靜電場(chǎng)原理與方法

關(guān)于靜電場(chǎng)原理與方法第1頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六q根據(jù)電場(chǎng)迭加原理，將上述結(jié)果推廣到任意點(diǎn)電荷系構(gòu)成的靜電場(chǎng)：若閉合曲面包圍的電荷的代數(shù)和為

返回第2頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六高斯定理的應(yīng)用—求場(chǎng)強(qiáng)均勻帶電球面的電場(chǎng)Or由高斯定理有

由高斯定理有

RE0r第3頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六均勻帶電球體的電場(chǎng)Or由高斯定理有

由高斯定理有

RE0rR第4頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六"無限大"均勻帶電平面的電場(chǎng)由高斯定理有

兩面積S、間距d平行板電容器當(dāng)帶電荷量Q時(shí)，板間電場(chǎng)由電場(chǎng)疊加原理可得為第5頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六解:例:半徑為r的圓板，在與其中心O距離為d處置一點(diǎn)電荷q，試求板上電通量．

球冠面上的電通量與圓板的電通量相同！距q為R處電場(chǎng)強(qiáng)度大小為球冠面積為第6頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六解:例:在相距d的兩根平行細(xì)長(zhǎng)導(dǎo)線上均勻地分布有異種電荷，其線密度為＋及－λ．求在對(duì)稱平面上與導(dǎo)線所在平面相距為x的一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度

．

"無限長(zhǎng)"均勻帶電導(dǎo)線的電場(chǎng)由高斯定理有

第7頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:如圖，有“無限長(zhǎng)”均勻帶電圓柱面，半徑為R，電荷面密度為σ，試求其場(chǎng)強(qiáng)，并作E（r）圖

．解:rE0R第8頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:如圖，在一厚度為d的無窮大平板層內(nèi)均勻地分布有正電荷，其密度為ρ，求在平板層內(nèi)及平板層外的電場(chǎng)強(qiáng)度E，并作E（r）圖

．解:rE0d/2第9頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:一點(diǎn)電荷q位于一立方體中心，立方體邊長(zhǎng)為a，試問通過立方體一面的電通量是多少？如果點(diǎn)電荷移至立方體的一個(gè)角上，這時(shí)通過立方體每個(gè)面的電通量各是多少？

解:點(diǎn)電荷位于立方體中心時(shí)，通過立方體一個(gè)表面的電通量為

點(diǎn)電荷位于立方體頂點(diǎn)時(shí)，通過立方體一個(gè)表面的電通量為

第10頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六靜電場(chǎng)的原理與方法

靜電場(chǎng)的兩大外觀表現(xiàn)力對(duì)引入電場(chǎng)的任何帶電體產(chǎn)生力的作用.能當(dāng)帶電體在電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí),電場(chǎng)力做功,說明電場(chǎng)具有能量.

描述靜電場(chǎng)的基本規(guī)律電荷守恒定律對(duì)一個(gè)孤立系統(tǒng)，電荷可在系統(tǒng)各部分之間遷移，但其總量保持不變——原來為零的始終為零，原來為某一量Q的，則始終為Q，此即電荷守恒定律．

庫(kù)侖定律高斯定理場(chǎng)疊加原理唯一性原理在真空中的任何靜電場(chǎng)中，通過任一閉合曲面的電通量等于這閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的ε0分之一，這就是真空中靜電場(chǎng)的高斯定理．

等效處理方法等效對(duì)稱替代法等效電像變換法第11頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六

球在第一次與板接觸后獲得電量為q，說明有量值為q的正電荷從板上轉(zhuǎn)移到球上，由電荷守恒可知，此時(shí)板上電量為(Q-q),球與板這一系統(tǒng)中的總電量是按比例分配到球上與板上的．

當(dāng)多次操作直至最終板上電量又一次為Q但不能向與之接觸的球遷移時(shí)（此時(shí)兩者等電勢(shì)），球上電量達(dá)到最大:例:一個(gè)金屬球借助導(dǎo)電薄板從起電機(jī)上獲得電荷，板在每次與球接觸后又從起電機(jī)上帶電至電量為Q．如果球在第一次與板接觸后帶電量為q，求球可獲得的最大電量.解:第12頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:

如圖所示，半徑相同的兩個(gè)金屬球A、B相距很遠(yuǎn)，原來不帶電，C球先與遠(yuǎn)處電池正極接觸，（負(fù)極接地），接著與球A接觸，再與B球接觸；然后又與電池正極接觸，重復(fù)上述過程，反復(fù)不已．已知C球第一次與電池接觸后的帶電量為q，第一次與A球接觸后A球的帶電量為Q1，求⑴A球與B球最后的帶電量Q與Q′；⑵設(shè)，至少經(jīng)過幾次與C球接觸后，A球的帶電量可達(dá)最后帶電量的一半？

解:CAB

⑴設(shè)A、B球半徑為R,C球半徑為r,C球與A球第1次接觸后有①

電荷不再?gòu)腃球移向A球，故

C球與B球接觸最終亦有⑵由①式及題給條件

若第２次C與A接觸后A又獲電量Q2，

n次C、A接觸后有

返回第13頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六庫(kù)侖力與萬有引力r2r1mOMQq帶電球殼內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零!r第14頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六點(diǎn)電荷q在兩側(cè)場(chǎng)強(qiáng)等值反向!qEqEq整個(gè)帶電球內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為0;外表面場(chǎng)強(qiáng)大小為設(shè)球殼除A外其余部分在A處的場(chǎng)強(qiáng)為EAA在A內(nèi)側(cè)有在A外側(cè)有例:均勻帶電球殼半徑為R，帶正電，電量為Q，若在球面上劃出很小一塊，它所帶電量為q．試求球殼的其余部分對(duì)它的作用力．

解:第15頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:一個(gè)半徑為a的孤立的帶電金屬絲環(huán)，其中心電勢(shì)為U0．將此環(huán)靠近半徑為b的接地的球，只有環(huán)中心O位于球面上，如圖．試求球上感應(yīng)電荷的電量

．

O點(diǎn)O1點(diǎn)電勢(shì)均為0;環(huán)上電荷在O點(diǎn)的總電勢(shì)為U0球上感應(yīng)電荷在O1點(diǎn)引起的電勢(shì)UbO1abOO點(diǎn)O1點(diǎn)電勢(shì)均由環(huán)上電荷及球上感應(yīng)電荷共同引起！環(huán)上電荷在O1點(diǎn)的總電勢(shì)為解:第16頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:正點(diǎn)電荷Ｑ1和正點(diǎn)電荷Ｑ2分別放置在A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)間相距L．現(xiàn)以L為直徑作一半圓，電荷在此半圓上有一電勢(shì)最小的位置P，設(shè)PA與AB的夾角為α，則α＝．（用三角函數(shù)表示）

解:切向場(chǎng)強(qiáng)為0位置為電勢(shì)最小的位置！第17頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:電荷均勻分布在半球面上，它在這半球的中心O處電場(chǎng)強(qiáng)度等于E0．兩個(gè)平面通過同一條直徑，夾角為α，從半球中分出一部分球面，如圖所示．試求所分出的這部分球面上（在“小瓣”上）的電荷在O處的電場(chǎng)強(qiáng)度E．

E0ＯE解:半球面均勻分布電荷在O點(diǎn)引起的場(chǎng)強(qiáng)可視為“小瓣”球面電荷與“大瓣”球面電荷在O點(diǎn)引起的電場(chǎng)的矢量和.由對(duì)稱性及半球幾何關(guān)系可知E大與E小垂直，如圖所示:第18頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:有兩個(gè)異種點(diǎn)電荷，其電量之比為n，相互間距離為d．試證明它們的電場(chǎng)中電勢(shì)為零的等勢(shì)面為一球面，并求此等勢(shì)面的半徑及其中心與電量較小電荷的距離r

