四川省宜賓市2023屆高三上學期第一次診斷性數(shù)學（理）數(shù)學試題 含解析

宜賓市2020級高三第一次診斷性試題數(shù)學（理工類）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.考試結束后，請將答題卡交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合的元素個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意結合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集運算求解.【詳解】∵，∴，即集合的元素個數(shù)為3.故選：C.2.若復數(shù)z滿足，則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)除法運算可求得，由虛部定義得到結果.【詳解】由得：，的虛部為.故選：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據指對、數(shù)函數(shù)的單調性結合充分、必要條件分析判斷.【詳解】∵在上單調遞增，∴，又∵在R上單調遞增，∴，由可得，但由不能得到，例如，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知函數(shù)，則的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先函數(shù)的奇偶性排除兩個選項，在根據函數(shù)的零點位置及范圍內的函數(shù)值正反，得最符合的函數(shù)圖象即可.【詳解】解：函數(shù)，定義域為，所以所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除B，D選項；當時，令得，所以函數(shù)最小正零點為，則，則符合圖象特點的是選項A，排除選項C.故選：A.5.如圖所示的程序框圖中，若輸出的函數(shù)值在區(qū)間內，則輸入的實數(shù)x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據程序框圖，明確該程序的功能是求分段函數(shù)的值，由此根據該函數(shù)值域，可求得答案.【詳解】由程序框圖可知：運行該程序是計算分段函數(shù)的值，該函數(shù)解析式為：，輸出函數(shù)值在區(qū)間內，必有當時，，當時，，即得．故選∶C．6.在中，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據向量減法結合數(shù)量積的運算律運算求解.【詳解】∵，∴.故選：B.7.已知角的終邊上一點的坐標為，角的終邊與角的終邊關于軸對稱，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據三角函數(shù)的定義得，再根據和角公式求解即可.【詳解】解：因為角的終邊上一點的坐標為，角的終邊與角的終邊關于軸對稱，所以，點是角的終邊上的點，所以，，所以故選：C8.“四書”“五經”是我國部經典名著《大學》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校計劃在讀書節(jié)活動期間舉辦“四書”“五經”知識講座，每部名著安排次講座，若要求《大學》《論語》相鄰，但都不與《周易》相鄰，則排法種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先排除去《大學》《論語》《周易》之外的6部經典名著的講座，將《大學》《論語》捆綁和《周易》看作兩個元素，采用插空法排列，根據分步乘法計數(shù)原理，可得答案.【詳解】先排除去《大學》《論語》《周易》之外的6部經典名著的講座，共有種排法，將《大學》《論語》看作一個元素，二者內部全排列有種排法，排完的6部經典名著的講座后可以認為它們之間包括兩頭有7個空位，從7個空位中選2個，排《大學》《論語》捆綁成的一個元素和《周易》的講座，有種排法，故總共有種排法，故選：C.9.已知，當取最大值時，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據可利用基本不等式推出，結合等號成立條件，即可求得當取最大值時，的值.詳解】由題意可得，則，即，當且僅當，即時取等號，此時取得最大值，即取最大值時，，此時，故選：B10.南宋數(shù)學家楊輝給出了著名的三角垛公式：，則數(shù)列的前項和為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】因為，根據題意結合分組求和運算求解.【詳解】∵，由題意可得：數(shù)列的前項和為，又∵，∴數(shù)列的前項和.故選：A.11.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意分析可得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，結合奇偶性與周期性運算求解.【詳解】∵為奇函數(shù)，則，即，∴，則的周期為4，則，故.故選：C.12.已知，，，則、、的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據分數(shù)指數(shù)冪與根式的轉化，再將根式化為同次根式，比較被開方數(shù)大小，可得答案．【詳解】由題意可知，，故；又，，因為，故，綜合可得，故選：D.二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13.若滿足約束條件則的最大值為________.【答案】5【解析】【分析】由約束條件做出可行域，將問題轉化為在軸的截距，采用數(shù)形結合的方式即可得到結果.【詳解】由約束條件可知，可行域如上圖所示，令，則，當在軸的截距最小時，最大由，求得，則所以故答案為:14.在的展開式中，常數(shù)項為_________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】先求出的展開式中的常數(shù)項和含的系數(shù)，再求的常數(shù)項.【詳解】由題得的通項為，令，即得常數(shù)項為,令，無整數(shù)解，即展開式中不含的項，所以的常數(shù)項為.故答案為：15.已知函數(shù)，方程在區(qū)間有且僅有四個根，則正數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】由方程得到，，然后得到的范圍，根據原方程在區(qū)間有且僅有四個根，列出不等式，求解即可得到結果.【詳解】由，可得，所以，又因為當時，，所以的可能取值為因為原方程在區(qū)間有且僅有四個根，所以，解得即的取值范圍是故答案為：16.關于的不等式的解集為，則的最大值是_________．【答案】##【解析】【分析】設是函數(shù)上的任意一點，進而求得點處切線方程，根據切線放縮得，進而將問題轉化為在恒成立，再結合一次函數(shù)性質得且，進而得且，進而得，，再結合換元法求函數(shù)的最大值即可.【詳解】解：關于的不等式的解集為，所以，在恒成立，設是函數(shù)上任意一點，則，所以，函數(shù)在點處的切線方程為，即，令，則，當時，時，，單調遞減，時，，單調遞增，所以，即；當時，時，，單調遞減，時，，單調遞增，所以，即；所以，，所以，在恒成立，即在恒成立，所以，且，所以，恒成立，且，所以，且，所以，，令，則，令，則，所以，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，，所以，的最大值是.故答案為：三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必做題：共60分.17.年四川持續(xù)出現(xiàn)高溫天氣，導致電力供應緊張．某市電力局在保證居民生活用電的前提下，盡量合理利用資源，保障企業(yè)生產．為了解電力資源分配情況，在8月初，分別對該市A區(qū)和區(qū)各10個企業(yè)7月的供電量與需求量的比值進行統(tǒng)計，結果用莖葉圖表示如圖．不受影響受影響合計A區(qū)B區(qū)合計（1）求區(qū)企業(yè)7月的供電量與需求量的比值的中位數(shù)；（2）當供電量與需求量的比值小于時，生產要受到影響，統(tǒng)計莖葉圖中的數(shù)據，填寫2×2列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為生產受到影響與企業(yè)所在區(qū)有關？附：【答案】（1）0.86；（2）2×2列聯(lián)表見解析，沒有95%的把握.【解析】【分析】（1）根據莖葉圖中數(shù)據及中位數(shù)的概念直接計算得解；（2）由莖葉圖判定不受影響、受影響的企業(yè)數(shù)，據此列出2×2列聯(lián)表，計算得出結論.【小問1詳解】A區(qū)供電量與需求量的比值由小到大排列，第5個數(shù)，第6個數(shù)分別為，所以所求中位數(shù)為；【小問2詳解】2×2列聯(lián)表：不受影響受影響合計區(qū)7310區(qū)4610合計11920沒有95%的把握認為生產有影響與企業(yè)所在區(qū)有關.18.已知正項數(shù)列滿足，.（1）計算,，猜想的通項公式并加以證明；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）,,,證明見解析;（2）.【解析】【分析】（1）分別,，即可求得,,由此可猜想，用數(shù)學歸納法證明即可；（2）結合（1）的結論可得的表達式，分組求和即可求得答案.【小問1詳解】當時，；當時，；猜想.證明如下：當時，成立；假設時，成立；那么時，,即時，，則對任意的，都有成立.【小問2詳解】由題意得，.19.的內角所對邊分別為，，，已知，.（1）若，求的周長；（2）若邊的中點為，求中線的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意利用正弦定理角化邊整理可得，結合題意求，即可得周長；（2）根據，結合向量模的運算與余弦定理化簡整理得，根據（1）中的結論結合基本不等式運算求解.【小問1詳解】∵，由正弦定理可得：，則，若，則，解得，故的周長.【小問2詳解】∵，∴，由（1）可得：，即，∵，當且僅當時，等號成立，∴，則，故，則，所以的最大值為.20.現(xiàn)有甲、乙、丙三個人相互傳接球，第一次從甲開始傳球，甲隨機地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進行第二次傳球，隨機地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設傳接球無失誤．（1）設乙接到球的次數(shù)為，通過三次傳球，求的分布列與期望；（2）設第次傳球后，甲接到球的概率為，

