初等代數(shù)研究課后習(xí)題答案完整版余元希

數(shù)研究課后習(xí)題完整版 09（7）余1、證明自然數(shù)的順序關(guān)系具有對(duì)逆性與全序性，即（））對(duì)任何a,b

N，當(dāng)且僅當(dāng)aN

b時(shí)，bb中有且只有一個(gè)成立 a b，a b， a，Bb（1）“”a

b，則B,,A~B

~A,ba“”ba，則B, B,使B,~A，A~B, B,ab綜上對(duì)任何a,b N，ab ba（2）由（1）ab a a b與a b不可能同時(shí)成立，假設(shè)a b同時(shí)成立，則B, B~B,與B為有限集矛盾，a b與a b不可能同時(shí)成立， N，在a b，a b，ab中有且只有一個(gè)成立..2、證明自然數(shù)的加法滿足交換律. N設(shè)M為使等式ab a成立的所有b組成的集合先證a 11a，設(shè)滿足此式的a組成集合k，顯然有1+1=1+1成立1k ，設(shè)a k，a 11a，則a k，k N，取定a，則1M M,abba，則 N，ab 3、證明自然數(shù)的乘法是唯一存在的證明：唯一性：取定a，反證：假設(shè)至少有兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系

f,g

，對(duì)

b

N，有f(b),g(b)

M是由使f(b)

g(b)成立的所有的b組成的集合，f(b) g(b) a1 1M N則f(b) g(b) f(b) g(b) f(b) g(b)，b M，M N即b N，f(b) 乘法是唯一的共閱：設(shè)乘法存在的所有

a組成集合K

當(dāng)a1時(shí)，

bN，11 1,1b b b1 1b 1 1 k K，b N，有a,b與它對(duì)應(yīng)，且1aa，ab ab a，對(duì)b N，令ab ab a K KN {1,2,4}，A4 {1,2,3，,4A}6{1,2,3,5}，A7 {1,2,3,4,5} 3,A5 A7 4,A8 5基數(shù)和為2 33 43 528 a,B b，A中的x與B中的y對(duì)應(yīng)AB ab，B A ba p24—8、證明：1）3+4=72）34 p24—12、證明：1）(mn) m 2）(mn)nm p26—36、已知f(m,n)對(duì)任何m,n N滿足求證：1）f(2,n) n 2）f(3,n) 2n 3）f(4,n) 2n1 1時(shí)，f(2,1) f(11,1) f(1,2) 2112結(jié)論成立， k時(shí)，結(jié)論成立，即f(2,k) k 2，當(dāng)nk1時(shí)，對(duì)一切自然數(shù)結(jié)論都成立 1時(shí)，f(3,n) f(2 1,n) f(2,2) 2 2 21 2結(jié)論成 k時(shí)，結(jié)論成立，即f(3,k) 2k 當(dāng)nk1時(shí)，一切自然數(shù)結(jié)論都成立共閱3）當(dāng)n1時(shí)，f(4,1)f(31,1)f(3,2)

2112結(jié)論成 k時(shí)，結(jié)論成立，即f(4,k) 2k1 當(dāng)nk1時(shí)，一切自然數(shù)結(jié)論都成立證明：[a,b],[c,d] Z，[a,b][c,d][a c,b d]因?yàn)樽匀粩?shù)加法滿足交換律[a c,b d][ca,d 而[c,d][a,b][c[a,b],[c,d],[e,f]

a,db]Z

[a,b][c,d]

[c,d][a,b]以為自然數(shù)滿足加法結(jié)合律([a,b][c,d]) [e,f] [a,b]([c,d][e,f])加法滿足交換律和結(jié)合律p62—2、已知[a,b],[c,d]Z，求證[a,b] [c,d]的充要條件是[a,b][c,d] 證明：“”已知[a,b][c,d]則ad bc“”已知[a,b][c,d] d,b c] bc N，求證([a,b]) [a,b]證明：[a,b] [b,a] ([a,b]) b[a, ]a[b,p62—5、已知[a,b],[c,d]Z，求證([a,b] [c,d]) [a,b] [c,d]證明：左邊([a,b][c,d]) [a d,bc] [b c,a d]右邊[a,b] [c,d][b,a][c,d] [b c,a d] ([a,b][c,d]) [a,b][c,d]p62—7、已知a,b,c N，求證當(dāng)且僅當(dāng)a bc時(shí)[a,b][c,d]證明：“”已知ad c，[a,b] [c,d][a d,b 因?yàn)閍 c [a d,b c是]負(fù)數(shù)，[a,b][c,d]“”已知[a,b] [c,d]則[a,b][c,d] [a d,b 共閱p62—9、已知,：設(shè)

因?yàn)閇ad,b c]是負(fù)數(shù)，Z，求證：1）[a,b], [c,d]，2）1） [ac,b d] (a c) 2）[acbd,ad

cdcd

acbd

p63—12、n名棋手每?jī)蓚€(gè)比賽一次，沒(méi)有平局，若第k名勝負(fù)的次數(shù)各為ak,bk，k 1,2,........,n，求證：a12 ...an2 b12b22...bn2