．解:Oyx-qnq以小電量電荷所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)-q與nq在坐標(biāo)為（x、y）的點(diǎn)電勢(shì)迭加為零，即有零等勢(shì)面為球面球心坐標(biāo)球半徑第19頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:半徑分別為R1和R2的兩個(gè)同心半球相對(duì)放置，如圖所示，兩個(gè)半球面均勻帶電，電荷密度分別為σ1和σ2，試求大的半球面所對(duì)應(yīng)底面圓直徑AOB上電勢(shì)的分布．解:AB大半球面上電荷量為大半球面上電荷在底面引起的電勢(shì)為整個(gè)大球面上電荷引起電勢(shì)的一半,即小半球面上電荷量為小半球面上電荷在其底面引起的電勢(shì)為整個(gè)小球面上電荷引起電勢(shì)的一半,即根據(jù)電場(chǎng)疊加原理,直徑AB上電荷分布為:小半球面上電荷在球面外引起的電勢(shì)亦為整個(gè)小球面上電荷引起電勢(shì)的一半,即第20頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:

一半徑為R、帶電量為Q的均勻帶電球面，試求其上的表面張力系數(shù)σ，σ定義為面上單位長(zhǎng)度線段兩側(cè)各向?qū)Ψ绞┘拥淖饔昧?/p>

．解:RETT在球面上取一面元面元受力如示面元周邊所受張力合力大小為面元處于平衡,則返回第21頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:如圖，電場(chǎng)線從正電荷＋q1出發(fā)，與正點(diǎn)電荷及負(fù)點(diǎn)電荷的連線成α角，則該電場(chǎng)線進(jìn)入負(fù)點(diǎn)電荷－q2的角度β是多大？

αβ－+q1－q2以點(diǎn)電荷+q1與-q2為中心，取一半徑r很小的球面，可視為其上電場(chǎng)線均勻分布，穿出2α角所對(duì)的球冠面的電場(chǎng)線應(yīng)完全穿入2β角所對(duì)的球冠面，兩面上電通量相等：

解:第22頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六-4qq例:準(zhǔn)確地畫出兩點(diǎn)電荷＋q及－4q的電場(chǎng)線分布示意圖.

解:若兩電荷相距a，場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)在兩點(diǎn)電荷連線延長(zhǎng)線距+q為x遠(yuǎn)處:

由上題，從+q出發(fā)，與兩電荷連線所成角度在[0,π]之間的電場(chǎng)線進(jìn)入-4q終止時(shí)與兩電荷連線夾角在[0,π/3]之間，如圖:第23頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六O點(diǎn)電勢(shì)為0：由高斯定理知Ｏ例:如圖，兩個(gè)以O(shè)為球心的同心金屬球殼都接地，半徑分別是r、R．現(xiàn)在離O為l（r＜l＜R）的地方放一個(gè)點(diǎn)電荷q．問兩個(gè)球殼上的感應(yīng)電荷的電量各是多少？

.

解:第24頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六解:例:如圖所示，將表面均勻帶正電的半球，沿線分成兩部分，然后將這兩部分移開很遠(yuǎn)的距離，設(shè)分開后的球表面仍均勻帶電，試比較點(diǎn)與點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小

．

AE1E2第25頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六ABCDO解:若正四面體的四個(gè)面電勢(shì)相同，四面體就是一個(gè)等勢(shì)體，其中心點(diǎn)電勢(shì)即可確定，現(xiàn)正四面體ABCD各面靜電勢(shì)均不同，其中心點(diǎn)的電勢(shì)難以直接確定.例:如圖所示，正四面體ABCD各面為導(dǎo)體，但又彼此絕緣．已知帶電后四個(gè)面的靜電勢(shì)分別為、、和,求四面體中心Ｏ點(diǎn)的電勢(shì)φ0

．進(jìn)行等效替代：另有同樣的三個(gè)四個(gè)面的靜電勢(shì)分別為φ1、φ2

、φ3和φ4的正四面體，將它們適當(dāng)?shù)丿B在一起，使四個(gè)面的電勢(shì)均為φ1+φ2+φ3+φ4

，中心點(diǎn)O共點(diǎn)，這個(gè)疊加而成的四面體是等勢(shì)體，其中心O點(diǎn)電勢(shì)4φ0=φ1+φ2+φ3+φ4

第26頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六解:例:如圖所示，在半徑為R、體密度為的均勻帶電球體內(nèi)部挖去半徑為r的一個(gè)小球，小球球心與大球球心O相距為a，試求點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，并證明空腔內(nèi)電場(chǎng)均勻

