導(dǎo)學(xué)案-命題的概念和例子

命題的概念和例子[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．了解命題、真命題、假命題的概念．2．了解命題的特點(diǎn)，會(huì)判斷一個(gè)語句是不是命題以及命題的真假性．[知識(shí)鏈接]1．在初中，我們已學(xué)過許多數(shù)學(xué)命題，當(dāng)時(shí)是如何定義命題的，你能舉出一些例子嗎？答：判斷一件事情的句子叫命題．如：有兩邊相等的三角形是等腰三角形．2．怎樣判斷命題的真假？答：看命題是否正確，要看它是否與客觀事實(shí)相符合．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．可以判斷成立或不成立的語句叫作命題，成立的命題叫作真命題，不成立的命題叫作假命題．2．暫時(shí)不知道真假的命題可以叫作猜想要點(diǎn)一命題的判斷例1下列語句是命題的是()A．x－1＝0 B．2＋3＝8C．你會(huì)說英語嗎？D．這是一棵大樹答案B解析A中x不確定，x－1＝0的真假無法判斷；B中2＋3＝8是命題，且是假命題；C不是陳述句，故不是命題；D中“大”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，無法判斷真假．規(guī)律方法并不是所有的語句都是命題，只有能判斷真假的陳述句才是命題，命題首先是“陳述句”，其他語句如疑問句、祈使句、感嘆句等一般都不是命題；其次是“能判斷真假”，不能判斷真假的陳述句不是命題，如“x≥2”、“小高的個(gè)子很高”等都不能判斷真假，故都不是命題．因此，判斷一個(gè)語句是否為命題，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：①是否為陳述句；②能否判斷真假．跟蹤演練1判斷下列語句是否為命題，并說明理由．(1)f(x)＝3x(x∈R)是指數(shù)函數(shù)；(2)x－2>0；(3)集合{a，b，c}有3個(gè)子集；(4)這盆花長(zhǎng)得太好了！解(1)“f(x)＝3x(x∈R)是指數(shù)函數(shù)”是陳述句并且它是真的，因此它是命題．(2)因?yàn)闊o法判斷“x－2>0”的真假，所以它不是命題．(3)“集合{a，b，c}有3個(gè)子集”是假的，所以它是命題．(4)“這盆花長(zhǎng)得太好了！”是感嘆句，它不是命題．要點(diǎn)二命題真假的判斷例2判斷下列語句是不是命題，如果是命題，指出是真命題還是假命題．(1)任何負(fù)數(shù)都大于零；(2)△ABC與△A1B1C1是全等三角形；(3)x2＋x>0；(4)6是方程(x－5)(x－6)＝0的解；(5)方程x2－2x＋5＝0無實(shí)數(shù)解．解(1)負(fù)數(shù)都是小于零的，因此“任何負(fù)數(shù)都大于零”是不正確的，所以它能構(gòu)成命題，而且這個(gè)命題是個(gè)假命題．(2)兩個(gè)三角形為全等三角形是有條件的，本題無法判定△ABC與△A1B1C1是否為全等三角形，所以它不是命題．(3)因?yàn)閤是未知數(shù)，無法判斷x2＋x是否大于零，所以“x2＋x>0”這一語句不是命題．(4)6確實(shí)是所給方程的解，所以它是命題，是真命題．(5)由于給定方程x2－2x＋5＝0，我們就可以用其判別式來判斷它是否有實(shí)數(shù)解．由Δ＝4－4×5＝－16<0知，方程x2－2x＋5＝0無實(shí)數(shù)解是命題，且是真命題．規(guī)律方法要判斷一個(gè)命題是真命題，一般需要經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證，在判斷時(shí)，要有理有據(jù)，有時(shí)應(yīng)綜合各種情況作出正確的判斷，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．跟蹤演練2下列命題：①若xy＝1，則x、y互為倒數(shù)；②四條邊相等的四邊形是正方形；③平行四邊形是梯形；④若ac2>bc2，則a>b.其中真命題的序號(hào)是________．答案①④解析①④是真命題，②四條邊相等的四邊形是菱形，不一定是正方形，③平行四邊形不是梯形．1．下列語句不是命題的有()①2<1；②x<1；③若x<2，則x<1；④函數(shù)f(x)＝x2是R上的偶函數(shù)．A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)答案B解析①③④可以判斷真假，是命題；②不能判斷真假，所以不是命題．2．下列命題中的真命題是()A．互余的兩個(gè)角不相等B．相等的兩個(gè)角是同位角C．若a2＝b2，則|a|＝|b|D．三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角答案C解析由平面幾何知識(shí)可知A、B、D三項(xiàng)都是錯(cuò)誤的．3．語句“若a>b，c∈R，則a＋c>b＋c”是()A．不是命題 B．真命題C．假命題D．不能判斷真假答案B解析考查不等式的性質(zhì)，兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)不等式仍然成立．4．下列命題：①面積相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，則|x|＋|y|＝0；③若a>b，則ac2>bc2；④矩形的對(duì)角線互相垂直．其中假命題的個(gè)數(shù)是________．答案4解析①等底等高的三角形都是面積相等的三角形，但不一定全等；②當(dāng)x，y中一個(gè)為零，另一個(gè)不為零時(shí)，|x|＋|y|≠0；③當(dāng)c＝0時(shí)不成立；④菱形的對(duì)角線互相垂直．矩形的對(duì)角線不一定垂直．1．由命題的定義知，要判斷一個(gè)語句是否為命題要抓住兩點(diǎn)：一是陳述句；二是能判斷真假．2．命題有真假之分，真命題是我們學(xué)過的公理、定理、公式、法則或可以經(jīng)過推理證明正確的命題；假命題的判斷只需要舉一反例即可.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．下列語句是命題的是()A．2022是一個(gè)大數(shù)B．若兩直線平行，則這兩條直線沒有公共點(diǎn)C．對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？D．a(chǎn)≤15答案B解析A、D不能判斷真假，不是命題；B能夠判斷真假而且是陳述句，是命題；C是疑問句，不是命題．2．