線性系統(tǒng)的時域分析法課件

第4章線性系統(tǒng)的時域分析法系統(tǒng)的時域性能指標一階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析高階系統(tǒng)的時域分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算第4章線性系統(tǒng)的時域分析法系統(tǒng)的時域性能指標14-1系統(tǒng)的時域性能指標1.典型輸入信號4-1系統(tǒng)的時域性能指標1.典型輸入信號22.動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程1）動態(tài)過程動態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程，指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。2）穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。2.動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程1）動態(tài)過程33.動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能1）動態(tài)性能及其指標描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)的作用下，動態(tài)過程隨時間t變化狀況的指標，稱為動態(tài)指標。動態(tài)性能指標有五項，分別是：延遲時間td上升時間tr調節(jié)時間ts峰值時間tp超調量σ%3.動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能1）動態(tài)性能及其指標4（1）延遲時間td第一次達到50%h(∞)的時間（2）上升時間tr到達10%h(∞)-90%h(∞)所需時間（3）峰值時間tp超過h(∞)到達第一個峰值所需時間（4）調節(jié)時間ts到達并保持在終值5％誤差內所需時間（1）延遲時間td第一次達到50%h(∞)的時間5（5）超調量σ%2）穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能用穩(wěn)態(tài)誤差描述。穩(wěn)態(tài)誤差是時間趨于無窮時系統(tǒng)實際輸出與理想輸出之間的誤差，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量

通常用tr或tp評價系統(tǒng)的響應速度；用σ％評價系統(tǒng)的阻尼程度；而ts是同時反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標（5）超調量σ%2）穩(wěn)態(tài)性能通常用tr或tp評價系統(tǒng)的響應速64-2一階系統(tǒng)的時域分析1.一階系統(tǒng)的數(shù)學模型4-2一階系統(tǒng)的時域分析1.一階系統(tǒng)的數(shù)學模型72.一階系統(tǒng)的單位階躍響應

設一階系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t),則響應為：2.一階系統(tǒng)的單位階躍響應設一階系統(tǒng)的輸入信號為單位8一階系統(tǒng)的單位階躍響應具有下列兩個重要特點：（1）可用時間常數(shù)T度量系統(tǒng)輸出的數(shù)值；（2）響應曲線的斜率初始值為1／T，并隨時間的推移而下降。一階系統(tǒng)的單位階躍響應具有下列兩個重要特點：9一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為：由于時間常數(shù)T反映系統(tǒng)的慣性，所以一階系統(tǒng)的慣性越小，其響應過程越快；反之，慣性越大，響應越慢。

一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為：由于時間常數(shù)T反映系統(tǒng)的慣性，所以103.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應當輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時，由于R(s)=1,所以系統(tǒng)輸出的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即3.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應當輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時11由圖可見，一階系統(tǒng)的脈沖響應位移單調下降的指數(shù)曲線。若定義該曲線衰減到其初始值的5％所需的時間為脈沖響應調節(jié)時間，則仍有ts=3T。故系統(tǒng)的慣性越小，響應過程越快。由圖可見，一階系統(tǒng)的脈沖響應位移單調下降的指數(shù)曲線。若定義該124.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應單位斜坡函數(shù)可視為單位階躍函數(shù)的積分，即那么，系統(tǒng)的輸出應由積分的關系4.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應單位斜坡函數(shù)可視為單位階躍函數(shù)的積13由此曲線可知，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時間而增大，最后趨于常值T，慣性越小跟蹤的準確度越高。在初始狀態(tài)下，輸出速度和輸入速度之間誤差最大。由此曲線可知，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時間而增大，最后145.一階系統(tǒng)的加速度響應設加速度輸入函數(shù)為：則系統(tǒng)的響應函數(shù)為：系統(tǒng)的跟蹤誤差為：上式表明，跟蹤誤差隨時間的推移而增大，直至無限大。因此，一階系統(tǒng)不能實現(xiàn)對加速度輸入函數(shù)的跟蹤。

