微積分課件及其答案-黎傳奇高數(shù)

第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯directional 方向?qū)?shù)概念與計(jì)算公式梯度概念與計(jì)算數(shù)量場與向量場的概念小結(jié)思考題作業(yè)第八第八元函數(shù)微分法及 方向?qū)?shù)與梯 方向?qū)?shù)與梯 PAGEPAGE7一、方向?qū)?shù)概念與計(jì)算公設(shè)有二元函z

f(

y),考慮函數(shù)在某沿任何方向的變化率l由點(diǎn)P發(fā)出的一條射線l, 射線是指有方向的半直線在點(diǎn)Px,y)附近于l方向上一點(diǎn)Px

y記|PP

. (x)2(x)2(y)2定義如果極

P

f(P)

f(Pll

f(x

yy)

f(x,y) 存在,則將這個(gè)極限值稱為函在點(diǎn)P沿方向l的方向?qū)?shù)

,

f(x

x,y

y)

f(x,y) 注方向?qū)?shù)是函數(shù)沿半直線方向的變化率注方向設(shè)z

f(

y)的幾何意義為曲面,當(dāng)限自變量沿方向l變化時(shí)對(duì)應(yīng)的空間x,形成l的鉛垂平面與曲面的交線,zMOPyl半切線,zMOPyl的夾角為,則由方向?qū)?shù)的

y,z)f

tan注注ρ一定為正ρ一定為正

f(x

x,

yy)

f(x,y) 是函數(shù)在某點(diǎn)沿任何方向的變化率偏導(dǎo)

f

f(x

y)

f(x,y)f

x0

f(

yy)

f(x,y)Δx、Δy可正可負(fù)Δx、Δy可正可負(fù)當(dāng)函數(shù)

(

fx,f存在時(shí)

函數(shù)

(

y)在點(diǎn)P

y)沿xe1

(1,0)的方向?qū)?shù)存在,

fx.事實(shí)上f

f(x

x,

y)

f(x,y)

(

同理

函數(shù)

(

y)在點(diǎn)P

y)沿y軸正e2

fy事實(shí)上f

f(

yy)

f(x,y)

fy(

y),函數(shù)

(

y)在點(diǎn)P

y)沿x軸負(fù)

fi

x0

f(x

x,

y)

f(

y)

fx(

函數(shù)

(

y)在點(diǎn)P

y)沿y軸負(fù)向f

f(

yy)

f(

y)

(

y).

f

ff反之當(dāng)i或

存在時(shí)j

y是否一定存PAGEPAGE8 方向?qū)?shù)與梯 例如,z

x2

y2在點(diǎn)

0)處沿方l的方向?qū)

|x

lim(x)202(x)202

(x)202(x)202但x

limxx0

fflimf(xx,y)f(x,y)即z在(0,0)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)不存在 方向?qū)?shù)與梯 方向?qū)?shù)與梯 PAGEPAGE9及及

充分條定理設(shè)z

f(

y)在點(diǎn)P

y)處可微,則函在該點(diǎn)沿任意指定方向l的方向?qū)?shù)都存在f

f

cos其中、分別為方向l與x軸、y軸正向的夾角證由于函數(shù)可微則增量可表示f(xx,yy)

f(

y)

fx

fyo(兩邊同除

得 方向?qū)?shù)與梯 ff(xx,yy)f(x,y)fxfyo(f(x

yy)

f(x,y)

f

y

o( 故有方向?qū)?/p>

ll f(x

x,y

y)

f(x,y)l

cos 方向?qū)?shù)與梯 注注

其中cos,cos為l方向的方向余弦,即l的單位向量計(jì)算方向?qū)?shù)只需知道l的方向及函數(shù)的

在定點(diǎn)P0x0

y0)的方向?qū)?shù)關(guān)

cos

cos可 方向?qū)?shù)存 偏導(dǎo)數(shù)存 方向?qū)?shù)與梯 例考慮函數(shù)z

lcoslcos0x00

(3,1),

(2,3). 3x2y2

2x3

555555

555555

1

cos l

27

1)

54

方向?qū)?shù)與梯 方向?qū)?shù)與梯 例求函數(shù)

(

y)

x2

xy

與x軸方向夾角為的方向射線l的方向?qū)?shù)并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)(1)最大值 (2)最小值;(3)等于零解由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式fx(1,1)

fx (2x

y)(1,1)

(2y

x)(1,1)

sin

sin(22lcos0x0 方向?qū)?shù)與梯 方向?qū)?shù)與梯

sin

sin(問在怎樣的方向上問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零2

當(dāng)

時(shí),方向?qū)?shù)達(dá)到最大值4(2當(dāng)

5時(shí),方向?qū)?shù)達(dá)到最小值 4(3)

當(dāng)

3和4

7時(shí),方向?qū)?shù)等4 方向?qū)?shù)與梯 方向?qū)?shù)與梯 y3O2x 在點(diǎn)P(2,3y3O2x解將已知曲線用參數(shù)方程表示x它在點(diǎn)P的切向量為(12

x2

(1,P0P0cosP0P0 方向?qū)?shù)與梯 方向?qū)?shù)與梯 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定對(duì)于三元函u

f(

y,z),它在空間一P(

yz沿著方向

的方向?qū)?shù),可定義f

f(x

x,

yy,z

z)

f(

y,z)(x)2((x)2(y)2(z)2設(shè)方向l的方向角為,x

cos

y

cos

z

cosf

f

在該其中(cos,cos,cos

)是l的方向向量1991考題,計(jì)算1991考題,計(jì)算,56x6x28y2求函數(shù)u在P點(diǎn)處沿方向n的方向?qū)?shù) F

y,z)