．r1OAE1EAE2r2帶電球內(nèi)半徑為r處場(chǎng)強(qiáng)a第27頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六BABPOMABAP處帶寬設(shè)為帶面積為均勻帶電球電荷面密度為P處帶上電荷量為P處弧上電荷線密度為例:如圖所示，在半徑為R的細(xì)圓環(huán)上分布有不能移動(dòng)的正電荷，總電量為Q，AB是它的一條直徑，如果要使AB上的場(chǎng)強(qiáng)處處為零，則圓環(huán)上的電荷應(yīng)該如何分布？

解:第28頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六均勻帶電金屬球表面每一個(gè)面元受到整個(gè)球面其余部分電荷對(duì)它的靜電力大小是則單位面積靜電力設(shè)想另半球?qū)Υ税肭虻淖饔昧εc壓強(qiáng)亦為P的氣體作用在半球上的壓力相平衡，則

解:例:兩個(gè)半球合在一起組成一個(gè)完整的金屬球，球的半徑為R，如圖所示，求兩個(gè)半球間的靜電斥力.

++++++++++++++++++++第29頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六++++++++++++++EQE-QEr1r2dd解:例:在強(qiáng)度為E的均勻電場(chǎng)中放著一個(gè)均勻的金屬球，其半徑為R，由于感應(yīng)，在球上產(chǎn)生了表面密度為σ的電荷，σ與圖中標(biāo)出的角α有關(guān)系．求關(guān)系式σ(α)

第30頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:如圖所示，平面上有一段長(zhǎng)為l的均勻帶電直線AB，在該平面取直角坐標(biāo)Oxy，原點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，AB沿x軸．⑴試證明該平面上任一點(diǎn)P的電場(chǎng)線方向沿∠APB的角平分線；⑵試求該平面上的電場(chǎng)線方程⑶試求該平面上的等勢(shì)線方程.

PCEPBAh元電荷在P點(diǎn)引起的場(chǎng)強(qiáng)各點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)均沿該點(diǎn)對(duì)AB張角的角平分線

!利用雙曲線性質(zhì)：雙曲線上各點(diǎn)切線沿該點(diǎn)與雙曲線兩焦點(diǎn)夾角平分線，而所研究的電場(chǎng)其各點(diǎn)電場(chǎng)線切線沿各點(diǎn)對(duì)A、B張角平分線，則電場(chǎng)線為一簇焦距為l/2的雙曲線利用橢圓性質(zhì)：橢圓上各點(diǎn)法線為該點(diǎn)與橢圓兩焦點(diǎn)夾角平分線，所研究的電場(chǎng)其各點(diǎn)電場(chǎng)線切線沿各點(diǎn)對(duì)A、B張角平分線，而等勢(shì)線與電場(chǎng)線處處垂直，則其等勢(shì)線即為一簇焦距為

l/2的橢圓返回解:第31頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:如圖，無限大的接地導(dǎo)體板，在距板d處的A點(diǎn)有一個(gè)電量為Q的正電荷，求板上的感應(yīng)電荷對(duì)點(diǎn)電荷Q的作用力．

QA-Q解:由于導(dǎo)體板接地，板上電勢(shì)為零，在點(diǎn)電荷Q的作用下，板的右側(cè)出現(xiàn)感應(yīng)電荷.由于導(dǎo)體為一等勢(shì)面，從點(diǎn)電荷Q出發(fā)的電場(chǎng)線應(yīng)處處與導(dǎo)體面正交而終止，因而導(dǎo)體板右側(cè)電場(chǎng)線分布大致如圖所示．聯(lián)想到等量異種電荷的電場(chǎng)：導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷對(duì)板右側(cè)電場(chǎng)的影響，可用與點(diǎn)電荷Q關(guān)于導(dǎo)體面成鏡像對(duì)稱的另一虛設(shè)點(diǎn)電荷-Q替代，板上感應(yīng)電荷對(duì)Q的作用亦等效于像電荷-Q對(duì)Q發(fā)生的作用由庫(kù)侖定律，板上感應(yīng)電荷對(duì)點(diǎn)電荷Q的作用力大小為第32頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六ROrP＋q由導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷總電量在O點(diǎn)引起的電勢(shì)與點(diǎn)電荷q在O點(diǎn)引起的電勢(shì)之和為零得根據(jù)唯一性原理可知，等效的像電荷量即為像電荷位置，應(yīng)令其在球面上任意點(diǎn)引起的電勢(shì)與q在同一點(diǎn)電勢(shì)疊加為零，即滿足

