材料力學(xué)教學(xué)課件幻燈片T13

返回總目錄第4章

梁的內(nèi)力提要：在前面的章節(jié)中，已經(jīng)介紹過軸向拉(壓)桿件和受扭桿件的內(nèi)力的計(jì)算，本章將討論受彎桿件的內(nèi)力計(jì)算。以彎曲為主要變形的構(gòu)件稱為梁(beam)，如房屋建筑中的樓板梁(圖4.1)與火車的輪軸(圖4.2)。本章主要研究外力作用在同一平面，變形也在同一平面(即平面彎曲)的梁。梁的內(nèi)力計(jì)算與前面一樣仍然采用截面法，由于荷載的作用，梁在各橫截面產(chǎn)生內(nèi)力，包括剪力和彎矩。截?cái)嗔荷先我粰M截面，都會(huì)有剪力和彎矩，任取截面左或右側(cè)部分為研究對(duì)象，通過靜力平衡方程可以求出該橫截面內(nèi)力。通過列出剪力方程和彎矩方程，可以繪制剪力圖和彎矩圖，從而反映出梁上所有橫截面的內(nèi)力大小和方向。通過分析剪力方程和彎矩方程發(fā)現(xiàn)剪力、彎矩和荷載之間存在微分關(guān)系，相應(yīng)的在剪力圖、彎矩圖和荷載之間存在某些規(guī)律，依據(jù)這些規(guī)律可以不寫剪力方程和彎矩方程，直接作出內(nèi)力圖。在材料服從胡克定律和小變形的前提下還可以利用疊加法，更方便地作出內(nèi)力圖。梁的約束條件及荷載千差萬別，為便于計(jì)算，一般抓住主要因素對(duì)其做出簡化，得出計(jì)算簡圖。首先是梁的簡化，一般在計(jì)算簡圖中用梁的軸線代替梁。另外，還需要對(duì)支座和荷載進(jìn)行簡化，下面分別討論梁上支座和荷載的簡化。4.1梁的計(jì)算簡圖4.1梁的計(jì)算簡圖圖4.1樓板梁計(jì)算簡圖圖4.2火車輪軸計(jì)算機(jī)簡圖

支座的簡化根據(jù)結(jié)構(gòu)中梁的約束情況，支座一般可簡化為以下三種基本形式?？蓜?dòng)鉸支座。圖4.3(a)是可動(dòng)鉸支座的簡化形式。該支座限制此截面沿垂直于支承面方向的移動(dòng)，因此可動(dòng)鉸支座只有一個(gè)約束，相應(yīng)只有一個(gè)支反力，即垂直于支承面的反力。(2)固定鉸支座。有兩個(gè)約束，相應(yīng)的約束反力為兩個(gè)，分別是水平反力和垂直反力(圖4.3(b))。(3)固定端。它使梁在固定端內(nèi)不能發(fā)生任何方向的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，約束反力除X、Y之外，還有阻止轉(zhuǎn)動(dòng)的反力偶m(圖4.3(c))。4.1梁的計(jì)算簡圖這里需要指出的是，理想的“自由轉(zhuǎn)動(dòng)”和“絕對(duì)固定”實(shí)際上是不存在的，比如由于摩擦力的存在，轉(zhuǎn)動(dòng)不會(huì)完全自由，由于約束材料的變形，梁也不會(huì)完全被固定，只是這些運(yùn)動(dòng)相對(duì)較小，所以我們把它忽略了。圖4.3各種支座的約束反力(a)可動(dòng)鉸支座；(b)固定鉸支座；(c)固定端4.1梁的計(jì)算簡圖2.載荷的簡化梁上的載荷通常可以簡化為以下三種形式。(1)集中力。作用在梁上很小區(qū)域上的橫向力，其特點(diǎn)是分布范圍遠(yuǎn)小于輪軸或大梁的長度，因此可以簡化為集中力，如火車輪軸上的P(圖4.2)、吊車大梁所掛的重物Q(圖4.4(a))等，它的常用單位為牛頓(N)或千牛頓(kN)。圖4.4集中力、均布載荷和分布載荷示意圖吊車梁載荷與分布示意圖；(b)閘門立柱的靜水壓力分布示意圖4.1梁的計(jì)算簡圖(2)集中力偶。工程中的某些梁，通過與梁連接的構(gòu)件，承受與梁軸線平行的外力作用，如圖4.5(a)所示。在做梁的受力分析時(shí)，可將該力向梁軸線簡化，得到一軸向外力和一作用在梁的載荷平面內(nèi)的外力偶(圖4.5(b))。該外力偶只作用在承力構(gòu)件與梁連接處的很小區(qū)域上，稱為集中力偶。集中力偶的常用單位是或。圖4.5集中力偶示意圖(a)承受與梁平行外力的示意圖；(b)力向梁軸線簡化后的示意圖4.1梁的計(jì)算簡圖(3)分布載荷。連續(xù)作用在梁的一段或整個(gè)長度上的橫向作用力，可簡化為沿軸線的分布載荷。建筑結(jié)構(gòu)承受的風(fēng)壓、水壓，以及梁的自重等是常見的分布載荷。吊車大梁的自重(圖4.4(a))為均勻分布的分布載荷，一般簡稱為均布載荷；閘門立柱上的靜水壓力(圖4.4(b))為線性分布的分布載荷。分布載荷的大小可用載荷集度q來表示，q為常數(shù)的分布荷載就是均布載荷。設(shè)梁段上分布載荷的合力為(圖4.6)，則4.1梁的計(jì)算簡圖式中，q的常用單位為或。

(4.1)圖4.6分布載荷示意圖4.1梁的計(jì)算簡圖3.靜定梁梁的基基本形形式經(jīng)過對(duì)對(duì)載荷荷及支支座的的簡化化，并并以梁梁的軸軸線表表示梁梁，可可以畫畫出計(jì)計(jì)算簡簡圖。。圖4.l、圖4.2及圖4.4中分別別畫出出了樓樓板梁梁、火火車輪輪軸、、吊車車大梁梁和閘閘門立立柱的的計(jì)算算簡圖圖。在平面面彎曲曲問題題中，，梁的的所有有外力力均作作用在在同一一平面面內(nèi)，，為平平面力力系，，因而而可建建立三三個(gè)獨(dú)獨(dú)立的的靜力力平衡衡方程程。如如果梁梁上未未知的的支座座反力力也是是三個(gè)個(gè)，則則全部部反力力可通通過靜靜力平平衡方方程求求解，，這樣樣的梁梁稱為為靜定梁梁。常見的的靜定定梁有有以下下三種種形式式:4.1梁的計(jì)計(jì)算簡簡圖(1)簡支梁梁(simplysupportedbeam)。