5.一階系統(tǒng)的加速度響應設加速度輸入函數(shù)為：則系統(tǒng)的響應函數(shù)15一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應歸納與下表中一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應歸納與下表中16例4-1某溫度計插入溫度恒定的熱水中后，其顯示溫度隨時間變化的規(guī)律為

實驗測得當t＝60s時，溫度計讀數(shù)達到實際水溫的95％。試確定該溫度計的傳遞函數(shù)例4-1某溫度計插入溫度恒定的熱水中后，其顯示溫度隨時間變17例4-2原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：現(xiàn)采用如下圖所示的負反饋形式，與將反饋系統(tǒng)的的調節(jié)時間減小為原來的0.1，并保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù)K0與K1的取值。答案：K1=0.9,K0=10例4-2原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：答案：K1=0.9,K0=10182-2二階系統(tǒng)的時域分析1.二階系統(tǒng)的數(shù)學模型2-2二階系統(tǒng)的時域分析1.二階系統(tǒng)的數(shù)學模型19二階系統(tǒng)的特征方程為

其兩個特征根（閉環(huán)極點）為二階系統(tǒng)的時間響應取決ξ和ωn這兩個參數(shù)

二階系統(tǒng)的特征方程為其兩個特征根（閉環(huán)極點）為二階系統(tǒng)的時202.二階系統(tǒng)的單位階躍響應在單位階躍輸入信號作用下，輸出的拉氏變換為：系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應，主要取決于ξ的大小，根據的ξ大小分5種情況討論2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應在單位階躍輸入信號作用下，輸出的拉211)當ξ＜0時，稱為負阻尼狀態(tài)，特征根的分布有兩種狀況

1)當ξ＜0時，稱為負阻尼狀態(tài)，特征根的分布有兩種狀況22在此種情況下，單位階躍響應為：由于ξ＜0，動態(tài)過程為發(fā)散的正弦振蕩或單調的發(fā)散形式。從而表明ξ＜0的二階系統(tǒng)是不穩(wěn)定的在此種情況下，單位階躍響應為：由于ξ＜0，動態(tài)過程為發(fā)散的232)無阻尼狀態(tài)（ξ＝0）單位階躍響應為：系統(tǒng)為等幅振蕩狀態(tài)，視為不穩(wěn)定狀態(tài)。2)無阻尼狀態(tài)（ξ＝0）單位階躍響應為：系統(tǒng)為等幅振蕩狀態(tài)，243）欠阻尼狀態(tài)（0＜ξ＜1）特征根的分布如圖3）欠阻尼狀態(tài)（0＜ξ＜1）特征根的分布如圖25線性系統(tǒng)的時域分析法課件264）臨界阻尼狀態(tài)（ξ＝1）

在臨界阻尼狀態(tài)下，特征方程的根是二重負實根。如圖。其輸出的拉氏變換為4）臨界阻尼狀態(tài)（ξ＝1）在臨界阻尼狀態(tài)下，特征方程275）過阻尼狀態(tài)（ξ＞1）令過阻尼二階系統(tǒng)的極點為：

5）過阻尼狀態(tài)（ξ＞1）令過阻尼二階系統(tǒng)的極點為：28過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應與一階系統(tǒng)的單位階躍響應相似。是一無振蕩的單調上升曲線。其穩(wěn)態(tài)值為1過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應與一階系統(tǒng)的單位階躍響應相似。是293.欠阻尼的動態(tài)性能指標1）延遲時間2）上升時間3）峰值時間4）調節(jié)時間

3.欠阻尼的動態(tài)性能指標1）延遲時間2）上升時間3）峰值時間305）超調量5）超調量314.過阻尼的動態(tài)性能指標在過阻尼的二階系統(tǒng)中，只有延遲時間、上升時間和調節(jié)時間，而沒有峰值時間和超調量1）延遲時間