對(duì)任意角位置等式均成立必有解:例:如圖所示，設(shè)在一接地導(dǎo)體球的右側(cè)P點(diǎn)，有一點(diǎn)電荷q，它與球心的距離為d，球的半徑為R，求導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷為多少？點(diǎn)電荷q受到的電場(chǎng)力為多大？第33頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六解:例:半徑為R2的導(dǎo)電球殼包圍半徑為R的金屬球，金屬球原來具有電勢(shì)為U，如果讓球殼接地，則金屬球的電勢(shì)變?yōu)槎嗌伲?/p>

U金屬球上電量設(shè)為Q球殼接地后設(shè)感應(yīng)電荷的像電荷電量為q，由高斯定理殼接地后球的電勢(shì)為Q與q引起的電勢(shì)疊加第34頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六Ecqab-qq-qEaEbc像電荷在c點(diǎn)引起的場(chǎng)強(qiáng)大小

解:例:兩個(gè)電量q相等的正點(diǎn)電荷位于一無窮大導(dǎo)體平板的同一側(cè)，且與板的距離均為d，兩點(diǎn)電荷之間的距離為2d．求在兩點(diǎn)電荷聯(lián)線的中點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與方向．

第35頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六解:例:如圖所示，質(zhì)子加速器使每個(gè)質(zhì)子得到的動(dòng)能為E．很細(xì)的質(zhì)子束從加速器射向一個(gè)遠(yuǎn)離加速器的半徑為r的金屬球，并留在球上．球中心并不處在加速器發(fā)射出的質(zhì)子運(yùn)動(dòng)方向的直線上，而與該直線的垂直距離為d，且d＜r，加速器工作足夠長(zhǎng)時(shí)間后，球能充電到多高的電勢(shì)？計(jì)算中取E=2keV，．

設(shè)質(zhì)子初速度為v0，當(dāng)金屬球充電到電勢(shì)為U時(shí)，質(zhì)子與金屬球相切而過，設(shè)此時(shí)速度設(shè)為v，由于質(zhì)子在向球運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受庫(kù)侖力且力的方向沿球徑向，故對(duì)球心O，沖量矩為零，質(zhì)子角動(dòng)量守恒：

Umv0mvdr由動(dòng)能定理：

第36頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:需要凈化空氣中的灰塵，但在一般條件下灰塵沉積下來是較緩慢的，為此可利用這樣一個(gè)事實(shí)，即灰塵是帶電的．為模擬凈化過程，提出兩種裝置．第一個(gè)裝置是，將含有灰塵空氣的玻璃圓桶（高h(yuǎn)＝1m，半徑R＝0.1m，如圖示）放在場(chǎng)強(qiáng)E1＝1×104V/m的電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)方向沿著圓柱形桶的軸向．經(jīng)時(shí)間t1＝120s后，可以觀察到容器中所有的灰塵均已沉積在底部．第二個(gè)裝置是這樣的：沿圓柱桶的軸線緊拉著一根細(xì)導(dǎo)線，且將此導(dǎo)線跟高壓電源相連，電源電壓是這樣選取的，使在容器壁上場(chǎng)強(qiáng)值恰好等于第一個(gè)裝置的場(chǎng)強(qiáng)值1×104V/m．已知在這種情況下場(chǎng)強(qiáng)E∝1/r，r為離軸線的距離．假設(shè)塵粒是同種的，其所帶電荷量也相等，試確定第二個(gè)裝置中塵粒沉積到容器壁所需時(shí)間．由于空氣中的塵粒不多，體電荷可以忽略，認(rèn)為塵粒沉積過程動(dòng)態(tài)平衡，空氣阻力與速度成正比，不計(jì)重力

解答h2R第37頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六第一個(gè)裝置中，電場(chǎng)力恒定，故塵粒勻速下降時(shí)有第二個(gè)裝置中，在距離軸心r處塵粒速度設(shè)為vr，則讀題解:第38頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六

