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§2.3離散型 量及其概率分離散型 量的概定義若隨 量X的可能取值是有限多個(gè)或無窮可列多個(gè),則稱X為離散型隨 例如1:投擲一顆勻稱 ,記錄其出現(xiàn)點(diǎn)數(shù).
X則X是一個(gè)離散型 量 為止,記Y為所需射擊次數(shù).如何描述離散型 量的概率特例1中:投擲一顆勻稱 ,記錄其出的點(diǎn)數(shù).X則X是一個(gè)離散型 量0,x1F(x)
,022
xx
0}2
2 離散型 量X的分布離散型 量X的分布律的表示方k公式kpkpk
x
k列表法或矩陣法
X p
例如2:對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊,每次的概率為p,直到目標(biāo)為止,記Y為所需解:Y12
k)
p)k1 (1-
(1-p)k-
P(
xk)
pk
k分布律的基本 0,k
非負(fù) k
規(guī)范
xk
xk 明(1)和(2數(shù)p1p2?、pk、是某一個(gè)隨 量的分布律分布律和分布函數(shù)可互相確定的方法如下定理:設(shè)X為離散型 量,具有分律kpkP{Xx} ,kkpk則:(1)X的分布函(
}:xk
k事實(shí)上k
F(x)
P({Xkxkk
xkPkp pxk
k對(duì)任意區(qū)間I,k
I}
xkxk
pkp
x從分布函F(x)
x},
x可以確定分布pkpk
x}
F(x)
F(xkkkkkkkk其 F(xk
kxk
F(x)例3將紅、白、黑三只球隨機(jī)地逐個(gè)放限)。設(shè)X為有球的盒子的最小號(hào)碼,試(1) 量的分布律與分布函數(shù)(2)P(|X|≤解根據(jù)題意知, 量X可能取的值為1,2,3;則
23
}
33
即 量X的分布律1237112371X的分布函0,xF(x)
xk
x}
2726
x ,2k27k
xxF(o oo Fx是分段階梯函數(shù),在X的可能取值xk處發(fā)生間斷,間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn),在間斷點(diǎn)處有躍度pk
|
719 例4設(shè) 車在開往目的地的途中需經(jīng)過4盞信號(hào)燈,每盞信號(hào)燈獨(dú)立地以概率p允許汽車通過。令X表示首次停下時(shí)已通過的信號(hào)燈的盞數(shù),求X的分布律與p=0.4出發(fā) 目的解P(
k)
pk
kP(
4)
p4
k當(dāng)p
0.6 0.6 ]
x
0xF(x)
1x
0.60.42
2x0.6(10.40.420.43 3x xF(x)
oo
概率例5在上例中,分別用分布律與分布函數(shù)計(jì)P(1
P(1
P(
P(
P(
解P(1
3)
P(
2)
P(
0.6
P(1
F(3)
F
0.6
P(1
P(
P(
2)
P(
0.6(0.4或
0.43
P(1
3)
3)
P(
P(
F(3)
F
F
P(
1
P(
1{P(
0)
P(
或P(X2)1P(
1P(
2)
P(
此式應(yīng)理解為極限limF(x)此式應(yīng)理解為極限limF(x)x2P(
1
P(
1{P(
0)
P(
P(
或P
11
P(XFP(
2)
F(2)
F
或P
例6一門 r次才能被摧毀。若每次 概率為p(0<p<1),且各次轟擊相互獨(dú)立,轟擊次數(shù)X的分布律。 P(X=k)=P(前k–1 r–1次第k 目標(biāo)kCr1pr1k
p)krkCr1prk
p)kkr,rC pC p(1注 k
p)krk1利用冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的性1當(dāng)|
|
k
xk
1(k1)xk2 k(k
2)xk3
x)2 k
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