2

3

z2Fx 4xF

6Fy Fy

6,Fz

2zPn

(Fx

Fy

Fz)

(4,

426242622n

其方向余弦cos

cos

,cos 方向?qū)?shù)與梯

函數(shù)ucosP

cos

6 66 6x28y2P8 68 6x28y2P

cos ;;

6x26x28y2z2

6x286x28y2

ucos

ucos

11.7 方向?qū)?shù)與梯 練練x2y2x2y2z2xxt,y2t2,z2t的方向?qū)?shù)

在點(diǎn)M(1,2,2)處沿在此點(diǎn)的切線方向解切線方向的方向向量

19

cos

49

89fffcosfcosfM

16

2

z fffcosfcosfcos6考題,填空,3函數(shù)u

ln(x

y2z2B(3,2,2)方向的方向?qū)?shù)y2z22解此方向的方向向量為

2

cos

2

11A

A

1 方向?qū)?shù)與梯z

f(

y)已知方向?qū)?shù)公

f

cosfcosfcos

f

Gx

y

G方向fG方向f變化率最大的方f的最大變化率之方向?qū)?shù)取最大

max

|GGGx,yf定義設(shè)函z

f(

y)在點(diǎn)P

y)可偏導(dǎo)稱向量G為函數(shù)z

f(

y)在點(diǎn)P

y)處梯度(gradient),

(

yf

f

f

f

(

y)

y

x

j引入算符 xi

j,稱為哈算子讀作nable.或算子,或向量微分算子利用梯度的概念,可將方向?qū)?shù)計(jì)算公f

f

cos

方向?qū)?shù)與梯 方向?qū)?shù)與梯 梯度的基本運(yùn)算公1.

0

C(Cu)C(uv)

(u)

(v)4.grad(uv)

vvgraduf(u)f(u)結(jié)論函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量,它方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的模為f2 f2|

f(

y)

x

y當(dāng)

不為零時(shí)

x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的

tan在幾何z

f(

y)表示一個(gè)曲面曲面被平z

zz所截得z

f(x,y) 所得曲線在xOy面上投影是一條平面曲線L如圖 f(

y)

f(x,y) 梯度為等值線上的法向Pf(x,O

y)

f(x

y)

等值事實(shí)上,由于等值

f(

y)

c上任一P(x,

法線的斜率為ff(x,y)Pgradf(x,y)f(x,y)1f(x,y)等值1

fyf ffff f,f所以

為等值線上點(diǎn)P處的法向量y梯度的概念可以推廣到三元函三元函數(shù)u

f(

y,z)在空間區(qū)域G具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則對(duì)于每一P(

y,z)

都可定義一個(gè)向量(梯度

f(

y,z)

f xi

fjzk方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致其模為類似地,設(shè)曲

f(

y,z)

c為函u

(

yz)的等量面,此函數(shù)在

P(

y,z)的梯度的方向與過點(diǎn)P的等量面

(

y,z)在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同,且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面,而梯度的模 方向?qū)?shù)與梯

f

f(

y,z)

x,

,z例求函數(shù)u

x2

2

3z2

3

2y在點(diǎn)處的梯度解gradu

并問在哪些點(diǎn)處梯度為零y,z)(2x

4y

2,6z=== ===gradu(1,1,2在P31,0處梯度為0 2 方向?qū)?shù)與梯 方向?qū)?shù)與梯 例 可導(dǎo),其 為處向證

的模試

xrf(rxrf(r)

f(r)yr

f(r)

f(r)r

f(r)

f(r

(r)jy

f(r)zrPOyzrPOyf

(r)r

(xi

yjzkf

(r)rr

f(r)0x0 方向?qū)?shù)與梯 方向?qū)?shù)與梯 555設(shè)函z

f(

y)

xey(1)求

f在點(diǎn)P(2,0)處沿從P到Q1,2方向的變化率2 2 (2)f在點(diǎn)P(2,0沿什么方向具有最大的增長率最大增長率為多少

PQ方向的方向向量為

3,

35

cos

4 5PgradP

(ey

xeyP

gradf(2,0)(cos,cos(2,0)

(1,2)

34

方向?qū)?shù)與梯 方向?qū)?shù)與梯 (2)f在點(diǎn)P(2,0沿什么方向具有最大的增長率,解f

y)在點(diǎn)P(2,0)處

(2,0)

即為梯度方向

|

f|gradf(2,0) 5. 方向?qū)?shù)與梯 1992考題,填1992考題,填空,3

ln(x2

y2

z2在點(diǎn)M(1,2,2)的梯度gradu

).29解grad

u,u,u x zMx2

2y2

z2,x2

y2

z2,x2

2zy2

2zM29 方向?qū)?shù)與梯 方向?qū)?shù)與梯 三、數(shù)量場與向量場的概數(shù)量(數(shù)性函數(shù)度場,電位場函 場(物理量的分

向量場(矢性場,速度場可微函數(shù)

(P

梯度(勢 (勢場例已知數(shù)量場u

y,z)

2a2 b22

z2c2求沿ux,yz)的梯度方向的方向?qū)?shù)

f

2x,2y,2z解gradu

x,

,z

a2 b2 c2b2x2y2b2x2y2z2a4 c4cosa2c2x2c2x2y2z2a4 c4

2 2a4 z

z2c4

cos 已知數(shù)量場ux,y已知數(shù)量場ux,yz)x2 y2 z2a2 c2 求沿ux,y,z)2zc2ffcosfcosfcosu

2xa22 yb2 z(grad(gradu)|graduu2 u2 u2xyz2x2 2y2 2z2a2 b2 c2x2x222a4y2zb4a4c24b 4c4 方向?qū)?shù)與梯