一端端為固固定鉸鉸支座座，另另一端端為可可動(dòng)鉸鉸支座座的梁梁，稱稱為簡簡支梁梁。如如吊車車大梁梁(圖4.4(a))，兩支支座間間的距距離稱稱為跨跨度。。(2)外伸梁梁(beamwithanoverhang)。當(dāng)簡簡支梁梁的一一端或或兩端端伸出出支座座之外外，稱稱為外外伸梁梁。如如火車車輪軸軸(圖4.2)即為外外伸梁梁。(3)懸臂梁梁(cantileverbeam)。一端端為固固定端端、另另一端端自由由的梁梁稱為為懸臂臂梁，，如閘閘門立立柱(圖4.4(b))。工程中中另有有一些些梁，，其支支座反反力的的數(shù)目目多于于有效效平衡衡方程程的數(shù)數(shù)目，，這樣的梁梁稱為為靜不定定梁或或者超超靜定定梁(圖4.1)。為確確定靜靜不定定梁的的全部部支反力力，除除靜力力平衡衡方程程外，，還需需考慮慮梁的的變形形，這這將在在后面面章節(jié)節(jié)進(jìn)行介紹紹。4.1梁的計(jì)計(jì)算簡簡圖4.2梁的平平面彎彎曲彎曲是是桿件件的基基本變變形之之一。。如果果桿件件上作作用有有垂直直于軸軸線的的外力力(通常稱稱為橫橫向力力)，使變變形前前原為為直線線的軸軸線變變?yōu)榍€，，這種種變形形稱為為彎曲變變形(bendingdeformation)。凡是是以彎彎曲變變形為為主要要變形形的桿桿件，，通常常稱為為梁(beam)。在工程程實(shí)際際中，，桿件件在外外載荷荷作用用下發(fā)發(fā)生彎彎曲變變形的的事例例是很很多的的，例例如，，樓板板梁(圖4.1)、火車車輪軸軸(圖4.2)、橋式式吊車車的大大梁(圖4.4(a))、閘門門立柱柱(圖4.4(b))等桿件件，在在垂直直于軸軸線的的載荷荷作用用下均均發(fā)生生彎曲曲變形形。圖4.7受彎桿桿件的的對(duì)稱稱軸和和對(duì)稱稱面(a)受彎桿桿件的的對(duì)稱稱軸；；(b)受彎桿桿件的的對(duì)稱稱面(a)(b)4.2梁的平平面彎彎曲4.3梁的內(nèi)內(nèi)力、、剪力力和彎彎矩設(shè)桿的的橫截截面面面積為為，，微面面積上上的內(nèi)內(nèi)力分分布集集度為為，，由由靜力力關(guān)系系得：：得拉桿桿橫截截面上上正應(yīng)應(yīng)力的的計(jì)算算公式式：式中，，為為橫截截面上上的正正應(yīng)力力，為為橫橫截面面上的的軸力力，為為橫截截面面面積。。公式式(2.1)也同樣樣適用用于軸軸向壓壓縮的的情況況。當(dāng)當(dāng)為為拉拉力時(shí)時(shí)，為為拉應(yīng)應(yīng)力；；當(dāng)為為壓力力時(shí)，，為為壓應(yīng)應(yīng)力，，根據(jù)據(jù)前面面關(guān)于于內(nèi)力力正負(fù)負(fù)號(hào)的的規(guī)定定，所所以拉拉應(yīng)力力為正正，壓壓應(yīng)力力為負(fù)負(fù)。(2.1)應(yīng)該指指出：：正應(yīng)應(yīng)力均均勻分分布的的結(jié)論論只在在桿上上離外外力作作用點(diǎn)點(diǎn)較遠(yuǎn)遠(yuǎn)的部部分才才成立立，在在荷載載作用用點(diǎn)附附近的的截面面上有有時(shí)是是不成成立的的。這這是因因?yàn)樵谠趯?shí)際際構(gòu)件件中，，荷載載以不不同的的加載載方式式施加加于構(gòu)構(gòu)件，，這對(duì)對(duì)截面面上的的應(yīng)力力分布布是有有影響響的。。但是是，實(shí)實(shí)驗(yàn)研研究表表明，，加載載方式式的不不同，，只對(duì)對(duì)作用用力附附近截截面上上的應(yīng)應(yīng)力分分布有有影響響，這這個(gè)結(jié)結(jié)論稱稱為圣維南南(Saint-Venant)原理。。根據(jù)這這一原原理，，在拉拉(壓)桿中，，離外外力作作用點(diǎn)點(diǎn)稍遠(yuǎn)遠(yuǎn)的橫橫截面面上，，應(yīng)力力分布布便是是均勻勻的了了。一一般在在拉(壓)桿的應(yīng)應(yīng)力計(jì)計(jì)算中中直接接用公公式(2.1)。當(dāng)桿桿件件受受多多個(gè)個(gè)外外力力作作用用時(shí)時(shí)，，通通過過截截面面法法可可求求得得最最大大軸軸力力，，如如果果是是等截截面面桿桿件件，，利利用用公公式式(2.1)就可可求求出出桿桿內(nèi)內(nèi)最最大大正正應(yīng)應(yīng)力力；；如果果是是變變截截面面桿桿件件，，則則一一般般需需要要求求出出每每段段桿桿件件的的軸軸力力，，然然后后利利用用公公式式(2.1)分別別求求出出每每段段桿桿件件上上的的正正應(yīng)應(yīng)力力，，再再進(jìn)進(jìn)行行比比較較確確定定最最大大正正應(yīng)應(yīng)力力。。4.3梁的的內(nèi)內(nèi)力力、、剪剪力力和和彎彎矩矩【例2.2】】一變變截截面面圓圓鋼鋼桿桿，，如如圖圖2.6(a)所示示，，已已知，，，，，，，，，，。試求求：：(1)各截截面面上上的的軸軸力力，，并并作作軸軸力力圖圖。。(2)桿的的最最大大正正應(yīng)應(yīng)力力。。4.3梁的的內(nèi)內(nèi)力力、、剪剪力力和和彎彎矩矩解：：(1)求內(nèi)內(nèi)力力并并畫畫軸軸力力圖圖。。分分別別取取三三個(gè)個(gè)橫橫截截面面I-I、Ⅱ-ⅡⅡ、Ⅲ-ⅢⅢ將桿桿件件截截開開，，以以右右邊邊部部分分為為研研究究對(duì)對(duì)象象，，各各截截面面上上的的軸軸力力分分別別用用、、、、表表示示，，并并設(shè)設(shè)為為拉拉力力，，各各部部分分的的受受力力圖圖如如圖圖2.6(b)所示示。。