高考數(shù)學(xué)第57煉 放縮法證明數(shù)列不等式

nn第放一、基礎(chǔ)知識(shí)：在前面的章節(jié)中也介紹了有關(guān)列不等式的內(nèi)容有些數(shù)列的題目中要據(jù)不等式的性質(zhì)通過(guò)放縮問(wèn)題化歸為我們熟悉的內(nèi)容進(jìn)行求解節(jié)過(guò)一些例子來(lái)介紹利用放縮法證明不等式的技巧1、放縮法證明數(shù)列不等式的理依據(jù)——不等式的性質(zhì)：（）傳性：若

ab,b，則（性質(zhì)為放縮法的基礎(chǔ)，即若要證明，無(wú)法直接證明，則可尋找一個(gè)中間量，得a，而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證明c可）（）

a,

，則

a

，此性質(zhì)可推廣到多項(xiàng)求和：若

f12

,n

:

1

fn（）若需要用到乘法，則對(duì)應(yīng)性質(zhì)為：若

abd

，則

，此性質(zhì)也可推廣到多項(xiàng)連乘，但要求涉及的不等式兩側(cè)均為正數(shù)注：這兩條性質(zhì)均要注意條件與結(jié)論的不等號(hào)方向均相同2、放縮的技巧與方法：（）見的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：①等數(shù)列求和公式：

Sn

a1，關(guān)于的一次函數(shù)或常值函數(shù)）2②等數(shù)列求和公式：

S

aq

n

（關(guān)于的數(shù)類函數(shù)）錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差等”的形式裂項(xiàng)相消通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)鄰項(xiàng)的差原列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)（）求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：在數(shù)列中和通項(xiàng)以放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮小（應(yīng)與所證的不等號(hào)同方向）在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微4a4a調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)余項(xiàng)放縮從減小放縮的程度，使之符合所證不等式二方法就是推翻了原有縮進(jìn)行設(shè)計(jì)擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。（）縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：①裂相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）②等數(shù)列：所面對(duì)的問(wèn)題通常為n

常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足

，如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為

a11

的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式再原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較看不等號(hào)的方向是否符合條件即可如常數(shù)1。即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，即通項(xiàng)公式為2

=

，注此法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)所出等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響（）數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問(wèn)題：此類問(wèn)題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問(wèn)題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，n

fn

或

nfan

（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)后過(guò)“累加”“累乘”達(dá)到一側(cè)，一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成n證明3、常見的放縮變形：（）

11nn2

，其中

nnN

1：可稱為進(jìn)可攻，退可守n2照所證不等式不等號(hào)的方向進(jìn)行選擇。注：對(duì)于

1n2

，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個(gè)常數(shù)，即可放縮為符合裂項(xiàng)相消n211n211特征的數(shù)列，例如：

122

1n

，這種放縮的尺度要小于（）的式子。此外還可以構(gòu)造放縮程度更小的，如：14n24

11112n2n（）

，從而有：

n

2n

2

注：對(duì)于

1n

還可放縮為：

n2,n2,nN

（）子分母同加常數(shù)：

bbaaa

此結(jié)論容易記混通常在解題時(shí)種方法作為一種思考的方向到了具體問(wèn)題時(shí)不妨先構(gòu)造出形式再驗(yàn)證不等關(guān)系。（）

n

2n

n

2n22n

12n

2

可推廣為：

n

n

kkn

k

1n

,Nk二、典型例題：例1：已知數(shù)列

n

n

項(xiàng)和為

Sn

，若

n

n

，且

1（）證：數(shù)列

n

列，并求出

n

式（）

n

n

S

n

，數(shù)列

項(xiàng)和為T，求證：n

32解）

n

n

n

n

n1n14n

n

n

即

n

n

a2nnanna2a2,n,anan

a,3a2annann

an2n3a2n2

5n即n2332n

n

a，2n

令可：n12ann

，驗(yàn)證

1

符合上式a2nn

n

2（）由（1）得：

bn

1

n

2

1n

1可知當(dāng)2，n

111nn

n1不等式得證

2313n

1n例2：設(shè)數(shù)列

n

a1

n

nn

，設(shè)S為列項(xiàng)，已知nn1

，

2b,nNn1

（）數(shù)列

n

n

式（）證：對(duì)任意的

N

且

2

，有

1aa2

1ann解）

n

a

n

n

的等比數(shù)列3131bnnn3131bnnnnn1

在

n

，

b11112n

n2n

n

2nn

bnn

的等比數(shù)列bnn1（）明：

1ann

1nn1a233

1ann

13

1123例3：已知正項(xiàng)數(shù)列

n

項(xiàng)和為

S

n

，且

an

1an

nNn

（）證：數(shù)列

n（）數(shù)