電容器相關(guān)研究電容器中的電介質(zhì)+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-++++++電介質(zhì)的介電常數(shù)定義為平行板電容器電容電容與電壓電量電容器充放電電容器的能量到例４到例6示例第39頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六由高斯定理,無限大均勻帶電平面的電場(chǎng)由

兩面積S、間距d平行板電容器當(dāng)帶電荷量Q時(shí)，板間電場(chǎng)由電場(chǎng)疊加原理可得為平行板電容器兩板間電勢(shì)差第40頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六球形電容器++++++++Ori由高斯定理,在距球心ri處場(chǎng)強(qiáng)在距球心ri處其上場(chǎng)強(qiáng)視作恒定,則元電勢(shì)差為電容器兩極間電勢(shì)差為第41頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:兩個(gè)半徑均為R的導(dǎo)體球相互接觸形成一孤立導(dǎo)體，試求此孤立導(dǎo)體的電容．

O1RO1O2+q1解題方向:

若能確定系統(tǒng)電勢(shì)為U時(shí)的電量Q,可由定義求得C考慮其中1球,電勢(shì)為U時(shí),電量+q1O2R+q1引入同樣的第2球,1球?qū)㈦妱?shì)疊加,為維持U,+q1-q2-q2對(duì)稱地,為維持球2電勢(shì)U,亦設(shè)置像電荷予以抵消為抵消像電荷引起的電勢(shì),再設(shè)置下一級(jí)像電荷+q3+q3-q4-q4解:第42頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:半徑分別為a和b的兩個(gè)球形導(dǎo)體，相距很遠(yuǎn)地放置，分別帶有電荷qa、qb，現(xiàn)用一金屬導(dǎo)線連接，試求連接后每球上的電荷量及系統(tǒng)的電容.

解題方向:

系統(tǒng)總電量守恒，只要確定導(dǎo)線連接后系統(tǒng)的電勢(shì),可由定義求得C設(shè)連接后兩球各帶電由電荷守恒有

由等勢(shì)且相距很遠(yuǎn)

解得

解:返回第43頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六ii+1123dh解題方向:

不平行電容器等效為無窮多個(gè)板間距離不等的平行板電容器并聯(lián)!用微元法若無窮均分b若無窮均分C等式兩邊取n次方極限得例:如圖，兩塊長(zhǎng)與寬均為a與b的導(dǎo)體平板在制成平行板電容器時(shí)稍有偏斜，使兩板間距一端為d，另一端為（d＋h），且hd，試求該空氣電容器的電容

．

解:第44頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六解:例:如圖所示，由五個(gè)電容器組成的電路，其中C1＝4μF，C2＝6μF，C＝10μF，求AB間的總電容．

C1C1C2C2C3AMNB設(shè)在A、B兩端加一電壓U，并設(shè)UM＞UNM(N)處連接三塊極板總電量為０則有

解得于是有五電容連接后的等效電容為

五電容連接直觀電路如圖

ABC1C1C2C2C3第45頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六解:例:如圖是一個(gè)無限的電容網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)電容均為C，求A、B兩點(diǎn)間的總電容．

設(shè)n個(gè)網(wǎng)格的電容為Cn,則有

整理得

該無窮網(wǎng)絡(luò)等效電容為

n

AB返回第46頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:如圖，一平行板電容器，充以三種介電常數(shù)分別為ε1、ε2和ε3的均勻介質(zhì)，板的面積為S，板間距離為2d．試求電容器的電容．

dd等效于C1與串聯(lián)的C2、C3

并聯(lián):解:第47頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六解:例:在極板面積為S，相距為d的平行板電容器內(nèi)充滿三種不同的介質(zhì)，如圖所示．⑴如果改用同一種介質(zhì)充滿板間而電容與之前相同，這種介質(zhì)的介電常數(shù)應(yīng)是多少？⑵如果在ε3和ε1、ε2之間插有極薄的導(dǎo)體薄片，⑴問的結(jié)果應(yīng)是多少？

abcd⑴將電容器劃分為如圖所示a、b、c、d四部分所求等效電容為a與b串聯(lián)、c與d串聯(lián)后兩部分并聯(lián)而成，由C∝ε可得⑵插入導(dǎo)體薄片所求等效電容為1與2并聯(lián)與3串聯(lián)，由C∝ε可得第48頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六解:例:球形電容器由半徑為r的導(dǎo)體球和與它同心的球殼構(gòu)成，球殼內(nèi)半徑為R，其間一半充滿介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)，如圖所示，求電容.