1,2,...,n)，必存在一個(gè)bj(jb，p10cd，求證padbc

1,2,...,n)使得ak

bj s,tZ使10ab ps，10c d p63—17、設(shè)2不整除a，求證8a2 證明：因?yàn)?不整除a，所以存在唯一一對(duì)q,r0r2

rr1，a2 4q1 a2 14q(q1) 8a2

Z，求證a(a

1)(a2)(a

3)1是奇數(shù)的平方a 1,a2肯定一奇一偶(a 1)(a2)肯定為偶數(shù)(a 1)(a 2)1肯定為奇數(shù)(1 n)n證明：前n個(gè)自然數(shù)的和為因?yàn)椋簄個(gè)自然數(shù)的和仍為自然數(shù)

2、4、7、91+n與n中必定一個(gè)為奇數(shù)一個(gè)為偶數(shù)若個(gè)位數(shù)碼為共閱則1+n與n的個(gè)位數(shù)碼只能是1,4或4,1 個(gè)位數(shù)碼不能為2若個(gè)位數(shù)碼為則1+n與n的個(gè)位數(shù)碼只能是1,8或8,1也不可能成立若個(gè)位數(shù)碼為則1+n與n的個(gè)位數(shù)碼有2種可能，則2,7或1,14也不可能成立，若個(gè)位數(shù)碼為則1+n與n的個(gè)位數(shù)碼有2種可能，即2,9或1,18可能成立，綜上，前n個(gè)自然數(shù)和的個(gè)位數(shù)碼不能是2,4,7,9p63—26、證明2.3定理1（a1,a2,......an,）=（a1,a2,......an）證明：因?yàn)椋海╝1,a2,......an,）是a1,a2,......an的公因數(shù)中的最大數(shù)所以R需考慮非負(fù)整數(shù) （a1,a2,......an,）=（a1,a2 ,......an p63—29、證明2.3定理4的推論(a,b)1的充要條件是有x,yZ使得ax by 證明：因?yàn)?a,b) 1 a,b不全為0“”由定理4 x,y by (a,b) “”設(shè)(a,b) d則da,db，dax d1 d (a,b) p63—30、證明2.3定理6及其推論。定理6：若m N，則(ma,mb) m(a,b) m(0,0)顯然成立若a,b不全為零，則x0,y0 by0 mby' (ma,mb)而max' mby' by')因?yàn)閤,y by0axby by0ax' by'而(ma,mb)amx0mby0 m(a,b) (ma,mb) m(a,b)推論：設(shè)d是a,b的公因數(shù)，則(a/d,b/d)1的充要條件是d(a,b)證明：“”d是a,b的公因數(shù) d d(a/d,b/d) (a,b“”因?yàn)閐 (a,b) x,y Z，使axby x,y Z，使(a/d)x (b/d)y 1 (a/d,b/d) 共閱p64—32、證明2.3定理七及其推論 1，bZ，b,c中至少有一個(gè)不為0，則(ab,c) (b,c)證明：b,c中至少有一個(gè)不為0 x,yZ使abxcy 1(ab,c)b,(ab,c) 因c為(b,c)(ab,c) (ab,c) (b,c) 1，(b,c) 1，則(ab,c) 1，b,c不為零 (ab,c)(b,c) b,nab，求證n(a,b) b,nab n(a (ab),n(a b)(a n2a,n2b n2(a,b，)因?yàn)閚是奇數(shù)，n(a,b) d,(a',b')d'，求證(aa',ab',a'b,bb')dd'證明：(aa',ab')a(a',b')ad',(a'b,bb') bd' N，求證a,2a,......na中n的倍數(shù)的個(gè)數(shù)等于(n,a) 1時(shí)，nna結(jié)論成立，當(dāng)(n,a)d時(shí)，d1，令a da1，(n,a1)1，則a,2a,......na可改寫為da1,2da1,......nda1因?yàn)閐1所以其中一定包括na1,2na1,......(d1)na1,dna1都是n的倍數(shù)，共有d個(gè)p64—42、已知p是異于3的奇素?cái)?shù)，求證24p2

證明：p是異于3的奇素?cái)?shù)，p2 1為偶數(shù)，p3 p2 1 p2 1 (p 1)p(其1)中p1,p1都為合數(shù)，且都大于3p 1,p 1都可被2、3中的一個(gè)整除，若2p1，則由p 1(p1)22p 1，因?yàn)閜13,p1 3 24p2 1是素?cái)?shù)，求證a 共閱：反證

n不是素?cái)?shù)

當(dāng)a2

時(shí)an

1不是素?cái)?shù)與已知矛盾，所以n是解：平方不大于50的素?cái)?shù)是2,3,5,7則不大于50的一切素?cái)?shù)p64p64—49、已知整數(shù)a,b,c都大于1，求證[(a,c),(b,c)]

([a,b],c)證明：[(a,c),(b,c)]

(a,c)(b,c)((a,c),(b,c))

(ab(a,b)

,c)

([a,b],c)p66—69、已知p是奇素?cái)?shù)，求證1）12p 3p ... (p1)p 0(modp)2）12p1 3p1 ...(p1)p1 1(modp) 1,(2,p) 1,...,(p 1,p) 1(mopd，)2p2(modp)，3p 3(modp)(p 1)p p1(modp)1

3...p

pp(p

) 1(modp)，2p1 1(modp)，3p1 1(modp)(p 1)p 1(modp)p66—70、設(shè)p,q是相異素?cái)?shù)，求證pq1 qp1 1(modpq)證明：pq1 0(modp)，qp1 1(modp)，pq1 qp1 1(modp)同理pq1即pq

1(modq)1(modpq)

pq

1(mod[p,q]) N，求證(1) (p) (p2) ... (p )p證明：因?yàn)閜