11bTnnn1

1bn

，明

31n2n解）

1aSaSn

n

n

1Sn

n

n

n

2n

2n

n（）路：先利用）求出

S

n

的公式進(jìn)而求出

b

，則

1bnn

，考慮進(jìn)行放縮求和，結(jié)合不等號(hào)的方向向裂項(xiàng)相消的形式進(jìn)行放縮。n1annnn1annn1解：令代入San

n

可得：1a2a111

即

由

：n

2n

1

Sn1bnnn

nn考慮先證

Tn

312

n

n

1n

時(shí)n

11231

111nn

時(shí)，

13231T2n再證

Tn

1n

nn1n13

n

綜上所述：

312小煉有話說(shuō)：本題在證明中用到個(gè)常見的根式放縮：n

1nnn2nn2222n2nn2222n例4：已知數(shù)列

n

a1

n

,nN

（）證：數(shù)列

是等比數(shù)列，并求出數(shù)列

n（）

cn

nan

，證

c12

n

1724解）a

n

a

an

ann

是公比為的比數(shù)列a1n

nan

2

n（）路：

ncann

n

，無(wú)法直接求和，所以考慮放縮成為可求和的通項(xiàng)公式（不等號(hào)：要放縮為裂項(xiàng)相消的形式，那么需要構(gòu)造出“順序同構(gòu)”的特點(diǎn)。觀察分母中有n，故分子分母通乘以

，再進(jìn)行放縮調(diào)整為裂項(xiàng)相消形式。解：

n

n1an

n而

11nnn

n所以

n

nn

n

11

n

c

445

1

1111717224n2424

c

c11123

16172424小煉有話說(shuō)本先確定放縮的類型，向裂項(xiàng)相消放縮，從而按“依序同構(gòu)”的目標(biāo)進(jìn)252252行構(gòu)造，在構(gòu)造的過(guò)程中注意不等號(hào)的方向要與所證一致。（）求和過(guò)程中需要若干項(xiàng)不動(dòng)，其余進(jìn)行放縮，從而對(duì)求和的項(xiàng)數(shù)會(huì)有所要求（比如本題中才有放縮的情況于少項(xiàng)數(shù)要進(jìn)行驗(yàn)證。例：已知數(shù)列

n

n項(xiàng)和nan

，且

3（）

1（）數(shù)列

n

n

項(xiàng)和

S

n（）數(shù)列

n

n項(xiàng)和Tn

，且滿足

bn

nn

，求證：

T

解）在

nan

中，令

可得：a21aa3aa1（）

nann

①

n

n

②①

②可得：nanaan

nn

n

6的差數(shù)列nSnnn（）（）可得：

n

33n

n

3n

3

n2

n

82nnnnnn1nnn1nn2nnnnnn1nnn1nnnnnn

n23n3例6：已知數(shù)列

n

a1

14

,n

ann

nN

（）判斷數(shù)列

1an

是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由（設(shè)

ann

數(shù)

和為求對(duì)意的n

n

,n

47解）

an

ann

12naaan

1a

2an

a

2

an

為公比是的比數(shù)列（2）思路：首先由（1）可求出

n

的通項(xiàng)公式

a

n

3

1

，對(duì)于sin

2

可發(fā)現(xiàn)

n

為奇數(shù)時(shí)，

sin

，

n

為偶數(shù)時(shí)，

sin

，結(jié)合

n

可其寫成

sin

從求出

cn

3

1n

無(wú)直接求和考對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行放縮想到等比數(shù)列

cn

3

1n

13

n

，求和后與所證不等式右端常數(shù)比較后再進(jìn)行調(diào)整（需前兩項(xiàng)不動(dòng)）即可。解：

1a1

，由（）得：1a

aan

3

1

而

sin

ann

2

3

3

1n

n12n121221nnnnn113nn12n121221nnnnn113nbn

113

n當(dāng)

n

時(shí)，

1b3

13

n114

1474因?yàn)?/p>

n

T1

nN

,n

47例7：已知數(shù)列

n

a1

32

，且

an

nan2an

N

（）數(shù)列

n

式（）明對(duì)一正數(shù)，均有1

n解）

an

nan2an

1an2nnana3a3annnnnn設(shè)

bn

n即a33nbn

11b為公比是的等比數(shù)列3b

n

而

1ba1n

n

n（）路：所證不等式可化簡(jiǎn)為：

12132

3n

，由于是連乘形式，所以考慮放縮為分子分母可相消的特點(diǎn)，觀察分母的形式為

，所以結(jié)合不等號(hào)方向，將分11子向該形式轉(zhuǎn)化：

33n3n

，再根據(jù)右邊的值對(duì)左邊放縮的程度進(jìn)行調(diào)整即可。證明：所證不等式為：

!

