教學(xué)設(shè)計(jì) 完整版：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：1．掌握拋物線的范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì)；2．能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對(duì)拋物線方程進(jìn)行討論，在此基礎(chǔ)上列表、描點(diǎn)、畫(huà)拋物線圖形；3．在對(duì)拋物線幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化教學(xué)重點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用。教學(xué)難點(diǎn)：拋物線幾何性質(zhì)的運(yùn)用。教學(xué)過(guò)程：（一）、復(fù)習(xí)引入：1．拋物線定義：圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：相同點(diǎn)：(1)拋物線都過(guò)原點(diǎn)；(2)對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線都與對(duì)稱(chēng)軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的，即不同點(diǎn)：(1)圖形關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，X為一次項(xiàng)，Y為二次項(xiàng)，方程右端為、左端為；圖形關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，X為二次項(xiàng)，Y為一次項(xiàng)，方程右端為，左端為（2）開(kāi)口方向在X軸（或Y軸）正向時(shí)，焦點(diǎn)在X軸（或Y軸）的正半軸上，方程右端取正號(hào)；開(kāi)口在X軸（或Y軸）負(fù)向時(shí)，焦點(diǎn)在X軸（或Y軸）負(fù)半軸時(shí)，方程右端取負(fù)號(hào)（二）、講解新課：拋物線的幾何性質(zhì)1．范圍：因?yàn)閜＞0，由方程可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸．2．對(duì)稱(chēng)性：以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，我們把拋物線的對(duì)稱(chēng)軸叫做拋物線的軸．3．頂點(diǎn)：拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．在方程中，當(dāng)y=0時(shí)，x=0，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)．4.離心率拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義可知對(duì)于其它幾種形式的方程，列表如下：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸焦點(diǎn)準(zhǔn)線離心率軸軸軸軸注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（三）、探析例題：例1求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)，且以坐標(biāo)軸為軸的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈的圓的直徑60cm，燈深為40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置．分析：這是拋物線的實(shí)際應(yīng)用題，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)題設(shè)條件，可確定拋物線上一點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出p值．解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合，x軸垂直于燈口直徑．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(p＞0)．由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是(40，30)，代入方程，得，即。所求的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為．例3過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切．分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來(lái)證比較簡(jiǎn)捷．證明：如圖．設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過(guò)A、E、B分別向準(zhǔn)線引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，則｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準(zhǔn)線相切．（四）、課堂練習(xí)：1．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，那么=（B）（A）10（B）8（C）6（D）42．已知為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（B）（A）3（B）4（C）5（D）63．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段、的長(zhǎng)分別是、，則=（C）（A）（B）（C）（D）4．過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線它交于、兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)的軌跡方程是______(答案：)5.定長(zhǎng)為的線段的端點(diǎn)、在拋物線上移動(dòng)，求中點(diǎn)到軸距離的最小值，并求出此時(shí)中點(diǎn)的坐標(biāo)（答案：,M到軸距離的最小值為）（五）、小結(jié)：拋物線的離心率、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、準(zhǔn)線、中心等（六）、課后作業(yè)：1．根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并畫(huà)出草圖．（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于8．（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且過(guò)P（4，2）點(diǎn)．（3）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上點(diǎn)P（m，－3）到焦點(diǎn)距離為5．2．過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在準(zhǔn)線上的射影是A2，B2，則∠A2FB2等于3．拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為16，求拋物線方程．4．以橢圓的右焦點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線，求拋物線截橢圓在準(zhǔn)線所得的弦長(zhǎng)．5．有一拋物