3-20二階系統(tǒng)極點(diǎn)與參數(shù)的關(guān)①上升時(shí)

trxo(t)xo(t)1e1sin(dt1)xo(t)

1

（3-將xo(tr

代入上式中，

)1dtr1

tr

（3-其

11一定，即一定

tr

,響應(yīng)速度越峰值時(shí) t(3-

(3-(3-11tg 11tg(dt) dtp

0,,2,dtp 一定時(shí)

Td:有阻尼振蕩周當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，出現(xiàn)正峰值；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)出現(xiàn)負(fù)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，出現(xiàn)正峰值；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)出現(xiàn)負(fù)峰值。根據(jù)峰值時(shí)間定義，應(yīng)tp 121(3d2dd2③%orMp

sin(dt

1)1

sin

1(3-(3-%

h(tp)

當(dāng)

%h(t%h(t)p 100% 12

%

%0.4

%1.5%

圖3-21最大超調(diào)量與阻尼比的關(guān)系最大超調(diào)量?jī)H僅與阻尼比ξ有關(guān)，ξ越大，則σ%（Mp%)越?、苷{(diào)節(jié)時(shí)間tS

因 (3-52)(3-(3-(3-3所以ts3

時(shí)，欠阻尼二階系統(tǒng)進(jìn)

5%的調(diào)節(jié)范圍。同當(dāng)二階系統(tǒng)進(jìn)

2%的誤差范圍時(shí)，調(diào)整時(shí)間為t

（3-由式(3—54)～(3—56另外，由調(diào)整時(shí)間ts的推導(dǎo)還可見(jiàn)，當(dāng)ζ較大時(shí)，式(3—55)當(dāng)ωn一定時(shí)，變化ζ求ts的極小值，可得當(dāng)ζ＝0．707左右時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間最短，即響應(yīng)最快。當(dāng)ζ<0．707時(shí)，ζ愈小，則ts愈長(zhǎng)；而當(dāng)ζ>0．707時(shí)，ζ二階系統(tǒng)參數(shù)ξ、ωn和瞬態(tài)性能指標(biāo)的若ξ不變 Mp不變，tp、tr、在一定的ξ下，ωn越大，振蕩頻率ωd越高，系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性若ωn不變 tp、tr↓，Mp、ts（ξ較小時(shí)雖起始速度較快，但因振蕩激烈，衰減緩慢，快速性較差。因ξ值的選擇必須為了全面滿足全部性能指標(biāo)的要求，折衷的辦法，即工程上認(rèn)為取ξ=0.707，這時(shí)的Mp、tr、ts和N等都較令人滿意。（3-一階一階慣性環(huán)二階振蕩環(huán)高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)各分量衰減的快慢由指數(shù)衰減系數(shù)pj和ξkωk決定。即系統(tǒng)極點(diǎn)在S平面左半部離虛軸越遠(yuǎn)，則相應(yīng)的分量衰減得越快，反之，系統(tǒng)極點(diǎn)在S平面左半部離虛軸越近，則相應(yīng)的分量衰減得越慢。高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各