由各各部部分分的的靜靜力力平平衡衡方方程程可可得得：：圖2.6例2.2圖其中中負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)表表示示軸軸力力與與所所設(shè)設(shè)方方向向相相反反，，即即為為壓壓力。。作作出出軸軸力力圖圖如如圖圖2.6(c)所示示。。4.3梁的的內(nèi)內(nèi)力力、、剪剪力力和和彎彎矩矩(2)求最最大大正正應(yīng)應(yīng)力力。。由由于于該該桿桿為為變變截截面面桿桿，，、、及及三三段段內(nèi)內(nèi)不不僅僅內(nèi)內(nèi)力力不不同同，，橫橫截截面面面面積積也也不不同同，，這這就就需需要要分分別別求求出出各各段段橫橫截截面面上上的的正正應(yīng)應(yīng)力力。。利利用用式式(2.1)分別別求求得得、、和和段段內(nèi)內(nèi)的的正正應(yīng)應(yīng)力力為為由上上述述結(jié)結(jié)果果可可見見，，該該鋼鋼桿桿最最大大正正應(yīng)應(yīng)力力發(fā)發(fā)生生在在段段內(nèi)內(nèi)，，大大小小為為4.3梁的的內(nèi)內(nèi)力力、、剪剪力力和和彎彎矩矩二.斜截截面面上上的的應(yīng)應(yīng)力力前面面討討論論了了拉拉(壓)桿橫橫截截面面上上的的正正應(yīng)應(yīng)力力，，但但實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)表表明明，，有有些些材材料料拉拉(壓)桿的的破破壞壞發(fā)發(fā)生生在在斜斜截截面面上上。。為為了了全全面面研研究究桿桿件件的的強(qiáng)強(qiáng)度度，，還還需需要要進(jìn)進(jìn)一一步步討討論論斜斜截截面面上上的的應(yīng)應(yīng)力力。。設(shè)直直桿桿受受到到軸軸向向拉拉力力的的作作用用，，其其橫橫截截面面面面積積為為，，用用任任意意斜斜截截面面將將桿桿件件假假想想的的切切開開，，設(shè)設(shè)該該斜斜截截面面的的外外法法線線與與軸軸的的夾夾角角為為，，如如圖圖2.7(a)所示示。。設(shè)設(shè)斜斜截截面面的的面面積積為為，，則則4.3梁的的內(nèi)內(nèi)力力、、剪剪力力和和彎彎矩矩設(shè)為為截截面面上上的的內(nèi)內(nèi)力力，，由由左左段段平平衡衡求求得得為為，，如如圖圖2.7(b)所示示。。仿仿照照橫橫截截面面上上應(yīng)應(yīng)力力的的推推導(dǎo)導(dǎo)方方法法，，可可知知斜斜截截面面上上各各點(diǎn)點(diǎn)處處應(yīng)應(yīng)力力均均勻勻分分布布。。用用表表示示其其上上的的應(yīng)應(yīng)力力，，則則式中的為橫截面上的正應(yīng)力。將應(yīng)力分解成沿斜截面法線方向分量和沿斜截面切線方向分量，稱為正應(yīng)力(normalstress)，而稱為切應(yīng)力(shearstress)，如圖2.7(c)所示。關(guān)于應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定為：正應(yīng)力符號(hào)規(guī)定同前，切應(yīng)力繞截面順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。的符號(hào)規(guī)定：由軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到外法線方向時(shí)為正，反之為負(fù)。

4.3梁的的內(nèi)內(nèi)力力、、剪剪力力和和彎彎矩矩由圖圖2.7(c)可知知(2.2)(2.3)從式(2.2)、式(2.3)可以看出，和均隨角度而改變。當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值，其值為，斜截面為垂直于桿軸線的橫截面，即最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上；當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值，其值為，最大切應(yīng)力發(fā)生在與軸線成角的斜截面上。4.3梁的的內(nèi)內(nèi)力力、、剪剪力力和和彎彎矩矩圖2.7斜截截面面的的應(yīng)應(yīng)力力以上上分分析析結(jié)結(jié)果果對(duì)對(duì)于于壓壓桿桿也也同同樣樣適適用用。。盡管在軸軸向拉(壓)桿中最大大切應(yīng)力力只有最最大正應(yīng)應(yīng)力大小小的二分分之一，，但是如如果材料料抗剪比比抗拉(壓)能力要弱弱很多，，材料就就有可能能由于切切應(yīng)力而而發(fā)生破破壞。有有一個(gè)很很好的例例子就是是鑄鐵在在受軸向向壓力作作用的時(shí)時(shí)候，沿沿著45°斜截面方方向發(fā)生生剪切破破壞。4.3梁的內(nèi)力力、剪力力和彎矩矩應(yīng)力集中中的概念念前面所介介紹的應(yīng)應(yīng)力計(jì)算算公式適適用于等等截面的的直桿，，對(duì)于橫橫截面平平緩變化化的拉壓壓桿按該該公式計(jì)計(jì)算應(yīng)力力在工程程實(shí)際中中一般是是允許的的；然而而在實(shí)際際工程中中某些構(gòu)構(gòu)件常有有切口、、圓孔、、溝槽等等幾何形形狀發(fā)生生突然改改變的情情況。