232

3

等價(jià)于證明：

12132

3n

設(shè)

cn

3

c

n3n33nc2

3333

33

c1

933883272,c216即不等式得證小煉有話說(shuō)于一側(cè)是連形式的表達(dá)式放縮時(shí)可考慮通過(guò)分子分母相消達(dá)到化簡(jiǎn)式子的目的。與裂項(xiàng)相消相似按照“依序同構(gòu)”的原則構(gòu)造。（）題中用到了分式放縮的常用方法：通過(guò)分子分母加上相同的數(shù)達(dá)到放縮目的，但要注意不等號(hào)的方向（建議驗(yàn)證用放縮公式為：

a

bbaa

（分子小與分母

aaab

（分子大于分母）例8：已知函數(shù)

f

bx

2lnxf（）函

f

在

x

處切線斜率為

，

a

f

'

1a

2

，已知

1

，2n求證：n（）（）的條件下，求證：

111112

11n解）

f

bxx221211221211

n

n整理后可得：

n

n

2

n

2n

nan下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

2nn當(dāng)n時(shí)4n1

成立假設(shè)

k

n

時(shí)

k

2kk

時(shí)，不等式成立

,an（）

n

nnn由（）知

2nn

n

nan

n

1an

112an

111a2nn

12n11112

1112n1

n

1

25kk例9：已知數(shù)列

n

的各項(xiàng)均為正值，對(duì)

，alognnnn

，且

1（）數(shù)列

bn

的通項(xiàng)公式（）

k

且

k

時(shí)證對(duì)

N

，有

11bnnn

1b

32

成解）

2ann

n

a2a2nnannann

由

n

可得：的等比數(shù)列nn

n

nan

n

n（）路：所證不等式為：

11nn2

左邊含有兩個(gè)變量，考慮通過(guò)消元簡(jiǎn)化所證不等式

11只證明：知Tnn211為遞增數(shù)列所只需證明即左共n結(jié)合的nn8n2特點(diǎn)可考慮將n項(xiàng)為組

11111n1nn22n2個(gè)

個(gè)12n2n

14n4

114nn個(gè)14n4nn個(gè)

n個(gè)18n個(gè)

1

，再求和即證不等式解：所證不等式

1bbnnn

1bnk

32

由1）可得：111nn

1nk2

只需證：

111nn

12minnn設(shè)

1n

1nkk

k

1(kn

nk

1nknk

1nk

k

min

8

11nn

11只證8nn

18n1n

18n

12n

14

18n

而

1n

112n2

1n12nn個(gè)

個(gè)12n2n

14n4

114nn個(gè)14n4nn個(gè)

n個(gè)18n個(gè)

11n

118n22例10：數(shù)列

n

為的等差數(shù)列，

，列5n3,b1

b1

n（）n2時(shí)求證：

bnbn（）

且N33

時(shí)，

aa,35

,

為等比數(shù)列①求

3②當(dāng)a取最小值時(shí)，求證：3

1bbb13

114ban

1a

解）由

n

b12

可：bn

1

nbbn

n

N

n6a6aaa6a6aan6a6aaa6a6aa兩式相除可得：

bnbn（2）①思路：本題的突破口在于

既在等差數(shù)列

n

中，又在等比數(shù)列a,,,3kk

中，從而在兩個(gè)不同風(fēng)格的數(shù)列中

a

均能夠用

3

進(jìn)行表示，然后便得到

k

n

與

3

的關(guān)系式，抓住

Nn

的特點(diǎn)即可求出

3

的值n

d

a5332a3

n

a3

n

62

3另一方面，

aa,a,a,a,35k

為等比數(shù)列

a6qa33a

a

62

36

6a

6a

可視為以1為首項(xiàng)，為比的等比數(shù)列前a36a

kn

6

3

a3

能夠被6整

且633

或

3經(jīng)檢驗(yàn)：

23

或

3

均符合題意bnnnnnbnnnnn②思所證不等式兩側(cè)均為列求和的形式以先觀察兩側(cè)是否有能直接求和的式子，從而化簡(jiǎn)一側(cè)的表達(dá)式，由1和）①可知，

bn，annkn

，所以對(duì)于右側(cè)，

12k

1顯然無(wú)法直接找到求和方法。而對(duì)于，雖然沒(méi)有通項(xiàng)公式，bn但可對(duì)

bnbn

n

向可求和的方式進(jìn)行變形，得到

112bbn

，從而可想到利用裂項(xiàng)相消的方式進(jìn)行求和到

111bbb12

12b3bnn

對(duì)于右側(cè)1k

1只能考慮進(jìn)行放縮針ak

的特點(diǎn)可向等比數(shù)列靠攏，結(jié)合不等號(hào)方向可得

13k

。所以11aa

11a6

。于是所證的不等式就變?yōu)橹蛔C明2221證明慮進(jìn)放縮住33nbb3nb1n1n1n

1這個(gè)特點(diǎn)由已知可得

則n

n

但側(cè)為

n

23n

無(wú)直接放縮證明所以要對(duì)

bb1

1

bn

的放進(jìn)行整，計(jì)算出

b13

可得

1b412

，進(jìn)1b1

bn

12bbbn11234n

，但此時(shí)只能證明

4

時(shí)，不等式成立。對(duì)于

n

有