2020高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語(yǔ)章末復(fù)習(xí)課學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1章常用邏輯用語(yǔ)充分條件、必要條件與充要條件的探究【例1】已知p：－2〈m<0,0<n<1;q:關(guān)于x的方程x2＋mx＋n＝0有兩個(gè)小于1的正根．試分析p是q的什么條件．[解］若關(guān)于x的方程x2＋mx＋n＝0有兩個(gè)小于1的正根，設(shè)為x1，x2，則0＜x1＜1，0＜x2＜1,有0＜x1＋x2＜2且0＜x1x2＜1。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－m，,x1x2＝n，）)得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（0＜－m＜2，,0＜n＜1，））即－2＜m＜0,0＜n＜1，故有q?p。反之,取m＝－eq\f（1,3），n＝eq\f（1,2）,那么方程變?yōu)閤2－eq\f（1，3)x＋eq\f(1,2）＝0,則Δ＝eq\f（1，9）－4×eq\f(1，2）＜0，此時(shí)方程x2＋mx＋n＝0無(wú)實(shí)根，所以peq\o(/，?)q。綜上所述，p是q的必要不充分條件．對(duì)于充分條件、必要條件與充要條件的判定，實(shí)際上是對(duì)命題真假的判定，記“若p，則q”為真命題,記為“p?q”，“若p，則q”為假命題，記為“peq\o(?，/）q”.提醒：充分條件、必要條件與充要條件的探究，需要從兩個(gè)方面加以論證，切勿漏掉其中一個(gè)方面。1．已知p:｛x|－2≤x≤10}，q：{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0｝，若p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]法一：令A(yù)＝｛x|－2≤x≤10｝，B＝｛x｜x2－2x＋1－m2≤0,m＞0｝＝{x|［x－(1－m)]［x－（1＋m）]≤0，m＞0}＝｛x|1－m≤x≤1＋m,m＞0｝．∵p是q的充分不必要條件,∴AB?！鄀q\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1－m＜1＋m,，1－m≤－2，,1＋m＞10，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＜1＋m，，1－m＜－2,，1＋m≥10，））解得m≥9.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是｛m|m≥9}．法二：∵p是q的充分不必要條件，∴﹁p是﹁q的必要不充分條件．由法一知p：A＝{x|－2≤x≤10｝,q：B＝{x｜1－m≤x≤1＋m,m＞0}，∴﹁p：C＝{x｜x＜－2或x＞10｝，﹁q：D＝｛x｜x＜1－m或x＞1＋m，m＞0｝．∴DC，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1－m＜1＋m,,1－m≤－2,,1＋m〉10,）)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＜1＋m，,1－m＜－2,，1＋m≥10，））解得m≥9。故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m｜m≥9}。命題的否定與否命題【例2】寫出下列命題的否定和否命題：（1）若x＝2或x＝－1,則x2－x－2＝0；(2)若集合B真包含于集合A，則集合A包含于集合B。[解］（1)命題的否定：若x＝2或x＝－1，則x2－x－2≠0.否命題：若x≠2且x≠－1，則x2－x－2≠0.（2)命題的否定:若集合B真包含于集合A，則集合A不包含于集合B.否命題：若集合B不真包含于集合A，則集合A不包含于集合B。命題的否定與否命題的區(qū)別1定義命題的否定一般是直接對(duì)命題的結(jié)論進(jìn)行否定，而否命題是對(duì)原命題的條件和結(jié)論分別否定組成的命題。2構(gòu)成形式對(duì)于“若p，則q"形式的命題，其命題的否定為“若p,則q”，而其否命題的形式為“若p，則q”.3與原命題的真假關(guān)系命題的否定與原命題的真假性總是相對(duì)的，即一真一假，而否命題與原命題的真假性無(wú)必然聯(lián)系.2．請(qǐng)寫出下列命題的否命題和命題的否定．（1)若|x|＋|y｜＝0，則x＝y(tǒng)＝0;（2）若△ABC是等腰三角形，則它有兩個(gè)內(nèi)角相等；（3）若x2－3x－4≤0，則－1≤x≤4。[解](1)否命題：若｜x|＋|y｜≠0,則x,y中至少有一個(gè)不為0；命題的否定：若｜x|＋｜y|＝0，則x,y中至少有一個(gè)不為0.(2)否命題：若△ABC不是等腰三角形，則它的任意兩個(gè)內(nèi)角都不相等；命題的否定：若△ABC是等腰三角形，則它的任意兩個(gè)內(nèi)角都不相等．（3)否命題：若x2－3x－4〉0,則x〈－1或x>4；命題的否定：若x2－3x－4≤0,則x<－1或x〉4。等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用【例3】已知c〉0，設(shè)p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減；q：不等式x＋｜x－2c|>1的解集為R。