試驗(yàn)和理理論分析析表明，，此時(shí)橫橫截面上上的應(yīng)力力不再是是均勻分分布，而而是在局局部范圍圍內(nèi)急劇劇增大，，這種現(xiàn)現(xiàn)象稱為為應(yīng)力集中中(stressconcentration)。4.3梁的內(nèi)力力、剪力力和彎矩矩圖2.8帶圓孔薄薄板的應(yīng)應(yīng)力集中中如圖2.8(a)所示的帶帶圓孔的的薄板，，承受軸軸向拉力力的的作用用，由試試驗(yàn)結(jié)果果可知：：在圓孔孔附近的的局部區(qū)區(qū)域內(nèi)，，應(yīng)力急急劇增大大；而在在離這一一區(qū)域稍稍遠(yuǎn)處，，應(yīng)力迅迅速減小小而趨于于均勻，，如圖2.8(b)所示。4.3梁的內(nèi)力力、剪力力和彎矩矩在I-I截面上，，孔邊最最大應(yīng)力力與與同同一截面面上的平平均應(yīng)力力之之比，，用表示示(2.4)稱為理論應(yīng)力集中系數(shù)(theoreticalstressconcentrationfactor)，它反映了應(yīng)力集中的程度，是一個(gè)大于1的系數(shù)。試驗(yàn)和理論分析結(jié)果表明：構(gòu)件的截面尺寸改變越急劇，構(gòu)件的孔越小，缺口的角越尖，應(yīng)力集中的程度就越嚴(yán)重。因此，構(gòu)件上應(yīng)盡量避免帶尖角、小孔或槽，在階梯形桿的變截面處要用圓弧過渡，并盡量使圓弧半徑大一些。4.3梁的內(nèi)力力、剪力力和彎矩矩各種材料料對(duì)應(yīng)力力集中的的反應(yīng)是是不相同同的。塑性材料料(如低碳鋼鋼)具有屈服服階段，，當(dāng)孔邊邊附近的的最大應(yīng)應(yīng)力到達(dá)達(dá)屈服極極限時(shí)，，該處材材料首先先屈服，，應(yīng)力暫暫時(shí)不再再增大，，若外力力繼續(xù)增增大，增增大的內(nèi)內(nèi)力就由由截面上上尚未屈屈服的材材料所承承擔(dān)，使使截面上上其他點(diǎn)點(diǎn)的應(yīng)力力相繼增增大到屈屈服極限限，該截截面上的的應(yīng)力逐逐漸趨于于平均，，如圖2.9所示。因因此，用用塑性材材料制作作的構(gòu)件件，在靜靜荷載作作用下可可以不考考慮應(yīng)力力集中的的影響。。圖2.9塑性材料料的應(yīng)力力集中4.3梁的內(nèi)力力、剪力力和彎矩矩而對(duì)于脆脆性材料料制成的的構(gòu)件，，情況就就不同了了。因?yàn)闉椴牧喜徊淮嬖谇?dāng)當(dāng)孔邊最最大應(yīng)力力的值達(dá)達(dá)到材料料的強(qiáng)度度極限時(shí)時(shí)，該處處首先產(chǎn)產(chǎn)生裂紋紋。所以以用脆性性材料制制作的構(gòu)構(gòu)件，應(yīng)應(yīng)力集中中將大大大降低構(gòu)構(gòu)件的承承載力。。因此，，即使在在靜載荷荷作用下下也應(yīng)考考慮應(yīng)力力集中對(duì)對(duì)材料承承載力的的削弱。。不過有些脆性性材料內(nèi)部本本來就很不均均勻，存在不不少孔隙或缺缺陷，例如含含有大量片狀狀石墨的灰鑄鑄鐵，其內(nèi)部部的不均勻性性已經(jīng)造成了了嚴(yán)重的應(yīng)力力集中，測定定這類材料的的強(qiáng)度指標(biāo)時(shí)時(shí)已經(jīng)包含了了內(nèi)部應(yīng)力集集中的影響，，而由構(gòu)件形形狀引起的應(yīng)應(yīng)力集中則處處于次要地位位，因此對(duì)于于此類材料做做成的構(gòu)件，，由其形狀改改變引起的應(yīng)應(yīng)力集中就可可以不再考慮慮了。以上是針對(duì)靜靜載作用下的的情況，當(dāng)構(gòu)構(gòu)件受到?jīng)_擊擊荷載或者周周期性變化的的荷載作用時(shí)時(shí)，不論是塑塑性材料還是是脆性材料，，應(yīng)力集中對(duì)對(duì)構(gòu)件的強(qiáng)度度都有嚴(yán)重的的影響，可能能造成極大危危害。4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩桿件在軸向拉拉伸或壓縮時(shí)時(shí)，其軸線方方向的尺寸和和橫向尺寸將將發(fā)生改變。。桿件沿軸線線方向的變形形稱為縱向變變形，桿件沿沿垂直于軸線線方向的變形形稱為橫向變變形。設(shè)一等直桿的的原長為，橫橫截面面積為為，如圖圖2.10所示。在軸向向拉力的的作用下，，桿件的長度度由變?yōu)闉?，其縱縱向伸長量為為圖2.10軸向伸長變形形示意圖稱為絕對(duì)伸長長，它只反映映總變形量，，無法說明桿桿的變形程度度。4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩將除以以得桿件件縱向正應(yīng)變變?yōu)?2.5)(2.6)