球形電容器的電容

本題電容器等效于介電常數(shù)為１和ε的兩個(gè)半球電容器并聯(lián)，每個(gè)半球電容各為該球形電容器的等效電容為

Rrε第49頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六解:例:如圖所示為共軸的兩導(dǎo)體圓柱面組成的電容器．長(zhǎng)l、半徑分別為r和R．兩圓筒間充滿介電常數(shù)為ε的電介質(zhì)．求此電容器的電容．圓柱面電容器

設(shè)圓柱面電容器電容為C，它由n個(gè)電容為nC的元圓柱面電容串聯(lián)而成，元圓柱面電容器可視為平行板電容器，第i個(gè)元電容為

riri-1第50頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六1234+q1-q2+q2-q1++++++++++++++++++++++++解題方向:利用電容對(duì)兩板間的電壓及極板上的電量的制約例:四塊同樣的金屬板，每板面積為S，各板帶電量分別為q1、-q1、q2、-q2．各板彼此相距為d，平行放置如圖，d比板的線尺寸小得多，當(dāng)板1、板4的外面用導(dǎo)線連接，求板2與板3之間的電勢(shì)差

．

解:第51頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六例:如圖所示，兩塊金屬平板平行放置，相距D=1cm，一板上電荷面密度σ1=3μC/m2，另一板上電荷面密度σ2=6μC/m2

，在兩板之間平行地放置一塊厚d=5mm的石蠟板，石蠟的介電常數(shù)ε=2．求兩金屬板之間的電壓

．

解:+σ2+σ1Dd如果在每個(gè)金屬板上附加面密度為-4.5μC/m2的電荷，電容器的帶電就成為“標(biāo)準(zhǔn)狀況”了——兩板帶等量異種電荷:附加電荷在板間引起的電場(chǎng)互相抵消，并不影響原來的板間電場(chǎng)，也不會(huì)改變電容器的電勢(shì)．

等效電容為:第52頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六解:例:電容為C的平行板電容器的一個(gè)極板上有電量＋q，而另一個(gè)極板上有電量+4q，求電容器兩極板間的電勢(shì)差．

如果在每個(gè)金屬板上附加-2.5q的電荷，電容器的帶電就成為兩板帶等量異種電荷1.5q的“標(biāo)準(zhǔn)狀況”：第53頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六解:例:三個(gè)電容分別為C1、C

2、C

3的未帶電的電容器，如圖方式相連，再接到點(diǎn)A、B、D上．這三點(diǎn)電勢(shì)分別為ＵA、UB、ＵD．則公共點(diǎn)O的電勢(shì)是多大？

C1C3C2ODBA解題方向:考慮電容器電容、電壓與電量之間的關(guān)系設(shè)三個(gè)電容帶電量分別為第54頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六解:例:如圖所示的兩塊無限大金屬平板A、B均接地，現(xiàn)在兩板之間放入點(diǎn)電荷q，使它距A板r，距B板R．求A、B兩板上的感應(yīng)電荷電量各如何？

解題方向:與設(shè)想將q均勻細(xì)分n份，均勻分布在距板r處的平面M后等效BAM++++++++這是兩個(gè)電容并聯(lián)!兩電容器電容之比并聯(lián)電容總電量每個(gè)電容帶電量第55頁，共59頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期六設(shè)三塊板上電量依次為＋q1、－q2、＋q3，由電荷守恒：1、2兩板間的電場(chǎng)是三板上電荷引起電場(chǎng)的疊加：3、2兩板間的電場(chǎng)也是三板上電荷引起電場(chǎng)的疊加：①②③解:例:三塊相同的平行金屬板，面積為S，彼此分別相距d1和d2．起初板1上帶有電量Q，而板2和板3不帶電．然后將板３、２分別接在電池正、負(fù)極上，電池提供的電壓為U．若板1、