（i）試證明數(shù)列為等比數(shù)列；

（ii）解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個常數(shù)．【答案】（1）分布列見解析，（2）（i）證明見解析；（ii）答案見解析.【解析】【分析】(1)由題意知的取值為，求出X的每個值對應的概率,即可求得分布列,根據期望公式求得期望;（2）（i）求得，根據時，第次傳給甲的事件是第次傳球后，球不在甲手上并且第次必傳給甲的事件，可得，由此變形得可證明結論；（ii）求出，當時，,即可解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個常數(shù)．【小問1詳解】由題意知的取值為，；；；所以X的分布列為012所以；【小問2詳解】（i）由題意：第一次傳球后，球落在乙或丙手中，則，時，第次傳給甲的事件是第次傳球后，球不在甲手上并且第次必傳給甲的事件，于是有，即，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列;（ii），所以，當時，，所以當傳球次數(shù)足夠多時，球落在甲手上的概率趨向于一個常數(shù).21.已知函數(shù)（）.（1），求證：；（2）證明：.()【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先證，令，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，即可證明；再證，令，利用其導數(shù)判斷其單調性即可證明；（2）l利用（1）的結論，可得，從而將原不等式轉化為，繼而轉化為證，即證；由此構造函數(shù)，利用其導數(shù)判斷單調性即可證明.【小問1詳解】先證，令，此時，故，所以在上單調遞增，所以，即.再證，令，，，在上單調遞增，故，即，綜合以上可得時，；【小問2詳解】由（1）可知，，要證，只需證，即證，即證；，要證，即證令，則，在上單調遞增，，，所以在區(qū)間上存在零點，則時，，時，，故在上單調遞減，上單調遞增，而，，由于，,故，故，所以時，，故當時，成立，當時，也成立，所以，得證，則成立.【點睛】關鍵點點睛：證明不等式的關鍵在于利用時，，從而將原不等式轉化為證明.（二）選做題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題記分.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線的普通方程和極坐標方程；（2）在平面直角坐標中，若過點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點，求證：成等差數(shù)列．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用消參法求曲線的普通方程，并注意y的取值范圍，再利用求曲線的極坐標方程；（2）先求直線l的參數(shù)方程，根據直線參數(shù)方程的幾何意義運算求解.【小問1詳解】由得，代入整理得，即，∵，則，，故曲線的普通方程為，又∵，則，整理得曲線的極坐標方程為小問