高數(shù)下-yaf高數(shù)課件求原來(lái)那個(gè)函數(shù)問(wèn)題

第四不定積分indefinite第四不定積分已會(huì)求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算常要解決相反的問(wèn)題,就是已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分,求原來(lái)那個(gè)函數(shù)的問(wèn)題 例已知某曲線的切線斜率為2x,求此曲線的方程某質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),已知運(yùn)動(dòng)速度函v

v0求路程函數(shù)本章研究微分運(yùn)算的逆

不定積分1第一不定積分的概念與性indefinite原函數(shù)與不定積分的概念不定積分的性質(zhì)基本積分公式小結(jié)思考題作業(yè)2一、原函數(shù)與不定積分的概幾何幾何問(wèn)例設(shè)曲線方程上任一點(diǎn)的切線斜率都等于切點(diǎn)設(shè)曲線方程為y

f(x),y

2x,滿足此條件的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè) yx2

yx2

yx2 所求曲線方y(tǒng)x2

C,

C為任意常數(shù) 311定義

如果在區(qū)間I

F(x)

fx) dF(x)

f(x)dx

則稱Fx)為

x)在I上的例

x)

cos

或由dsinx

cosxdxF(x)

sin

fx

x在(,)上的一CF

xC也

f(x)

cos的原函數(shù),其中C為任意常4原函數(shù)存在定理若fxC[a

則它必有原函數(shù)簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)問(wèn)題：(1)原函數(shù)是否唯一(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系（3）原函數(shù)是否必為連續(xù)函數(shù)例

x

cos

xC

cos（C為任意常數(shù)5關(guān)于原函數(shù)的（1）若Fx

f(

，則對(duì)于任意常數(shù)CF(x)

C

fx)的原函數(shù)（2）若Fx)

和Gx

f(

的原函數(shù)則F(x)G(x) （為任意常數(shù)證 F(x)G(x)F(x)G(x)f(x)f(x) F(x)G(x)

（C為任意常數(shù)6定理如果定理如果Fx)是fx)在區(qū)間I上的一個(gè)原函則f(x)在區(qū)間I上的任一FxC的形其中C為某一常只要找到f(x)的一個(gè)原函數(shù),就知道如何求其原7 不定積分的概念與性 總和(1)定定義2設(shè)Fx)是fx)的任一原,則fx)全部原函數(shù)的一般表Fx稱為函數(shù)f(x)的不定積分.記為ff(x)dxF(x)被被積積積分函表變數(shù)達(dá)量82.不定積

f(x)x

(x)

被積函數(shù)是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)被積表達(dá)式是不定積分表示那些導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)的

或說(shuō)其微分等于被積表達(dá)式的因此絕不能漏寫(xiě)積分常數(shù)為積分運(yùn)算,它是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算.9x5dx.解x66F(x)5xdx5x6C6求11x2解F(x)11x11x2dxarctanx(2)不定積分的幾何意yFx)的圖形是

y平面的一條曲線稱為

的積分曲線

yFxC

yFx向平行于y軸的方向任yCOx上下移動(dòng),得出的無(wú)窮多條曲線yCOx積分曲線族

由于不論常數(shù)C取何值,[F(x)C]

f(x)y同一x處其導(dǎo)數(shù)等于f(x),各切線相互平行

yF(x)yF(x) (例

解y2x的曲線族

yyOxyxyyOx2y2xdx2

x2有622

C 故所求曲線方y(tǒng)x2例已知物體運(yùn)動(dòng)速度

v0,求路程函解v

atv0,所s

)dt

12

vt其中C.若t路程函數(shù)為

s2

at

v0t.二、不定積分的

fx)dxfx

f(x)dx]

f(

FxC

dF(x)

F(x)結(jié)論微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的如dsinx

xC,

1gt2d d

1gt22[

f(x)

g(x)]dx

f(x)dx

g(

f(x)dxg(

f(x)dx

g(

f(x)

g(x)等式成立（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況

(x)dxk

fx)dx（k

(2)，(3)稱為線性性質(zhì)思考思考k0,等式是否成立三、基本積分公x x實(shí)例

1

xdx

1(啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公結(jié)論積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的

積分公式

(k是常數(shù) x

xdx

1

(

(3)

ln

x|Cx說(shuō)明：x0,

dxx

lnxx

[ln(x)]

1(x) x

ln(x)

x

ln

x|Cx

x

x

1x2

dx

x1x

x

sinxdx

x

cos2

xdx

x

sin2x

x

secx

xdx

secx

cscx

cscx

exdx

ex

axdx

aCln

shxdx

chx

chxdx

shx利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式,可求出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分,稱為直接積分法.例x2

5解

xdx

x2 x由公式51x

dx1 52

x27例求積分

1x

11x1x11x

dx

1x2

1x3arctanx

x1xx例求積分

x(1

x2)dx.1xx2

x(1

x2解x(1

x2)dx

x(1

x2)

1

dx

1dx1x

x

1x2 arctanxlnx12x例

x2(1

dx.x212x

1x

x解x2(1

dxx2

x2(1

x2)分項(xiàng)積分 1dx 分項(xiàng)積分x2 1x2x

利用線性性質(zhì)計(jì)算積分,稱為分項(xiàng)積分法.例求積分

dx.1cos2解 dx

dx1cos2

12cos2x

dxx

12

x例解

1x1

xdx

x

x

xcos2

xcos2

dxx

sin2x

x例已知一曲線yf(x)在點(diǎn)xf(x))處的切

xsinx,

且此曲線與y軸的交點(diǎn)(0,5),求此曲線的方程 dy

xsiny

x

x)dxtan

cosx y(0)

C所求曲線方

ytan

x1

x1cos2 1cos2

2

x

xcsc1(cot

xcscx)1x2

2x21x2

1x2 tan2

(sec2

xdx

1

cos 四、小原函數(shù)的概

F(x)

f(x)不定積分的

f(x)dx

F(x)不定積分的幾何意不定積分的

求e|x|解應(yīng)先將絕對(duì)值符號(hào)化掉,即將|x|化作分段函數(shù)|x|

ex

x ex

xexC xe|x