當(dāng)材料應(yīng)力不超過某一限值(以后將會(huì)講到，這個(gè)應(yīng)力值稱為材料的“比例極限”)時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即這就是胡克定定律(Hookelaw)，是根據(jù)著名名的英國科學(xué)學(xué)家RobertHooke命名的。公式式(2.6)中的是彈性模模量，也稱為為楊氏模量(Young’smodulus)，是根據(jù)另一一位英國科學(xué)學(xué)家ThomasYoung命名的，由于于是無量量綱量，故的的量綱與與相同，常用用單位為，，隨隨材料的的不同而不同同，對(duì)于各向向同性材料它它均與方向無無關(guān)。公式(2.5)、公式(2.6)同樣適用于軸軸向壓縮的情情況。4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩將公式(2.1)和公式(2.6)代入公式(2.5)，可得胡克定定律的另一種種表達(dá)式為(2.7)由該式可以看看出，若桿長長及外力不變變，值值越大，則變變形越越小，因此，，反映桿桿件抵抗拉伸伸(或壓縮)變形的能力，，稱為桿件的的抗拉(抗壓)剛度(axialrigidity)。公式(2.7)也適用于軸向向壓縮的情況況，應(yīng)用時(shí)時(shí)為壓力力，是負(fù)值，，伸長量算算出來是是負(fù)值，也就就是桿件縮短短了。4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩設(shè)拉桿變形前前的橫向尺寸寸分別為和和，，變形后的尺尺寸分別為和和(圖2.10)，則由試驗(yàn)可知，，二橫向正應(yīng)應(yīng)變相等，故故(2.8)試驗(yàn)結(jié)果表明明，當(dāng)應(yīng)力不不超過材料的的比例極限時(shí)時(shí)，橫向正應(yīng)應(yīng)變與縱向正正應(yīng)變之比的的絕對(duì)值為一一常數(shù)，該常常數(shù)稱為泊松松比(Poisson’sratio)，用來來表示，它是是一個(gè)無量綱綱的量，可表表示為(2.9)4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩4.4剪力方程和彎彎矩方程剪剪力圖和彎矩矩圖這兩個(gè)方程分分別稱為梁的的剪力方程和彎矩方程。與繪制軸力圖圖或扭矩圖一一樣，可用圖圖線表示梁的的各橫截面上上剪力和彎矩矩沿梁軸線的的變化情況，，稱為剪力圖(shearforcediagram)和彎矩圖(bendingmomentdiagram)。一般說來，梁梁的內(nèi)力沿軸軸線方向是變變化的。如果果用橫坐標(biāo)X(其方向可以向向左也可以向向右)表示橫截面沿沿梁軸線的位位置，則剪力力和彎彎矩M都可以表示為為坐標(biāo)X的函數(shù)，即作剪力圖時(shí)，，取平行于梁梁軸線的直線線為橫坐標(biāo)x軸，x值表示各橫截截面的位置，，以縱坐標(biāo)表表示相應(yīng)截面面上的剪力的的大小及其正正負(fù)。作彎矩圖的方方法與剪力圖圖大體相仿，，不同的是，，要把彎矩圖圖畫在梁縱向向纖維受拉的的一面，而且且可以不標(biāo)正正負(fù)號(hào)。根據(jù)據(jù)4.3節(jié)的規(guī)定，彎彎矩以使梁下下部縱向纖維維受拉為正，，也就是說，，梁的正彎矩矩應(yīng)當(dāng)畫在橫橫軸的下方。。這樣的做法法主要是為了了與后續(xù)課程程和土木工程程專業(yè)的設(shè)計(jì)計(jì)習(xí)慣取得一一致。下面舉例說明明建立剪力方方程、彎矩方方程以及繪制制剪力圖、彎彎矩圖的方法法。4.4剪力方程和彎彎矩方程剪剪力圖和彎矩矩圖【例4.3】簡支梁AB受集中力p作用，如圖4.12(a)所示。試列出出剪力方程和和彎矩方程，，并繪制剪力力圖和彎矩圖圖。解：(1)計(jì)算支座反力力。以整體為為研究對(duì)象，，列平衡方程程求得方向如圖4.12(a)所示。4.4剪力方程和彎彎矩方程剪剪力圖和彎矩矩圖(2)建立剪力、彎彎矩方程。由由于梁在C截面上作用集集中力p，在建立剪力力方程和彎矩矩方程時(shí)，必必須分為AC、CB兩段來考慮。。在AC段內(nèi)任取一橫橫截面，距A點(diǎn)距離用表表示，，根據(jù)平衡條條件，則AC段上的剪力方程和彎矩矩方程分別為為在CB段內(nèi)任取一橫橫截面，距A端距離為，，根據(jù)據(jù)平衡條件，，則任一截面面上的剪力方方程和彎矩方方程分別為(b)(a)4.4剪力方程和彎彎矩方程剪剪力圖和彎矩矩圖圖4.12例4.3圖(a)(b)(c)4.4剪力方程和彎彎矩方程剪剪力圖和彎矩矩圖實(shí)際上，在列列CB段的內(nèi)力方程程時(shí)，選用右右側(cè)梁段為研研究對(duì)象將會(huì)會(huì)更簡單。4.4剪力方程和彎彎矩方程剪剪力圖和彎矩矩圖(d)(c)(3)繪制剪力、彎彎矩圖。由(a)、(c)兩式可知，，AC、CB兩段上剪力力分別為常常數(shù)，故剪剪力圖為兩兩條平行于于X軸的直線，，如圖4.12(b)所示，由(b)、(d)兩式可知，，彎矩方程程均為一次次函數(shù)，故故彎矩圖為為兩條斜直直線，如圖圖4.12(c)所示。在這里，彎彎矩使梁的的下部纖維維受拉，所所以彎矩圖圖畫在梁的的下方。由由內(nèi)力圖可知，，最大彎矩矩在集中力力作用點(diǎn)處處，其值為為。。在該截面處，剪力力圖上有突突變，其突突變量等于于集中力的的大小。4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖【例4.4】圖4.13所示簡支梁梁跨度為，，試建建立自重q作用下梁的的剪力方程程和彎矩方方程，并繪繪制剪力圖圖和彎矩圖圖。解：(1)計(jì)算支座反反力。根據(jù)據(jù)對(duì)稱性易易知A、B兩端的支座座反力相等等，即方向如圖4.13(a)所示。(2)建立剪力、、彎矩方程程。以左端端A為的X坐標(biāo)原點(diǎn)，，任取一橫橫截面，以以其左端為為研究對(duì)象象，該橫截截面的位置置可以X用來表示，，設(shè)該截面面上的剪力力為、、彎彎矩為，均均設(shè)為正方方向，如圖圖4.13(b)所示。