2）上升時間3）調節(jié)時間4.過阻尼的動態(tài)性能指標在過阻尼的二階系統(tǒng)中，只有延323-3高階系統(tǒng)的時域分析在控制工程中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)，即用高階微分方程描述的系統(tǒng)。對于不能用一、二階系統(tǒng)近似的高階系統(tǒng)來說，其動態(tài)性能的確定是比較復雜的。工程上采用閉環(huán)主導極點的概念對高階系統(tǒng)近似分析，從而得到高階系統(tǒng)動態(tài)指標的估計公式。3-3高階系統(tǒng)的時域分析在控制工程中，幾乎所有的控制331.高階系統(tǒng)的單位階躍響應

對于單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)一般可表示為：1.高階系統(tǒng)的單位階躍響應對于單輸入單輸出的線性定常系34線性系統(tǒng)的時域分析法課件35對上式進行拉氏反變換，并設初始條件為零，可得高階系統(tǒng)的單位階躍響應為：對上式進行拉氏反變換，并設初始條件為零，可得高階系統(tǒng)的單位階36下面分析高階系統(tǒng)單位階躍響應的特點1)高階系統(tǒng)的時間響應，是由一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的時間響應函數(shù)相組成的2)如果閉環(huán)極點都在s平面左半平面，則隨著時間t趨于無窮大，指數(shù)項分量和阻尼指數(shù)項分量都將趨于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其穩(wěn)態(tài)分量c(∞)=a3)高階系統(tǒng)的各個閉環(huán)極點對系統(tǒng)時間響應的影響程度是不同的。4)閉環(huán)零點影響時間響應的形狀。下面分析高階系統(tǒng)單位階躍響應的特點372.閉環(huán)主導極點

對于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)而言，其閉環(huán)極點和零點在s左半開平面雖有各種分布模式，但就據虛軸的距離來說，卻只有遠近之別。如果在所有的閉環(huán)極點中，距虛軸最近的極點周圍沒有閉環(huán)零點，而其它閉環(huán)極點又遠離虛軸，那么距虛軸最近的閉環(huán)極點所對應的相應分量，隨時間推移衰減緩慢，無論從指數(shù)還是從系數(shù)來看，在系統(tǒng)的時間響應過程中起主導作用，這樣的閉環(huán)極點就稱為閉環(huán)主導極點。2.閉環(huán)主導極點對于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)而言，其閉環(huán)極點和零38應用閉環(huán)主導極點的概念，可導出高階系統(tǒng)單位階躍響應的近似表達式設單位反饋高階系統(tǒng)具有一對共軛復數(shù)閉環(huán)主導極點，s1,2=-σ±jωd,0<ξ<1,則在單位階躍函數(shù)的作用下，系統(tǒng)輸出的拉氏變換的近似表達式為對上式取反拉氏變換，得高階系統(tǒng)單位階躍響應的近似表達式應用閉環(huán)主導極點的概念，可導出高階系統(tǒng)單位階躍響應的近似表達393-5線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1.穩(wěn)定性的基本概念任何系統(tǒng)在擾動作用下都偏離原平衡位置，產生初始偏差。所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動消失后由初始偏差狀態(tài)恢復原平衡位置的性能。單擺的的這種穩(wěn)定的概念，可以推廣于控制系統(tǒng)

3-5線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1.穩(wěn)定性的基本概念單擺的的這種穩(wěn)402.線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定義

1892年俄國數(shù)學家Lyapunov首先提出了穩(wěn)定性理論。根據他的理論，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可敘述如下：

若線性系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點），則稱系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動效應下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件設線性系統(tǒng)在初始條件為零時，作用一個理想的單位脈沖函數(shù)δ(t),這是系統(tǒng)的輸出增量位脈沖響應c(t)。那么系統(tǒng)穩(wěn)定的必要充分條件是：limc(t)=02.線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定義1892年俄國數(shù)學家Lyapun41設閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式且設si(i=1,2,…,n)為特征方程D(s)=0的根，而且彼此不等。那么由于δ(t)的拉氏變換為1，所以系統(tǒng)輸出增量的拉氏變換為：設閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式且設si(i=1,2,…42于是系統(tǒng)的脈沖響應為

