高數(shù)下-yaf高數(shù)課件求原來那個函數(shù)問題

第四不定積分indefinite第四不定積分已會求已知函數(shù)的導數(shù)和微分的運算常要解決相反的問題,就是已知函數(shù)的導數(shù)或微分,求原來那個函數(shù)的問題 例已知某曲線的切線斜率為2x,求此曲線的方程某質(zhì)點作直線運動,已知運動速度函v

v0求路程函數(shù)本章研究微分運算的逆

不定積分1第一不定積分的概念與性indefinite原函數(shù)與不定積分的概念不定積分的性質(zhì)基本積分公式小結(jié)思考題作業(yè)2一、原函數(shù)與不定積分的概幾何幾何問例設曲線方程上任一點的切線斜率都等于切點設曲線方程為y

f(x),y

2x,滿足此條件的函數(shù)有無窮多個 yx2

yx2

yx2 所求曲線方y(tǒng)x2

C,

C為任意常數(shù) 311定義

如果在區(qū)間I

F(x)

fx) dF(x)

f(x)dx

則稱Fx)為

x)在I上的例

x)

cos

或由dsinx

cosxdxF(x)

sin

fx

x在(,)上的一CF

xC也

f(x)

cos的原函數(shù),其中C為任意常4原函數(shù)存在定理若fxC[a

則它必有原函數(shù)簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)問題：(1)原函數(shù)是否唯一(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系（3）原函數(shù)是否必為連續(xù)函數(shù)例

x

cos

xC

cos（C為任意常數(shù)5關于原函數(shù)的（1）若Fx

f(

，則對于任意常數(shù)CF(x)

C

fx)的原函數(shù)（2）若Fx)

和Gx

f(

的原函數(shù)則F(x)G(x) （為任意常數(shù)證 F(x)G(x)F(x)G(x)f(x)f(x) F(x)G(x)

（C為任意常數(shù)6定理如果定理如果Fx)是fx)在區(qū)間I上的一個原函則f(x)在區(qū)間I上的任一FxC的形其中C為某一常只要找到f(x)的一個原函數(shù),就知道如何求其原7 不定積分的概念與性 總和(1)定定義2設Fx)是fx)的任一原,則fx)全部原函數(shù)的一般表Fx稱為函數(shù)f(x)的不定積分.記為ff(x)dxF(x)被被積積積分函表變數(shù)達量82.不定積

f(x)x

(x)

被積函數(shù)是原函數(shù)的導數(shù)被積表達式是不定積分表示那些導數(shù)等于被積函數(shù)的

或說其微分等于被積表達式的因此絕不能漏寫積分常數(shù)為積分運算,它是微分運算的逆運算.9x5dx.解x66F(x)5xdx5x6C6求11x2解F(x)11x11x2dxarctanx(2)不定積分的幾何意yFx)的圖形是

y平面的一條曲線稱為

的積分曲線

yFxC

yFx向平行于y軸的方向任yCOx上下移動,得出的無窮多條曲線yCOx積分曲線族

由于不論常數(shù)C取何值,[F(x)C]

f(x)y同一x處其導數(shù)等于f(x),各切線相互平行

yF(x)yF(x) (例

解y2x的曲線族

yyOxyxyyOx2y2xdx2

x2有622

C 故所求曲線方y(tǒng)x2例已知物體運動速度

v0,求路程函解v

atv0,所s

)dt

12

vt其中C.若t路程函數(shù)為

s2

at

v0t.二、不定積分的

fx)dxfx

f(x)dx]

f(

FxC

dF(x)

F(x)結(jié)論微分運算與求不定積分的運算是互逆的如dsinx

xC,

1gt2d d

1gt22[

f(x)

g(x)]dx

f(x)dx

g(

f(x)dxg(

f(x)dx

g(

f(x)

g(x)等式成立（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況

(x)dxk

fx)dx（k

(2)，(3)稱為線性性質(zhì)思考思考k0,等式是否成立三、基本積分公x x實例

1

xdx

1(啟示能否根據(jù)求導公式得出積分公結(jié)論積分運算和微分運算是互逆的

積分公式

(k是常數(shù) x

xdx

1

(

(3)

ln

x|Cx說明：x0,

dxx

lnxx

[ln(x)]

1(x) x

ln(x)

x

ln

x|Cx

x

x

1x2

dx

x1x

x

sinxdx

x

cos2

xdx

x

sin2x

x

secx

xdx

secx

cscx

cscx

exdx

ex

axdx

aCln

shxdx

chx

chxdx

shx利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式,可求出一些簡單函數(shù)的不定積分,稱為直接積分法.例x2

5解

xdx

x2 x由公式51x

dx1 52

x27例求積分

1x

11x1x11x

dx

1x2

1x3arctanx

x1xx例求積分

x(1

x2)dx.1xx2

x(1

x2解x(1

x2)dx

x(1

x2)

1

dx

1dx1x

x

1x2 arctanxlnx12x例

x2(1

dx.x212x

1x

x解x2(1

dxx2

x2(1

x2)分項積分 1dx 分項積分x2 1x2x

利用線性性質(zhì)計算積分,稱為分項積分法.例求積分

dx.1cos2解 dx

dx1cos2

12cos2x

dxx

12

x例解

1x1

xdx

x

x

xcos2

xcos2

dxx

sin2x

x例已知一曲線yf(x)在點xf(x))處的切

xsinx,

且此曲線與y軸的交點(0,5),求此曲線的方程 dy

xsiny

x

x)dxtan

cosx y(0)

C所求曲線方

ytan

x1

x1cos2 1cos2

2

x

xcsc1(cot

xcscx)1x2

2x21x2

1x2 tan2

(sec2

xdx

1

cos 四、小原函數(shù)的概

F(x)

f(x)不定積分的

f(x)dx

F(x)不定積分的幾何意不定積分的

求e|x|解應先將絕對值符號化掉,即將|x|化作分段函數(shù)|x|

ex

x ex

xexC xe|x