列平平衡方程4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖(a)將式(a)代入上面兩兩式，解得得4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖(c)(b)(b)、(c)兩式分別為為剪力方程程和彎矩方方程。(3)繪制剪力圖圖、彎矩圖圖。由式(b)可知，剪力力圖為一直直線。只需需算出任意意兩個(gè)橫截截面的剪力力值，如A、B兩截面的剪剪力，即可可作出剪力力圖，如圖圖4.13(c)所示；由式式(c)可知，彎矩矩圖為一拋拋物線，需需要算出多多個(gè)截面的的彎矩值，，才能作出出曲線。例例如計(jì)算下下列五個(gè)截截面的彎矩矩值：4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖X0M00由此作出的的彎矩圖，，如圖4.13(d)所示。由剪力圖和和彎矩圖可可知，在A、B支座處的橫橫截面上剪剪力的絕對(duì)對(duì)值最大，，其值為在梁的跨中中截面上，，剪力，，彎矩達(dá)到到最大，其其值為4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖在本例中，，以某一梁梁段為研究究對(duì)象，由由平衡條件件推出剪力力方程和彎彎矩方程，，這是建立立剪力方程程和彎矩方方程的基本本方法。另另外，由于于剪力圖、、彎矩圖中中坐標(biāo)比較明明確，所以以在以后各各圖中坐標(biāo)標(biāo)系可以省省去?！纠?.5】簡支梁AB承受集中力力偶作作用，，如圖4.14(a)所示。試作作梁的剪力力圖、彎矩矩圖。圖4.14例4.5圖4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖(a)(b)(c)反力的的方向如如圖所示，，為為負(fù)值，表表示其方向向與圖4.14(a)中假設(shè)的方方向相反。。兩個(gè)支反反力形成的的力偶矩剛剛好與集中中力偶平平衡衡。解：(1)計(jì)算支反力力。由平衡衡方程分別別求得支反反力為(2)建立剪力、、彎矩方程程。由于梁上作作用有集中中力偶，剪剪力、彎矩矩方程同樣樣應(yīng)分段列列出。利用用截面法分分別在AC與CB段內(nèi)截取橫橫截面，根根據(jù)截面左左側(cè)(或右側(cè))梁段上的外外力，列出出剪力方程程和彎矩方方程為4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖AC段(b)(a)(c)(d)CB段4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖(3)繪制剪力、、彎矩圖。。由(a)、(c)兩式可知，，兩段梁上上的剪力相相等，因此此，AB梁的剪力圖圖為一條平平行于x軸的直線(圖4.14(b))；由(d)、(b)兩式可知，，左右兩段段梁上的彎彎矩圖各為為一條斜直直線(圖4.14(c))，而且在AB和BC段，彎矩分分別使梁的的上部和下下部纖維受受拉，所以以彎矩圖分分別畫在橫橫軸的上方方和下方。。由圖可見見，當(dāng)時(shí)時(shí)，絕絕對(duì)值最大大的彎矩發(fā)發(fā)生在集中中力偶作用用處的右側(cè)側(cè)截面上，，其值為而且，在集集中力偶作作用處，彎彎矩圖有突突變，其突突變量等于于集中力偶偶的大小。。4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖【例4.6】作圖4.15(a)所示簡支梁梁的剪力圖圖與彎矩圖圖。圖4.15例4.6圖4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖(2)建立剪力、、彎矩方程程。根據(jù)荷荷載情況，，分AC、CD、DB三段分別列列出剪力方方程和彎矩矩方程。設(shè)設(shè)坐標(biāo)軸以以支座A為原點(diǎn)，三三段內(nèi)的剪剪力方程、、彎矩方程程分別為AC段解：(1)計(jì)算支座反反力。根據(jù)據(jù)荷載及支支座反力的的對(duì)稱性得得到4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖CD段DB段4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖(3)繪制剪力、、彎矩圖。。根據(jù)方程可可知，AC、DB段剪力圖為為水平直線線，彎矩圖圖為斜直線線；CD段剪力圖為為斜直線，，彎矩圖為為二次拋物物線。作出出剪力圖和和彎矩圖如如圖4.15(b)、圖4.15(c)所示。由圖圖可見，最最大剪力發(fā)發(fā)生在AC、DB兩段內(nèi)，最最大彎矩發(fā)發(fā)生在跨中中橫截面上上。由以上例題題可見，在在集中力(包括集中荷荷載和支座座反力)作用的截面面上，剪力力似乎沒有有確定的值值，剪力圖圖有突變，，其突變的的絕對(duì)值等等于集中力力的數(shù)值，，且突變的的方向從左左往右看與與集中力的的方向相同同(例題4.3)；在集中力力偶作用處處，彎矩圖圖有突變，，其突變的的絕對(duì)值等等于集中力力偶的數(shù)值值(例題4.5)。4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖為了分析內(nèi)內(nèi)力圖上突突變的原因因，假設(shè)在在集中力作作用點(diǎn)兩側(cè)側(cè)，截取梁段(圖4.16(a))，由平衡條條件不難看看出，在集集中力作用用點(diǎn)兩側(cè)的的剪力和和的的差值值必然為集集中力的大大小。實(shí)際際上，剪力力圖的這種種突然變化化，是由于于作用在小小范圍內(nèi)的的分布外力力被簡化為為集中力的的結(jié)結(jié)果。