上式表明，當且僅當系統(tǒng)的的特征根全部具有負實部時，才能使limc(t)=0成立；若特征根中有一個或一個以上的正實部根，則limc(t)→∞,表明系統(tǒng)不穩(wěn)定。若特征根中具有一個或一個以上正零實部根，而其余的特征根均具有負實部，則脈沖響應c(t)趨于常數(shù)，或趨于等幅正弦振蕩，按照穩(wěn)定性定義，此時系統(tǒng)不是漸進穩(wěn)定的。順便使出，最后一種情況稱為臨界穩(wěn)定情況。于是系統(tǒng)的脈沖響應為上式表明，當且僅當系統(tǒng)的的特征根全部具43由此可見，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均嚴格位于左半s平面3.勞斯穩(wěn)定判據根據穩(wěn)定性的充分必要條件判別線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要求出系統(tǒng)的全部特征根。對于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，并非易事。1877年勞斯提出了根據線性系統(tǒng)特征方程的系數(shù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據。稱為勞斯判據。設線性系統(tǒng)的特征方程為

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要的條件是：在上列方程中，各項系數(shù)為正數(shù)。這一條件是必要的，但不充分。

由此可見，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根44勞思表（勞斯陣列）勞思表（勞斯陣列）45勞思表（勞斯陣列）勞思表（勞斯陣列）46線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

勞思表中第一列各值為正。如果勞思表中第一列中出現(xiàn)負數(shù)，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列中各系數(shù)符號改變的次數(shù)，代表特征方程的正實部根的數(shù)目。例4-3設系統(tǒng)特征方程為試用勞斯穩(wěn)定判據判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件勞思表中第一列各值為474.勞斯穩(wěn)定判據的特殊情況

1）勞思表中某行的第一列為零，而其余各項不為零，或不全為零此時，計算勞思表下一行的第一個元素時，將出現(xiàn)無窮大，是勞斯穩(wěn)定判據的運用失效。例如此時用一個很小的正數(shù)ε代替第一列的零元素參與計算，表格計算完成后再令ε→0。4.勞斯穩(wěn)定判據的特殊情況1）勞思表中某行的第一列為零，482）勞思表中出現(xiàn)全零行此時，可用上一行的元素構造一個輔助方程F(s)=0,并對輔助方程求導得到新的方程，用新方程的系數(shù)代替該行的零元素繼續(xù)計算。2）勞思表中出現(xiàn)全零行此時，可用上一行的元素構造一個輔助49由上述勞斯陣列的第一列可以看出，第一列中元素的符號全為正，說明系統(tǒng)的特征方程沒有正實部的根。但是，由于行的元素全為零，則說明在虛軸上有共軛虛根，該根可由輔助方程來求得由上述勞斯陣列的第一列可以看出，第一列中元素的符號全為正，說505.勞斯穩(wěn)定判據的應用例4-5設比例－積分（PI）控制系統(tǒng)如下圖所示。其中，K1為與積分器有關的的待定參數(shù)。已知參數(shù)ξ＝0.2及ωn＝86.6，試用勞斯穩(wěn)定判據確定使閉環(huán)穩(wěn)定的K1取值范圍。如果要求閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部位于s=-1垂線之左，問K1值范圍又應該取多大？

5.勞斯穩(wěn)定判據的應用例4-5設比例－積分（PI）控制系統(tǒng)513-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算

1.誤差與穩(wěn)態(tài)誤差1）誤差的定義①按輸入端定義的誤差，即把偏差定義為誤差

②按輸出端定義的誤差兩者之間的關系3-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算1.誤差與穩(wěn)態(tài)誤差1）522）穩(wěn)態(tài)誤差誤差本身是時間的函數(shù)，其時域表達式為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

