2020高中數(shù)學 10 復數(shù)的加法和減法(含解析)1-2_第1頁
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學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE8-學必求其心得,業(yè)必貴于專精課時分層作業(yè)(十)(建議用時:40分鐘)[基礎達標練]一、選擇題1.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)的結果為()A.5-3i B.3+5iC.7-8i D.7-2i[解析](6-3i)-(3i+1)+(2-2i)=(6-1+2)+(-3-3-2)i=7-8i.[答案]C2.在復平面內(nèi),復數(shù)1+i和1+3i分別對應向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→)),其中O為坐標原點,則|eq\o(AB,\s\up6(→))|=()A.eq\r(2) B.2C。eq\r(10) D.4[解析]由復數(shù)減法運算的幾何意義知,eq\o(AB,\s\up6(→))對應的復數(shù)為(1+3i)-(1+i)=2i,∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|=2.[答案]B3.復數(shù)z1=a+4i,z2=-3+bi,若它們的和為實數(shù),差為純虛數(shù),則實數(shù)a,b的值為()A.a(chǎn)=-3,b=-4 B.a(chǎn)=-3,b=4C.a(chǎn)=3,b=-4 D.a(chǎn)=3,b=4[解析]由題意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是實數(shù),z1-z2=(a+3)+(4-b)i是純虛數(shù),故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b+4=0,,a+3=0,,4-b≠0,))解得a=-3,b=-4.[答案]A4.A,B分別是復數(shù)z1,z2在復平面內(nèi)對應的點,O是原點,若|z1+z2|=|z1-z2|,則△AOB一定是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形[解析]根據(jù)復數(shù)加(減)法的幾何意義,知以eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(OB,\s\up6(→))為鄰邊所作的平行四邊形的對角線相等,則此平行四邊形為矩形,故△AOB為直角三角形.[答案]B5.設z=3-4i,則復數(shù)z-|z|+(1-i)在復平面內(nèi)的對應點在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限[解析]∵z=3-4i,∴z-|z|+(1-i)=3-4i-eq\r(32+-42)+1-i=(3-5+1)+(-4-1)i=-1-5i。[答案]C二、填空題6.計算:(2+7i)-|-3+4i|+|5-12i|i+3-4i=____________。[解析]原式=2+7i-5+13i+3-4i=(2-5+3)+(7+13-4)i=16i.[答案]16i7.z為純虛數(shù)且|z-1-i|=1,則z=________.[解析]設z=bi(b∈R且b≠0),|z-1-i|=|-1+(b-1)i|=eq\r(1+b-12)=1,解得b=1,∴z=i。[答案]i8.已知z1=2(1-i),且|z|=1,則|z-z1|的最大值為________.[解析]|z|=1,即|OZ|=1,∴滿足|z|=1的點Z的集合是以(0,0)為圓心,以1為半徑的圓,又復數(shù)z1=2(1-i)在坐標系內(nèi)對應的點為(2,-2).故|z-z1|的最大值為點Z1(2,-2)到圓上的點的最大距離,即|z-z1|的最大值為2eq\r(2)+1。[答案]2eq\r(2)+1三、解答題9.已知z1=eq\f(\r(3),2)a+(a+1)i,z2=-3eq\r(3)b+(b+2)i,(a,b∈R),且z1-z2=4eq\r(3),求復數(shù)z=a+bi。[解]z1-z2=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a+a+1i))-[-3eq\r(3)b+(b+2)i]=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a+3\r(3)b))+(a-b-1)i,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a+3\r(3)b=4\r(3),,a-b-1=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=2,,b=1,))∴z=2+i.10.如圖,已知復數(shù)z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它們在復平面上的對應點是一個正方形ABCD的三個頂點A,B,C,求這個正方形的第四個頂點對應的復數(shù).[解]設正方形的第四個點D對應的復數(shù)為x+yi(x,y∈R),∴eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(OD,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))對應的復數(shù)為(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數(shù)為(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.∵eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(BC,\s\up6(→)),∴(x-1)+(y-2)i=1-3i,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-1=1,,y-2=-3,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,y=-1。))故點D對應的復數(shù)為2-i.[能力提升練]1.實數(shù)x,y滿足z1=y(tǒng)+xi,z2=y(tǒng)i-x,且z1-z2=2,則xy的值是()A.1 B.2C.-2 D.-1[解析]z1-z2=(y+xi)-(-x+yi)=(y+x)+(x-y)i=2,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y=2,,x-y=0,))∴x=y(tǒng)=1,∴xy=1.[答案]A2.△ABC的三個頂點對應的復數(shù)分別為z1,z2,z3,若復數(shù)z滿足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,則z對應的點為△ABC的()A.內(nèi)心 B.垂心C.重心 D.外心[解析]由已知z對應的點到z1,z2,z3對應的點A,B,C的距離相等.所以z對應的點為△ABC的外心.[答案]D3.若復數(shù)z滿足z-1=cosθ+isinθ,則|z|的最大值為________.[解析]∵z-1=cosθ+isinθ,∴z=1+cosθ+isinθ|z|=eq\r(1+cosθ2+sin2θ)=eq\r(21+cosθ)=eq\r(4cos2\f(θ,2))=2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))≤2.[答案]24.在復平面內(nèi),A,B,C三點分別對應復數(shù)1,2+i,-1+2i。(1)求eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→)),eq\o(BC,\s\up6(→))對應的復數(shù);(2)判斷△ABC的形狀.[解](1)∵A,B,C三點對應的復數(shù)分別為1,2+i,-1+2i.∴eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(OB,\s\up6(→)),eq\o(OC,\s\up6(→))對應的復數(shù)分別為1,2+i,-1+2i(O為坐標原點),∴eq\o(OA,\s\up6(→))=(1,0),eq\o(OB,\s\up6(→))=(2,1),eq\o(OC,\s\up6(→))=(-1,2).∴eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))=(1,1),eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))=(-2,2),eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))=(-3,1).即eq\o(AB,\s\up6(→))對應的復數(shù)為1+i,eq\o(AC,\s\up6(→))對應的復數(shù)為-2+2i,eq\o(BC,\s\up6(→))對應的復數(shù)為-3+i.(2)∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|=eq\r(1+1)=eq\r(2),|eq\o(AC,\s\up6(→))|=eq\r(-22+22)=eq\r(8),|eq

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