如果果將集中力力視為為在梁梁段上上均勻分布布的分布力力的合力(圖4.16(b))，則該處的的剪力圖如如圖4.16(c)所示。又如如在例題4.6中，如果把把均布荷載載變成集中中力作用在在跨中梁梁段段上的分布布力，合力力大小仍然然不變，剪剪力圖(圖4.15(b))中的斜線就就會(huì)變陡。。當(dāng)→→0時(shí)，剪力圖圖上的斜線線趨于垂直直，剪力圖圖表現(xiàn)為突突變。對(duì)集集中力偶作作用的截面面可做同樣樣的解釋。。4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖圖4.16剪力圖突變變示意圖微段上受力力示意圖；；(b)集中力視為為分布力的的示意圖；；(c)集中力視為為分布力后后的剪力圖圖4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖在工程中，，常常遇到到幾根桿件件組成的框框架結(jié)構(gòu)，，例如房屋屋建筑中梁梁和柱構(gòu)成成的結(jié)構(gòu)，，在結(jié)點(diǎn)處處，梁和柱柱的截面不不能發(fā)生相相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，，或者說，，在結(jié)點(diǎn)處處兩桿件間間的夾角保保持不變，，這樣的結(jié)結(jié)點(diǎn)稱為剛剛結(jié)點(diǎn)(stiffjoint)，具有剛結(jié)結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)構(gòu)稱為剛架架(rigidframe)。如果剛架的的支座反力力和內(nèi)力均均能由靜力力平衡條件件確定，這這樣的剛架架稱為靜定定剛架。作作剛架內(nèi)力力圖的方法法基本上與與梁相同。。通常平面面剛架的內(nèi)內(nèi)力除剪力力、彎矩之之外還有軸軸力，作圖圖時(shí)要分桿桿進(jìn)行。下面舉例說說明靜定剛剛架彎矩圖圖的作法，，至于軸力力圖和剪力力圖，需要要時(shí)可按類類似的方法法繪制。4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖【例4.7】平面剛架ABC，承受圖4.17(a)所示載荷作作用，已知知均布荷載載集度為q，集中力，，試試作剛架的的彎矩圖。。圖4.17例4.7圖4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖解：(1)計(jì)算支反力力。利用整整體剛架的的平衡條件件確定支座座反力，設(shè)設(shè)固定鉸支支座A的反力為，，可動(dòng)鉸支支座C的反力為，，方向如圖圖所示，列列平衡方程程有計(jì)算出的結(jié)結(jié)果均為正正值，說明明支座反力力實(shí)際方向向均與所設(shè)設(shè)方向相同同。4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖(2)建立彎矩方方程并作彎彎矩圖。在在BC桿上，以C為原點(diǎn)，取取坐標(biāo)x1。由于集中中力P的作用，BC桿上的彎矩矩方程應(yīng)分分段列出：：CD段DB段在AB桿上，以A為原點(diǎn)，取取坐標(biāo)X2，則該桿的的彎矩方程程為根據(jù)各段的的彎矩方程程作出剛架架彎矩圖，，如圖4.17(b)所示。在繪繪制彎矩圖圖時(shí)一般把把彎矩圖畫畫在桿件受受壓的一側(cè)側(cè)，而不注注明正負(fù)號(hào)號(hào)。4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖一.彎矩、剪力力和分布荷荷載集度間間的關(guān)系在例題4.3中，若將彎彎矩方程M（x）\的表達(dá)式對(duì)對(duì)求導(dǎo)，則則得到剪力力方程Q(x)，將剪力方方程Q(x)的表達(dá)式對(duì)對(duì)x求導(dǎo)，則得得到均布載載荷集度q。事實(shí)上，，在直梁中中載荷集度度和剪力、、彎矩之間間的關(guān)系是是普遍存在在的。掌握握這些關(guān)系系，對(duì)于繪繪制剪力圖圖和彎矩圖圖很有幫助助，還可以以檢查所繪繪制的剪力力圖和彎矩矩圖是否正正確。下面面就來研究究載荷集度度q和剪力Q、彎矩M之間的關(guān)系系。設(shè)有任意載載荷作用下下的直梁，，如圖4.18(a)所示，以梁梁的左端為為原點(diǎn)，選選取x坐標(biāo)軸，梁梁上的分布布載荷q(x)是x的連續(xù)函數(shù)數(shù)，并規(guī)定定向上為正正。從x截面處截取取長度為dx微段，表示示于圖4.18(b)中。4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖dx微段上承受受分布載荷荷q(x)作用，設(shè)x橫截面上的的彎矩和剪剪力分別為為M(x)和，，坐坐標(biāo)為x+dx的橫截面上上的彎矩和和剪力則分分別為M(x)+Md(x)和+，方向如圖圖4.18(b)所示。圖4.18梁微段的內(nèi)內(nèi)力示意圖圖4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖對(duì)微段列平平衡方程有有略去高階微微量后后(4.3)(4.2)4.4剪力方程和和彎矩方程程剪力圖圖和彎矩圖圖若將公式(4.3)中的的對(duì)對(duì)求導(dǎo)導(dǎo)一次，并并帶入式(4.2)，則式(4.2)、式(4.3)和式(4.4)即為載荷集集度、剪力力和彎矩之之間的微分分關(guān)系，式式(4.2)表示剪力圖圖上某點(diǎn)處處的切線斜斜率等于相相應(yīng)點(diǎn)處荷荷載集度的的大小；公公式(4.3)表示彎矩圖圖上某點(diǎn)處處的切線斜斜率等于相相應(yīng)點(diǎn)處剪剪力的大小小。