2）穩(wěn)態(tài)誤差誤差本身是時間的函數(shù)，其時域表達式為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤532.計算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法1）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性2）求誤差傳遞函數(shù)3）用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差2.計算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法1）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性54例4-6控制系統(tǒng)的結構如下圖所示。已知r(t)=n(t)=t,求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。例4-6控制系統(tǒng)的結構如下圖所示。已知r(t)=n(t)=553.系統(tǒng)類型與穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)1）系統(tǒng)類型對于一個典型的閉環(huán)控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)一般可寫成時間常數(shù)乘積形式，即根據ν＝0，1，2，3等分別稱0型、Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ三型系統(tǒng)等

3.系統(tǒng)類型與穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)1）系統(tǒng)類型根據ν＝0，1，2，356為了便于討論,令為了便于討論,令572）誤差系數(shù)①單位階躍輸入若r(t)=R,則R(s)=R/s,可得到穩(wěn)態(tài)誤差為

那么各型系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為2）誤差系數(shù)①單位階躍輸入若r(t)=R,則R(s)=R/58②單位速度輸入那么各型系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為②單位速度輸入那么各型系統(tǒng)的靜59③單位加速度輸入那么各型系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為③單位加速度輸入那么各型系統(tǒng)的靜604.擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差非單位反饋系統(tǒng)響應擾動的輸出信號為4.擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差非單位反饋系統(tǒng)響應擾動的輸出信號為615.減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施1）增大系統(tǒng)開環(huán)增益或擾動作用點之前系統(tǒng)的前向通道的增益2）在系統(tǒng)的前向通道或主反饋通道設置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)3）采用串級控制抑制內回路擾動5.減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施1）增大系統(tǒng)開環(huán)增益或擾動作用點62線性系統(tǒng)的時域分析法課件63線性系統(tǒng)的時域分析法課件64第4章線性系統(tǒng)的時域分析法系統(tǒng)的時域性能指標一階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析高階系統(tǒng)的時域分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算第4章線性系統(tǒng)的時域分析法系統(tǒng)的時域性能指標654-1系統(tǒng)的時域性能指標1.典型輸入信號4-1系統(tǒng)的時域性能指標1.典型輸入信號662.動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程1）動態(tài)過程動態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程，指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。2）穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。2.動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程1）動態(tài)過程673.動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能1）動態(tài)性能及其指標描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)的作用下，動態(tài)過程隨時間t變化狀況的指標，稱為動態(tài)指標。動態(tài)性能指標有五項，分別是：延遲時間td上升時間tr調節(jié)時間ts峰值時間tp超調量σ%3.動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能1）動態(tài)性能及其指標68（1）延遲時間td第一次達到50%h(∞)的時間（2）上升時間tr到達10%h(∞)-90%h(∞)所需時間（3）峰值時間tp超過h(∞)到達第一個峰值所需時間（4）調節(jié)時間ts到達并保持在終值5％誤差內所需時間（1）延遲時間td第一次達到50%h(∞)的時間69（5）超調量σ%2）穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能用穩(wěn)態(tài)誤差描述。穩(wěn)態(tài)誤差是時間趨于無窮時系統(tǒng)實際輸出與理想輸出之間的誤差，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量

通常用tr或tp評價系統(tǒng)的響應速度；用σ％評價系統(tǒng)的阻尼程度；而ts是同時反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標（5）超調量σ%2）穩(wěn)態(tài)性能通常用tr或tp評價系統(tǒng)的響應速704-2一階系統(tǒng)的時域分析1.一階系統(tǒng)的數(shù)學模型4-2一階系統(tǒng)的時域分析1.一階系統(tǒng)的數(shù)學模型712.一階系統(tǒng)的單位階躍響應

設一階系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t),則響應為：2.一階系統(tǒng)的單位階躍響應設一階系統(tǒng)的輸入信號為單位72一階系統(tǒng)的單位階躍響應具有下列兩個重要特點：（1）可用時間常數(shù)T度量系統(tǒng)輸出的數(shù)值；（2）響應曲線的斜率初始值為1／T，并隨時間的推移而下降。一階系統(tǒng)的單位階躍響應具有下列兩個重要特點：73一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為：由于時間常數(shù)T反映系統(tǒng)的慣性，所以一階系統(tǒng)的慣性越小，其響應過程越快；反之，慣性越大，響應越慢。