下列命題是真命題的是() A.{?}是空集B.{x∈N||x－1|<3}是無限集C.π是有理數(shù)D.x2－5x＝0的根是自然數(shù)答案D解析x2－5x＝0的根為x1＝0，x2＝5，均為自然數(shù)．3．已知α、β、γ是三個(gè)不同的平面，命題“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是正確的．如果把α、β、γ中的任意兩個(gè)換成直線，在所得的命題中，真命題有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)答案C解析把α、β?lián)Q成直線a、b時(shí)，則該命題可改寫為“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，由直線與平面垂直的判定定理可知，該命題是正確的；把α、γ換成直線a、b時(shí)，則該命題可改寫為“a∥β，且a⊥b?β⊥b”，它是判斷直線與平面的位置關(guān)系的，顯然是錯(cuò)誤的；把β、γ換成直線a、b，則該命題改為“a∥α，b⊥α?a⊥b”，顯然成立．4．(2022·天津，理)已知下列三個(gè)命題：①若一個(gè)球的半徑縮小到原來的eq\f(1,2)，則其體積縮小到原來的eq\f(1,8)；②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；③直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝eq\f(1,2)相切．其中真命題的序號(hào)是()A．①②③ B．①②C．①③D．②③答案C解析①是真命題；②標(biāo)準(zhǔn)差除了與平均數(shù)有關(guān)，還與各數(shù)據(jù)有關(guān)，是假命題；③圓心到直線的距離等于半徑，所以直線與圓相切，是真命題．5．已知a、b為兩條不同的直線，α、β為兩個(gè)不同的平面，且a⊥α，b⊥β，則下列命題中的假命題是________．①若a∥b，則α∥β②若α⊥β，則a⊥b③若a、b相交，則α、β相交④若α、β相交，則a、b相交答案④解析④中如果α、β相交，a和b可以相交，也可以異面．6．下列命題，是真命題的是________．①若ab＝0，則a2＋b2＝0②若a>b，則ac>bc③若M∩N＝M，則N?M④若M?N，則M∩N＝M答案④解析①中，a＝0，b≠0時(shí)，a2＋b2＝0不成立；②中，c≤0時(shí)不成立；③中，M∩N＝M說明M?N.故①②③皆錯(cuò)誤．7．若x∈Z，給出下列語句：(1)x2－2x－3＝0；(2)x2＋1<0；(3)|x|>5；(4)x∈R.試判斷它們是否為命題？若是，判斷其真假，并說明理由．解對(duì)語句(1)無法判斷真假，因?yàn)椴唤o定變量x的值時(shí)，不能確定x2－2x－3的值是否為0，∴(1)不是命題；對(duì)語句(2)可以判斷真假，因?yàn)閷?duì)任意的整數(shù)x都有x2＋1≥1成立，故x2＋1<0是一個(gè)假命題；對(duì)語句(3)同(1)一樣，無法判斷其真假，故(3)也不是命題；由于整數(shù)一定是實(shí)數(shù)，∴可以判斷(4)是正確的，即(4)是一個(gè)真命題．二、能力提升8．l1、l2、l3為空間三條不同的直線，則下列命題正確的是() A.l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B.l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C.l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面答案B解析當(dāng)l1⊥l2，l2⊥l3時(shí)，l1也可能與l3相交或異面，故A不正確；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故B正確；當(dāng)l1∥l2∥l3時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C不正確；l1，l2，l3共點(diǎn)時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如正方體從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故D不正確．9．給定下列命題：①若k>0，則方程x2＋2x－k＝0有實(shí)數(shù)根；②若a>b>0，c>d>0，則ac>bd；③對(duì)角線相等的四邊形是矩形；④若xy＝0，則x、y中至少有一個(gè)為0.其中真命題的序號(hào)是()A．①②③B．①②④C．①③④ D．②③④答案B解析①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故為真命題；②由不等式的性質(zhì)知，顯然是真命題；③如等腰梯形對(duì)角線相等，不是矩形，故為假命題；④為真命題．10．給出下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中，是真命題的是________(填序號(hào))．答案②④解析命題①是假命題，“兩條直線”應(yīng)改為“兩條相交直線”；命題②是面面垂直的判定定理，是真命題；命題③是假命題，垂直于同一直線的兩條直線可能平行、異面或相交；命題④是面面垂直的性質(zhì)定理的另一種說法，是真命題．11．判斷下列命題的真假．(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有最大值；(2)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差大于零；(3)函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．解(1)假命題．當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，有最小值．(2)假命題．反例：若此數(shù)列為遞減數(shù)列，如數(shù)列20,17,14,11,8,5,2，它的公差是－3.(3)真命題．y＝eq\f(1,x)是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．12．已知A：5x－1>a，B：x>1，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)a，使得如果A那么B為真命題．解若A則B，即“若x>eq\f(1＋a,5)，則x>1”，由命題為真命題可知eq\f(1＋a,5)≥1，解得a≥4.三、探