如果p和q有且僅有一個(gè)為真命題，求c的取值范圍．［解］函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減?0＜c＜1.不等式x＋|x－2c｜〉1的解集為R?函數(shù)y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1。∵x＋|x－2c|＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x－2c,x≥2c，,2c,x＜2c，))函數(shù)y＝x＋｜x－2c|在R上的最小值為2c，∴2c＞1，得c＞eq\f(1,2)。如果p真q假，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜c＜1，，0＜c≤\f（1,2），)）解得0〈c≤eq\f（1，2)；如果q真p假,則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(c≥1，,c＞\f(1，2)，））解得c≥1.∴c的取值范圍為eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f(1，2)）)∪[1，＋∞）．等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是包含在化歸思想中的一種比較具體的數(shù)學(xué)思想，本章主要體現(xiàn)在四種命題間的相互轉(zhuǎn)化與集合之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化、原命題與其逆否命題之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化等,即以充要條件為基礎(chǔ)，把同一種數(shù)學(xué)意義的內(nèi)容從一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式，從而使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、具體化.3．已知命題p:(x＋1）（x－5）≤0，命題q:1－m≤x〈1＋m(m>0)．（1）若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2）若m＝5，“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．［解］（1）由命題p:（x＋1)（x－5)≤0,解得－1≤x≤5。命題q:1－m≤x＜1＋m(m〉0）．∵p是q的充分條件,∴［－1，5]?[1－m,1＋m），∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1－m≤－1,，5＜1＋m,）)解得m＞4，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(4,＋∞）．(2）∵m＝5，∴命題q：－4≤x<6。∵“p∨q"為真命題，“p∧q”為假命題，∴命題p,q為一真一假．當(dāng)p真q假時(shí)，可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－1≤x≤5,，x＜－4或x≥6,））解得x∈?.當(dāng)q真p假時(shí)，可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＜－1或x＞5，,－4≤x＜6，)）解得－4≤x〈－1或5〈x〈6.因此x的取值范圍是［－4，－1)∪(5,6）。分類討論思想的應(yīng)用【例4】已知關(guān)于x的方程(m∈Z)：mx2－4x＋4＝0， ①x2－4mx＋4m2－4m－5＝0, ②求方程①和②的根都是整數(shù)的充要條件．[解]當(dāng)m＝0時(shí)，方程①的根為x＝1，方程②化為x2－5＝0，無(wú)整數(shù)根,∴m≠0。當(dāng)m≠0時(shí),方程①有實(shí)數(shù)根的充要條件是Δ＝16－4×4m≥0?m≤1；方程②有實(shí)數(shù)根的充要條件是Δ＝16m2－4（4m2－4m－5)≥0?m≥－eq\f（5,4）.∴－eq\f(5,4）≤m≤1.又∵m∈Z,∴m＝－1或m＝1。當(dāng)m＝－1時(shí)，方程①為x2＋4x－4＝0,無(wú)整數(shù)根；當(dāng)m＝1時(shí)，方程①為x2－4x＋4＝0，方程②為x2－4x－5＝0。此時(shí)①和②均有整數(shù)根．綜上，方程①和②均有整數(shù)根的充要條件是m＝1.分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想之一，利用分類討論思想解答問題已成為高考中考查學(xué)生知識(shí)和能力的熱點(diǎn).解題中要找清討論的標(biāo)準(zhǔn).4．已知p：eq\f（x－5，x－3)≥2；q:x2－ax≤x－a.若p是q的充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．［解］∵p：eq\f(x－5,x－3）≥2，∴eq\f（x－1,x－3）≤0，即1≤x＜3.又∵q:x2－ax≤x－a