一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為：由于時間常數(shù)T反映系統(tǒng)的慣性，所以743.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應當輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時，由于R(s)=1,所以系統(tǒng)輸出的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即3.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應當輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時75由圖可見，一階系統(tǒng)的脈沖響應位移單調下降的指數(shù)曲線。若定義該曲線衰減到其初始值的5％所需的時間為脈沖響應調節(jié)時間，則仍有ts=3T。故系統(tǒng)的慣性越小，響應過程越快。由圖可見，一階系統(tǒng)的脈沖響應位移單調下降的指數(shù)曲線。若定義該764.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應單位斜坡函數(shù)可視為單位階躍函數(shù)的積分，即那么，系統(tǒng)的輸出應由積分的關系4.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應單位斜坡函數(shù)可視為單位階躍函數(shù)的積77由此曲線可知，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時間而增大，最后趨于常值T，慣性越小跟蹤的準確度越高。在初始狀態(tài)下，輸出速度和輸入速度之間誤差最大。由此曲線可知，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時間而增大，最后785.一階系統(tǒng)的加速度響應設加速度輸入函數(shù)為：則系統(tǒng)的響應函數(shù)為：系統(tǒng)的跟蹤誤差為：上式表明，跟蹤誤差隨時間的推移而增大，直至無限大。因此，一階系統(tǒng)不能實現(xiàn)對加速度輸入函數(shù)的跟蹤。

5.一階系統(tǒng)的加速度響應設加速度輸入函數(shù)為：則系統(tǒng)的響應函數(shù)79一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應歸納與下表中一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應歸納與下表中80例4-1某溫度計插入溫度恒定的熱水中后，其顯示溫度隨時間變化的規(guī)律為

實驗測得當t＝60s時，溫度計讀數(shù)達到實際水溫的95％。試確定該溫度計的傳遞函數(shù)例4-1某溫度計插入溫度恒定的熱水中后，其顯示溫度隨時間變81例4-2原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：現(xiàn)采用如下圖所示的負反饋形式，與將反饋系統(tǒng)的的調節(jié)時間減小為原來的0.1，并保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù)K0與K1的取值。答案：K1=0.9,K0=10例4-2原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：答案：K1=0.9,K0=10822-2二階系統(tǒng)的時域分析1.二階系統(tǒng)的數(shù)學模型2-2二階系統(tǒng)的時域分析1.二階系統(tǒng)的數(shù)學模型83二階系統(tǒng)的特征方程為

其兩個特征根（閉環(huán)極點）為二階系統(tǒng)的時間響應取決ξ和ωn這兩個參數(shù)

二階系統(tǒng)的特征方程為其兩個特征根（閉環(huán)極點）為二階系統(tǒng)的時842.二階系統(tǒng)的單位階躍響應在單位階躍輸入信號作用下，輸出的拉氏變換為：系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應，主要取決于ξ的大小，根據的ξ大小分5種情況討論2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應在單位階躍輸入信號作用下，輸出的拉851)當ξ＜0時，稱為負阻尼狀態(tài)，特征根的分布有兩種狀況

1)當ξ＜0時，稱為負阻尼狀態(tài)，特征根的分布有兩種狀況86在此種情況下，單位階躍響應為：由于ξ＜0，動態(tài)過程為發(fā)散的正弦振蕩或單調的發(fā)散形式。從而表明ξ＜0的二階系統(tǒng)是不穩(wěn)定的在此種情況下，單位階躍響應為：由于ξ＜0，動態(tài)過程為發(fā)散的872)無阻尼狀態(tài)（ξ＝0）單位階躍響應為：系統(tǒng)為等幅振蕩狀態(tài)，視為不穩(wěn)定狀態(tài)。2)無阻尼狀態(tài)（ξ＝0）單位階躍響應為：系統(tǒng)為等幅振蕩狀態(tài)，883）欠阻尼狀態(tài)（0＜ξ＜1）特征根的分布如圖3）欠阻尼狀態(tài)（0＜ξ＜1）特征根的分布如圖89線性系統(tǒng)的時域分析法課件904）臨界阻尼狀態(tài)（ξ＝1）