(4.3)4.5內(nèi)力與分布布荷載間的的關(guān)系及其其應(yīng)用二.常見荷載下下梁的剪力力圖與彎矩矩圖的特征征根據(jù)q、、、M的微分關(guān)系系，可以得得出載荷集集度、剪力力圖和彎矩矩圖三者間間的某些規(guī)規(guī)律，現(xiàn)結(jié)結(jié)合圖4.19所示的實(shí)例例(圖中未注明明具體數(shù)值值)，在圖4.19(a)中所規(guī)定的的坐標(biāo)系中中，歸納如如下。4.5內(nèi)力與分布布荷載間的的關(guān)系及其其應(yīng)用圖4.19載荷集度、、剪力圖和和彎矩圖三三者間的規(guī)規(guī)律(a)載荷分布圖圖；(d)剪力圖；(c)彎矩圖4.5內(nèi)力與分布布荷載間的的關(guān)系及其其應(yīng)用當(dāng)梁上無荷荷載作用，，即時(shí)時(shí)，剪剪力為為常數(shù)，，剪力圖為為平行于軸線線的直線。。此時(shí)彎矩矩圖由常常數(shù)可知為為一直線。如果則則為水水平直線，，如圖4.19(c)中的BC段；如果則則為傾斜斜直線，其其方向取決決于剪力的的正負(fù)號(hào)，，當(dāng)時(shí)時(shí)，彎矩圖圖為上升的的斜直線，，如圖4.19(c)中的AB段，當(dāng)時(shí)時(shí)，彎矩矩圖為下降降的斜直線線，如圖4.19(c)中的CD和DE兩段。在CD和DE這兩段中，，剪力相相等，，所以彎矩矩圖中的兩兩條斜直線線平行。(2)當(dāng)梁上的載載荷q為常數(shù)時(shí)，，由式(4.2)的可知剪力力圖上各點(diǎn)點(diǎn)的斜率為為同一個(gè)常常數(shù)，剪力力圖為一斜斜直線。4.5內(nèi)力與分布布荷載間的的關(guān)系及其其應(yīng)用從式(4.4)可知彎矩方方程為為的的二次函數(shù)數(shù)，彎矩圖圖為二次拋拋物線，如如圖4.19(c)中的EG、GH兩段。如果某段梁梁上的均布布載荷q向上，即q>0，則，，彎彎矩圖為一條下下凸拋物線線，如圖4.19(c)中的GH梁段；反之之，如果梁梁上作用向下的均均布載荷，，即q<0，則，，彎彎矩圖為一一條上凸的的曲線，如圖4.19(c)中的EG梁段。在剪剪力為為零的截截面上，當(dāng)當(dāng)=0，即彎矩圖的的斜率為零零，此處的的彎矩為極極值，如圖圖4.19(c)中的F截面的彎矩矩為極大值值，H截面的彎矩矩為極小值值。但應(yīng)注注意，極值值彎矩對(duì)全全梁來說并并不一定是是最大值的的彎矩，最最大彎矩還還有可能發(fā)發(fā)生在集中中力作用處處或者集中中力偶作用用處。4.5內(nèi)力與分布布荷載間的的關(guān)系及其其應(yīng)用(3)在集中力作作用處，剪剪力圖有突突變，突變變的數(shù)值等等于該處集集中力的大大小，此時(shí)時(shí)彎矩圖的的斜率也發(fā)發(fā)生突變，，因而彎矩矩圖上出現(xiàn)現(xiàn)一個(gè)轉(zhuǎn)折折點(diǎn)，如圖圖4.19(c)中的B、C、E截面。(4)在集中力偶偶作用處，，剪力圖無無變化，彎彎矩圖有突突變，突變變的數(shù)值等等于該處集集中力偶的的大小，在在集中力偶偶作用處的的兩側(cè)，由由于剪力相相等，所以以彎矩圖在在該點(diǎn)的斜斜率總是相相等的，如如圖4.19(c)中的D截面。現(xiàn)將這些有有關(guān)載荷集集度、剪力力圖和彎矩矩圖之間關(guān)關(guān)系的整理理為表4-1，以供參考考。下面舉例說說明上述關(guān)關(guān)系的應(yīng)用用。4.5內(nèi)力與分布布荷載間的的關(guān)系及其其應(yīng)用【例4.8】圖4.20(a)所示的外伸伸梁，承受受均布載荷荷、、集中力偶偶和和集集中力作作用，試用用微分關(guān)系系作剪力圖圖和彎矩圖圖。圖4.20例4.8圖4.5內(nèi)力與分布布荷載間的的關(guān)系及其其應(yīng)用解：(1)計(jì)算支反力力。利用靜靜力平衡條條件，求得得梁的支反反力為在AD段上荷載q=0，剪力圖為為水平直線線。由于集集中力偶兩兩側(cè)的剪力力相等，故故(2)繪制剪力圖圖。應(yīng)用微微分關(guān)系繪繪制剪力圖圖時(shí)，從梁梁的左端開開始，易知知，在CA段上，荷載載，所以剪剪力圖為水水平直線，，故。。在在支座A上，有向上上的支反力力，，使剪力力圖產(chǎn)生突突變，其值值為5KN，故A截面右側(cè)剪剪力為4.5內(nèi)力與分布布荷載間的的關(guān)系及其其應(yīng)用(3)確定承載能能力。若已已知拉壓桿桿的截面尺尺寸和材料料的許用應(yīng)應(yīng)力，則強(qiáng)強(qiáng)度度條件變變成≤(2.18)以確定構(gòu)件件所能承受受的最大軸軸力，再確確定構(gòu)件能能承擔(dān)的許許可荷載。。最后還應(yīng)指指出，如果果最大工作作應(yīng)力略略微微大于許用用應(yīng)力，即即一般不超超過許用應(yīng)應(yīng)力的5%，在工程上上仍然被認(rèn)認(rèn)為是允許許的。4.5內(nèi)力與分布布荷載間的的關(guān)系及其其應(yīng)用【例2.5】用繩索起吊吊鋼筋混凝凝土管，如如圖2.24(a)所示，管子子的重量，，繩索的