在臨界阻尼狀態(tài)下，特征方程的根是二重負實根。如圖。其輸出的拉氏變換為4）臨界阻尼狀態(tài)（ξ＝1）在臨界阻尼狀態(tài)下，特征方程915）過阻尼狀態(tài)（ξ＞1）令過阻尼二階系統(tǒng)的極點為：

5）過阻尼狀態(tài)（ξ＞1）令過阻尼二階系統(tǒng)的極點為：92過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應與一階系統(tǒng)的單位階躍響應相似。是一無振蕩的單調上升曲線。其穩(wěn)態(tài)值為1過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應與一階系統(tǒng)的單位階躍響應相似。是933.欠阻尼的動態(tài)性能指標1）延遲時間2）上升時間3）峰值時間4）調節(jié)時間

3.欠阻尼的動態(tài)性能指標1）延遲時間2）上升時間3）峰值時間945）超調量5）超調量954.過阻尼的動態(tài)性能指標在過阻尼的二階系統(tǒng)中，只有延遲時間、上升時間和調節(jié)時間，而沒有峰值時間和超調量1）延遲時間

2）上升時間3）調節(jié)時間4.過阻尼的動態(tài)性能指標在過阻尼的二階系統(tǒng)中，只有延963-3高階系統(tǒng)的時域分析在控制工程中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)，即用高階微分方程描述的系統(tǒng)。對于不能用一、二階系統(tǒng)近似的高階系統(tǒng)來說，其動態(tài)性能的確定是比較復雜的。工程上采用閉環(huán)主導極點的概念對高階系統(tǒng)近似分析，從而得到高階系統(tǒng)動態(tài)指標的估計公式。3-3高階系統(tǒng)的時域分析在控制工程中，幾乎所有的控制971.高階系統(tǒng)的單位階躍響應

對于單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)一般可表示為：1.高階系統(tǒng)的單位階躍響應對于單輸入單輸出的線性定常系98線性系統(tǒng)的時域分析法課件99對上式進行拉氏反變換，并設初始條件為零，可得高階系統(tǒng)的單位階躍響應為：對上式進行拉氏反變換，并設初始條件為零，可得高階系統(tǒng)的單位階100下面分析高階系統(tǒng)單位階躍響應的特點1)高階系統(tǒng)的時間響應，是由一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的時間響應函數(shù)相組成的2)如果閉環(huán)極點都在s平面左半平面，則隨著時間t趨于無窮大，指數(shù)項分量和阻尼指數(shù)項分量都將趨于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其穩(wěn)態(tài)分量c(∞)=a3)高階系統(tǒng)的各個閉環(huán)極點對系統(tǒng)時間響應的影響程度是不同的。4)閉環(huán)零點影響時間響應的形狀。下面分析高階系統(tǒng)單位階躍響應的特點1012.閉環(huán)主導極點

對于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)而言，其閉環(huán)極點和零點在s左半開平面雖有各種分布模式，但就據虛軸的距離來說，卻只有遠近之別。如果在所有的閉環(huán)極點中，距虛軸最近的極點周圍沒有閉環(huán)零點，而其它閉環(huán)極點又遠離虛軸，那么距虛軸最近的閉環(huán)極點所對應的相應分量，隨時間推移衰減緩慢，無論從指數(shù)還是從系數(shù)來看，在系統(tǒng)的時間響應過程中起主導作用，這樣的閉環(huán)極點就稱為閉環(huán)主導極點。2.閉環(huán)主導極點對于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)而言，其閉環(huán)極點和零102應用閉環(huán)主導極點的概念，可導出高階系統(tǒng)單位階躍響應的近似表達式設單位反饋高階系統(tǒng)具有一對共軛復數(shù)閉環(huán)主導極點，s1,2=-σ±jωd,0<ξ<1,則在單位階躍函數(shù)的作用下，系統(tǒng)輸出的拉氏變換的近似表達式為對上式取反拉氏變換，得高階系統(tǒng)單位階躍響應的近似表達式應用閉環(huán)主導極點的概念，可導出高階系統(tǒng)單位階躍響應的近似表達1033-5線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1.穩(wěn)定性的基本概念任何系統(tǒng)在擾動作用下都偏離原平衡位置，產生初始偏差。所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動消失后由初始偏差狀態(tài)恢復原平衡位置的性能。單擺的的這種穩(wěn)定的概念，可以推廣于控制系統(tǒng)

3-5線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1.穩(wěn)定性的基本概念單擺的的這種穩(wěn)1042.線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定義

1892年俄國數(shù)學家Lyapunov首先提出了穩(wěn)定性理論。根據他的理論，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可敘述如下：

若線性系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點），則稱系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動效應下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件設線性系統(tǒng)在初始條件為零時，作用一個理想的單位脈沖函數(shù)δ(t),這是系統(tǒng)的輸出增量位脈沖響應c(t)。那么系統(tǒng)穩(wěn)定的必要充分條件是：limc(t)=02.線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定義1892年俄國數(shù)學家Lyapun105設閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式且設si(i=1,2,…,n)為特征方程D(s)=0的根，而且彼此不等。那么由于δ(t)的拉氏變換為1，所以系統(tǒng)輸出增量的拉氏變換為：設閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式且設si(i=1,2,…106于是系統(tǒng)的脈沖響應為

上式表明，當且僅當系統(tǒng)的的特征根全部具有負實部時，才能使limc(t)=0成立；若特征根中有一個或一個以上的正實部根，則limc(t)→∞,表明系統(tǒng)不穩(wěn)定。若特征根中具有一個或一個以上正零實部根，而其余的特征根均具有負實部，則脈沖響應c(t)趨于常數(shù)，或趨于等幅正弦振蕩，按照穩(wěn)定性定義，此時系統(tǒng)不是漸進穩(wěn)定的。順便使出，最后一種情況稱為臨界穩(wěn)定情況。于是系統(tǒng)的脈沖響應為上式表明，當且僅當系統(tǒng)的的特征根全部具107由此可見，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均嚴格位于左半s平面3.勞斯穩(wěn)定判據根據穩(wěn)定性的充分必要條件判別線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要求出系統(tǒng)的全部特征根。對于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，并非易事。1877年勞斯提出了根據線性系統(tǒng)特征方程的系數(shù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據。稱為勞斯判據。設線性系統(tǒng)的特征方程為

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要的條件是：在上列方程中，各項系數(shù)為正數(shù)。這一條件是必要的，但不充分。

由此可見，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根108勞思表（勞斯陣列）勞思表（勞斯陣列）109勞思表（勞斯陣列）勞思表（勞斯陣列）110線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

勞思表中第一列各值為正。如果勞思表中第一列中出現(xiàn)負數(shù)，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列中各系數(shù)符號改變的次數(shù)，代表特征方程的正實部根的數(shù)目。例4-3設系統(tǒng)特征方程為試用勞斯穩(wěn)定判據判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件勞思表中第一列各值為1114.勞斯穩(wěn)定判據的特殊情況

1）勞思表中某行的第一列為零，而其余各項不為零，或不全為零此時，計算勞思表下一行的第一個元素時，將出現(xiàn)無窮大，是勞斯穩(wěn)定判據的運用失效。例如此時用一個很小的正數(shù)ε代替第一列的零元素參與計算，表格計算完成后再令ε→0。4.勞斯穩(wěn)定判據的特殊情況1）勞思表中某行的第一列為零，